高考數(shù)學(xué)立體幾何中幾類典型問題

立體幾何中幾類典型問題的向量解法空間向量的引入為求立體幾何的空間角和距離問題、證線面平行與垂直以與解決立體幾何的探究性試題供應(yīng)了簡便、快速的解法。它的好用性是其它方法無法比擬的，因此應(yīng)加強(qiáng)運(yùn)用向量方法解決幾何問題的意識，提高運(yùn)用向量的嫻熟程度和自覺性，留意培育向量的代數(shù)運(yùn)算推理實(shí)力，駕馭向量的基本學(xué)問和技能，充分利用向量學(xué)問解決圖形中的角和距離、平行與垂直問題。利用向量學(xué)問求點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)到線，點(diǎn)到面，線到線，線到面，面到面的距離（1）求點(diǎn)到平面的距離除了依據(jù)定義和等積變換外還可運(yùn)用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，再求出已知點(diǎn)與平面內(nèi)任一點(diǎn)構(gòu)成的向量的坐標(biāo)，則到平面的距離（2）求兩點(diǎn)之間距離，可轉(zhuǎn)化求向量的模。（3）求點(diǎn)到直線的距離，可在上取一點(diǎn)，令或的最小值求得參數(shù)，以確定的位置，則為點(diǎn)到直線的距離。還可以在上任取一點(diǎn)先求，再轉(zhuǎn)化為，則為點(diǎn)到直線的距離。(4)求兩條異面直線之間距離，可設(shè)與公垂線段平行的向量，分別是上的隨意兩點(diǎn)，則之間距離例1：設(shè)，求點(diǎn)到平面的距離例2：如圖，正方形、的邊長都是1，而且平面、相互垂直。點(diǎn)在上移動(dòng)，點(diǎn)在上移動(dòng)，若。A(O)BDCxEFNA(O)BDCxEFNMyz（Ⅲ）當(dāng)長最小時(shí)，求面與面所成的二面角的大小zABCDMNxyzzzzABCDMNxyzzzzABCDxyz例4：如圖，在長方體中，求平面ABCDxyz點(diǎn)評：若是平面的法向量，是平面的一條斜線段，且，則點(diǎn)到平面的距離，平行平面之間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，變?yōu)樾本€在法向量上的射影。二、利用向量學(xué)問求線線角，線面角，二面角的大小。（1）設(shè)是兩條異面直線，是上的隨意兩點(diǎn)，是直線上的隨意兩點(diǎn)，則所成的角為（2）設(shè)是平面的斜線，且是斜線在平面內(nèi)的射影，則斜線與平面所成的角為。設(shè)是平面的法向量，是平面的一條斜線，則與平面所成的角為。（3）設(shè)是二面角的面的法向量，則就是二面角的平面角或補(bǔ)角的大小。例5：在棱長為的正方體中，分別是的中點(diǎn)，ABCDEFABCDEFGxyz（2）求直線與平面所成的角，（3）求平面與平面所成的角例6：如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，E，F(xiàn)分別、的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）設(shè)，求與平面所成角的大小.ABCPDExyz例ABCPDExyz點(diǎn)評：假如分別是二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條直線，且，則二面角的大小為SBACDzxy例8：如圖，在底面是直角梯形的四棱錐中，∠SBACDzxy點(diǎn)評：用向量學(xué)問求二面角的大小時(shí)，是將二面角的問題轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角問題，（1）當(dāng)法向量的方向分別指向二面角內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量的夾角的大小。（2）當(dāng)法向量的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量的夾角的補(bǔ)角。三、利用向量學(xué)問解決平行與垂直問題。例9：如圖,在直三棱柱－A1B1C1中，＝3，＝4，1＝4，,點(diǎn)D是的中點(diǎn)，（I）求證：⊥1；（=2\*）求證：A1C平面1；點(diǎn)評：平行問題的轉(zhuǎn)化：面面平行線面平行線線平行；例10．如圖，在長方體—A1B1C1D1，中，1=1，2，點(diǎn)E在棱上移動(dòng).（1）證明：D1E⊥A1D；（2）當(dāng)E為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面1的距離；（3）等于何值時(shí)，二面角D1——D的大小為.ADBCDDADBCDDD例11．如圖，在直三棱柱中，（1）求證（2）在上是否存在點(diǎn)使得（3）在上是否存在點(diǎn)使得五、專題突破：ACBD1、如圖：已知二面角的大小為，點(diǎn)于點(diǎn)，，且，求（1）直線所成角的大小，（2）直線的距離。ACBD2、如圖，在四棱錐P—中，⊥底面，底面為正方形，，E、F分別是、的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：⊥；（Ⅱ）在平面內(nèi)求一點(diǎn)G，使⊥平面，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）求與平面所成角的大小.ABCA1B1C1M3、如圖,在直三棱柱－A1B1C1中，∠90°，1ABCA1B1C1M（1）求證:平面；（2）求二面角B－－C的大??；（3）求點(diǎn)C到平面的距離．4、如圖，是正四棱柱，側(cè)棱長為3，底面邊長為2，E是棱的中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大?。á螅┰趥?cè)棱上是否存在點(diǎn),使得平面？證明你的結(jié)論。5、如圖，在直三棱柱—A1B1C1中，∠90°，1=2.（I）證明：1⊥1；（）求點(diǎn)B到平面1C1的距離（）求二面角C1—1—A1的大小6、(2006年湖南卷）如圖4,已知兩個(gè)正四棱錐與的高分別為1和24.(Ⅰ)證明⊥平面;(Ⅱ)求異面直線與所成的角;(Ⅲ)求點(diǎn)P到平面的距離.QQPADCB圖47、（2006年全國卷）如圖，在直三棱柱－A1B1C1中，＝，D、E分別為1、1（Ⅰ）證明：為異面直線1與1的公垂線；（Ⅱ）設(shè)1＝＝\r(,2)，求二面角A1－－C1的大?。瓵ABCDEA1B1C1參考答案：例1：解：設(shè)平面的法向量，所以所以設(shè)到平面的距離為，例2：解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系(2)由得（3）又所以可求得平面與平面的法向量分別為，所以，所以zABCDzABCDMNxyzzzz，設(shè)是直線與的公垂線，且則例4：解：，同理又，建立直角坐標(biāo)系，，ABCDxyz,ABCDxyz向量，則由，不妨設(shè)二、利用向量學(xué)問求線線角，線面角，二面角的大小。例5：解：（1）如圖建立坐標(biāo)系，則故所成的角為（2）所以在平面內(nèi)的射影在的平分線上，又為菱形，為的平分線，故直線與平面所成的角為，建立如圖所示坐標(biāo)系，則，，故與平面所成角為由所以平面的法向量為下面求平面的法向量，設(shè)，由，，，所以平面與平面所成的角點(diǎn)評：（1）設(shè)是兩條異面直線，是上的隨意兩點(diǎn)，是直線上的隨意兩點(diǎn)，則所成的角為（2）設(shè)是平面的斜線，且是斜線在平面內(nèi)的射影，則斜線與平面所成的角為。（3）設(shè)是二面角的面的法向量，則就是二面角的平面角或補(bǔ)角的大小。例6：（Ⅰ）證明：建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)1，（），則E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),.得，，.由，得，即，同理，又，所以，平面.（Ⅱ）解：由，得，即.得，，.有，，.設(shè)平面的法向量為，由，解得.于是.設(shè)與面所成的角為，與的夾角為.則.得.所以，與平面所成角的大小為.點(diǎn)評：設(shè)是平面的法向量，是平面的一條斜線，則與平面所成的角為。例7：ABCPDExyz解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，取的中點(diǎn)，連可證，作于，則向量的夾角的大小為二面角的大小。，為的中點(diǎn)，ABCPDExyz，在中，，，，，二面角的大小為例8：解：如圖建立直角坐標(biāo)系，則SBACSBACDzxy所以是平面的一個(gè)法向量。設(shè)平面的一個(gè)法向量由，令，平面與平面所成的二面角的正切值為點(diǎn)評：用向量學(xué)問求二面角的大小時(shí)，是將二面角的問題轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角問題，（1）當(dāng)法向量的方向分別指向二面角內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量的夾角的大小。（2）當(dāng)法向量的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量的夾角的補(bǔ)角。三、利用向量學(xué)問解決平行與垂直問題。例9：解：∵直三棱柱－A1B1C1底面三邊長＝3，＝4，＝5，∴、、C1C兩兩垂直，如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、、C1C分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴?＝0，∴⊥1.（2）設(shè)1與C1B的交戰(zhàn)為E，則E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴∥1.∵平面1，1平面1，∴1平面1；點(diǎn)評：平行問題的轉(zhuǎn)化：面面平行線面平行線線平行；例10．解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，1分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（2）因?yàn)镋為的中點(diǎn)，則E（1，1，0），從而，，設(shè)平面1的法向量為，則也即，得，從而，所以點(diǎn)E到平面1C的距離為（3）設(shè)平面D1的法向量，∴由令1,∴22－x，依題意∴（不合，舍去），.∴時(shí)，二面角D1——D的大小為.四、利用向量學(xué)問解決立體幾何中的探究性問題。例11．CABxDyZ解：直三棱柱CABxDyZ直線分別為軸軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，（1），（2）假設(shè)在上存在點(diǎn)，使得，則其中，則，于是由于，且所以得，所以在上存在點(diǎn)使得，且這時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合。（3）假設(shè)在上存在點(diǎn)使得，則其中則，又由于，，所以存在實(shí)數(shù)成立，所以，所以在上存在點(diǎn)使得，且使的中點(diǎn)。總結(jié)：向量有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，它可以把幾何圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，在解決立體幾何的距離與夾角、平行與垂直、探究性等問題中體現(xiàn)出巨大的優(yōu)越性，請同學(xué)們仔細(xì)領(lǐng)悟。五、專題突破：1解：設(shè)，，（1），所成的角為（2）設(shè)與都垂直的非零向量由得，令，設(shè)的距離為，2、解：以、、所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)，則D（0，0，0）、A（a,0,0）、B(,0)、C(0,0)、、（Ⅲ）設(shè)平面的法向量為3、證明：（1）在直三棱柱－A1B1C1中，易知面1A1∵∠90°，∴⊥面1A1，∵面1A1∵，且，∴平面解：（2）如圖以C為原點(diǎn)，，1所在直線分別為x軸軸軸,建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)∵，∴即，故，所以設(shè)向量為平面的法向量，則，則即，令1，的平面的一個(gè)法向量為，明顯向量是平面的一個(gè)法向量，易知，與所夾的角等于二面角B－－C的大小，故所求二面角的大小為45°．（3）向量在法向量上的投影的長即為所求距離，∵∴點(diǎn)C到平面的距離為4、（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則又,,,,,連接,與相交于，連接易知（0，1，1.5）又平面，平面∴平面（Ⅱ）解：過點(diǎn)做于，連接，在正四棱柱中，平面∴，是二面角的平面角 依據(jù)平面幾何學(xué)問，易得∴∴∴二面角的大小為 （Ⅲ）解：在側(cè)棱上不存在點(diǎn)，使得平面 證明如下：假設(shè)平面，則必有設(shè)，其中，則，這明顯與沖突∴假設(shè)平面不成立，即在側(cè)棱上不存在點(diǎn)，使得平面5、（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，其中C為坐標(biāo)原點(diǎn).依題意A（2，0，0），B（0，2，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），因?yàn)?，所?⊥1.（2）設(shè)是平面1C1的法向量，由得所以令，則， 因?yàn)?，所以，B到平面1C1的距離為.（3）設(shè)是平面A11的法向量.由 令=1，則 因?yàn)樗?，二面角C1—1—A1的大小為60°6、（Ⅰ）連結(jié)、，設(shè).由P－與Q－都是正四棱錐，所以⊥平面，⊥平面.從而P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上，所以⊥平面.（Ⅱ）由題設(shè)知，是正方形，所以⊥.由（Ⅰ），⊥平面.故可分別以直線、、為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是P（0，0，1），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）.QBCPQBCPADzyxO于是.從而異面直線與所成的角是.(Ⅲ)由（Ⅱ），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，－，0），， ，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得.取1，得.所以點(diǎn)P到平面的距離.ABCDEA1ABCDEA1B1C1Ozxy設(shè)A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)則C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)．\O(,\S\8(→))＝（0，b，0），\O(\S\(1),\S\8(→))＝(0，0，2c)．\O(,\S\8(→))·\O(\S\(1),\S\8(→))＝0，∴⊥1．又\O(\S\(1),\S\8(→))＝(－2a，0，2c)，\O(,\S\8(→))·\O(\S\(1),\S\8(→))＝0，∴⊥1，所以是異面直線1與1的公垂線．（Ⅱ）不妨設(shè)A(1，0，0)，則B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)，\O(,\S\8(→))＝(－1，－1，0)，\O(,\S\8(→))＝(－1，1，0)，\O(\S\(1),\S\8(→))＝(0，0，2)，\O(,\S\8(→))·\O(,\S\8(→))＝0，\O(,\S\8(→))·\O(\S\(1),\S\8(→))＝0，即⊥，⊥1，又∩1＝A，∴⊥平面A1．又E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，\O(,\S\8(→))＝(－1，0，－1)，\O(,\S\8(→))＝(－