2023-2024學(xué)年高二年級上冊數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊-空間向量與立體幾何訓(xùn)練

空間向量與立體幾何

難點：1.沒有三垂直如何建系

2.點的坐標(biāo)非常難求

3.不適合建系時還是要有幾何法

一、利用線面垂直建系

【例1】如圖，四棱錐P-ABC。中，底面ABC。,底面ABCD是平行四邊形，AB=2,8O=4,

8c=2逐，若平面ADP和平面所成的銳二面角余弦值為與，求PB的長.

【例2】如圖，四棱錐P—ABCO中，PA±JgffiABCD,BC^CD^2,AC=4,ZACB=ZACD=-,F為

3

PC中點，AFL所，求R4的長.

總結(jié)：_________________________________________________________________

二、利用面面垂直建系

【例3】如圖，在以A、B、C、D、E、E為頂點的五面體中，底面為正方形，AF=2FD,

ZAFD=90°,且二面角O—A廠—E與二面角-尸都是60°

(1)證明：平面4跳戶_1_平面EFOC;

(2)求二面角E-BC-A的余弦值.”

A

總結(jié)：_________________________________________________________________

三、利用線線垂直建系

【例4】三棱柱ABC—AgG中，鉆，4?,48=4。=2,側(cè)面8。。4為矩形，幺"=石，二面角

A-8C-A的正切值為:，求側(cè)棱A4的長.

總結(jié)：_________________________________________________________________

四、先幾何分析再建系

【例5】在矩形ABCD中，48=4后,4。=26,將八鉆。沿6。折起，使得點A折起至A,，設(shè)二面

角A'-B0-。的大小為。，當(dāng)cos，=工時，求BC與平面A'B。所成角的正弦值.

總結(jié)：_________________________________________________________________

五、兩種方法處理線面角

【例6】如圖，四棱錐P-ABC。中，側(cè)面PAO為等邊三角形且垂直于底面ABC。，AB=BC=-AD,

2

NB4D=NA8C=90,點M在棱PC上，且直線8W與底面ABCD所成的角為45°,求二面角

A/-AB—。的余弦值.

總結(jié)：_________________________________________________________________

六、求二面角范圍

【例7】如圖，在梯形ABCD中，AB//Cr>,AO=OC=C5=l,NABC=60,四邊形ACFE為矩形，平

面AC/石，平面ABC。，CF=1.

(1)求證：平面ACFE；

(2)點M在線段EE上運(yùn)動，設(shè)平面與平面FCB所成二面角的平面角為6(。<90),試求cos。

的取值范圍.

A

總結(jié)：_________________________________________________________________

七、冷門條件如何處理

【例8】四棱錐P-ABC。中，P4,平面ABC。,底面ABC。是邊長為1的正方形，過且與直線PC

垂直的平面交PC于點E,當(dāng)三棱錐E-3C。的體積最大時，求二面角E-3。-。的大小.

總結(jié)：_________________________________________________________________

八、幾何法更簡單

【例9】如圖，DC1平面ABC,EB//DC,AC=BC=EB=2,ZACB=120,P、Q分別為AE.A8的中

點.

(1)證明：尸。//平面48；

(2)證明：平面AQE_L平面ABE；

(3)求AO與平面ABE所成角的正弦值.

【例10］如圖所示，已知三棱錐P-ABC中ZAC8=90,5C=4,A8=2O,0為A3中點，且APDB是

等邊三角形，PALPC.

(1)求證：平面巳4。_1_平面28。；P

(2)求二面角。-AP-C的正弦值./1\