高中數(shù)學(xué)競賽平面幾何中幾個重要定理

平面幾何中幾個重要定理及其證明塞瓦定理1．塞瓦定理及其證明定理：在ABC內(nèi)一點P，該點及ABC的三個頂點相連所在的三條直線分別交ABC三邊AB、BC、CA于點D、E、F，且D、E、F三點均不是ABC的頂點，則有．證明：運用面積比可得．依據(jù)等比定理有，所以．同理可得，．三式相乘得．注：在運用三角形的面積比時，要把握住兩個三角形是“等高”還是“等底”，這樣就可以產(chǎn)生出“邊之比”．2．塞瓦定理的逆定理及其證明定理：在ABC三邊AB、BC、CA上各有一點D、E、F，且D、E、F均不是ABC的頂點，若，那么直線CD、AE、BF三線共點．證明：設(shè)直線AE及直線BF交于點P，直線CP交AB于點D/，則據(jù)塞瓦定理有．因為，所以有．由于點D、D/都在線段AB上，所以點D及D/重合．即得D、E、F三點共線．注：利用唯一性，采納同一法，用上塞瓦定理使命題順當(dāng)獲證．梅涅勞斯定理3．梅涅勞斯定理及其證明定理：一條直線及ABC的三邊AB、BC、CA所在直線分別交于點D、E、F，且D、E、F均不是ABC的頂點，則有．證明：如圖，過點C作AB的平行線，交EF于點G．因為CG//AB，所以————（1）因為CG//AB，所以————（2）由（1）÷（2）可得，即得．注：添加的協(xié)助線CG是證明的關(guān)鍵“橋梁”，兩次運用相像比得出兩個比例等式，再拆去“橋梁”（CG）使得命題順當(dāng)獲證．4．梅涅勞斯定理的逆定理及其證明定理：在ABC的邊AB、BC上各有一點D、E，在邊AC的延長線上有一點F，若，那么，D、E、F三點共線．證明：設(shè)直線EF交AB于點D/，則據(jù)梅涅勞斯定理有．因為，所以有．由于點D、D/都在線段AB上，所以點D及D/重合．即得D、E、F三點共線．注：證明方法及上面的塞瓦定理的逆定理如出一轍，留意分析其相像后面的規(guī)律．托勒密定理5．托勒密定理及其證明定理：凸四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形，則有AB·CD+BC·AD=AC·BD．證明：設(shè)點M是對角線AC及BD的交點，在線段BD上找一點，使得DAE=BAM．因為ADB=ACB，即ADE=ACB，所以ADE∽ACB，即得，即————（1）由于DAE=BAM，所以DAM=BAE，即DAC=BAE。而ABD=ACD，即ABE=ACD，所以ABE∽ACD．即得，即————（2）由（1）+（2）得．所以AB·CD+BC·AD=AC·BD．注：奇妙構(gòu)造三角形，運用三角形之間的相像推得結(jié)論．這里的構(gòu)造具有特點，不簡單想到，須要仔細(xì)分析題目并不斷嘗試．6．托勒密定理的逆定理及其證明定理：假如凸四邊形ABCD滿意AB×CD+BC×AD=AC×BD，那么A、B、C、D四點共圓．證法1（同一法）：在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點E，使得，，則∽．可得AB×CD=BE×AC———（1）且———（2）則由及（2）可得∽．于是有AD×BC=DE×AC———（3）由（1）+（3）可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE)．據(jù)條件可得BD=BE+DE，則點E在線段BD上．則由，得，這說明A、B、C、D四點共圓．證法2（構(gòu)造轉(zhuǎn)移法）延長DA到A/，延長DB到B/，使A、B、B/、A/四點共圓．延長DC到C/，使得B、C、C/、B/四點共圓．（假如能證明A/、B/、C/共線，則命題獲證）那么，據(jù)圓冪定理知A、C、C/、A/四點也共圓．因此，，．可得.另一方面，，即．欲證=，即證即．據(jù)條件有，所以需證，即證，這是明顯的．所以，，即A/、B/、C/共線．所以及互補．由于，，所以及互補，即A、B、C、D四點共圓．7．托勒密定理的推廣及其證明定理：假如凸四邊形ABCD的四個頂點不在同一個圓上，那么就有AB×CD+BC×AD>AC×BD證明：如圖，在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點E，使得，，則∽．可得AB×CD=BE×AC————（1）且————（2）則由及（2）可得∽．于是AD×BC=DE×AC————（3）由（1）+（3）可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE)因為A、B、C、D四點不共圓，據(jù)托勒密定理的逆定理可知AB×CD+BC×ADAC×BD所以BE+DEBD，即得點E不在線段BD上，則據(jù)三角形的性質(zhì)有BE+DE>BD．所以AB×CD+BC×AD>AC×BD．西姆松定理8．西姆松定理及其證明定理：從ABC外接圓上隨意一點P向BC、CA、AB或其延長線引垂線，垂足分別為D、E、F，則D、E、F三點共線．證明：如圖示，連接PC，連接EF交BC于點D/，連接PD/．因為PEAE，PFAF，所以A、F、P、E四點共圓，可得FAE=FEP．因為A、B、P、C四點共圓，所以BAC=BCP，即FAE=BCP．所以，F(xiàn)EP=BCP，即D/EP=D/CP，可得C、D/、P、E四點共圓．所以，CD/P+CEP=1800。而CEP=900，所以CD/P=900，即PD/BC．由于過點P作BC的垂線，垂足只有一個，所以點D及D/重合，即得D、E、F三點共線．注：（1）采納同一法證明可以變被動為主動，以便充分地調(diào)用題設(shè)條件．但需留意運用同一法證明時的唯一性．（2）反復(fù)運用四點共圓的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，要駕馭好四點共圓的運用手法．歐拉定理9．歐拉定理及其證明定理：設(shè)ΔABC的重心、外心、垂心分別用字母G、O、H表示．則有G、O、H三點共線（歐拉線），且滿意．證明（向量法）：連BO并延長交圓O于點D。連接CD、AD、HC，設(shè)E為邊BC的中點，連接OE和OC．則———①因為CD⊥BC，AH⊥BC，所以AH//CD．同理CH//DA．所以，AHCD為平行四邊形．從而得．而，所以．因為，所以———②由①②得：————③另一方面，．而，所以——④由③④得：．結(jié)論得證．注：（1）運用向量法證明幾何問題也是一種常用方法，而且有其獨特之處，留意駕馭向量對幾何問題的表現(xiàn)手法；（2）此題也可用純幾何法賜予證明．又證（幾何法）：連接OH，AE，兩線段相交于點G/；連BO并延長交圓O于點D；連接CD、AD、HC，設(shè)E為邊BC的中點，連接OE和OC，如圖．因為CD⊥BC，AH⊥BC，所以AH//CD．同理CH//DA．所以，AHCD為平行四邊形．可得AH=CD．而CD=2OE，所以AH=2OE．因為AH//CD，CD//OE，所以AH//OE．可得AHG/∽EOG/．所以．由，及重心性質(zhì)可知點G/就是ABC的重心，即G/及點G重合．所以，G、O、H三點共線，且滿意．蝴蝶定理10．蝴蝶定理及其證明定理：如圖，過圓中弦AB的中點M任引兩弦CD和EF，連接CF和ED，分別交AB于P、Q，則PM=MQ．證明：過點M作直線AB的垂線l，作直線CF關(guān)于直線l的對稱直線交圓于點C/、F/，交線段AB于點Q/．連接FF/、DF/、Q/F/、DQ/．據(jù)圓的性質(zhì)和圖形的對稱性可知：MF/Q/=MFP，F(xiàn)/Q/M=FPM；且FF///AB，PM=MQ/．因為C、D、F/、F四點共圓，所以CDF/+CFF/=1800，而由FF///AB可得Q/PF+CFF/=1800，所以CDF/=Q/PF，即MDF/=Q/PF．又因為Q/PF=PQ/F/，即Q/PF=MQ/F/．所以有MDF/=MQ/F/．這說明Q/、D、F/、M四點共圓，即得MF/Q/=Q/DM．因為MF/Q/=MFP，所以MFP=Q/DM．而MFP=EDM，所以EDM=Q/DM．這說明點Q及點Q/重合，即得PM=MQ．此定理還可用解析法來證明：想法：設(shè)法證明直線DE和CF在x軸上的截距互為相反數(shù)．證：以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，M點是坐標(biāo)原點．設(shè)直線DE、CF的方程分別為x=m1y+n1，x=m2y+n2；直線CD、EF的方程分別為y=k1x，y=k2x．則經(jīng)過C、D、E、F四點的曲線系方程為(y–k1x)(y–k2x)+(x–m1y–n1)(x–m2y–n2)=0．整理得(+k1k2)x2+(1+m1m2)y2–[(k1+k2)+(m1+m2)]xy–(n1+n2)x+(n1m2+n2m1)y+n1n2=0．由于C、D、E、