2023一輪數(shù)學講義+題型細分與精練 95個專題 524個題型專題55 空間向量的數(shù)量積運算-2023一輪數(shù)學講義+題型細分與精練（解析版）

專題55空間向量的數(shù)量積運算題型一空間向量數(shù)量積運算1．在棱長為的正方體中，設，，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】．故選B．2．已知空間向量滿足，則的值為________．【答案】【解析】由兩邊平方得，所以，.故答案為：3．如圖，正方體的棱長為1，設，，，求：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）0；（2）1；（3）1【解析】（1）在正方體中，，故（2）由（1）知，（3）由（1）及知，題型二利用數(shù)量積求夾角4．已知是夾角為60°的兩個單位向量，則=+與b=-2的夾角是（）A．60° B．120° C．30° D．90°【答案】B【解析】由題意得=(+)·(2)==，||=，||=.=.°.故選:B.5．在空間四邊形OABC中，連接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量與所成角的余弦值．【答案】【解析】，＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16，∴故答案為：6．已知＝(5,3,1)，＝且與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍．【答案】【解析】由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－.因為a與b的夾角為鈍角，所以a·b＜0且〈a，b〉≠180°.由a·b＜0，得3t－＜0，所以t＜.若a與b的夾角為180°，則存在λ＜0，使a＝λb(λ＜0)，即(5,3,1)＝λ，所以解得t＝－.所以t的取值范圍是∪.題型三利用數(shù)量積證明垂直關系7．如圖所示，已知是所在平面外一點，，求證：在平面上的射影是的垂心．【答案】證明見解析【解析】∵，∴，，，平面，∴．由題意可知，平面，∴，，，∴，∴．同理可證，．∴是的垂心．8．用向量方法證明：在平面內的一條直線，如果與這個平面的一條斜線在這個平面上的射影垂直，那么它也與這條直線垂直（三垂線）【答案】證明見解析；【解析】如圖所示，在平面內，是在面內的投影向量，則，由題知，，則，故，所以，即證得結論.9．已知四面體OABC，，．求證：．【答案】證明見解析.【解析】因為,所以,因為，，所以，所以，即.10．如圖所示，在四棱錐中，底面，，E是的中點．證明：（1）；（2）平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】證明：（1）因為底面，所以，所以，又，所以，又，所以，所以．（2）設，因為，，所以．又，所以，得．因為，，所以，又，所以平面．題型四利用數(shù)量積求距離11．如圖，在平行四邊形中，，，，沿著它的對角線將折起，使與成角，求此時，之間的距離．【答案】或【解析】因為，所以，．因為與成角，所以或．因為，所以，所以．當時，，即；當時，，即．綜上，可知，之間的距離為或．12．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠BAD＝120°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6．求PC的長．【答案】7【解析】解：因為，所以，所以．故PC的長為7．13．如圖，已知線段平面，平面，且，D與A在的同側，若，求A，D兩點間的距離.【答案】.【解析】因為平面，平面，所以，，所以與的夾角為，因為，，所以，所以，即A，D兩點間的距離為.14．在平行四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的長.【答案】7【解析】因為,所以||2==()2=||2+||2+||2+2+2+2=62+42+32+2||||cos120°=61-12=49,所以||=7,即PC=7.15．如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,將△ACD沿對角線AC折起,使AB與CD成60°角,求B,D間的距離.【答案】2或【解析】∵∠ACD=90°，∴·=0．同理·=0．∵在三棱錐A-BCD中，AB與CD成60°角，∴<，>=60°或<，>=120°．又=++，∴||2=·=||2+||2