贏戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)模擬仿真卷 1卷(理科)(全國(guó)卷專用)(解析版)

【沖鋒號(hào)-考場(chǎng)模擬】贏戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)模擬仿真卷01卷（理科）

（全國(guó)卷專用）

（解析版）

本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)

考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

4.測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的。

1.（2023?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）已知全集0=11,集合4=卜--2》-3>0},B={x\x=2k,k&Z},則

（04）c8=（）

A.{2}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{-1,0,1,2,3）

【答案】B

【分析】先求出集合A的補(bǔ)集，再求出（aA）cB即可.

【詳解】因?yàn)锳={x,-2x-3>0},所以0”={和2-2》一340}={止14x43},

因?yàn)?={x|x=2匕左eZ},所以支4m3={0,2},故選：B

2.已知復(fù)數(shù)2=8$6+1與116,現(xiàn)有如下說(shuō)法：①目=1；②復(fù)數(shù)z的實(shí)部為正數(shù)；③復(fù)數(shù)z的虛部為正

數(shù).則正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）.

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】命題①按照復(fù)數(shù)模的計(jì)算法則結(jié)合同角三角函數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可；命題②③按照復(fù)數(shù)實(shí)

部和虛部的定義，結(jié)合象限角三角函數(shù)值的正負(fù)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】依題意，|z|=>/cos26+sin26=l,故①正確；

復(fù)數(shù)z的實(shí)部為cos6,為正數(shù)，故②正確；

復(fù)數(shù)z的虛部為sin6,為負(fù)數(shù)，故③錯(cuò)誤.故選：B.

3.(2022婀南南陽(yáng)高三期中(理))若函數(shù)/(同=6飛山》+〃)在點(diǎn)4(0,〃0))處的切線方程為片3*+”,

則實(shí)數(shù)〃的值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出“0)、r(o),從而求出切線方程，即可得到方程，解得即可.

【詳解】解：因?yàn)閒(x)=e*(sinx+a),所以"0)=e°(sin0+a)=a,

又/'(x)=e*(sinx+a+cosx),所以J"⑼=e"(sin。+a+cos0)=l+a,

所以切線方程為y-a=(l+a)(x-0),即y=(l+a)x+a,

所以l+a=3,解得a=2；故選：B

4.新式茶飲是指以上等茶葉通過(guò)萃取濃縮液，再根據(jù)消費(fèi)者偏好，添加牛奶、堅(jiān)果、檸檬等小料調(diào)制而

成的飲料.下圖為2021年我國(guó)消費(fèi)者購(gòu)買新式茶飲頻次扇形圖及月均消費(fèi)新式茶飲金額條形圖：

2021年消費(fèi)者購(gòu)買新式茶飲的頻次

2021年消費(fèi)者月均消費(fèi)新式茶飲的金額

FrequencyofConsumersBuyingNewTeain2021

AverageMonthlyConsumptionofNewTeaby

Consumersin2021

50元以下14.5%

根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)圖，下列結(jié)論中不正確的是()

A.每周消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比超過(guò)90%

B.每天消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比超過(guò)20%

C.月均消費(fèi)50—200元的消費(fèi)者占比超過(guò)50%

D.月均消費(fèi)新式茶飲超過(guò)100元的消費(fèi)者占比超過(guò)60%

【答案】D

【分析】由所給統(tǒng)計(jì)圖逐一判斷即可

【詳解】每周消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比1-9.1%>90%,A正確，

每天消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比5.4%+16.4%>20%,B正確；

月均消費(fèi)50—200元的消費(fèi)者占比30.5%+25.6%>50%,C正確；

月均消費(fèi)新式茶飲超過(guò)100元的消費(fèi)者占比1-14.5%-30.5%<60%.D錯(cuò)誤.故選：D

5.劉徽構(gòu)造的幾何模型"牟合方蓋"中說(shuō)："取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸.規(guī)之為圓困，

徑二寸，高二寸.又復(fù)橫規(guī)之，則其形有似牟合方蓋矣."牟合方蓋是一個(gè)正方體被兩個(gè)圓柱從縱橫兩側(cè)

面作內(nèi)切圓柱體時(shí)的兩圓柱體的公共部分，計(jì)算其體積的方法是將原來(lái)的"牟合方益”平均分為八份，取

它的八分之一（如圖一）.記正方形0A8C的邊長(zhǎng)為r,設(shè)OP=/?,過(guò)尸點(diǎn)作平面PQRS平行于平面

OABC.OS=OO=r,由勾股定理有&=PQ=J勾—〃？,故此正方形PQRS面積是一一站.如果將圖一

的幾何體放在棱長(zhǎng)為r的正方體內(nèi)（如圖二），不難證明圖二中與圖一等高處陰影部分的面積等于力\（如

圖三）設(shè)此棱錐頂點(diǎn)到平行于底面的截面的高度為〃，不難發(fā)現(xiàn)對(duì)于任何高度/?,此截面面積必為〃2,根

據(jù)祖唾原理計(jì)算牟合方蓋體積（）

注：祖曬原理："寨勢(shì)既同，則積不容異意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積

相等

【答案】C

【分析】計(jì)算出正方體的體積，四棱錐的體積,根據(jù)祖曬原理可得圖一中幾何體體積,從而得結(jié)論.

2

【詳解】Vm=15/z=|xrxr=lr\由祖胞原理圖二中牟合方蓋外部的體積等于V

所以圖1中幾何體體積為丫"-9=，，所以牟合方蓋體積為W=$3故選：C.

6.（2。22.河北.模擬預(yù)測(cè)）若To，。，黑篝4,則，。+訃＜）

A.—B.—C.1D.1

222

【答案】C

【分析】將cos2a用上”里替換后，解方程解出a即可.

1+tarra

222

dm、cos2a3,./2\csina-cosal-tana

【詳解】因?yàn)閍￡。，彳<----2~=o，可得3(l+tan“a)=8x-----------=8nx--------

V2Jl+tana8'7sin~a+cos“a1+tan'a

0,31，所以tana=@,所以a=f,

可得3(1+tan2a)2=8-8tan2a,解得tan'a=-,因?yàn)閍w

732736

所以cos(a+7)=cos?=g.故選：C.

7.設(shè)。為一ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=3CD>AD=AAB+pAC,則〃-4=()

【答案】D

【分析】由平面向量共線定理得30=48,再由平面向量的基本定理得到=從而求得

I4

A=4，〃=?,由此得到結(jié)果.

。J

【詳解】因?yàn)锽C=3C￡＞，所以BD=4C￡＞，

14

所以AO=AB+8￡>=AB+4CO=A8+4AD-4AC，故AD=--AB+-AC，

145

又因?yàn)锳Z)=/IAB+"AC,所以％=-鼻，jLi=—,則〃一4二,.故選：D.

8.(2022?河南?模擬預(yù)測(cè)(理))如圖是函數(shù)/(x)的圖象，則函數(shù)f(x)的解析式可以為().

A.er+ln|x|B.ex+e2xC.x2+-D.x+J

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷.

【詳解】解:對(duì)于A：/(x)=e'+lnW定義域?yàn)閧x|xwO},

當(dāng)x＞0時(shí)/(x)=e'+lnx,則/(x)=e'+：＞0,即函數(shù)在(0,+少)上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：/（x）=eT+e2*定義域?yàn)镽,且e-fO，e2x＞0,所以〃司=。一，+?2、＞0,故B錯(cuò)誤；

21\

2"2"+1

八JY尸“--耳=——=--------1----2---------------

21（11V3I

又23/+23犬+1=123*+2+：＞0,所以當(dāng)*＞2不時(shí)戶"）＞0，

當(dāng)x＜o(jì)或0＜尢＜2^時(shí)r（x）＜。，即函數(shù)在（一嗎0），（0,2一：）上單調(diào)遞減，在+a＞）上單調(diào)遞增，故C

錯(cuò)誤；對(duì)于D：〃x）=x+/?定義域?yàn)椋鸛|XK0｝,

（1\（12\（（?1V3-

x-23X2+23X+231-23X+--23+--23

f，⑴=1二*=1_A__________1=—J?…」

J⑴X3V?A-3

所以當(dāng)x＞2：或x＜0時(shí)/中）＞0,當(dāng)0＜*＜2（時(shí)T（x）＜°，

即函數(shù)在（-8,0）,2rM上單調(diào)遞增，在0,2與上單調(diào)遞減，符合題意；故選：D

\7\7

9.（2022?江西?二模（理））若正整數(shù)m、”只有1為公約數(shù)，則稱機(jī)、”互質(zhì).對(duì)于正整數(shù)〃，9（〃）是小

于或等于”的正整數(shù)中與”互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù).函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：

奴3）=2,.7）=6,奴9）=6,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.姒12）=7B.數(shù)列加（3"）｝是等差數(shù)列

9

C.log7^（7）=9+log76D.數(shù)列;溫的前”項(xiàng)和為S"，則S“＜4

【答案】D

【分析】利用題中定義可判斷A選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)；求出夕（7）的值，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算

性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)：計(jì)算出9（2"）,利用錯(cuò)位相減法可求得S“，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在不超過(guò)12的正整數(shù)中，與12互質(zhì)的正整數(shù)有：1、5、7、11,故夕（12）=4,A

錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)榕?）=2,奴9）=6,以27）=18,顯然姒3）、*（9）、奴27）不成等差數(shù)列，B錯(cuò):

對(duì)于C選項(xiàng)，7為質(zhì)數(shù)，在不超過(guò)79的所有正整數(shù)中，能被7整除的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為7。，所有與79互質(zhì)

的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為79-7*,所以，夕（7〃=79-78=78（7-1）=6x73,

因此，log?＜（7）=k＞g7（6x78）=8+10876,c錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?為質(zhì)數(shù)，在不超過(guò)2"的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的個(gè)數(shù)為2”,，

所以，（p（2n）=2n-2"-'=2'-',所以，碓）=廣，

口?c123n,112n-\n

rrio++,

則S"=m+要+齊++廣…似，25n=7+F+￥TF

上述兩個(gè)不等式作差可得;S?=1+：+（++白-*=―\--2=2-琮^,

乙乙乙乙

2

〃+2

所以，S,,=4-苗<4,D對(duì).故選：D.

10.（2022?四川資陽(yáng)?一模（理））已知函數(shù)〃x）=sin5+coss,其中（y>0.給出以下命題:

①若f（x）在1°，］上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)，則1<345：

②若〃x）在生）上沒(méi)有零點(diǎn)，則?！?或*［；

③若〃x）在區(qū)間信今）上單調(diào)遞增，則0<。"或|<。43.

其中所有真命題的序號(hào)是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】對(duì)于①，先整理得了（x）=^sin（0x+5）再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到+￡，從而

得以判斷正誤；

7171.

—69+—>KTI

2435

對(duì)于②，先由正弦函數(shù)的性質(zhì)得到，,從而分析得—V'即&=°或％=1,從而可

兀

7167+—<（Z：+l）7t

求得。的取值范圍

兀兀、兀

—6U+->——+2配

對(duì)于③，先由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到，：42,從而分析得即&=o或2=i,

3兀兀/兀c?88

——。+—W—+2E

442

從而可求得。的取值范圍.

【詳解】f（x）=sin<wx+cos0x=&sin（"x+：）,

對(duì)于①，因?yàn)閒（x）在（0,；）上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)，則f（x）在（0,：）上只有個(gè)最值,

因?yàn)?<x<3,所以烏〈口無(wú)+工<四/+色,

44444

令f=s+；,則卜苧+?則尸&sinW：O+*只有一個(gè)最值,

所以］:工與，得1<045,故①正確；

_.十/T\ll、,71廣1l、t兀兀兀兀人兀GUI九兀兀

對(duì).于（2）,因?yàn)椤?lt;.X<.TI,所以/G+1<①X+—<TICO+-,令f=8+一,則一0+—</<兀@+一,

4244

因?yàn)?1（X）在仁,兀）上沒(méi)有零點(diǎn)，則丫=后皿在（畀+50+"上沒(méi)有零點(diǎn),

7171.

—CO+—>KJl

241333

所以,故2k—<co<k-\—,因?yàn)槲?gt;0,所以&d—>ty>0?k>---,

兀&+一兀/乙+i\兀2444

乂由24一±14%+3二，得&5t^-3-<k<5~,又keZ,所以上=0或&=1,

24444

13337

當(dāng)左=0時(shí)，--<6><-,所以0<。4一：當(dāng)％=1時(shí)，-<<w<-；

24424

綜上：0<04、3或3故②7正確；

對(duì)于③,因?yàn)?lt;包'所以￥<y+'<tyx+￥〈任0+',^-t=cox+—,貝！|“0+色<，<也。+￥'

242444442444

因?yàn)椤▁）在區(qū)間與引匕單調(diào)遞增，則y=VJsin/在4+：3@+：）上單調(diào)遞增，

因?yàn)閥=&sinx在一^+2依:$+2版，ZeZ上單調(diào)遞增,

所以,故4左一24。42氏+上,因?yàn)椤?gt;0,所以2&+L2刃>0,即發(fā)>-2,

3兀兀/兀.,233338

—co+-<—+2/01

442

□Q111111

又由4人一?工2女+：,得左故__;.<%4?，乂kwZ,所以&=0或4=1,

233888

3115

當(dāng)％=0時(shí)，—<co<—所以0<GW—；當(dāng)％=1時(shí):—<a）<3；

23392

綜上：0<&>4§或/4043,故③正確.故選：D.

11.（2022?遼寧?一模）國(guó)家體育場(chǎng)"鳥(niǎo)巢"的鋼結(jié)構(gòu)鳥(niǎo)瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同

的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥(niǎo)巢"相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)A和短軸

一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC,BD,且兩切線斜率之積等于則橢圓的離心率為（）

【答案】C

【分析】設(shè)出外層橢圓方程，利用離心率表達(dá)出內(nèi)層橢圓方程，設(shè)出直線方程，聯(lián)立后由根的判別式得

到4=7」?：2與片=。“嚴(yán),利用斜率乘積列出方程，求出4=2,從而求出離心率.

(1-彳)屋2a2a-3

2222

【詳解】設(shè)外層橢圓方程為A方=1,則內(nèi)層橢圓方程為/+方=彳(0<彳<1),

設(shè)過(guò)A點(diǎn)的切線方程為y=K(x+a)￡<0,

4^-+p-=A(0</l<l)聯(lián)立得：僅2+$甘卜2+2ayk^x+/《一=0,

2

由4=4以：-4(從+akf)("6_Aa2b2)=°得：好=,

設(shè)過(guò)點(diǎn)B的切線方程為y=k2x+b,

22

222222

與=+5=久0</1<1)聯(lián)立得：(b+aki)x+2ak2bx+(l-A)ab=0,

2222

由A2=4aW-4(b+aki)(\-^ab=0得：抬=,

從而*=清記卡=『4'故橢圓的離心率為哼故還c

12.設(shè)。=*，^=21n^sin^+cos-^j,c=|ln|^,則。，b,c的大小關(guān)系正確的是(

)

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.h<a<c

【答案】D

Z>=lnfsin—+cos—Y,c=ln包下，所以只要比較

【力析】由一」°=ine5。=Ine002

I100lOOj1,50J

x=e"",y=(sin2一+cos[—]=1+sin，=1+sin0.02,z=]的大小即嘰然后分別構(gòu)造函數(shù)

I100100j50V50j

/(x)=eJt-(l+sinx)(x>0),g(x)=(l+x)L2-er,判斷出其單調(diào)性，利用其單調(diào)性比較大小即可

【詳解】因?yàn)椤?in/=Ine°°2，〃=ln51

50

所以只要比較x=e002,y=[sin-^―+cos=14-sin—=1+sin0.02,z=f—Y=(1+0,02)12的大小即可,

(100100J50(50J

令/'(x)=e*-(1+sinx)(x>0),貝ijJ"(x)=e*-cosx>0,所以/(x)在(0,+°o)上遞增,

所以f(x)>/(0),所以e*>l+sinx,所以e。02>1+sin0.02,即x>y>l,

令g(x)=(1+x)，2-e*,則g'(x)=1.2(1+x)0-2-er,g"(x)=0.24(1+x)-08-e*

因?yàn)間"(x)在(0.+8)上為減函數(shù)，旦g"(0)=0.24-1<0,

所以當(dāng)x>0時(shí)，g"M<0,所以g'(x)在(0.+8)上為減函數(shù)，

因?yàn)間'(0)=1.2-1>0,g'(0.2)=1.2x1.2°2-e0-2=1.212-e°-2,

要比較1土與e°2的大小，只要比較In1.212=1.2In1.2與Ine02=0.2的大小，

令h(x)=(1+x)ln(l+x)-x(x>0),則h'(x)=ln(l+x)+1-1=ln(l+x)>0,

所以〃(x)在上遞增,所以〃(x)>/?(())=0,

所以當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，(l+x)ln(l+x)>x,所以1.21nl.2>0.2,

所以1,21-2>e02,所以^(O.2)=1.2xl.202-e0-2=l.^-e02>0,

所以當(dāng)X€(0,0.2)時(shí),g'(x)>0,所以g(x)在(0,0.2)上遞增，

所以g(x)>g(0)=0,所以(1+x嚴(yán)〉e*,

所以(1+0.02)12>e°m,所以z>x,所以z>x>y,所以。>。>方，故選：D

【點(diǎn)睛】此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)比較大小，解題的關(guān)鍵是對(duì)已知的數(shù)變形，然后合理構(gòu)造

函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，考查數(shù)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題。

第n卷

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知(1+X—X~j則。3=.

【答案】30

【分析】利用二項(xiàng)式定理的原理與組合的意義求解即可.

【詳解.】因?yàn)?1+x-0”>=%+平++為/°，所以的是含丁項(xiàng)的系數(shù)，

若從10個(gè)(l+x-Y)式子中取出0個(gè)卜f),則需要從中取出3個(gè)x,7個(gè)1,則得到的項(xiàng)為

2

C,o(-%)°CC；『=120/；

若從10個(gè)(1+x-V)式子中取出1個(gè)(-Y),則需要從中取出1個(gè)x,8個(gè)1,則得到的項(xiàng)為

283

C；O(-X)C；JCC^1=-9OX；

若從10個(gè)（l+X-Y）式子中取出大于或等于2個(gè)卜x2）,則無(wú)法得到含丁的項(xiàng)；

綜上：含丁的項(xiàng)為1209_90丁=30/，則含/項(xiàng)的系數(shù)為30,即。3=30.

故答案為：30.

14.（2022?福建?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛4｝滿足奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，公差為d,偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，公比

為4,且數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為5“，4=1,%=2,S5=2a4+a5,a9=a3+a4.若4M向="2，則正整

數(shù)m-.

【答案】2

【分析】利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】由題意知，q=l,%=2,因?yàn)?5=24+。5=2。24+4+24,

S5=4+%+%+%+%=%+生+4+4+&q+4+2d=3q+3d+a2+a2q,

所以得4-2q+d=0,①由為二陽(yáng)+為得4+4d=q+d+2g,即3d=2q,（2）

聯(lián)立①②解得d=2,g=3,所以％=之,

當(dāng)初=2%時(shí),由%仆+|=4+2得2X3*TX（21+1）=2X3*,解得&=1,此時(shí)加=2;

當(dāng)加=2%-1時(shí)，由amam+l=勺+2得（2%-1）x2x3^'=2*+1,

此等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，則方程無(wú)解.故答案為2

22

15.（2022?山東?一模）已知工分別為雙曲線C:工-二=1的左、右焦點(diǎn)，E為雙曲線C的右頂點(diǎn)，

412

過(guò)B的直線與雙曲線C的右支交于A,8,兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限），設(shè)M,N分別為5，2BF\F]

的內(nèi)心，則|阿-”目的取值范圍是.

4G4疔

【答案】

33

【分析】根據(jù)圓的切線長(zhǎng)定理和雙曲線的定義可推得△4GK，48片心的內(nèi)切圓與x軸切于雙曲線的右頂

點(diǎn)E,設(shè)直線A8的傾斜角為。，可用6表示|郎-|凋，根據(jù)AB兩點(diǎn)都在右支上得到。的范圍，利用6

的范圍可求得|陷-|煙的取值范圍.

【詳解】如圖：

設(shè)月的內(nèi)切圓與凹,40耳鳥(niǎo)分別切于匕￡>,6,所以|4//|=|AD|Jg|=|Gf；|,|￡>EI=|G片|,

所以|A￡|-|A片|=|AH\+\HFl\-\AD\-\DF2\=\HF}\-\DF2\=\GFt\-\GF2\=2a,

又|G用+1GE|=2c,所以IG/=；\=a+c,\GF21=c-a,

乂|環(huán)|=a+c,|￡/"=c-a,所以G與E5。)重合，所以M的橫坐標(biāo)為“，同理可得N的橫坐標(biāo)也為〃,

設(shè)直線AB的傾斜角為。.則/即時(shí)二工/,2E&N=*,

|ME\-\NE\=(c-a)tan~~~-(c-?)tan

.產(chǎn)8、.為e.e\0.0

sin(----)sin—cos—sinco2s——si2n—cq

(c—〃)?22222

,兀e、osi/cos^

cos(----)cos—…一sin工--cos戶—(1)鬻

222)22)22

當(dāng)。4時(shí)，1^1-INEhO,當(dāng)時(shí)，由題知，a=2.c"?H

因?yàn)锳,B兩點(diǎn)在雙曲線的右支上，,且。wg,所以tan8<-JJ或tan。〉石，

回一且-<且.且一!一#0,|ME|-|NE|=(4-2)?三4

6f-Jfn⑸

3tan<93tan。tan。tan。V°°'T

孚明.故答案沏卜哈功

綜上所述，|ME|-|NE|e

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)圓的切線長(zhǎng)定理和雙曲線的定義推出△△片居，耳心的內(nèi)切圓與工軸同時(shí)切

于雙曲線的右頂點(diǎn)E,并將|M目-|限用直線AB的傾斜角。表示出來(lái)是解題關(guān)鍵.

16.在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCO-AgGA中，分別為RG，耳G的中點(diǎn)，G為正方體棱上一動(dòng)點(diǎn).下

列說(shuō)法中所有正確的序號(hào)是

①G在A8上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在某個(gè)位置，使得MG與A。所成角為60;

②G在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，MG與CG所成角的最大正弦值為中；

③G在A4上運(yùn)動(dòng)且AG=§GA時(shí)，過(guò)G,M,N三點(diǎn)的平面截正方體所得多邊形的周長(zhǎng)8石+2及；

④G在CJ上運(yùn)動(dòng)時(shí)（G不與C|重合），若點(diǎn)G”,N，G在同一球面上，則該球表面積最大值24萬(wàn).

【答案】②④

【分析】通過(guò)證明平面ABC"可知AQLMG,得①錯(cuò)誤；

PC

取6中點(diǎn)P,根據(jù)sin/PMG=——可知當(dāng)MG最大時(shí)，cosNPMG最小，則sinNPMG最大，可確定當(dāng)G

MG

與A或5重合時(shí)MG最大，由此計(jì)算知②正確：

作出平面GMN截正方體所得的截面圖形，依次計(jì)算各邊長(zhǎng)可知③錯(cuò)誤；

根據(jù)四點(diǎn)共球面可知該球即為三棱錐G-GMN的外接球，由R=卜+（；C°j可知當(dāng)G與C重合時(shí)，

球的半徑最大，由此可求得④正確.

【詳解】對(duì)于①，連接.

Q45_L平面AORA，44匚平面4。。4，:.48，4。：四邊形為正方形，，A。J_AR；

乂A〃cAB=A,AA，A8u平面ABCQ,r.A。，平面ABCQ,

又MGu平面4BGA，??.AQ_LMG,即MG與A4所成角恒為90,①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，取C￡＞中點(diǎn)P,連接MP.PG,

時(shí),「分別為&。,。。中點(diǎn)，，/2/（6，又8口平面ABC。，.1MPL平面A8C。，

PG

二.MG與CG所成角即為NPMG,sinZPMG=——,當(dāng)sinNPMG最大時(shí)，cosNPMG最小，

MG

MP4

又cosZ.PMG==，.二當(dāng)MG最大時(shí)，cos4PMG最小，

MGMG

；當(dāng)6與A或B而合時(shí)，MG取得最大值，7+2?+"=6,

,sinZPMG的最小值為包包=2,②正確；

63

對(duì)于③，延長(zhǎng)交于點(diǎn)S,連接GS交。A于R：

延長(zhǎng)MMA4交于點(diǎn)T,連接GT交丁。；

則過(guò)G,",N:.點(diǎn)的平面截止方體所得多邊形即為五邊形GQNMR；

SD、D、M1SD.1D.R1

取的中點(diǎn)K,連接NK,D,M〃NK,豪:笈=>.忒=q,即*="

B.Q1

同理可得：需=￡，.??。s=用。=1；

；.GQ=GR=42+22=2后,MR=NQ=df+22=石，MN7*+12=2&，

???五邊形GQVMR的周長(zhǎng)為6石+2后，③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，若點(diǎn)G,M,N，G在同一球面上，則該球即為三棱錐G-GMV的外接球，

,GMN的外接圓半徑r=gMN=&,.?.三棱錐G-GMN外接球半徑=，

又GG的最大值為CG=4,，?皿=岳4=庭，

???該球表面積最大值為4萬(wàn)*6=24萬(wàn)，④正確.故答案為：@(4).

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的求解，涉及到線線角的求解、正方體截面問(wèn)題、

三棱錐的外接球表面積的求解問(wèn)題；求解此類問(wèn)題的基本思路是根據(jù)所求量確定最值點(diǎn)，再結(jié)合線線角、

球的表面積的求解方法確定最值.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個(gè)試題考

生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.(12分)記銳角ABC的內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為",b,c,已知—M~g)=-(A^Q.(1)求證：8=C；

cosBcosC

(2)若asinC=l,求*的最大值.

【答案】⑴見(jiàn)解析；(2)孑25.

16

【分析】(1)運(yùn)用兩角和與差正弦進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；

(2)根據(jù)(1)中結(jié)論運(yùn)用正弦定理得asinC=2RsinA±=6sinA=l,然后等量代換出』+!，再運(yùn)

2Ra~Z?

用降次公式化簡(jiǎn)，結(jié)合內(nèi)角取值范圍即可求解.

【詳解】(1)證明：由題知?jiǎng)t理，?，

cosBcosC

所以$山(/4-3)8$。=$皿/4一。)858,

所以sinAcosBcosC-cosAsin8cosC=sinAcosCcosB-cosAsinCcosB,

所以cosAsinBcosC=cosAsinCeosB

因?yàn)锳為銳角,即cosAwO,

所以sinBcosC=sinCeosB,

所以tanB=tanC,所以B=C.

(2)由(1)知：B=C,所以sin8=sinC,

因?yàn)閍sinC=l,所以L=sinC,

a

因?yàn)橛烧叶ɡ淼茫骸?2RsinA,sin8=3，

所以asinC=2Hsin=Z?sinA=1,所以』=sinA

27?b

因?yàn)锳=乃一3-C=萬(wàn)一2c,所以一=sinA=sin2C,

b

所以二+2

2=sin?C+sii?2C=>8$2c+(1_cos22Q=-COS2C--cos2C+-

ab222

rr7T

因?yàn)?ABC是銳角三角形，且6=C,所以,

42

所以—<2c<7t,所以—1<cos2c<0，

2

當(dāng)cos2c=-。時(shí)，4取最大值為號(hào)，

4a~h16

所以1最1大值為：2言5.

a2h216

18.（12分）（2022?廣東?模擬預(yù)測(cè)）近期國(guó)內(nèi)疫情反復(fù)，對(duì)我們的學(xué)習(xí)生活以及對(duì)各個(gè)行業(yè)影響都比較大，

某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司為了回籠資金，提升銷售業(yè)績(jī)，讓公司旗下的某個(gè)樓盤統(tǒng)一推出了為期10天的優(yōu)惠活

動(dòng)，負(fù)責(zé)人記錄了推出活動(dòng)以后售樓部到訪客戶的情況，根據(jù)記錄第一天到訪了12人次，第二天到訪了

22人次，第三天到訪了42人次，第四天到訪了68人次，第五天到訪了132人次，第六天到訪了202人

次，第七天到訪了392人次，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，用x表示活動(dòng)推出的天數(shù)，y表示每天來(lái)訪的人次，繪制了

以下散點(diǎn)圖.

y（人次）

i-4oo

350

V-300

i-250

y--ioo

i--i50

i-ioo

\—\50

TiOx（天）

⑴請(qǐng)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，以下兩個(gè)函數(shù)模型丫=〃+及與）；=。4,（c,d均為大于零的常數(shù)）哪一個(gè)適宜作

為人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；

⑵根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及下表中的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天售樓部來(lái)訪的

人次.

17

參考數(shù)據(jù)：其中匕=電如"=弓2匕，

/i=l

力7士匕

84

V100

i=I

1.8458.556.9

⑶已知此樓盤第一天共有10套房源進(jìn)行銷售，其中6套正價(jià)房，4套特價(jià)房，設(shè)第一天賣出的4套房中

特價(jià)房的數(shù)量為求4的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】（l）y=cd⑵R6.9X10。25，，到訪人次為690（3）分布列見(jiàn)解析，E（J=1.6

【分析】（1）觀察散點(diǎn)圖，結(jié)合散點(diǎn)圖的特征選擇合適的回歸方程類型，（2）由y=c?，取對(duì)數(shù)可得

lgy=lgc+lgJx,結(jié)合線性回歸方程求法及參考數(shù)據(jù)可求回歸方程，結(jié)合回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)；（3）由條件

確定4的可能取值，及取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可得了隨X的增大，增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，故判斷y=cw*適合作為人次y關(guān)于活動(dòng)推出

天數(shù)x的回歸方程類型.

（2）（2）由（1）知，y=cd,兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得lgy=lgc+lgd-x,令lgy=v，則v=lg〃-x+lgc

7

由題意知匕=lgy；,v=1.84,Z苦匕=58.55,

1=1

17

又元=一（1+2+3+4+5+6+7）=4,=I2+22+32+42+52+62+72=140,

7i=i

Vxv-7xv

(;58.55-7x4x1.84

所以1g4二號(hào)--------比0.25

140-7x42

i=i

所以lgc=D-lgH=1.84-0.25x4=0.84,1gy=0.84+0.25x,

則y關(guān)于x的回歸方程為y=100-84+°-25v=6.9xIO025',

當(dāng)x=8時(shí)，3=6.9x1()2=690,故預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天售樓部到訪人次為690.

(3)由題意可知J的取值可能為0,1,2,3,4.

p4=o)=冬=_L,pq=i)=2d^l=_§_,PC=2)=^^1=3,p(^=3)=^^i=—

MolJoy。'JoJJ

c41

p(^=4)=-^=—.

1210

所以4的分布列為:

01234

18341

P

14217352W

J^l^E(a=Ox—+lx—+2x-+3xA+4x—=1.6

1421735210

19.（12分）（2022?河南開(kāi)封?模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，。-0分別是圓臺(tái)上、下底的圓心，AB為圓0的

直徑，以。8為直徑在底面內(nèi)作圓E,C為圓O的直徑A8所對(duì)弧的中點(diǎn)，連接8c交圓E于點(diǎn)。，AA,,

BBX,CC,為圓臺(tái)的母線，AB=24瓦=8.

（1）證明；G。//平面084。；⑵若二面角￡-BC-。為?1T，求。Q與平面ACQ所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；（2）通.

【分析】（1）連接。區(qū)。萬(wàn)，根據(jù)圓的性質(zhì)知回BOC、ISBED都為等腰直角?:角形，進(jìn)而有。EQG為平

行四邊形，則EQJ/DG，根據(jù)線面平行的判定證明結(jié)論.

(2)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知求得00=2#,再求出OQ、面ACQ的法向量，利用空間向量

夾角的坐標(biāo)表示求線面角的正弦值.

(1)連接。C為圓0的直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，

所以回BOC為等腰直角三角形，即NOBD=45°,

乂。在圓E上，故為等腰直角三角形，

所以O(shè)E〃OC且OE=^OC,又CG是母線且?G=；oc，則06//0C,

故DE"0￡且DE=0￡,則DEO￡為平行四邊形，

所以EOJ/OC」而E?u面0叫。，。6<2面0%。，故G。//平面0陰。.

(2)由題設(shè)及(1)知：。。、OB、0C兩兩垂直，構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，

過(guò)G作C///OQ,則尸為0C的中點(diǎn)，再過(guò)尸作尸G〃O￡),連接GG,

由圓。，即GF，圓0，BCu圓0,則GFLBC,乂0DJ.3C，則尸G_LBC,

故二面角G-8C-。的平面角為NFGG=g,而FG=1OZ)="O8=0,

324

則A(0,Y,0),0(2,2,0),6(2,0,向，Q(0,0,倔,

所以A￡>=(2,6,0),C]￡>=(0,2,-#),O、D=Q2-顯),

/n-AD=2x+6y=0廠「r-

若加=（x,y,z）為面AC1。的,個(gè)法向量，則〈廠，令y=",則加=（一3而倔2）,

m.C[D=2y-娓z=0

Icos<m,OtD>l=犍_=通，故。。與平面A