2023-2024學年黑龍江省哈爾濱師大附中高三年級上冊第二次調研考試數學試題及答案

哈師大附中2021級高三第二次調研考試

數學試題

(滿分150分，考試時間120分鐘)

一、選擇題(前8個小題為單選題，每題只有一個選項，每題5分，滿分40分；后4小題

為多選題，每題不只有一個選項，每題5分，滿分20分)

1,已知集合A-*R；,|3(+)V則AnB=().

xlog2x2,x

A.{x|-2<x<7}B.

c-{x|54x<7}D.{卜<￡}

尤2x5

2.已知〃：0、xv2P

,那么的一個充分不必要條件是(

A0<x<1B.-1<xc1C.0<x<20<x<3

D.

3.sin(-12300)-().

i16

A.-B.--C.葉d

222-4

4.已知a\-\,bc=log22,貝ij().

7，

A.a?：：b?.cB.b-a<cC.c<b<aD.c<a<b

3v1

5,若正數光,丁滿足x+6y=3,則上+-的最小值為().

%y

9「

A4B.-C.2V3D.2

o

6.已知函數()的定義域為R，其導函數為'(),且(-)'()<

fXx,則下列關系一定正確的是

().x5fx0

A./(3)+/(5)<2/(4)B.()+()<()

f4f62/5

C./(0),/(5)=0D.()+()=()

f3f72f5

7.將函數(gA=sin；圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，得到函數

(),函數/(x)在區(qū)間(0,兀)上有且只有兩個零點，則的取值范圍為().

fx

第1頁/共5頁

611,713

A.55TJc.D.

B?罔66

8.我國古代數學家趙爽在《周髀算經》一書中利用“趙爽弦圖”巧妙的證明了勾股定理，該圖形是以弦為

邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成.類比“趙爽弦圖”，可構造

3

如圖所示的圖形，它是由個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，若

AF-3EF,^^=3,則二Z也,則1+2=（）.

1569

A.—B.——C.—

191919。?嚕

多選題（共4個小題,每題不只有一個選項，每題5分，滿分20分）

9.如圖所示是y=（）y=r（x）的圖象，下列結論中正確的有（

）.

4產）

B.了二一1是（）極小值點

f冗

（）在區(qū)間（2,4）上單調遞減，在區(qū)間（-1,2）上單調遞增

f%

D.x2是（）極小值點

/x的

10.若a、0,b.0,a,b-4,則下列結論正確的是（）.

A.y/a+J5?2B.20+2*>8

（+）2b32<32

c.a1+（+）

11.函數（￥Asin（（.）x+（p）；A0,（-?下列說法正確的是（）?

第2頁/共5頁

A.函數y='(2x)+l|的周期是1

B.點-pO是函數y=()

<3'fX

的圖象的對稱中心

「5/

函數>=()在-兀，三上單調遞減

fxL6-

5兀

D./'(%)>1對于\/尤￡-2K,—恒成立

3

12.已知定義在R上的奇函數()滿足(-)()，當［］時，()一，定義符號函數

fxflx=fxx0,1fxx

」,x>0

sgnx=i(),x=O,則下列結論正確的是().

A.sgnf{x}是奇函數B.()=［()1

/2023sgnf2023

C.sgn［/(2Zr+l)=*wZ)D.sgn"(x)］關于直線x=孑對稱

二、填空題(共4個小題，每題5分，滿分20分)

13.已知塞函數(力x=(2-27加+7AM為非奇非偶函數，則實數加=

14.函數,(X)1°gi(,一^^五廣后^^^是單調遞增，則實數的取俏范圍是_________.

2在區(qū)間'

15.已知向量a,6,|a卜2忖=3,a與5的夾角為27c三，則卜+x萬的值最小時，實數x的值為

,3

.jr

16.在“IBC中，AB=5C=-,當3C+3AC取最大值時，AC=.

三、解答題(共6題，第17題10分，第18至第22題每題12分，共70分)

17.已知角”的頂點與坐標原點重合，始邊與*軸的非負半軸重合，角a的終邊過點

(--)

/o\A5,12

⑴求加彳+27的值；

第3頁/共5頁

‘兀14

(2)若a€(0,2兀)，PG—I-sin(a-P)=--cosn

、乙1D,nJ1且?

18.已知正四棱柱ABC?！狝⑸中，AB=1,AA=2,E為線段A,4的中點，b為線段AB的中

點.

（1）求直線3片與平面AEC

所成角的正弦值；

（2）證明：直線FCH平面AEC｝并且求出直線FCAEC

到平面的距離.

1

19.已知數列;為等差數列，且?2+?4=10,S|=16

（1）求[4,的通項公式:

〃+1

⑵數列｛愉足》廣/W（注N）；｝nSnS＜—.

b的前項和為，求證：12

數列"

20.在/IBC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若(a+0)(sinAsinB)=c(sinB+sinC).

（1）求角A的大?。?/p>

（2）若。為8c上一點，Z,BAD--Z.BAC,AO=3，求4b+c

2的最小值.

21.已知雙曲線C:=-[=1（。＞0力＞0）的漸近線為土今X，點H

a-b-y21才,1在c上，直線

2:丁二丘"與雙曲線C相交于兩點M,N,線段MN的垂直平分線分別與x,y軸相交于A,B兩點.

第4頁/共5頁

(1)若直線/過點()0,4點M,N都在雙曲線的左支上，求左的取值范圍:

(2)若AAOB(。為坐標原點)的面積為一，且ZHO

2,求k的取值范圍.

22.已知函數()=e一alnx.

fx

(1)當時，求曲線y=〃町(1,/?(!))

在處的切線方程；

(2)當。＞0,若不等式()2+。

fxaana恒成立，求的取值范圍,

第5頁/共5頁

哈師大附中2021級高三第二次調研考試

數學試題

（滿分150分，考試時間120分鐘）

一、選擇題（前8個小題為單選題，每題只有一個選項，每題5分，滿分40分；后4小題

為多選題，每題不只有一個選項，每題5分，滿分20分）

1,已知集合A=?小=R1，：J3（+）<￡叫，則（）.

xlog2x2,x

A.|x|-2<x<7}B.{x|r<5|

c-{x|54x<7}D.{卜<￡}

尤2x5

【答案】D

【解析】

【分析】根據二次函數的值域與對數不等式的運算求解即可.

【詳解】A={y|y三5'，B：^x|log3（2+x）<log9{_[x|0..2+x<9；2<x<7J..

3

i

故Ac3=}x|-2<x<51

故選：D

已知）.

2.1p:0<x<2,那么P的一個充分不必要條件是（

A.0<x<lB.-1<x<1C.0<x<20<x<3

D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據充分不必要條件定義，結合推出關系依次判斷各個選項即可.

【詳解】對于A,\,0<x<l=>0<x<2,0<x<2^0<x<1,

0<xv1是〃的一個充分不必要條件，A正確；

對于B,,.,一l<x<lj0<x<2,0<x<2^-1<x<1,

1CV1是p

’的一個既不充分也不必要條件，B錯誤；

對于C,,/0<x<20<x<2,0<x<2=^0<x^2,

,Ovxq2是〃的一個必要不充分條件，C錯誤；

對于D,0<x<30<x<2,0<x<2=：0<.x<3,

..u<x<3?p

廠的一個必要不充分條件，D錯誤.

故選：A.

第1頁/共23頁

3.sin（一1230°）=（）.

AiR1,6

222

【答案】B

【解析】

【分析】利用誘導公式及特殊角的三角函數值計算即可.

【詳解】sin（1230。）—sin（360x4.F2103）.sin210:

=sin（1801.

°+30°）=-sin30°=-2

故選：B

4已知a■停J,，"kg彳2,則（）.

A.a-b-.cB.bacC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】

【分析】由嘉函數、指數函數的單調性即可比較大小.

、

【詳解】一方面因為黑函數y=N2在［r0c,+工）上單調遞增，所以0<a

⑺17

另一方面因為對數函數y=log/尤在（0,也）上單調遞減，所以c=logj<logj=0,

結合以上兩方面有：c<0<a<b.

故選：D.

5,若正數x，y滿足x+6y=3,則32+上的最小值為（）.

%》

9

A.4B.-C,2月D.2

o

【答案】A

【解析】

【分析】由已知等式可得生—，Z,利用基本不等式可求得結果.

xyx3y

【詳解】x+6y=3,

為正數，

第2頁/共23頁

.芝」紋二絲乜上+222邑上+24(當且僅當處j即x=ly」時取

xyx3yx3yyx3yx3y,3

等號)，

3y1

即——+一的最小值為4.

故選：A.

6.已知函數(，的定義域為R，其導函數為‘(),月.(一)'()<

fxfx，則下列關系一定正確的是

().x5fxQ

A./(3)+/(5)<2/(4)B.()+()<()

f4f62/5

C./(0)./(5)=0D.()+()=()

f3f72f5

【答案】B

【解析】

【分析】根據(x-5)f'(x)<0〃光)單調性，并得到由反例可說明ACD錯誤;

可確定

根據單調性可說明B正確.

【詳解】&x-5)r(x)<0.?.當2時，"x)>0；當a時，八力。；

\y(x)在(一工，5)上單調遞增,在(+5，)上單調遞減:

又()在R上可導，\/(x)連續(xù)，，/'(初曲="5)；

f%

對于A,若/(x)=eT*jb,滿足()在(-0?)上單調遞增，在(+8)上單調遞減，

fX,515,

()=e4=—>〃5)=e°=l,/(4)=e'

/3ee

/3f51111()

/.()+()=e+>>e2/4

對于B，/⑷</⑸，〃6)一⑸，一確聯(lián)/⑼<2/(5),B正確；

對于C,若〃X)=_(X-5)2+I,滿足八刈在(,⑴上單調遞增，在15,+8)上單調遞減,

f024,”5)1,../(0)/(5)24/0,C錯誤;

:.()=-

對于D,若〃x)=e5xe',滿足〃x)在(一s,》上單調遞增，在(+場上單調遞減，

f33e5-e3,f(7)=7e5-e7,/-(5)=5e5-e5

r.()=)

第3頁/共23頁

5(37

/(3)+/(7)=10ee+e)2/(5)二lOe'-2/,又e3+e7H2e5,

，()+()*(>-D錯誤?

f3f72f5

故選：B.

7.將函數(g戶=sin；2(.)1--圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，得到函數

(),函數/(x)在區(qū)間(0,兀)上有且只有兩個零點，則(?>的取值范圍為(

f光

(611](611\7131

B-TT'c?7|

【答案】C

【解析】

【分析】利用函數的伸縮變換及三角函數的性質即可求解.

【詳解】由題意可知,

兀兀兀

因為0.X-兀，所以一—<(OX—兀一，

666

又因為函數(f)荏區(qū)間(0,兀)上有且只有兩個零點,

7T7]3

所以兀<(o兀一；7?2兀，解得一—,

666

-|u(i),7131

所Gf'以的取值范圍為?.

OO

故選：C.

8.我國古代數學家趙爽在《周髀算經》一書中利用“趙爽弦圖”巧妙的證明了勾股定理，該圖形是以弦為

邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成.類比“趙爽弦圖”，可構造

3

如圖所示的圖形，它是由個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，若

AF3EF,AF卜3,則存和+口/，貝”+u=().

第4頁/共23頁

569

A.IB.—C.—

191919DY

【答案】A

【解析】

210

【分析】利用向量的數乘、加減法運算可整理得到行-河+￡而—^F,化簡整理可得九〃

39的值,

從而求得結果.

【詳解】由行=3即知：CF-3DE,BU-3771；

??At1=3EF—3(4*DE)=DBCZs—CBCU~CE~=CB——Ct

AC^AE-Tfd-7rar-AU-X-AF=7W-AT--AF,

=(A7++

333339

19?29696

加士耳C:.^F_-AB^_-AC,則入--,

931919歷‘口19

9615

K+n=1911919

故選：A.

【點睛】思路點睛；本題考查平面向量基本定理的應用，解題的基本思路是能夠利用向量的加減法和數乘

運算，利用基底表示出所求向量或構造出關于所求向量的方程，從而求得參數的值.

多選題(共4個小題，每題不只有一個選項，每題5分，滿分20分)

fx

B.x=1是()的極小值點

fx

C.()在區(qū)間(2,4)上單調遞減，在區(qū)間(-1,2)上單調遞增

fx

D.x-2是g川勺極小值點

【答案】BC

【解析】

【分析】利用導數的正負與函數的單調性的關系，結合函數的極值與極值點的定義即可求解.

第5頁/共23頁

【詳解】由導函數的圖象可知，當XV1或2<*4時，/lP<0；當，1<X.：2或x>4《）>。

時，；

和

所以f￥的單調遞增區(qū)間為（?12）,、，、/故A錯誤，C正確：

（+工），單調遞減區(qū)間為（-篦-）和（2,4八

所以x=1或X：4是（）取得極小值點；如正確；'1

fX

所以x=2是（）取得極大值點；故D錯誤.

fx

故選：BC.

10.若a、0,h,0,a^-b4,則下列結論正確的是（）.

A.&i+亞42B.2"+2匕8

2

（+）2。32s32D.也+1一

C.a1+（+）3八4

【答案】BD

【解析】

【分析】通過反例可說明A錯誤；由基本不等式可得B正確；將6一4“代入CD選項中，將不等式左側

化為關于〃的二次函數，結合”的范圍和二次函數單調性可求得CD正誤.

【詳解】對于A,若a。2,則拓+揚2a>2,A錯誤；

afcflh

對于B,2+22x/2.2=272^-8（當且僅當a=b=2

時取等號），B正確；

對于C,"4"Q?，

2212__

,（。+1）~+@+3）一=（。+1）+（7。）一=2。2-12。+50

y2》2-12》+5。在（0,3）上單調遞減,在（3,4）上單調遞增,

2a212?+50^2x912x3+50^32（當且僅當a=3時取等號），C錯誤；

22A2

對于D,由C知：—Z?2=—（4a）2=--8a+16,

3+3+l'3

4X

'-y=32

,8x+16在（0,3）上單調遞減，在（3,4）4單調遞增，

.?,/8。+16±±乂9-8x3+16=4,即勺+〃24,D正確.

3-33

故選：BD.

11.函數f戶=Asin（sx+（p）；A0,卜］<1）的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）?

第6頁/共23頁

A.函數y=/(2x)+l|的周期是；

B.點！.—3,0是函數y=()

fx

的圖象的對稱中心

5兀,

函數y二()在兀，上單調遞減

x

5兀

D.對于\/尤￡2K,--恒成立

3

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據圖象可確定)4小并:周期和最小值，由此可得(?，A,利用f10

可求得，由此

j.71,

可得(另驗證1g)gx

()

可知A錯誤；利用代入檢驗法可知BC正確；根據正弦型函數值域求

法可知D正確.

T37兀兀3兀

【詳解】由圖象可知：若()嫉最小正周期為,則/

62

T-—271,型1；

23

q4=-ZA>u

又4jmin,，A=2,

7In兀3兀71

:.f片+中-2n,---=----(e)?=5+2E(2wZ),

622質kZ,解得：3

??兀7T，.."⑶=2sin卜

對于A,設(g)龍=『(2x)+1卜2sin2x+—|+1

兀；717171

二2sin2；—j+—?12sin'7C42x4-—1+112sin'2x4—'

則卜2)3[3?!31’

第7頁/共23頁

...g(九)#g^+75g(x)

2。；不是

57r7r的周期，A錯誤；

對于B,當x時，—2兀，此時/'(x)=2sin2jt-0,

二尊。)是f(x)

3J圖象的對稱中心，B正確；

5兀2兀

對于C,當無￡兀,----時,—w——

633

2兀71八刈在兀，至上單調遞減，C正確;

???y_sinx在丁，—上單調遞減,

O

5兀兀5兀4兀

對于D,當2兀，――時,

X-b-€"T

3L

3_

D正確.

故選：BCD.

12.已知定義在R上的奇函數()滿足()()，當[]時，()-，定義符號函數

fxf2x=fx%.0,1fxx

l,x>0

sgnx.'0,x_0,則下列結論正確的是().

1l,x<0

A.sgnf(x)是奇函數B.()=[()

f2023sgnf2023

C.sgn[/(2A+l)=1(女wZ)D.[()]關于直線x-W

sgnfx對稱

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用奇偶性和對稱性可推導得到()是以丹娟期的周期函數，并確定()的圖象，結合圖象

fx

母士”八工才向什田以()的正負：由奇偶性定義依次驗證r()］與r(X”的關系即可

可確定位于不同范圍時，f..f.."?ffn'f'

得到A正確；由周期性和符號函數的定義可求得B正確；通過反例可說明C錯誤；推導可得

〃x+3)=由此可知由確.

【詳解】為奇函數，/(X),圖象關于原點對稱；

f2xfx,\f(x)關于x=l對稱；

???()-()

第8頁/共23頁

Q/(x)=f(2-x)=-f(x-2),/(-/(2)=-[[-f[^1=〃9,

是以為周期的周期函數,

結合當X.[]/可得（，圖象如下圖所示,

.?.當xw(+)(wZ)時，f(x)>0；當xw(4女_2,4@(ZwZ)時，f(x)<0

4k,4k2k

當x_2Z(左tZ)時，()

對于A,若X￡(4”,4〃44(〃9(),〃￡Z),()>0,sgn|/(x)l=1

fxJ;

4〃2,4〃n0,〃￡Z)/(-^).0sgn：(-x)]=J

-XG(---)(N,,_，則

[(-%)]=-sgn/x

sgnf()1

若2,4〃)(〃<0,〃-/)，()<0,()]=-1：

fxsgnfx

XG(4〃,-4〃+2)(〃<0,〃wZ),/(-x)>0,sgn^/(x)]=1,則

[(-%)]=-sgn/%

sgnf()

當x=2Z/￡Z)時，-()J；f(_x)=0,二[(-%)]=-1()]=0；

fxsgnfsgn'/x

的

綜上所述：sgn/(x)為定義在R上奇函數，A正確；

對于B,?.?/(2023)一/(4x506])=/(1)=-/(1).1，sgn1/(2023)]-sgnf1]=

，()=[()1

f2023sgn/2023

對于C,當％=2〃+l(〃￡Z)k，斤懶；1/4〃3f31

+)匚(4)=()二?'

此時sgn"(2A：+1)]=sgn[-ll=-l

,C錯誤；

對于D，?."⑶的周期為4,：J(x+3)/(x1)〃3-x)=/「3-由4)1=小"1)

又4寸為奇函數，fX\fX\,

()=(+]/(X-l)=-/(IX)

?.?”尤)關于X1對稱，.?J(x+1)-門1-X),.-./(-X-1)=/(X-1)，

第9頁/共23頁

即4x+3）=/（3-x）,［（+）］=sgn/3x

sgnfx3（-）

二$8^/?。蓐P于直線X一3」，

對稱，D正確.

故選：ABD.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數中的新定義問題的求解，解題關鍵是能夠利用抽象函數關系式，確定

（）的對稱性和周期性，從而結合函數圖象來分析新定義函數的相關性質.

f光

二、填空題（共4個小題，每題5分，滿分20分）

13.已知塞函數（/）x=（2，”27〃?+7）廿為非番非偶函數,貝ij實數〃？

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】先由函數是尋函數求出機的值，再對機進行討論即可.

【詳解】由題意函數（）f九=（2"/7〃Z+7）X'"是暴函數，所以2//-7機+7=1,

3

即2〃/7機+6=0,解得加2或"2=彳，

當〃？2時，f（x）_x2是偶函數，不滿足題意，

33

當〃2=3時，/（由一龍刁」"，其定義域為（+S），不關于原點對稱，

20,

（）是非奇非偶函數，滿足題意.

即/x3

故答案為：

2

14.函數/（X）一1081,（4-融）尢ml）上是單調遞增，則實數的取值范圍是

2在區(qū)間之3

f41-----------

【答案】0}

【解析】

【分析】結合復合函數單調性的判斷方法和對數真數大于零可構造不等式組求得結果.

【詳解】?）'嘀"在（°'"）上單調遞航

2

，若/'⑴=logL（4-ox）/：（）上單調遞增，

223

加”二4-辦作（2,3）上單調遞滿且八，“、上恒成立，

則在U>0^（2,3）

4z>04

（43叱。一。<三

第10頁/共23頁

a

即實數的取值范圍為【0;,-

,,4'

故答案為：°，一.

3_

聞與方的夾角為t則卜+詞

15.已知向量a,b，卜卜2=3,a2

3'人"?的值最小時，實數x的值為

【答案】1

3

【解析】

【分析】利用向量的數量積的定義及向量的模公式，結合二次函數的性質即可求解.

【詳解】因為同一2同3,a-—,

，與b的夾角為3

所以a/=|a||5|cos^-2X3X（-；）=-3

所以k+m="a+xb)=^|a|2+2x5-5+X2|s|=54-6尤+9/=(卜一+3,

當x=1?時，|a+x《的值最小.

故答案為：

3

_兀

16.在AABC中，AB一6,C=-,當BC+3ACAC

3取最大值時，

【答案】返

13

【解析】

【分析】用正弦定理將BC+3AC轉化求得最大值，根據用余弦定理聯(lián)立方程組即可求解.

【詳解】設8C_a,AC",A“=c

「LN

'：c=6=V,

sinAsinBsinC

/.a+3〃.2sinAi6sinB,

/.a+3。=2sinA+6sin(A+C),

.1.。+3b_2sinA+6sin(A+1

第11頁/共23頁

a^3b-5sinA+30cosA，

5

a+30=2jiJ（A+s）cos（p

2而

，其中

sinip>0cosip0,A一（0.生）

3,

，當A+ip=j+2版（ZwZ）。+3匕取最大值2JIJ,

2時

n

,c3

a2+Z>2-c21

cosC-

lab2

、a+3b2,13

|a2+b2-3_11

2ab-2

743

/?i=b2

13

即AC的值為M3.

13

三、解答題（共6題，第17題10分，第18至第22題每題12分，共70分）

17.已知角”的頂點與坐標原點重合,始邊與X軸的非負半軸重合，角a的終邊過點

（--

⑴求叫,+加）的值；A5,12

jr14

⑵若Q€（0,2兀），pe\0,—j,sin（（x-P）--丁求cosR供值

119

【答案】⑴演

⑵竺

65

【解析】

【分析】（1）根據終邊所過點可得si*1"QOW，利用誘導公式和二倍角余弦公式可求得結果;

（2）根據角的范圍和同角三角函數平方關系可求得cos（ci-B）,由8sllcos

a-（a-3）

和差余弦公式可求得結果.一，利用兩角

【小問1詳解】

第12頁/共23頁

/.sinaa-1212

.??角a的終邊過點A(一5,-12)'1_5/+(_12)2=下,

55

COSfX=—t=--------

J(-5)212213-

?)

??3?！鉯c1o2io25119

..sin,—42ix!cos2(/12cosn-1—2x------.

I2)169169

【小問2詳解】

/x-Sina,ucosu<u,-371,

「aw(0,2兀)1>..a€[^―|；

?.?口€(0卷)，???-Bw(-泰。)，，吁口€停5，cos(a-Q)=-^l-sin2(a-0)=-y>

cosp=cos-(a-P)]=cost*cos(u-0)+sinasin(a-0)

18.已知正四棱柱ABC?！狝dC0|中，AB^l,A42,E為線段4片的中點，尸為線段A3的中

點.

(1)求直線8耳與平面AEC

所成角的正弦值；

?

(2)證明：直線FCH平面AEG并且求出直線FCAEC

到平面的距離.

【答案】(1)反

21

(2)證明見解析，直線FC到平面AEQ的距離為當L

【解析】

第13頁/共23頁

【分析】（1）以。為坐標原點建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法可求得結果；

（2）根據FC萬=0,由線面平行舊向量證明可得結論；將所求距離轉化為點尸到平面AEC