2023一輪數(shù)學講義+題型細分與精練 95個專題 524個題型專題56 空間向量基本定理-2023一輪數(shù)學講義+題型細分與精練（解析版）

專題56空間向量基本定理題型一對空間向量基本定理的解讀1．下列結論錯誤的是（）.A．三個非零向量能構成空間的一個基底，則它們不共面B．兩個非零向量與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則這兩個向量共線C．若?是兩個不共線的向量，且(且)，則構成空間的一個基底D．若??不能構成空間的一個基底，則???四點共面【答案】C【解析】A選項，三個非零向量能構成空間的一個基底，則三個非零向量不共面，故A正確；B選項，三個非零向量不共面，則此三個向量可以構成空間的一個基底，若兩個非零向量與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則這三個向量共面，則已知的兩個向量共線，如圖，故B正確；C選項，∵滿足，∴，，共面，不能構成基底，故C錯誤，D選項，因為??共起點，若，，，四點不共面，則必能作為空間的一個基底，故D正確，故選C.2．設，且是空間的一個基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】，，，共面，①，，不能作為空間向量的一個基底．，，，，，不共面，②，，可作為空間向量的一個基底．同理，，，不共面，，，不共面，③，，；④，，都可作為空間向量的一個基底．故選:C．3．已知O，A，B，C為空間的四個點，且向量，，不構成空間的一個基底，那么點O，A，B，C是否共面？【答案】O，A，B，C四點共面.【解析】因為向量，，不構成空間的一個基底，所以向量，，共面，由向量，，有公共點O，所以O，A，B，C四點共面.4．如圖，已知平行六面體，點G是側面的中心，且，，．（1）是否構成空間的一個基底？（2）如果構成空間的一個基底，那么用它表示下列向量：，，，．【答案】（1）能；（2）；；；【解析】（1），，不在同一平面內，且不為零向量，能構成空間的一個基底；（2），，，.5．已知，，為空間的一個基底，且，，，能否以作為空間的一組基底？若能，試以此基底表示向量；若不能，請說明理由.【答案】能，．【解析】解：假設存在不全為0的實數(shù)，，使得成立，則，此方程組無解，即不存在不全為0的實數(shù)，，使得成立，因此假設不成立．因此能以作為空間的一組基底．設則有因為，，為空間的一個基底，所以解得故題型二空間向量基本定理的應用6．已知空間四邊形，其對角線、，、分別是邊、的中點，點在線段上，且使，用向量，表示向量是A． B．C． D．【答案】C【解析】解：故選：．7．設是正三棱錐，是的重心，是上的一點，且，若，則（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】如下圖所示，連接并延長交于點，則點為的中點，為的重心，可得，而，，所以，，所以，，因此，.故選：C.8．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點．（1）用向量表示，；（2）若，求實數(shù)x，y，z的值．【答案】（1），；（2）．【解析】解：（1）,（2）所以9．如圖，已知空間四邊形，分別是邊的中點，點在上，且，設，，，試用表示向量.【答案】.【解析】所以：10．已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別是OA，BC的中點，點G在線段MN上，且，現(xiàn)用基底{}表示向量，有=x+y+z，則x，y，z的值分別為____．【答案】x=，y=，z=．【解析】∵=+=+=++=∴x=，y=，z=．故答案為：x=，y=，z=．題型三應用空間向量基本定理解決平行和垂直問題11．如圖所示的平行六面體中，已知，N為上一點，且.若，則的值為________；若M為棱的中點，平面，則的值為________.【答案】【解析】①取空間中一組基底：，因為，所以，因為，所以，所以，所以；②在上取一點使得，連接，因為且，所以，又因為平面，平面，所以平面，又因為平面，且，所以平面平面，所以平面，又因為平面平面，且平面，所以，所以，所以，所以.故答案為：，.12．已知，，，分別是空間四邊形的邊，，，的中點.（1）求證：，，，四點共面；（2）求證：平面；（3）設是和的交點，求證：對空間任一點，有.【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）證明見詳解【解析】（1）如圖，連接則由共面向量定理的推論，知，，，四點共面（2）∵△ABD中，分別是邊，的中點，即EH為中位線∴，又面，面∴平面（3）由（2）知，同理∴，即四邊形是平行四邊形∴對角線，交于一點且為它們的中點，又，分別是，的中點空間中任取一點，并連接，，，，，，，如圖所示故，在△OEG中在△AOB中；在△COD中；∴.13．已知平行六面體的底面是邊長為1的菱形，且，.（1）證明：；