2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個專題 524個題型專題68 圓的方程-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練（解析版）

專題68圓的方程題型一求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般式方程1．已知A(3，－2)，B(－5,4)，則以AB為直徑的圓的方程是()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100【答案】B【解析】由題意可得圓心為（-1，1），半徑為，由圓心和半徑可得圓的方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝25，選B.2．過三點(diǎn)的圓交軸于兩點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓的方程為，將代入，得：，,圓的方程為，令，可得，，則.故選：B.3．求以，，為頂點(diǎn)的三角形的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】【解析】設(shè)所求圓的圓心為，標(biāo)準(zhǔn)方程為，則有，解得，所以的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．4．已知點(diǎn)為的直角頂點(diǎn)，，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0．求：（1）向量的坐標(biāo)．（2）圓關(guān)于直線對稱的圓的方程．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)，則，解得或．，，.（2）點(diǎn)，的方程為．圓的圓心為，半徑為．設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則解得，故所求的圓的方程為：.題型二由標(biāo)準(zhǔn)方程、一般式方程確定圓心和半徑5．圓關(guān)于點(diǎn)對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】圓的圓心為，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，所以對稱圓的圓心為，又因?yàn)榘霃讲蛔儯运髨A的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A6．古希臘數(shù)學(xué)家同波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點(diǎn)，動點(diǎn)滿足（其中和是正常數(shù)，且），則的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”.若，，動點(diǎn)滿足，則該圓的圓心坐標(biāo)為_______.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)為,因?yàn)?所以,整理可得,即,則圓心為,故答案為:7．方程表示圓C中，則圓C面積的最小值等于________.【答案】【解析】當(dāng)時，半徑最小為，故面積為故答案為8．已知圓：和圓：，點(diǎn)，分別在圓和圓上.（1）求圓的圓心坐標(biāo)和半徑；（2）求的最大值.【答案】（1），半徑為；（2）．【解析】（1）圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，半徑為，（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，半徑為．由（1），所以．題型三圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般式方程互化9．由曲線圍成的圖形的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】曲線可化為，當(dāng)時，解析式為，易知曲線關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)均對稱，由題意，作出圖形如圖中實(shí)線所示，則此曲線所圍成的圖形由一個邊長為的正方形與四個半徑為的半圓組成，故所圍成圖形的面積是.故選：D.10．在圓：中，過點(diǎn)N(1，1)的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（）A． B． C．24 D．6【答案】A【解析】由可得：，故圓心為，半徑為，由N為圓內(nèi)點(diǎn)可知，過N(1，1)最長弦為直徑，即AC=6而最短弦為過與AC垂直的弦，圓心到的距離：所以BD=所以四邊形ABCD的面積：故選：A11．方程表示一個圓，則m的取值范圍是_______【答案】【解析】方程，即表示圓，，求得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為，故答案為：12．已知關(guān)于直線對稱，且圓心在軸上.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知動點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)引圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為，.記四邊形的面積為，求的最小值；【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意知，圓心在直線上，即，又因?yàn)閳A心在軸上，所以，由以上兩式得：，，所以.故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）如圖，的圓心為，半徑，因?yàn)椤⑹堑膬蓷l切線，所以，，故又因?yàn)?，根?jù)平面幾何知識，要使最小，只要最小即可.易知，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時，.此時.13．已知方程表示的圖形是一個圓.（1）求的取值范圍；（2）求其中面積最大的圓的方程.【答案】（1）；（2）【解析】圓的方程可化為.（1）由題意知，，解得.（2）設(shè)圓的半徑為，則.因?yàn)?，所以?dāng)時，半徑取得最大值.當(dāng)圓的半徑最大時，圓的面積最大，此時所求圓的方程為.題型四二元一次方程表示的曲線與圓的關(guān)系14．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的范圍是()A．a(chǎn)<－2或a> B．－<a<2C．－2<a<0 D．－2<a<【答案】D【解析】由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由解得，選D.15．方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圓的一個充分不必要條件是（）A．k∈(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞) B．k∈(2，+∞)C．k∈(﹣2，2) D．k∈(0，1]【答案】D【解析】由x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0，得，若方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圓，則0，即﹣2＜k＜2.∴A，B為方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圓的既不充分也不必要條件，C為充要條件，而（0，1]?（﹣2，2），則D為充分不必要條件.故選：D.16．如圖，是邊長為1的正三角形，點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)，且（a為常數(shù)），下列結(jié)論中正確的是A．當(dāng)時，滿足條件的點(diǎn)P有且只有一個B．當(dāng)時，滿足條件的點(diǎn)P有三個C．當(dāng)時，滿足條件的點(diǎn)P有無數(shù)個D．當(dāng)a為任意正實(shí)數(shù)時，滿足條件的點(diǎn)總是有限個【答案】C【解析】以所在直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示則，，，設(shè)，可得，，，∵，∴，化簡得：，即，配方，得…（1）當(dāng)時，方程（1）的右邊小于0，故不能表示任何圖形；當(dāng)時，方程（1）的右邊為0，表示點(diǎn)，恰好是正三角形的重心；當(dāng)時，方程（1）的右邊大于0，表示以為圓心，半徑為的圓，由此對照各個選項(xiàng)，可得只有C項(xiàng)符合題意.故選：C．17．曲線與的四個交點(diǎn)所在圓的方程是________．【答案】【解析】，，故，化簡整理得到：，即.故答案為：.題型五圓過定點(diǎn)問題18．已知方程表示的曲線恒過第三象限內(nèi)的一個定點(diǎn)，若點(diǎn)又在直線：上，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】方程可化為.曲線恒過定點(diǎn)，，解得或.點(diǎn)在第三象限，，代入直線的方程，可得.故選：.19．已知圓，點(diǎn)是直線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為.(1)當(dāng)切線的長度為時，求線段PM長度.(2)若的外接圓為圓，試問：當(dāng)在直線上運(yùn)動時，圓是否過定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；(3)求線段長度的最小值．【答案】（1）8（2）（3）【解析】試題分析：（1）根據(jù)圓中切線長的性質(zhì)得到；（2）設(shè)，經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑，圓N的方程為化簡求值即可；（3）（Ⅲ）求出點(diǎn)M到直線AB的距離，利用勾股定理，即可求線段AB長度的最小值.解析：（1）由題意知，圓M的半徑r=4，圓心M(0，6)，設(shè)PA是圓的一條切線，(2)設(shè)，經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑，圓心，半徑為得圓N的方程為即，有由，解得或圓過定點(diǎn)(3)圓N的方程，即①圓即②②-①得：圓M與圓N相交弦AB所在直線方程為：圓心M(0,6)到直線AB的距離弦長當(dāng)時，線段AB長度有最小值.20．設(shè)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（0，a），B（，0），C（，0），其中a>0，圓M為的外接圓．（1）求圓M的方程；（2）當(dāng)a變化時，圓M是否過某一定點(diǎn)?請說明理由．【答案】(1)x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)(0,-3).【解析】(1)設(shè)圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圓M過點(diǎn)A(0,a),B(-,0),C(,0),∴解得D=0,E=3-a,F=-3a.∴圓M的方程為x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圓M的方程可化為(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由解得x=0,y=-3