2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細分與精練 95個專題 524個題型專題83 導(dǎo)數(shù)綜合題型復(fù)習(xí)歸類-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細分與精練（解析版）

專題83導(dǎo)數(shù)綜合題型復(fù)習(xí)歸類【題型一】利用導(dǎo)數(shù)求極值【例1】已知函數(shù)在上不存在極值點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】，因為函數(shù)在上不存在極值點，所以在上沒有變號零點，所以所以，所以實數(shù)t的取值范圍是．故選：D．【例2】若函數(shù)存在極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由存在變號零點，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得出的取值范圍.【詳解】令，得，因為函數(shù)存在極值點，所以，即選：C【例3】函數(shù)有兩個不同的極值點，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【分析】由題可得，再用表示出，，進而可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值即得.【詳解】因為，（）所以，即有兩個正根，∴，即：，又∵，，，，∴，令，，∴在上單調(diào)遞減，∴，故選：B.【例4】已知的定義域為且滿足，為的導(dǎo)函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．有極大值無極小值B．無極值C．既有極大值也有極小值D．有極小值無極大值【答案】B【分析】令，根據(jù)題意得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間單調(diào)遞增，得到，由，得到，即函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，得到函數(shù)無極值.【詳解】令，可得，因為，可得，設(shè)，可得，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，又由，所以，所以，所以單調(diào)遞增，因為且，可得，因為，可得，則，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)無極值.故選：B.【題型二】利用導(dǎo)數(shù)求最值【例1】已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有最值，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：，，∴.當(dāng)時，在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上無最值；當(dāng)時，設(shè)，則，在上為減函數(shù)，又，若函數(shù)在區(qū)間上有最值，則函數(shù)有極值，即有解，∴，得.故選A.【例2】．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個最值點，則實數(shù)a的取值范圍是(

)．A． B．C． D．【答案】A【分析】令，結(jié)合已知條件可知，數(shù)在區(qū)間上恰有一個最值點可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上存在唯一的變號零點，然后利用零點存在的基本定理求解實數(shù)a的取值范圍，然后通過a的取值范圍檢驗在區(qū)間上最值點的唯一性即可.【詳解】令，若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個最值點，則函數(shù)在區(qū)間上恰有一個極值點，從而在區(qū)間上存在唯一一個變號零點，故，即，解得，此時在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，即在區(qū)間上存在唯一一個零點，即在上恰有一個最值點．從而實數(shù)a的取值范圍是．故選：A.【例3】已知函數(shù)在區(qū)間上存在最值，則實數(shù)a的取值范圍是_____________．【答案】【詳解】由題可得，因為函數(shù)在區(qū)間上存在最值，所以，即，解得，故實數(shù)的取值范圍是．【例4】若函數(shù)在上存在最值，則實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論和兩種情況即可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題可得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不存在最值；當(dāng)時，令，可得，易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若函數(shù)在上存在最值，則，即，所以實數(shù)的取值范圍為，故選A．【例5】函數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A根據(jù)周期性只需考慮函數(shù)最值，結(jié)合得時函數(shù)取得最大值，利用導(dǎo)函數(shù)分析單調(diào)性，結(jié)合隱零點求解最值.【詳解】由題，只需考慮函數(shù)最值即可，，所以當(dāng)即時函數(shù)取得最大值，，考慮函數(shù)，，所以必存在唯一零點，，且遞減，遞增，記，由正弦函數(shù)單調(diào)性可得：函數(shù)遞增，函數(shù)遞減，所以函數(shù)，解得，所以.故選：A【題型三】利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性解不等式【例1】已知函數(shù)，若的解集為，且中只有兩個整數(shù)，則（

）A．無最值 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】D【分析】原不等式化為，設(shè)，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象列不等式求解即可.【詳解】由，得，設(shè)，，所以在的上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而的圖象是一條恒過點的直線，函數(shù)與的圖象如圖所示，依題意得，，若中只有兩個整數(shù)，這兩個整數(shù)只能是1和2，則，即，解得，故的最小值為，故選：D.【例2】已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，有，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題目特征構(gòu)造函數(shù)，先根據(jù)的對稱性得到的圖象關(guān)于對稱且，根據(jù)的單調(diào)性解不等式得到解集，再根據(jù)【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，則有，，即有，故函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則有，當(dāng)時，，，又由當(dāng)時，，即當(dāng)時，，即函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，由可得，即，，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，且在上恒成立，由可得，即，此時不存在.綜上：不等式解集為.故選：A【例3】在關(guān)于的不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集中，有且僅有兩個大于2的整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，分別研究兩個函數(shù)的性質(zhì)，確定的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法進一步縮小的取值范圍，列出不等式組，求出結(jié)果.【詳解】由，化簡得：，設(shè)，，則原不等式即為.若，則當(dāng)時，，，原不等式的解集中有無數(shù)個大于2的整數(shù)，∴.∵，，∴.當(dāng)，即時，設(shè)，則.設(shè)，則在單調(diào)遞減，所以，所以在單調(diào)遞減，∴，∴當(dāng)時，，∴在上為減函數(shù)，即，∴當(dāng)時，不等式恒成立，原不等式的解集中沒有大于2的整數(shù).要使原不等式的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù)，則，即，解得.則實數(shù)的取值范圍為.故選：D【例4】若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】C【分析】由題可知，設(shè)函數(shù)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的極值點，得出單調(diào)性，根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù)，，因為，所以，或，因為時，，或時，，，其圖象如下：當(dāng)時，至多一個整數(shù)根；當(dāng)時，在內(nèi)的解集中僅有三個整數(shù)，只需，，所以.故選：C.【題型四】利用導(dǎo)數(shù)定義求切線傾斜角【例1】曲線在處的切線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的導(dǎo)函數(shù)，進而求出時，，由導(dǎo)函數(shù)的幾何意義和傾斜角與斜率的關(guān)系，求出，利用萬能公式求出結(jié)果.【詳解】，當(dāng)時，，所以，由萬能公式得：所以故選：B【例2】設(shè)點P是曲線上的任意一點，點P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【詳解】試題分析：因，故切線斜率，切線傾斜角的取值范圍是．【例3】已知是曲線上的任一點，若曲線在點處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求，結(jié)合已知根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，即對任意恒成立，再利用基本不等式求出即可.【詳解】因為，所以，因為曲線在處的切線的傾斜角是均不小于的銳角，所以對于任意的恒成立，即對任意恒成立，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故，所以的取值范圍是.故選：C【例4】已知點P在曲線上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率的取值范圍，再根據(jù)傾斜角與斜率之間的關(guān)系求得傾斜角的取值范圍.【詳解】因為，由于，所以，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知：,所以，故選：D.【題型五】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點【例1】若函數(shù)有零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點問題，構(gòu)造函數(shù)，考察函數(shù)的極值及變化速率的關(guān)系可得.【詳解】易知，當(dāng)時，函數(shù)恒成立，不滿足題意因為所以函數(shù)有零點，有零點，則方程有解，即方程有解即函數(shù)與的圖象在上有交點，易知時，時，故，，當(dāng)時，易知時，時，故，因為恒成立，所以此時無交點；當(dāng)時，易知時，時，故，易知，當(dāng)時，必有，所以當(dāng)時，兩函數(shù)圖象一定有交點.令，因為，故函數(shù)單調(diào)遞增，且，所以，當(dāng)時，，即成立.當(dāng)，時，當(dāng)時，，此時，故兩函數(shù)圖象在上有交點.綜上，b的取值范圍為故選：C【例2】已知函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分類討論，當(dāng)時利用函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)至多有一個零點；當(dāng)時，分別討論函數(shù)，，，，的零點情況，進而可得，或a=?12ea=?1，或，即求.【詳解】當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，又，所以函數(shù)在上沒有零點，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上至多有一個零點，故當(dāng)時，函數(shù)在R上至多有一個零點，不合題意；當(dāng)時，，，令，得，∴時，，函數(shù)單調(diào)遞增；時，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴時，函數(shù)有最大值，，∴當(dāng)，即時，函數(shù)在上沒有零點，當(dāng)，即時，函數(shù)在上有一個零點，當(dāng)，即時，函數(shù)在上有兩個零點；對于，，對稱軸為，函數(shù)在上最小值為，又，∴當(dāng)，即，函數(shù)在上沒有零點，當(dāng)，即，函數(shù)在上有一個零點，當(dāng)，即，函數(shù)在上有兩個零點；所以要使函數(shù)恰有兩個零點則，或a=?12ea=?1，或解得或；綜上，實數(shù)的取值范圍是或.故選：C.【例3】已知，若存在唯一的零點，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分類討論：當(dāng)時，容易判斷出不符合題意；當(dāng)時，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求極小值，解出即可．【詳解】解：當(dāng)時，，解得，函數(shù)有兩個零點，不符合題意，應(yīng)舍去；當(dāng)時，令，解得或，列表如下：x000單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增，，而，存在，使得，不符合條件：存在唯一的零點，且，應(yīng)舍去，當(dāng)時，，解得或，列表如下：x000單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減而，時，，存在，使得，存在唯一的零點，且，極小值，化為，，，綜上可知：a的取值范圍是．故選:．【例4】已知函數(shù)有兩個零點，則a的最小整數(shù)值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】先將函數(shù)化為，令，進而只需說明在R上有兩個零點，然后對函數(shù)求導(dǎo)，討論出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，最后通過放縮法解決問題.【詳解】，設(shè)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，易得，于是問題等價于函數(shù)在R上有兩個零點，，若，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，至多有1個零點，不合題意，舍去；若，則時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增.因為函數(shù)在R上有兩個零點，所以，而，限定，記，，即在上單調(diào)遞增，于是，則時，，此時，因為，所以，于是時，.綜上：當(dāng)時，有兩個交點，a的最小整數(shù)值為2.故選：C.【題型六】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)切線【例1】已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象上存在點，使得在點處的切線與的圖象也相切，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由兩條直線的公切線，表示出切點坐標(biāo)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求得極值點；根據(jù)極值點，求出兩側(cè)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求得的最大值．【詳解】的公共切點為，設(shè)切線與的圖象相切與點由題意可得，解得所以令則令，解得當(dāng)時，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減當(dāng)t從右側(cè)趨近于0時，趨近于0當(dāng)t趨近于時，趨近于0所以所以選B【例2】已知函數(shù)的圖象在點處的切線為，若也與函數(shù)，的圖象相切，則必滿足A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，圖像在點處的切線的斜率為，切線方程為，即，設(shè)切線與相切的切點為，，由的導(dǎo)數(shù)為，切線方程為，即，∴，．由，可得，且，解得，消去，可得，令，，在上單調(diào)遞增，且，，所以有的根，故選D.【例3】已知曲線與直線相切，且滿足條件的值有且只有個，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)切點坐標(biāo)為，求出曲線在處的切線方程，將點的坐標(biāo)代入切線方程可得出，可知關(guān)于的方程有三個解，由參變量分離法可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在處的切線方程為，因為直線過定點，將點的坐標(biāo)代入切線方程得，由題意可知，關(guān)于的方程有三個解，顯然不滿足方程，則，令，則，列表如下：增減極小值減所以，函數(shù)的極小值為，且，如下圖所示：由題意可知，當(dāng)時，直線與曲線有三個交點，故選：D.【例4】已知過點與曲線相切的直線有且僅有兩條，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出切點坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，得到切線方程，代入(0,-1),利用方程.由兩個不相同的實數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的極值轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】由曲線，可設(shè)切點坐標(biāo)為，且，即切線的斜率可得切線方程為，又因為切線過點，即，整理得題中相切的直線有且僅有兩條等價于方程由兩個不相同的正實數(shù)解；令，即函數(shù)有兩個正的零點。因，可解得又，可得所以實數(shù)a的取值范圍是故選：A【題型七】利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求參數(shù)【例1】定義在上的函數(shù)與函數(shù)在上具有相同的單調(diào)性，則的取值范圍是A． B．[ C． D．【答案】B【分析】通過題意可知為減函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可以求得的取值范圍.【詳解】因為，所以為減函數(shù)，即在也為減函數(shù)；，即在恒成立，所以,故選B.【例2】已知函數(shù)，，，當(dāng)在區(qū)間時成立，則稱和在區(qū)間上單調(diào)性一致，若和在區(qū)間上的單調(diào)性一致，則實數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】需分別對求導(dǎo)，由得，由，可判斷只需求，分離參數(shù)結(jié)合恒成立問題即可求解；【詳解】由和在區(qū)間上的單調(diào)性一致，即在區(qū)間上成立，，，，即恒成立，得，解得.故的最小值為故選：C【例3】已知定義在上的函數(shù)與函數(shù)有相同的奇偶性和單調(diào)性，若，則不等式的解集為_______.【答案】.首先利用定義判斷出是奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出是減函數(shù)，從而得到是定義在上的奇函數(shù)且在區(qū)間上是減函數(shù)，根據(jù)，得到，將轉(zhuǎn)化為，進而求得結(jié)果.【詳解】∵，∴，，∴函數(shù)是奇函數(shù)，又在區(qū)間上是減函數(shù)，∴是定義在上的奇函數(shù)且在區(qū)間上是減函數(shù)，∵，∴，又∵，∴，又∵在區(qū)間上是減函數(shù)，∴，即，∴所求不等式的解集為，故答案為：.【例4】若函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則a的取值范圍是________．【答案