福建省福州金山中學2022-2023學年九年級上學期月考數(shù)學試題 一（含答案解析）

福建省福州金山中學2022-2023學年九年級上學期月考數(shù)學

試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史.如圖為某對戰(zhàn)局部

棋譜，由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱的是（）

2.如圖，圓。是ABC的外接圓，連接。4、OB,且點C、。在弦A8的同側，若

NA80=50。，則/AC8的度數(shù)為（）

A.50°B.45°C.30°D.40°

3.用反證法證明時，假設結論“點在圓外'‘不成立，那么點與圓的位置關系只能是（）

A.點在圓內B.點在圓上C.點在圓中D.點在圓上或圓

內

4.對于拋物線y=2/+4,以下說法正確的是（）

A.圖象關于y軸對稱

B.頂點坐標為（-2,4）

C.將原拋物線向左平移兩個，再向上平移三個單位長度得到拋物線y=2（x-2）2+7

D.當尤＜0時，y隨x的增大而增大

5.如圖，在中，ZACB=90°,NBAC=25°,以C為旋轉中心逆時針旋轉后得

到.OEC,且點B在邊ED上,則旋轉角的度數(shù)為（）

EB

D

A.65°B.60°C.50°D.40°

6.簡車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖1,筒車盛水桶的運行軌道是以軸

心O為圓心的圓，如圖2.已知圓心。在水面上方，且圓O被水面截得的弦AB長為6

米,半徑長為4米.若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（）

A.1米B.（4一77）米C.2米D.（4+療）米

7.某商場銷售的某種商品每件的標價是80元，若按標價的八折銷售，仍可盈利24元，

市場調查發(fā)現(xiàn)：在以標價打八折為銷售價的基礎上，該種商品每星期可賣出220件，該

種商品每降價1元，每星期可多賣20件.設每件商品降價x元（x為整數(shù)），每星期的

利潤為y元.以下說法錯誤的是（）

A.每件商品進價為40元

B.降價后每件商品售價為（64-力元

C.降價后每周可賣（220+20x）件

D.每星期的利潤為y=（84-司（220+20y）

8.如圖，A是O外一點，AB,AC分別與圓O相切于B,C,P是BC上任意一點,

過點P作。的切線，交AB于點M,交AC于點M若。的半徑為4,Zfi4C=60°,

則..AAW的周長為（）

B

試卷第2頁，共6頁

A.4百B.8C.873D.12

9.已知。。的半徑為2,弦A3、AC長分別為2應和26,則NB4C的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.15?；?5°D.30°或45°

10.已知二次函數(shù)），=-產(chǎn)+"+。，當x<0時，函數(shù)的最大值為2,當xNO時，函數(shù)

的最大值為1.若點A（4，y“），B（xB,yB）,%在該二次函數(shù)圖象上，且乙+》8<-2,

則力,力的大小關系是（）

A.B.以>%C.%=%D.<yB

二、填空題

11.若點A（-2,3）與點B關于原點對稱，則點B坐標為

12.如圖，A,B,C,。四點都在O上，則圖中一定和相等的角是

13.在平面直角坐標系xO.y中，已知拋物線y=2（x-l）2的頂點為A,與y軸交于點B,

則AO8外接圓的半徑為.

14.如圖，將△ABC繞點C逆時針旋轉得到△A'BC,其中點4與A是對應點，點與

B是對應點，點9落在邊AC上，連接48,若NACB=45。，AC=3,BC=2,則48的

長為一.

15.已知圓內接正方形邊長為2,則該圓外切等邊三角形的邊長為.

16.如圖，等邊三角形ABC的邊長為4,C的半徑為由，P為AB邊上一動點，過點

P作C的切線PQ,切點為。，則PQ的最小值為.

三、解答題

17.解方程：x2-4x-1=0.

18.如圖，在RIZXA8C中，ZC=90°,AO平分284C交8C于點O,以。為圓心，OC

為半徑作半圓O.求證：直線AB與半圓O相切.

19.已知圓錐側面展開圖的扇形圓心角為120。，弧長為2乃.

(1)求該圓錐的母線長和底面圓半徑；

(2)求該圓錐的全面積.

20.如圖，將；ABC繞點A順時針旋轉60。得到VA￡)E,點B的對應點為D

(1)作出旋轉后的圖形(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡)；

(2)連接CE,若NCED=60。，請判斷直線BC是否經(jīng)過點E,并說明理由.

21.如圖，A8是半圓O的直徑，點C在半圓外，AC,BC與半圓交于。點和E點,

連接DE.

試卷第4頁，共6頁

C

D.

(1)若CE=DE,求證：點E為3c中點；

⑵在(1)的條件下，連接80,若AB=10,BC=2>/10,求80的長.

22.如圖，有長為30m的籬笆，一面利用墻(墻的最大可用長度為9m)圍成中間隔有

一道籬笆的長方形養(yǎng)雞場，設養(yǎng)雞場的寬為初，面積為)，m.

9m

B'--------------1c

(1)求y與x的函數(shù)關系及自變量x的取值范圍；

(2)求養(yǎng)雞場面積的最大值.

23.定義：有一組對角互余的凸四邊形叫做對余四邊形.

理解：(1)①若四邊形ABC。是對余四邊形，ZA=130。，則/C=；

②若四邊形ABC。是對余四邊形，則NA與NC的度數(shù)之和為；

證明：(2)如圖1,MN是半圓0的直徑，點A,B,C在半圓。上，CN,40相交于

點D.

求證：四邊形43co是對余四邊形；

探究：(3)如圖2,在對余四邊形ABC。中，AB=BC,ZABC=60°,探究線段A￡),CD

和8。之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出猜想，并說明理由.

圖2

24.(1)問題：如圖1,在。。中，A3=4C,點尸在弧上，村_1尸。于用，求證:

PB+PM=CM；

(2)運用：如圖2,AB.PC為。。的弦，且PC_LAB于M,過4點的切線AE〃8C,

PM=3,CM=8,求A8的長.

圖I

25.已知拋物線y=x■：2+bx+c.

(1)當拋物線對稱軸為y軸，且經(jīng)過點(-2,1)時，求拋物線解析式；

(2)已知直線y=x-2與該拋物線交于A,B兩點.

①當線段AB被x軸平分時，求匕的值；

②若拋物線y=V+/w+c與x軸相交，且當x<-1時，y隨x的增大而減小，一AO8的面

積為2,求c的取值范圍.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷.把一個圖形繞某一點旋轉180度，如果旋轉后的圖

形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

【詳解】解：選項B、C、D的圖形都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180度

后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形.

選項A的圖形能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180度后與原來的圖形重合，所

以是中心對稱圖形.

故選：A.

【點睛】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自

身重合.

2.D

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質得出NAOB=80。，再根據(jù)圓周角定理，即可解答.

【詳解】解：：04=08,

二ZABO=ABAO=5Q°,

：.ZAOB=180°-50°x2=80°,

/.ZACB=izL40B=ix80°=40°.

22

故選：D.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，圓周角定理，解題的關鍵是掌握等邊對等角，

同弧所對的圓周角是圓心角的一半.

3.D

【分析】根據(jù)反證法定義：先假設命題結論不成立，然后經(jīng)過推理，得出矛盾的結果，最后

斷言結論一定成立，這樣的證明方法叫做反證法；據(jù)此即可求解.

【詳解】解：假設結論“點在圓外”不成立，

???點在圓上或圓內；

故選：D.

【點睛】本題考查了反證法的定義，理解定義是解題的關鍵.

4.A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式結合二次函數(shù)的性質以及平移的規(guī)律，即可得出結論.

答案第1頁，共20頁

【詳解】解：A、二次函數(shù)）=依2+加+。（。片0）,當8=0時，對稱軸x=-^=0,故圖象

關于y軸對稱，故A正確；

B、x=-^--0,y="；b=4x：；0=4,故頂點坐標為（0,4）,故B錯誤；

C、將原拋物線向左平移兩個，再向上平移三個單位長度得到拋物線得到

y=2（x+2）-+4+3=2（x+2）-+7,故C錯誤；

D、.y=2x?+4,

???開口向上，對稱軸為直線x=0（y軸），

???當x<0時，y隨X的增大而減小，故D錯誤.

故選:A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)的對稱軸、頂點、圖像平移、增減性，根據(jù)

二次函數(shù)的性質和平移的規(guī)律逐一對照四個選項即可得出結論.

5.C

【分析】直接利用旋轉的性質得出EC=8C,進而利用三角形內角和定理得出

AE=ZABC=65°,即可得出ZECB的度數(shù)，得出答案即可.

【詳解】解：以點C為旋轉中心，將，ABC旋轉到，）EC的位置，點B在邊上，

:.EC=BC,NE=ZABC,

即ZEBC=ZE=ZABC,

ZACB=90°,ZA=25°,

/.ZABC=65°,

NEBC=NE=65。,

ZECB=180°-65°-65°=50°,

???則旋轉角的度數(shù)是50°.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了旋轉的性質以及三角形內角和定理，得出N￡BC=NE=WC是解題

的關鍵.

6.B

【分析】連接OC交A8于。，連接。4,根據(jù)垂徑定理得到=根據(jù)勾股定理求出

OD,結合圖形計算，得到答案.

答案第2頁，共20頁

【詳解】解：如圖2,連接OC交A8于。，連接。4,

圖2

點C為運行軌道的最低點，

:.OCLAB,

AD=-AB=3（米），

2

在RtZXOAD中，ODKO從-AD?="2-32=日（米），

???點C到弦AB所在直線的距離CO=0C-0。=（4-近）米，

故選：B.,

【點睛】本題考查的是垂徑定理的應用，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對

的兩條弧是解題的關鍵.

7.D

【分析】設商品進價為。元，根據(jù)“按標價的八折銷售，仍可盈利24元”，列出方程求出商

品進價，即可逐個進行判斷.

【詳解】解：A、設商品進價為。元，

80x0.8-4=24,

解得：6（=40,

，每件商品進價為40元，故A正確，不符合題意；

B、降價后每件商品售價為（64-x）元，故B正確，不符合題意；

C、降價后每周可賣（220+20力件，故C正確，不符合題意；

D、每星期的利潤為y=（64-x）（220+20x）,故D錯誤，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，二次函數(shù)的實際應用，解題的關鍵是求

出商品進價，根據(jù)題意，找出等量關系.

8.C

答案第3頁，共20頁

【分析】連接0C,證明BAfigRrACO（〃L）,得到N8AO=30。，從而求得。4的值,

再利用切線的性質得到08,4?，則利用勾股定理計算A3的長，再根據(jù)切線長定理得到

AB=AC,MB=MP,NC=NP,然后利用等線段代換求得..AMV的周長.

【詳解】解：連接。C，

AB,AC分別與。切于點8、C,

：.AB^AC,OB1AB,OC1AC,

在用,430和吊ACO中，

fAB=AC

[AO=AO>

：.RtABO^RtACO（HL）,

ZBAO=ZCAO=-ABAC=30°,

2

40=230=8,

在RfA03中，AB=\IOA2-OB2=>/82-42=4X/3>

與（。相切于點P,

:.MB=MP,NC=NP,

.'.CAMN=AM+MN+AN

=AM+MP+NP+AN

=AM+BM+NC+AN

=AB+AC

=2AB

=2x46

=86，

故選：C.

M

B

答案第4頁，共20頁

【點睛】本題考查切線的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、切線長定理，熟練掌

握切線的性質是解題的關鍵.

9.C

【分析】根據(jù)圓的軸對稱性知有兩種情況：兩弦在圓心的一側和兩弦在圓心的兩側，再根據(jù)

垂徑定理，含30度角的直角三角形的性質和等腰直角三角形的判定和性質解答即可.

【詳解】解：過點。作OE1AC于E,于D,

分類討論：當兩弦在圓心的同一側，如圖，

**.OA=2,AE=-AC=\/3,AD=—AB=\[2,

22

?*-OE=y/o^-AE2=bOD=>JOA2-AD2

A=OD=AD,

2

AZtME=30°,ZOAD=45°,

:.ABAC=ZOAD-ZOAE=15°；

當兩弦在圓心的兩側，如圖，

D

：.OA=2fAE=-AC=43tAD=-AB=>/2f

???OE=do4—AE2=1，OD=do尺一AD?=叵'

：.OE=-OAOD=AD,

29

：.ZOAE=30°fZOAD=45°,

:.ABAC=ZOAD+ZOAE=75°.

答案第5頁，共20頁

N54C的度數(shù)為15?；?5。.

故選C.

【點睛】本題考查垂徑定理，含30度角的直角三角形的性質，等腰直角三角形的判定和性

質.利用分類討論的思想并正確的畫出圖形和作出輔助線是解題關鍵.

10.A

【分析】根據(jù)題意得出，對稱軸為直線x=-l,根據(jù)已知不等式得出-1-進

而即可求解.

【詳解】根據(jù)題意可得，拋物線開口向下，頂點縱坐標為2,與y軸的交點為（0,1）,

大致圖象如圖所示，

將（0,1）代入得，1=2-人2

解得：九=1（負值舍去）

，拋物線對稱軸為直線x=-l,

???/</，則點A在店B的左側,

<-2,

+1<—1—X/j,

即XA-㈠）<7-，

答案第6頁，共20頁

即點A,B位于4_1兩側，且點A到對稱軸的距離大于點B到對稱軸的距離，

則％<%，

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.

11.（2,-3）

【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特征，即可解答.

【詳解】解：???點4（-2,3）與點8關于原點對稱，

.??點8坐標為（2,-3）,

故答案為：（2,-3）.

【點睛】本題主要考查了關于原點對稱點的坐標特征，解題的關鍵是掌握關于原點對稱的點

橫坐標和縱坐標都互為相反數(shù).

12.NADC

【分析】可求N4BC+ZADC=180。，ZABE+ZABC=,據(jù)此即可求解.

【詳解】解：由題意得

四邊形A8CD是。內接四邊形，

ZABC+ZADC=\80°,

ZABE+ZABC=\SO0,

：.ZABE^ZADC；

故答案：^ADC.

【點睛】本題考查了圓的內接四邊形的性質，掌握性質是解題的關鍵.

13.電工下

22

【分析】可求4（1,0）,5（0,2）,從而可求A8=逐，取AB的中點C,則C為.QA8外接圓

的圓心，即可求解.

【詳解】解：由y=2（x-l『得

A（l,0）,

當x=0時,

答案第7頁，共20頁

y=2(0-l)2=2,

.?.8(0,2),

AB=《O4+OB?

=7^77

=石',

如圖，

0A5是直角三角形，

???取A3的中點C,貝DC為04B外接圓的圓心，

r.OC=—AB=—―，

22

，半徑為立；

2

故答案為：立.

2

【點睛】本題考查了拋物線與坐標軸的交點坐標，勾股定理，直角三角形的性質，三角形外

接圓，理解外接圓的圓心，掌握解法及性質是解題的關鍵.

14.V13

【分析】由旋轉的性質可得AC=A,C=3,NACB=NAC4=45°,可得N4CB=90°,由

勾股定理可求解.

【詳解】解：???將AABC繞點C逆時針旋轉得到△/1'B'C,

，AC=A'C=3,/ACB=/ACA'=45°

/A'CB=90°

ylBC2+A'C2=V13

答案第8頁，共20頁

故答案為布

【點睛】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，熟練掌握旋轉的性質是本題的關鍵.

15.2限

【分析】如圖，作輔助線；根據(jù)勾股定理首先求出EG的長度，進而得到E。的長度；根據(jù)

直角三角形的邊角關系求出AE的長度，即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接GE、0A-,由題意得EG為直徑，GE必過點

B

A8C為二。的外切正三角形，

OE1AB,^OAE=ZOAH=1x60°=30°；

四邊形EFG”為。的內接正方形，

:,EF=FG=2,ZEFG=90P,

由勾股定理得：EG2=EF-+FG1=8,

:.EG=242,EO=&;

在直角△AOE中，

OE

tan30°=—,

AE

AE=^-x2=x/6；同理可求BE=后，

AB=25/6,

故答案為：2晚.

【點睛】本題考查了圓的內接正方形、外切正三角形的相關性質、勾股定理，靈活運用這些

知識點是解決問題的關鍵.

16.3

【分析】連接OC和PC,利用切線的性質得到CQ_LP。，可得當CP最小時，PQ最小，此

時再求出CP,利用勾股定理求出PQ即可.

答案第9頁，共20頁

【詳解】解：連接QC和PC,

和圓c相切，

：.CQ±PQ,即△CP。始終為直角三角形，CQ為定值,

當CP最小時，PQ最小，

???△A8C是等邊三角形，

.?.當CP_LA8時，CP最小,此時CPJ_AB,

?.?A8=BC=4C=4,

：.AP=BP=2,

?*-CP=VAC2-AP-=26，

?圓C的半徑CQ=V5，

^PQ=yjCP2-CQ2=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了切線的性質，等邊三角形的性質，以及勾股定理.此題難度適中，注意

掌握輔助線的作法，注意得到當PCLA2時，線段PQ最短是關鍵.

17.%=2+>/5,X,—2-^5

【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后,

再開方即可得.

【詳解】解：?l-4x-l=0,

x2-4x=1,

:.x2-4x+4=l+4,

.?.(x-2)2=5,

x—2=>

答案第10頁，共20頁

X1-2+5/5，Xj—2—5/5.

【點睛】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接開平方法、配方

法、公式法、因式分解法，解題的關鍵是根據(jù)方程的特點選擇合適、簡便的方法求解.

18.見詳解

【分析】作交AB于。，可證8=OC,即可求證.

【詳解】解：如圖，作交A8于。，

ZACB=90°,

：.AC1BC,

A。平分N8AC,

0D=0C,

OC是。的半徑，

.?.8是。的半徑，

二直線A8與半圓0相切.

【點睛】本題考查了用圓的切線的判定，“作垂直，證半徑”，角平分線的性質定理，掌握定

理及證法是解題的關鍵.

19.（1）3,1

⑵4萬

【分析】（1）設底面半徑為r,母線長為R,則底面周長為2萬廠，由圓錐的側面展開圖扇形

的弧長等于圓錐底面圓的周長，可得2萬廠=2乃，即，:1,再由圓錐的側面展開圖扇形的半

徑等于圓錐的母線長，可得2萬==等，即可求解；

1ot）

（2）根據(jù)圓錐的全面積等于側面展開圖的扇形的面積加上底面圓的面積，利用扇形的面積

公式和圓的面積公式計算即可.

答案第II頁，共20頁

【詳解】(1)解：設底面半徑為r,母線長為R,則底面周長為2仃,

???圓錐的側面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，

??2兀r=27T，

r=1,

?.?圓錐的側面展開圖扇形的半徑等于圓錐的母線長,

.?.2萬=坦*

180

R=3；

(2)解：由(1)可得，R=3,r=l,

2

?c_c_120X^-X32_

??s網(wǎng)錐=S扇形+S底面圓=—+%'X1=4"?

【點睛】本題考查圓錐的側面展開圖、扇形的面積公式及弧長公式，熟練掌握扇形面積公式

和弧長公式是解題的關鍵.

20.(1)作圖見解析

(2)直線經(jīng)過點E,理由見解析

【分析】(1)分別以點A、8為圓心，AB為半徑畫弧交于點。，分別以A、C為圓心，AC

為半徑畫弧交于點E,再連接4、D、E即可求解；

(2)由旋轉的性質可得AE=AC,NE4C=60。，^ACB^^AED,可得△AEC是等邊三

角形，從而求得NAEC=NACE=60。，再由NCED=60°,可得NAC8=NAE?=120。，再由

ZACE+ZACB=\80°,可證點E、C、B在一條直線上，即可得出結論.

【詳解】(1)解：如圖，VADE即所求；

A

(2)解：由旋轉的性質可得，AE^AC,NE4C=60。，/\ACB^/\AED,

/.△AEC是等邊三角形，

，ZAEC=ZACE=ZE4C=60°,

'：NCE￡>=60°,

答案第12頁，共20頁

ZA￡3=120。，

，ZACB=ZAED=nO0,

，ZACE+ZACB=60°+120°=180°,

...點E、C、B在一條直線上，

二直線BC經(jīng)過點E.

【點睛】本題考查作圖-旋轉變換、旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質，熟練掌握旋轉

的性質是解題的關鍵.

21.⑴見詳解

⑵6

【分析】（1）連接AE、BE、DE,可證N84￡+/4B￡=90°,NCDE+NBDE=90。,

ZBAE=ZBDE,從而可證=再證AB=AC,即可求證；

（2）可求AE=jAB2-BE2=3而由=即可求解.

【詳解】（1）證明：連接AE、BD、DE,

AB是半圓。的直徑，

ZAEB=90°,

:.ZBDC=90°,

ZR4￡+ZAB￡=90°,

:.NCDE+NBDE=90。,

BE=BE，

:.ZBAE=ZBDE,

答案第13頁，共20頁

；.ZABE=NCDE,

CE=DE,

.?.NC=NCDE,

:.ZC=ZABE,

：.AB=ACf

???點E為5C中點.

(2)解：

由(1)得，BE=-BC=y/lQ,

2

AC=AB=\O,

ZAEB=90°

AE=[AB2-BE。

=Ji02TMy=3回,

4?是半圓。的直徑，

：.ZADB=90°,

ADVAC,

:.-ACBD=-BCAE,

22

.-.-xl0BD=-x2>/i0x3Vi0,

22

：.BD=6.

【點睛】本題主要考查了圓的基本性質，勾股定理，等腰三角形的判定及性質，掌握性質是

解題的關鍵.

22.(l)y=-3x2+30x(74x<10)

(2)養(yǎng)雞場面積的最大值為63m2.

【分析】(1)由題意可求出3c=(30-3x)m,則可求出養(yǎng)雞場的面積為

答案第14頁，共20頁

Afi-BC=（-3x2+30x）m2.再根據(jù)墻的最大可用長度為9m,且BC>Om,即可求出x的取

值范圍；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質求出y的最大值即可.

【詳解】（1）解：:?養(yǎng)雞場的寬A8為“n,

Z.養(yǎng)雞場的長3c=（30-3x）m,

養(yǎng)雞場的面積為ABBC=x（30-3x）=（-3x2+30A）m2.

???墻的最大可用長度為9m,

A0m<BC<9m,即0<30-3x49,

解得：7<x<10,

y=-3x2+30x（7<x<10）；

（2）解：y=-3f+30x=-3（x-5）2+75,

V-3<0,

該二次函數(shù)圖象開口向上.

???該二次函數(shù)對稱軸為直線x=5,

.?.當7Mx<10時，y隨x的增大而減小，

.?.當x=7時，y最大，此時y01ax=-3（7—5）2+75=63,

/.養(yǎng)雞場面積的最大值為63m2.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應用，一元一次不等式組的實際應用.理解題意，找出等

量關系，正確列出等式和熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題關鍵.

23.（1）①140。；②90?；?70。；（2）見解析；（3）AD2+CD2=BD2,理由見解析.

【分析】（1）①由對余四邊形的定義可得出NA+NC=90?；?3+/D=90。，再根據(jù)

ZA=130°>90°,即得出NA+/C=270°,從而得出NC=14O。；②由①可直接得出答案；

（2）連接根據(jù)圓周角定理可得出NBQV=2N3CN,NBOM=2ZBAM.再根據(jù)

NBON+/BOM=180。,即可求出/BAD+/BCD=90。，即證明四邊形A8CD是對余四邊

形；

（3）根據(jù)對余四邊形的定義結合題意可求出Z4DC=30。.將△BCD繞點8逆時針旋轉60。，

得到△BAR,連接ED,即得出ZF8O=60。，BF=BD,AF=CD,ZBDC=ZBFA,從而

可證△WT）是等邊三角形，得出BF=BD=DF.又可求出/BE4+NAD8=30。，結合

答案第15頁，共20頁

ZFBD+ABFA+ZADB+ZAFD+ZADF=180°,可求出NA/D+ZA￡>F=90°,即440=90。,

最后根據(jù)勾股定理證明即可.

【詳解】解：（1）①；四邊形ABCD是對余四邊形，

NA+NC=90?；颉?"=90°.

z64=130°>90°,

,ZB+ZD=9Q°,ZA+ZC=360°-90°=270°,

zc=140°.

故答案為：140。；

②由①可知ZA+NC=90°或NA+NC=270。.

答案為：90?；?70。；

（2）證明：連接。B,如圖，

ZBON=2NBCN,NBOM=2ZBAM.

,/NBON+ZBOM=180°,

二ZBAM+NBCN=90°,即ZBAD+NBCD=90°,

二四邊形49co是對余四邊形；

（3）解：AD-+CD1=BD-,理由如下：

:對余四邊形A8CO中，ZABC=60°,

：.ZADC=30°.

將△38繞點B逆時針旋轉60。，得到△BAF,連接FO,如圖,

:._BCgjBAF,ZFBD=60°,

:.BF=BD,AF=CD,NBDC=NBFA,

答案第16頁，共20頁

，是等邊三角形，

，BF=BD=DF.

'：ZADC=30°,

：.ZADB+NBDC=30°,

：.ZBFA+ZADB^30°.

'：AFBD+ZBFA+ZADB+ZAFD+ZADF=180°,

，60°+30°+ZAFD+ZADF=180°,

ZAFD+ZADF=90°,

：.ZE4￡>=90°,

,AD2+AF-=DF2，

/?AD1+CD1=BDr.

【點睛】本題考查四邊形內角和，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質，勾股定理等知識.讀

懂題意，理解對余四邊形的定義是解題關鍵.

24.（1）見解析；（2）AB=IO

【分析】（1）過點A作交8P延長線于點O,由圓周角定理及等腰三角形的性質可

得=證明Ar>Pg-AMP（AAS）,再利用全等三角形的判定與性質可得結論;

（2）連接A。并延長交BC于點。，連接4C,由切線的性質及等腰三角形的性質可得

AB=AC,證明,PAMsBCM,得出=,設AM利用勾股定

理聯(lián)立方程，解方程組即可求解.

【詳解】（1）證明：過點A作相>，8尸交8尸延長線于點。，

AMA.PC,

:.ZADP=ZAMP=9O°,

AC=AC'

\?APC2ABC,

答案第17頁，共20頁

AB=AC,

:.ZABC=ZACB,

:.ZAPC=ZACB,

ZAPB+ZAPD=180°,ZACB+ZAPB=180°,

:.ZAPD=ZACB,

:.ZAPD=ZAPC,

在△AZ?和二AWP中，

ZADP=ZAMP

<ZAPM=NAPD,

AP=AP

ADP^,AMP(AAS),

:.PM=PD,AD=AM9

在RtAOP和RtA也「中，

jAD=AM

[AB=AC'

...RtADB^RtAMC(HL),

:.BD=CM,

:.CM=BP+PD=BP+PM