新高一銜接課程第一講-二次函數(shù)專題

第一局部二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)aa＞0a＜0圖象開口方向拋物線開口向，并向上無限延伸拋物線開口向，并向下無限延伸對稱軸直線x=-直線x=-頂點坐標(biāo)(-，)(-，)最值拋物線有最低點，當(dāng)x=-時，y有最小值，y最小值=拋物線有最高點，當(dāng)x=-時，y有最大值，y最大值=增減性在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x＜-時，y隨x的增大而；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x＞-a時，y隨x的增大而，簡記左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x＜-時，y隨x的增大而；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x＞-時，y隨x的增大而，簡記左增右減考點一、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點例1二次函數(shù)y=a〔x-2〕2+c〔a＞0〕，當(dāng)自變量x分別取、3、0時，對應(yīng)的函數(shù)值分別：y1，y2，y3，那么y1，y2，y3的大小關(guān)系正確的選項是〔〕A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2訓(xùn)練：二次函數(shù)y=x2-7x+，假設(shè)自變量x分別取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，那么對應(yīng)的函數(shù)值y1，y2，y3的大小關(guān)系正確的選項是〔〕A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1考點二、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)例2對于二次函數(shù)y=x2-2mx-3，有以下說法：①它的圖象與x軸有兩個公共點；②如果當(dāng)x≤1時y隨x的增大而減小，那么m=1；③如果將它的圖象向左平移3個單位后過原點，那么m=-1；④如果當(dāng)x=4時的函數(shù)值與x=2008時的函數(shù)值相等，那么當(dāng)x=2012時的函數(shù)值為-3．其中正確的說法是．〔把你認(rèn)為正確說法的序號都填上〕訓(xùn)練：如圖，拋物線y1=a〔x+2〕2-3與y2=〔x-3〕2+1交于點A〔1，3〕，過點A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B，C．那么以下結(jié)論：①無論x取何值，y2的值總是正數(shù)；②a=1；③當(dāng)x=0時，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正確結(jié)論是〔〕A．①②B．②③C．③④D．①④考點三、拋物線的特征與a、b、c的關(guān)系例3二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0〕的圖象如下圖，其對稱軸為x=1，有如下結(jié)論：①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④假設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，那么x1+x2=2，那么正確的結(jié)論是〔〕A．①②B．①③C．②④D．③④訓(xùn)練：二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0〕的圖象如下圖對稱軸為x=．以下結(jié)論中，正確的選項是〔〕A．a(chǎn)bc＞0B．a(chǎn)+b=0C．2b+c＞0D．4a+c＜2b考點四、拋物線的平移例4如圖，把拋物線y=x2沿直線y=x平移個單位后，其頂點在直線上的A處，那么平移后的拋物線解析式是〔〕A．y=〔x+1〕2-1B．y=〔x+1〕2+1C．y=〔x-1〕2+1D．y=〔x-1〕2-1訓(xùn)練：以下函數(shù)①y=x2；②y=-x2；③y=〔x-1〕2+2．其中，圖象通過平移可以得到函數(shù)y=x2+2x-3的圖象的有〔填寫所有正確選項的序號〕．看圖解題1.二次函數(shù)y=a〔x+m〕2+n的圖象如圖，那么一次函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過〔〕A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D(zhuǎn)．第一、三、四象限2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如下圖，那么一次函數(shù)y=bx+c和反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是〔〕A．B．C．D．3.設(shè)A〔-2，y1〕，B〔1，y2〕，C〔2，y3〕是拋物線y=-〔x+1〕2+a上的三點，那么y1，y2，y3的大小關(guān)系為〔〕A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2第6題圖4.y=ax2+bx+c〔a≠0〕的圖象如下圖，給出以下結(jié)論：①b2-4ac＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c=0；④a：b：c=-1：2：3．其中正確的選項是〔〕A．①②B．②③C．③④D．①④5.將拋物線y=3x2向上平移3個單位，再向左平移2個單位，那么得到的拋物線的解析式為〔〕A．y=3〔x+2〕2+3B．y=3〔x-2〕2+3C．y=3〔x+2〕2-3D．y=3〔x-2〕2-36.如圖，平行于x軸的直線AC分別交函數(shù)y1＝x2(x≥0)與y2＝(x≥0)的圖象于B，C兩點，過點C作y軸的平行線交y1的圖象于點D，直線DE∥AC，交y2的圖象于E，那么＝.課堂訓(xùn)練1．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如下圖，那么函數(shù)值y＜0時x的取值范圍是〔〕A．x＜-1B．x＞3C．-1＜x＜3D．x＜-1或x＞3 第1題圖第2題圖第4題圖2．二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0〕的圖象如下圖，假設(shè)|ax2+bx+c|=k〔k≠0〕有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是〔〕A．k＜-3B．k＞-3C．k＜3D．k＞33．設(shè)二次函數(shù)y=x2+bx+c，當(dāng)x≤1時，總有y≥0，當(dāng)1≤x≤3時，總有y≤0，那么c的取值范圍是〔〕A．c=3B．c≥3C．1≤c≤3D．c≤34.假設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+a2-2〔a、b為常數(shù)〕的圖象如上圖，那么a的值為〔〕A．1B．C．-D．-25．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如以下圖所示，它與x軸的兩個交點分別為〔-1，0〕，〔3，0〕．對于以下命題：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正確的有〔〕A．3個B．2個C．1個D．0個6.如上圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+1〔a≠0〕的圖象的頂點在第一象限，且過點〔-1，0〕．設(shè)t=a+b+1，那么t值的變化范圍是〔〕A．0＜t＜1B．0＜t＜2C．1＜t＜2D．-1＜t＜17.將拋物線y=x2+1先向左平移2個單位，再向下平移3個單位，那么所得拋物線的函數(shù)關(guān)系式是〔〕A．y=〔x+2〕2+2B．y=〔x+2〕2-2C．y=〔x-2〕2+2D．y=〔x-2〕2-28.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=x2-x-6向上〔下〕或向左〔右〕平移m個單位，使平移后的拋物線恰好經(jīng)過原點，那么|m|的最小值為〔〕A．1B．2C．3D．69.在平面直角坐標(biāo)系中，點A是拋物線y=a〔x-3〕2+k與y軸的交點，點B是這條拋物線上的另一點，且AB∥x軸，那么以AB為邊的等邊三角形ABC的周長為．10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a，b，c是常數(shù)，a≠0〕圖象的對稱軸是直線x=1，其圖象的一局部如下圖．對于以下說法：①abc＜0；②a-b+c＜0；③3a+c＜0；④當(dāng)-1＜x＜3時，y＞0．其中正確的序號是11.有七張正面分別標(biāo)有數(shù)字-3，-2，-1，0，l，2，3的卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)將它們反面朝上，洗勻后從中隨機抽取一張，記卡片上的數(shù)字為a，那么使關(guān)于x的一元二次方程x2-2〔a-1〕x+a〔a-3〕=0有兩個不相等的實數(shù)根，且以x為自變量的二次函數(shù)y=x2-〔a2+1〕x-a+2的圖象不經(jīng)過點〔1，0〕的概率是．12.假設(shè)直線y=m〔m為常數(shù)〕與函數(shù)y=的圖象恒有三個不同的交點，那么常數(shù)m的取值范圍是．第二局部函數(shù)綜合題1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側(cè)，B點的坐標(biāo)為〔3，0〕，與y軸交于C〔0，-3〕點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點.〔1〕求這個二次函數(shù)的表達式．〔2〕連結(jié)PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POPC，那么是否存在點P，使四邊形POPC為菱形？假設(shè)存在，請求出此時點P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．〔3〕當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大并求出此時P點的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸的交點分別為原點O和點A，點B〔2，n〕在這條拋物線上．〔1〕求B點的坐標(biāo)；〔2〕點P在線段OA上，從O點出發(fā)向A點運動，過P點作x軸的垂線，與直線OB交與點E，延長PE到點D，使得ED=PE，以PD為斜邊，在PD右側(cè)做等等腰直角三角形PCD〔當(dāng)P點運動時，C點、D點也隨之運動〕．①當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點C落在此拋物線上時，求OP的長；②假設(shè)P點從O點出發(fā)向A點作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時線段OA上另一個點Q從A點出發(fā)向O點作勻速運動，速度為每秒2個單位〔當(dāng)Q點到達O點時停止運動，P點也同時停止運動〕．過Q點做x軸的垂線，與直線AB交與點F，延長QF到點M，使得FM=QF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN〔當(dāng)Q點運動時，M點、N點也隨之運動〕．假設(shè)P點運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值．3.拋物線頂點為C〔1，1〕且過原點O.過拋物線上一點P〔x，y〕向直線作垂線，垂足為M，連FM〔如圖〕.〔1〕求字母a，b，c的值；〔2〕在直線x＝1上有一點，求以PM為底邊的等腰三角形PFM的P點的坐標(biāo)，并證明此時△PFM為正三角形；〔3〕對拋物線上任意一點P，是否總存在一點N〔1，t〕，使PM＝PN恒成立，假設(shè)存在請求出t值，假設(shè)不存在請說明理由.4.二次函數(shù)的圖象的一局部如下圖．它的頂點M在第二象限，且經(jīng)過點A(1，0)和點B(0，l)．(1)試求，所滿足的關(guān)系式；(2)設(shè)此二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為C，當(dāng)△AMC的面積為△ABC面積的倍時，求a的值；(3)是否存在實數(shù)a，使得△ABC為直角三角形．假設(shè)存在，請求出a的值；假設(shè)不存在，請說明理由．5..如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AD在y軸正半軸上，點A、C的坐標(biāo)分別為〔0，1〕、〔2，4〕．點P從點A出發(fā)，沿A→B→C以每秒1個單位的速度運動，到點C停止；點Q在x軸上，橫坐標(biāo)為點P的橫、縱坐標(biāo)之和．拋物線經(jīng)過A、C兩點．過點P作x軸的垂線，垂足為M，交拋物線于點R．設(shè)點P的運動時間為t〔秒〕，△PQR的面積為S〔平方單位〕．〔1〕求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．〔2〕分別求t=1和t=4時，點Q的坐標(biāo)．〔3〕當(dāng)0＜≤5時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出S的最大值．6.某企業(yè)信息部進行市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：信息一：如果單獨投資A種產(chǎn)品，所獲利潤yＡ(萬元)與投資金額x(萬元)之間存在某種關(guān)系的局部對應(yīng)值如下表：x(萬元)122.535yＡ(萬元)0.40.811.22信息二：如果單獨投資B種產(chǎn)品，那么所獲利潤yＢ(萬元)與投資金額x(萬元)之間存在二次(1)求出yＢ與x的函數(shù)關(guān)系式．(2)從所學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示yＡ與x之間的關(guān)系，并求出yＡ與x的函數(shù)關(guān)系式．(3)如果企業(yè)同時對A、B兩種產(chǎn)品共投資15萬元，請設(shè)計一個能獲得最大利潤的投資方案，并求出按此方案能獲得的最大利潤是多少？第三局部家庭作業(yè)1.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的一局部，對稱軸是直線x=1.①b2＞4ac；②4a-2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④假設(shè)(-2，y1),(5,y2)是拋物線上的兩點，那么y1＜y2.上述4個判斷中，正確的選項是2.點A(a-2b，2-4ab)在拋物線y=x2+4x+10上，那么點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點坐標(biāo)為3.二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)的圖象如下圖，那么以下說法：①c＝0；②該拋物線的對稱軸是直線x＝-1；③當(dāng)x＝1時，y＝2a；④am2+bm+a＞0(m≠-1).其中正確的選項是4.如圖1，雙曲線y=(k>0)與直線y=k′x交于A，B兩點，點A在第一象限.試解答以下問題(1)假設(shè)點A的坐標(biāo)為(4，2).那么點B的坐標(biāo)為；假設(shè)點A的橫坐標(biāo)為m，那么點B的坐標(biāo)可表示為