2024年上海市高考高三數(shù)學(xué)模擬試卷試題及答案詳解

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024上海高考高三數(shù)學(xué)模擬試卷（本試卷共10頁，滿分150分，90分鐘完成．答案一律寫在答題紙上）命題：侯磊審核：楊逸峰一、填空題．（本題共12小題，前6題每小題4分；后6題每小題5分，共54分．請在橫線上方填寫最終的、最簡的、完整的結(jié)果）1．已知集合，則．2．已知圓柱底面圓的周長為，母線長為4，則該圓柱的體積為．3．的二項展開式中，項的系數(shù)為．4．等比數(shù)列的各項和為2，則首項的取值范圍為．5．已知平面向量，若與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為．6．已知復(fù)數(shù)滿足，則．7．已知空間向量，則在方向上的投影為．8．已知（a、b、c為實數(shù)），且，則的值是9．已知是拋物線上的兩個不同的點，且，若點為線段的中點，則到軸的距離的最小值為．10．一個飛碟射擊運動員練習(xí)射擊，每次練習(xí)可以開2槍．當(dāng)他發(fā)現(xiàn)飛碟后，開第一槍命中的概率為0.8；若第一槍沒有命中，則開第二槍，且第二槍命中的概率為0.6；若2發(fā)子彈都沒打中，該次練習(xí)就失敗了．若已知在某次練習(xí)中，飛碟被擊中的條件下，則飛碟是運動員開第二槍命中的概率為．11．已知中，為其三個內(nèi)角，且都是整數(shù)，則．12．已實數(shù)滿足，則的取值范圍是．二、選擇題（本題共4小題，前2題每小題4分；后2題每小題5分，共18分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請?zhí)顚懛弦蟮倪x項前的代號）13．以下能夠成為某個隨機(jī)變量分布的是（

）A． B． C． D．14．某高級中學(xué)高一年級、高二年級、高三年級分別有學(xué)生名、名、名，為了解學(xué)生的健康狀況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個容量為的樣本，若從高三年級抽取名學(xué)生，則為A． B． C． D．15．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，設(shè)甲：，乙：是嚴(yán)格增數(shù)列，則甲是乙的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件16．橢圓具有如下的聲學(xué)性質(zhì)：從一個焦點出發(fā)的聲波經(jīng)過橢圓反射后會經(jīng)過另外一個焦點．有一個具有橢圓形光滑墻壁的建筑，某人站在一個焦點處大喊一聲，聲音向各個方向傳播后經(jīng)墻壁反射（不考慮能量損失），該人先后三次聽到了回音，其中第一、二次的回音較弱，第三次的回音較強(qiáng)；記第一、二次聽到回音的時間間隔為，第二、三次聽到回音的時間間隔為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．三、解答題．（本大題共5小題，滿分78分．請寫出必要的證明過程或演算步驟）17．三棱柱中，平面，且，為中點．

(1)求四面體的體積：(2)求平面與所成銳二面角的余弦值．18．（1）在用“五點法”作出函數(shù)的大致圖象的過程中，第一步需要將五個關(guān)鍵點列表，請完成下表：001（2）設(shè)實數(shù)且，求證：；（可以使用公式：）（3）證明：等式對任意實數(shù)恒成立的充要條件是19．為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊計劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量（單位：克每立方米）與樣本對原點的距離（單位：米）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計量的值．（表中）．697.900.212400.1414.1226.13(1)利用相關(guān)系數(shù)的知識，判斷與哪一個更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對原點的距離的回歸方程類型；(2)根據(jù)（1）的結(jié)果建立關(guān)于的回歸方程，并估計樣本對原點的距離米時，平均金屬含量是多少？20．已知拋物線，過點與軸不垂直的直線與交于兩點．(1)求證：是定值（是坐標(biāo)原點）；(2)的垂直平分線與軸交于，求的取值范圍；(3)設(shè)關(guān)于軸的對稱點為，求證：直線過定點，并求出定點的坐標(biāo)．21．已知，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．(1)當(dāng)時，求在處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值點；(3)函數(shù)的圖象上是否存在一個定點，使得對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)，都有成立？證明你的結(jié)論．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義直接求解即可.【詳解】集合，則.故答案為：2．【分析】根據(jù)條件，直接求出，再利用圓柱的體積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，所以，得到，又圓柱的母線長為，所以圓柱的體積為，故答案為：.3．210【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后令的次數(shù)為2，求出，代入通項公式中可求得結(jié)果.【詳解】的二項展開式的通項公式為，令，得，所以項的系數(shù)為，故答案為：2104．【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列各項和公式，結(jié)合公比的取值范圍求解即得.【詳解】依題意，，或，則，或，所以首項的取值范圍為.故答案為：5．【分析】根據(jù)給定條件，利用向量夾角公式結(jié)合共線向量列出不等式組求解即得.【詳解】向量的夾角為銳角，則且與不共線，因此，解得且，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：6．【分析】設(shè)，根據(jù)得到方程組，求出，分兩種情況計算出答案，從而求出.【詳解】設(shè)，則，所以，解得，當(dāng)時，，故，；當(dāng)時，，故，故答案為：-87．【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義求解即得.【詳解】向量，則，所以在方向上的投影為，故答案為：8．3【分析】令，則，然后判斷的奇偶性，再利用函數(shù)的奇偶性求值即可【詳解】令，則，函數(shù)的定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，因為，所以，所以，所以，所以，故答案為：39．4【分析】求出過拋物線焦點的弦長范圍，再利用拋物線定義列式求解即得.【詳解】拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程，令過點與拋物線交于兩點的直線方程為，由消去得，，設(shè)兩個交點為，則，，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，令點的橫坐標(biāo)分別為，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號，所以到軸的距離的最小值為4.故答案為：410．【分析】根據(jù)給定條件，利用條件概率公式計算即得.【詳解】記事件為“運動員開第一槍命中飛碟”，為“運動員開第二槍命中飛碟”，為“飛碟被擊中”，則，，所以飛碟是運動員開第二槍命中的概率為.故答案為：11．6【分析】不妨令，利用正切函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知求出，再利用和角的正切公式分析求解即得.【詳解】在中，不妨令，顯然為銳角，而是整數(shù)，若，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，此時與矛盾，因此，，，整理得，又都是整數(shù)，且，因此，所以.故答案為：612．【分析】確定動點的幾何意義，利用直線現(xiàn)圓的位置關(guān)系分段討論，結(jié)合幾何意義求解即得.【詳解】顯然點在圓及內(nèi)部，直線，直線，由，得直線與圓相離，且，由，解得或，即直線與圓交于點，①當(dāng)時，即點在直線與圓所圍成的小弓形及內(nèi)部，，目標(biāo)函數(shù)，即表示斜率為，縱截距為的平行直線系，畫出直線，平移直線分別到直線，當(dāng)過點時，取得最大值，最小，當(dāng)過點時，取得最小值，最大，因此，，從而；②當(dāng)時，即點在直線與圓所圍成的大弓形及內(nèi)部（不含直線上的點），，目標(biāo)函數(shù)，即表示斜率為，縱截距為的平行直線系，畫出直線，顯直線，平移直線分別到直線，直線與圓分別相切于點，當(dāng)過點時，取得最大值，最小，因此，當(dāng)過點時，取得最小值，最大，因此，從而，所以的取值范圍是.故答案為：

【點睛】方法點睛：求解線性規(guī)劃問題的一般方法：①準(zhǔn)確作出不等式組表示的平面區(qū)域，作圖時一定要分清虛實線、準(zhǔn)確確定區(qū)域；②根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類型及幾何意義結(jié)合圖形判斷目標(biāo)函數(shù)在何處取得最值．13．B【分析】分布列中各項概率大于0，且概率之和為1，從而得到正確答案.【詳解】由題意得，分布列中各項概率非負(fù)，且概率之和為1，顯然AC選項不滿足概率之和為1，D選項不滿足各項概率大于0，B選項滿足要求.故選：B14．C【詳解】分析：由題意結(jié)合分層抽樣的性質(zhì)得到關(guān)于n的方程，解方程即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意結(jié)合分層抽樣的定義可得：，解得：.本題選擇C選項.點睛：進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計算時，常利用以下關(guān)系式巧解：(1)；(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．15．D【分析】舉出反例得到充分性和必要性均不成立.【詳解】不妨設(shè)，則，滿足，但是嚴(yán)格減數(shù)列，充分性不成立，當(dāng)時，是嚴(yán)格增數(shù)列，但，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要條件.故選：D16．B【分析】根據(jù)給定條件，分析聽到的三次回聲情況確定幾個時刻聲音的路程，再列出等式求解即得.【詳解】依題意，令聲音傳播速度為，時刻，剛剛吶喊聲音傳播為0，時刻聽到第一次回聲，聲音的路程為，即從左焦點到左頂點再次回到左焦點，時刻，聲音的路程為，即從左焦點到右頂點，又從右頂點回到左焦點，時刻，聲音的路程為，即從左焦點反射到右焦點，再反射到左焦點，因此，，即，則，即，整理得，所以橢圓的離心率為.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用橢圓幾何性質(zhì)，確定聽到回聲的時刻，回聲的路程是解題的關(guān)鍵.17．(1)(2)【分析】（1）利用等體積法，再根據(jù)條件，即可求出結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為平面，又面，所以，又，，面，所以面，因為面，所以到面的距離即,又，，所以.（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因為，，則，所以設(shè)平面的一個法向量為，由，得到，取，得到，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則由，得到，取，則，所以，設(shè)平面與所成銳二面角為，則.

18．（1）表格見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合“五點法”作圖完善表格.（2）根據(jù)給定條件，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計算即得.（3）根據(jù)給定條件，利用恒等式成立的充要條件推理即得.【詳解】（1）“五點法”作函數(shù)的圖象的5個關(guān)鍵點的橫坐標(biāo)為，所以表格如下：0001010121（2）實數(shù)且，則，因此，所以.（3），依題意，對任意實數(shù)恒成立，因此，所以等式對任意實數(shù)恒成立的充要條件是.19．(1)更適宜作為回歸方程類型；(2)，.【分析】（1）根據(jù)題意，分別求得相關(guān)系數(shù)的值，結(jié)合和，結(jié)合，即可得到結(jié)論.（2）（i）根據(jù)最小二乘法，求得回歸系數(shù)，進(jìn)而求得回歸方程；（ii）當(dāng)時，結(jié)合回歸方程，即可求得預(yù)報值.【詳解】（1）因為的線性相關(guān)系數(shù)，的線性相關(guān)系數(shù)，因為，所以更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對原點的距離的回歸方程類型.（2）依題意，，則，于是，所以關(guān)于的回歸方程為.當(dāng)時，金屬含量的預(yù)報值為.20．(1)證明見解析；(2)；(3)證明見解析，.【分析】（1）聯(lián)立直線和拋物線方程，再利用韋達(dá)定理及數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算即得..（2）求出弦的中點坐標(biāo)及弦的中垂線方程，進(jìn)而求出，再結(jié)合判別式求解即得.（3）設(shè)出D點的坐標(biāo)，求出直線BD的方程，借助（1）的信息，推理判斷即得.【詳解】（1）顯然直線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)過點的直線的方程為，由消去x得：，，則，所以為定值.（2）設(shè)兩點的中點坐標(biāo)為，則，，則，即AB的垂直平分線為，令，解得，顯然，當(dāng)時，恒有成立，則，當(dāng)時，，則，所以的取值范圍為.（3）由A關(guān)于軸的對稱點為D，得，則直線BD：，整理得：.又.因此直線BD為：，即過定點，所以直線過定點.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：①“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；②“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；③求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.21．(1)；(2)答案見解析；(3)不存在，理由見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，再求出切點坐標(biāo)，點斜式寫出切線方程即可.（2）利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點.（3）假設(shè)存在，利用導(dǎo)數(shù)，將等式化簡，減少變量，從而可構(gòu)造適當(dāng)新函數(shù)，研究新函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷.【詳解】（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)得，切線方程為，所以所求切線方程為.（2）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，令，即，即，①當(dāng)時，函數(shù)在定義域內(nèi)嚴(yán)格增,無極值點