旋轉(zhuǎn)中的最大值或最小值

旋轉(zhuǎn)中的最大值或最小值1.〔2008?徐州〕著圖1，一副直角三角板滿足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°

操作：將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC于點(diǎn)Q．

探究一：在旋轉(zhuǎn)過程中，

〔1〕看圖2，當(dāng)=1時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明；

〔2〕看圖3，當(dāng)=2時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

〔3〕根據(jù)對(duì)〔1〕、〔2〕的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)=m時(shí)，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為，其中m的取值范圍是．〔直接寫出結(jié)論，不必證明〕

探究二：假設(shè)=2且AC=30cm，連接PQ，設(shè)△EPQ的面積為S〔cm2〕，在旋轉(zhuǎn)過程中：

〔1〕S是否存在最大值或最小值？假設(shè)存在，求出最大值或最小值；假設(shè)不存在，說明理由．

〔2〕隨著S取不同的值，對(duì)應(yīng)△EPQ的個(gè)數(shù)有哪些變化，求出相應(yīng)S的值或取值范圍．

2.：如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14．E為AB上一點(diǎn)，BE=2，點(diǎn)F在BC邊上運(yùn)動(dòng)，以FE為一邊作菱形FEHG，使點(diǎn)H落在AD邊上，點(diǎn)G落在梯形ABCD內(nèi)或其邊上．假設(shè)BF=x，△FCG的面積為y．

〔1〕當(dāng)x=時(shí)，四邊形FEHG為正方形；

〔2〕求y與x的函數(shù)關(guān)系式；〔不要求寫出自變量的取值范圍〕

〔3〕在備用圖中分別畫出△FCG的面積取得最大值和最小值時(shí)相應(yīng)的圖形〔不要求尺規(guī)作圖，不要求寫畫法〕，并求△FCG面積的最大值和最小值；〔計(jì)算過程可簡要書寫〕

〔4〕△FOG的面積由最大值變到最小值時(shí)，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路線長為．

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A〔8，2〕，B點(diǎn)在第一象限，BO=BA=5，假設(shè)M、N是OB和OA中點(diǎn)，〔1〕直線MN的解析式為〔2〕△ABN面積=〔3〕將圖〔1〕中的△4MO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，△AB4面積是否存在最大值、最小值？假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由；假設(shè)存在請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出相應(yīng)位置的圖形，并直接寫出最大值、最小值；

〔4〕將圖〔1〕中的△NMO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)N在第二象限時(shí)，如圖〔2〕，設(shè)N〔x，y〕，△ABN的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

(第4題)

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A〔4，0〕，B〔4，4〕，C〔0，4〕，點(diǎn)F、D分別在x軸、y軸上，正方形DEFO$\\ODEF$的邊長為a〔a＜2〕，連接AC、AE、CF．〔1〕求圖中△AEC的面積，請(qǐng)直接寫出計(jì)算結(jié)果；

〔2〕將圖中正方形ODEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，S△AEC是否存在最大值、最小值？如果不存在，請(qǐng)說明理由；如果存在，在備用圖中畫出相應(yīng)位置的圖形，并直接寫出最大值、最小值；

〔3〕將圖1中正方形ODEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在第二象限時(shí)，設(shè)E〔x，y〕，△AEC的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．5.〔2006?徐州〕將兩張寬度相等的矩形紙片疊放在一起得到如下圖的四邊形ABCD．〔1〕求證：四邊形ABCD是菱形；

〔2〕如果兩張矩形紙片的長都是8，寬都是2．那么菱形ABCD的周長是否存在最大值或最小值？如果存在，請(qǐng)求出來；如果不存在，請(qǐng)簡要說明理由．

6.閱讀下面材料：

小偉遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在△ABC〔其中∠BAC是一個(gè)可以變化的角〕中，AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊△PBC，求AP的最大值．

小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合．他的方法是以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心將△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)66°得到△A′BC，連接A′A，當(dāng)點(diǎn)A落在A′C上時(shí)，此題可解〔如圖2〕．

請(qǐng)你答復(fù)：AP的最大值是．

參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決以下問題：

如圖3，等腰Rt△ABC．邊AB=4，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，那么AP+BP+CP的最小值是．〔結(jié)果可以不化簡〕

7.如圖1，矩形CEFG的一邊落在矩形ABCD的一邊上，并且矩形CEFG～CDAB，其相似比為k，連接BG、DE．

〔1〕試探究BG、DE的位置關(guān)系，并說明理由；

〔2〕將矩形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針〔或逆時(shí)針〕旋轉(zhuǎn)任意角度α，得到圖形2、圖形3，請(qǐng)你通過觀察、分析、判斷〔1〕中得到的結(jié)論是否能成立，并選取圖2證明你的判斷；

〔3〕在〔2〕中，矩形CEFG繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過程中，連接BD、BF、DF，且k=，AB=8，BC=4，△BDF的面積是否存在最大值或最小值？假設(shè)存在，求出最大值或最小值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．8.〔2008?大慶〕如圖①，四邊形AEFG和ABCD都是正方形，它們的邊長分別為a，b〔b≥2a〕，且點(diǎn)F在AD上〔以下問題的結(jié)果均可用a，b的代數(shù)式表示〕．

〔1〕求S△DBF；

〔2〕把正方形AEFG繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得圖②，求圖②中的S△DBF；

〔3〕把正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接寫出最大值、最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．9.：如圖①，正方形ABCD的邊長是a，正方形AEFG的邊長是b，且點(diǎn)F在AD上，連接DB，BF，〔以下問題的結(jié)果可用a，b表示〕．

〔1〕觀察計(jì)算：△DBF的面積S=〔2〕圖形變式：

將圖①中的正方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到圖②，其他條件不變，請(qǐng)你求出圖②中△DBF的面積S；

〔3〕探究發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)a＞2b時(shí)，假設(shè)把圖①中的正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)任意角度，在旋轉(zhuǎn)過程中，△DBF的面積S是否能到達(dá)最大值、最小值？如果能到達(dá)，請(qǐng)畫出圖形，并求出最大值、最小值；如果達(dá)不到，請(qǐng)說明理由．〔圖③可用來畫圖〕．

10.如圖1，P為正方形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)〔不與A、C重合〕，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F．

〔1〕試說明：BP=DP；

〔2〕如圖2，假設(shè)正方形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有BP=DP？假設(shè)是，請(qǐng)給予證明；假設(shè)不是，請(qǐng)畫圖用反例加以說明；

〔3〕試選取正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別與正方形PECF的兩個(gè)頂點(diǎn)連接，使得到的兩條線段在正方形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中長度始終相等，并證明你的結(jié)論；

〔4〕旋轉(zhuǎn)的過程中AP和DF的長度是否相等？假設(shè)不等，直接寫出AP：DF=；

〔5〕假設(shè)正方形ABCD的邊長是4，正方形PECF的邊長是1．把正方形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，△PBD的面積是否存在最大值、最小值？如果存在，試求出最大值、最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A〔8，2〕，B點(diǎn)在第一象限，BO=BA=5，假設(shè)M、N是OB和OA中點(diǎn)，

〔1〕直線MN的解析式為．

〔2〕△ABN面積=．

〔3〕將圖〔1〕中的△4MO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，△AB4面積是否存在最大值、最小值？假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由；假設(shè)存在請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出相應(yīng)位置的圖形，并直接寫出最大值、最小值；

〔4〕將圖〔1〕中的△NMO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)N在第二象限時(shí)，如圖〔2〕，設(shè)N〔x，y〕，△ABN的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

〔2013濰坊〕22．如圖1所示，將一個(gè)邊長為2的正方形ABCD和一個(gè)長為2、寬為1的長方形CEFD拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長方形ABEF．現(xiàn)將小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，旋轉(zhuǎn)角為a．

〔1〕當(dāng)點(diǎn)D′恰好落在EF邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角a的值；

〔2〕如圖2，G為BC中點(diǎn)，且0°＜a＜90°，求證：GD′=E′D；

〔3〕小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，△DCD′與△CBD′能否全等？假設(shè)能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角a的值；假設(shè)不能說明理由．

24．在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)G．一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B．

〔1〕在圖1中請(qǐng)你通過觀察、測量BF與CG的長度，猜測并寫出BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜測；

〔2〕當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖2所示的位置