概率與抽樣分布

關(guān)于概率與抽樣分布Section3.1

RandomVariables

隨機(jī)變量第2頁,共58頁，2024年2月25日，星期天

事件的實(shí)際發(fā)生率稱為頻率。設(shè)在相同條件下，獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A出現(xiàn)f次，則事件A出現(xiàn)的頻率為f/n。

概率：隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，用大寫的P表示；取值[0，1]。一、頻率與概率frequencyandprobability第3頁,共58頁，2024年2月25日，星期天

1.樣本頻率總是圍繞概率上下波動(dòng)

2.樣本含量n越大，波動(dòng)幅度越小，頻率越接近概率。頻率與概率的關(guān)系：調(diào)查株數(shù)(n)52550100200500100015002000受害株數(shù)(a)212153372177351525704棉株受害頻率(a/n)0.400.480.300.330.360.3540.3510.3500.352表在相同條件下盲蝽象在某棉田危害程度的調(diào)查結(jié)果一、頻率與概率frequencyandprobability第4頁,共58頁，2024年2月25日，星期天一、頻率與概率frequencyandprobability

小概率原理若事件A發(fā)生的概率較小，如小于0.05或0.01，則認(rèn)為事件A在一次試驗(yàn)中不太可能發(fā)生，這稱為小概率事件實(shí)際不可能性原理，簡(jiǎn)稱小概率原理。這里的0.05或0.01稱為小概率標(biāo)準(zhǔn)，農(nóng)業(yè)試驗(yàn)研究中通常使用這兩個(gè)小概率標(biāo)準(zhǔn)。第5頁,共58頁，2024年2月25日，星期天二、隨機(jī)變量用以記錄隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果(outcome)的變量，稱為隨機(jī)變量(randomvariable)，用大寫英文字母X,Y等代表。隨機(jī)變量X的概率分布，表達(dá)X的可能取值和取這些值的概率規(guī)則。第6頁,共58頁，2024年2月25日，星期天離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的可能取值是離散的數(shù)字，如計(jì)數(shù)型或分類型等，稱為離散型隨機(jī)變量(discreterandomvariable)。{0,1,…,9}。20次實(shí)驗(yàn)中成功的次數(shù)，二項(xiàng)式分布。隨機(jī)變量的可能取值是某一實(shí)數(shù)的區(qū)間，如“大于0”或“-2~2之間”等，稱為連續(xù)型隨機(jī)變量(continuousrandomvariable)。正態(tài)隨機(jī)變量二、隨機(jī)變量第7頁,共58頁，2024年2月25日，星期天三、離散型隨機(jī)變量的概率分布X=xix1，x2

，…

，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…

，pn列出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值列出隨機(jī)變量取這些值的概率通常用下面的表格來表示P(X=xi)=pi稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)第8頁,共58頁，2024年2月25日，星期天四、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度若觀察資料數(shù)量夠大，則直方圖(組數(shù)適當(dāng)增加)的整體形態(tài)可用一近似的平滑曲線顯示。直方圖中縱軸改為次數(shù)比例，則該平滑曲線稱為密度曲線(densitycurve)。第9頁,共58頁，2024年2月25日，星期天概率密度曲線第10頁,共58頁，2024年2月25日，星期天密度曲線的性質(zhì)曲線都在水平線上(密度函數(shù)>=0)。曲線下所涵蓋的全部面積正好為1(所有可能性為1)。曲線下任何范圍所涵蓋的面積，為觀察值落在該范圍的比例(概率)。密度曲線可視為是觀察變量的理論分布圖形。

四、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度第11頁,共58頁，2024年2月25日，星期天隨機(jī)變量X的一切可能取值的完備組中，各可能取值xi與其相對(duì)應(yīng)的概率pi乘積之和描述隨機(jī)變量取值的集中程度計(jì)算公式為五、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望第12頁,共58頁，2024年2月25日，星期天隨機(jī)變量X的每一個(gè)取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為D(X)描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度計(jì)算公式為六、隨機(jī)變量的方差第13頁,共58頁，2024年2月25日，星期天Section3.2

TheBinomialDistributions

二項(xiàng)分布第14頁,共58頁，2024年2月25日，星期天一、二項(xiàng)分布設(shè)定

TheBinomialSetting固定的觀察次數(shù)n。n次的觀察都獨(dú)立，每次的觀察都不會(huì)對(duì)其他觀察提供任何信息。每次的觀察都只有兩種可能的結(jié)果，多假設(shè)為“成功”或“失敗”兩種。每次的觀察“成功”的概率都一樣，設(shè)定為p。第15頁,共58頁，2024年2月25日，星期天二、二項(xiàng)分布

BinomialDistribution滿足二項(xiàng)分布設(shè)定的試驗(yàn)，以X記錄n次觀察中“成功”的次數(shù)，則稱X的分布為參數(shù)為n與p的二項(xiàng)分布(binomial)，記為B(n,p)。X的所有可能取值為{0,1,…,n}。對(duì)應(yīng)的概率函數(shù)為P(X=x)=P(x)。第16頁,共58頁，2024年2月25日，星期天[例1]某種昆蟲在某地區(qū)的死亡率為40%，即p=0.4，現(xiàn)對(duì)這種害蟲用一種新藥進(jìn)行治療試驗(yàn)，每次抽樣10頭作為一組治療。試問如新藥無療效，則在10頭中死3頭、2頭、1頭，以及全部愈好的概率為多少？按上述二項(xiàng)分布概率函數(shù)式計(jì)算

7頭愈好，3頭死去概率：8頭愈好，2頭死去概率：9頭愈好，1頭死去概率：10頭全部愈好的概率：三、示例第17頁,共58頁，2024年2月25日，星期天

若問10頭中不超過2頭死去的概率為多少？則應(yīng)該應(yīng)用累積函數(shù)，即三、示例第18頁,共58頁，2024年2月25日，星期天四、二項(xiàng)分布的期望值與標(biāo)準(zhǔn)差期望值：E(X)=np方差： Var(X)=np(1-p)標(biāo)準(zhǔn)差：第19頁,共58頁，2024年2月25日，星期天Section3.3

NormalDistributions

正態(tài)分布第20頁,共58頁，2024年2月25日，星期天一、特點(diǎn)正態(tài)曲線所有正態(tài)曲線都有相同的外型具有對(duì)稱、單峰及鐘形的特性。正態(tài)曲線所代表的分布即為正態(tài)分布(normaldistribution)每一正態(tài)分布都有其平均值μ

與標(biāo)準(zhǔn)差σ

第21頁,共58頁，2024年2月25日，星期天ms一、特點(diǎn)第22頁,共58頁，2024年2月25日，星期天正態(tài)曲線σ較大ms一、特點(diǎn)第23頁,共58頁，2024年2月25日，星期天正態(tài)曲線的拐點(diǎn)拐點(diǎn)落在一個(gè)σ處拐點(diǎn)落在-σ處一、特點(diǎn)第24頁,共58頁，2024年2月25日，星期天二、為什么這么重要Gooddescriptionsforsomedistributionsofrealdata身高,體重,考試成績(jī)GoodapproximationstotheresultsofmanykindsofchanceoutcomesTossingacoinmanytimesManystatisticalinferenceproceduresarebasedonnormaldistributions第25頁,共58頁，2024年2月25日，星期天三、68-95-99.7規(guī)則正態(tài)分布有其特定的數(shù)據(jù)分布規(guī)則：平均值為μ,標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布68%的觀察資料落在m的1σ之內(nèi)95%的觀察資料落在m的2σ之內(nèi)99.7%的觀察資料落在m的3σ之內(nèi)第26頁,共58頁，2024年2月25日，星期天0123-1-2-3mm+sm+2sm+3sm-sm-2sm-3s68%的資料95%的資料99.7%的資料三、68-95-99.7規(guī)則第27頁,共58頁，2024年2月25日，星期天四、變量標(biāo)準(zhǔn)化(Standardization)令觀察值x服從平均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的分布，則x的標(biāo)準(zhǔn)化值(standardizedvalue)定義為標(biāo)準(zhǔn)化值又稱為z-值(z-score)。第28頁,共58頁，2024年2月25日，星期天標(biāo)準(zhǔn)化變量可以證明z的平均值為0z的標(biāo)準(zhǔn)差為1

四、變量標(biāo)準(zhǔn)化(Standardization)第29頁,共58頁，2024年2月25日，星期天五、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量X服從平均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布，簡(jiǎn)記為X~N(μ,σ2)。X經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后為Z(=(X-μ)/s)，則Z也服從正態(tài)分布，并且平均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1，即Z~N(0,1)。我們稱Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)(standardnormal)。第30頁,共58頁，2024年2月25日，星期天六、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表z表列數(shù)字是z左邊的面積z=-0.44z左邊的面積為0.33-0.440.33第31頁,共58頁，2024年2月25日，星期天z表列數(shù)字是z左邊的面積z=0.44z左邊的面積為0.67六、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表第32頁,共58頁，2024年2月25日，星期天七、雙側(cè)臨界值在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線圖下，右方與左方的面積和為a,則稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率為a

的雙側(cè)臨界值?？刹楸?。m=0面積為a/2面積為a/2第33頁,共58頁，2024年2月25日，星期天八、單側(cè)臨界值在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線圖下，右方的面積為a,則稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率為a

的單側(cè)臨界值。可查表。m=0面積為a第34頁,共58頁，2024年2月25日，星期天

[例2]假定y是一隨機(jī)變數(shù)具有正態(tài)分布，平均數(shù)

=30，標(biāo)準(zhǔn)差=5，試計(jì)算小于26，小于40的概率，介乎26和40區(qū)間的概率以及大于40的概率。首先計(jì)算：先將x轉(zhuǎn)換為u值

九、計(jì)算第35頁,共58頁，2024年2月25日，星期天同理可得：

FN(40)=0.9773

所以：P(26＜x≤40)=FN(40)－FN(26)=0.9773－0.2119=0.7654

P(x＞40)=1－P(x≤40)=1－0.9773=0.0227

查附表，當(dāng)u=－0.8時(shí)，F(xiàn)N(26)=0.2119，說明這一分布從－∞到26范圍內(nèi)的變量數(shù)占全部變量數(shù)的21.19%，或者說，x≤26概率為0.2119.九、計(jì)算第36頁,共58頁，2024年2月25日，星期天[例3]在應(yīng)用正態(tài)分布時(shí)，經(jīng)常要討論隨機(jī)變數(shù)x離其平均數(shù)的差數(shù)大于或小于若干個(gè)值的概率。例如計(jì)算離均差絕對(duì)值等于小于和等于大于1

的概率為：也可以簡(jiǎn)寫為

九、計(jì)算第37頁,共58頁，2024年2月25日，星期天

相應(yīng)地，離均差絕對(duì)值等于小于2

、等于大于2

、等于小于3

和等于大于3

的概率值為：九、計(jì)算第38頁,共58頁，2024年2月25日，星期天[例4]計(jì)算正態(tài)分布曲線的中間概率為0.99時(shí)，其y或u值應(yīng)等于多少？

因?yàn)檎龖B(tài)分布是對(duì)稱的，故在曲線左邊從－∞到－

u的概率和在曲線右邊從u到∞的概率都應(yīng)等于1/2(1－0.99)=0.005。查表，u=－2.58時(shí)，fN(x)

=0.00494≈0.005。于是知，當(dāng)±2.58時(shí)，在其范圍內(nèi)包括99%的變量，僅有1%變量在此范圍之外。上述結(jié)果寫作：九、計(jì)算第39頁,共58頁，2024年2月25日，星期天同理可求得：九、計(jì)算第40頁,共58頁，2024年2月25日，星期天同理，亦可寫成：

以上

乃正態(tài)曲線下左邊一尾x從－∞到

上的面積和右邊一尾y從到∞上的面積之和，亦可寫成：九、計(jì)算第41頁,共58頁，2024年2月25日，星期天Section3.4

SamplingDistributions

抽樣分布第42頁,共58頁，2024年2月25日，星期天一、總體與樣本

populationandsample總體：根據(jù)研究目的確定的同質(zhì)研究對(duì)象的全體（集合）。分有限總體與無限總體樣本：從總體中隨機(jī)抽取的部分研究對(duì)象

第43頁,共58頁，2024年2月25日，星期天二、總體容量與樣本容量populationsizeandsamplesize總體容量（N)：總體中所包含的個(gè)體數(shù)目。根據(jù)N大小，總體分有限總體和無限總體樣本(n)：從總體中隨機(jī)抽取的部分研究對(duì)象

第44頁,共58頁，2024年2月25日，星期天三、隨機(jī)抽樣randomsampling為了保證樣本的可靠性和代表性，需要采用隨機(jī)的方法抽取樣本（在總體中每個(gè)個(gè)體具有相同的機(jī)會(huì)被抽到）。第45頁,共58頁，2024年2月25日，星期天四、參數(shù)與統(tǒng)計(jì)量parameterandstatistic參數(shù)：總體的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，如總體均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，采用希臘字母分別記為μ、σ。固定的常數(shù)

總體樣本抽取部分觀察單位

統(tǒng)計(jì)量

參數(shù)

推斷inference統(tǒng)計(jì)量：樣本的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，如樣本均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，采用英文字母分別記為。參數(shù)附近波動(dòng)的隨機(jī)變量。第46頁,共58頁，2024年2月25日，星期天五、總體均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差總體均值總體方差總體標(biāo)準(zhǔn)差第47頁,共58頁，2024年2月25日，星期天六、樣本均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差總體均值總體方差總體標(biāo)準(zhǔn)差第48頁,共58頁，2024年2月25日，星期天七、樣本的概率分布統(tǒng)計(jì)量(為樣本的函數(shù))，亦為隨機(jī)變量，其概率分布稱為抽樣分布(samplingdistribution)。一般統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布，則多根據(jù)重復(fù)抽樣(實(shí)驗(yàn))結(jié)果來了解其概率分布。的抽樣分布大數(shù)法則，中心極限定理第49頁,共58頁，2024年2月25日，星期天八、大數(shù)法則由具有有限(finite)平均數(shù)m

的總體隨機(jī)抽樣，隨著樣本容量的增加，樣本平均數(shù)越接近總體的均數(shù)m。樣本平均數(shù)的這種行為稱為大數(shù)法則(lawoflargenumbers)。第50頁,共58頁，2024年2月25日，星期天以代表樣本容量為n的資料平均數(shù)，逐漸增加樣本容量，將n及對(duì)應(yīng)的圖示如后。八、大數(shù)法則第51頁,共58頁，2024年2月25日，星期天Numberofobservations,n前n個(gè)樣本的均數(shù)2223242526272829303132331510501005001000500010000八、大數(shù)法則第52頁,共58頁，2024年2月25日，星期天九、樣本平均數(shù)的均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差令為樣本容量為n的一組SRS的平均數(shù)，其總體平均數(shù)為m

與標(biāo)準(zhǔn)差為s。則的分布平均數(shù)為m