高考二輪復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)課件高考滿分大題2數(shù)列求和方法及其綜合應(yīng)用

高考滿分大題二數(shù)列求和方法及其綜合應(yīng)用考點(diǎn)一錯位相減法求和例1(2021全國乙,文19)設(shè){an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足已知a1,3a2,9a3成等差數(shù)列.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;(2)記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項(xiàng)和.證明:解題技巧

“同冪對位”破解數(shù)列中錯位相減法求和

分析模型形如{an·bn}(其中{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列)的數(shù)列求和同冪對位求解關(guān)鍵是通過“錯位”的方式把兩式中冪指數(shù)相同的項(xiàng)對齊,這樣便于找出兩式作差后剩余式子的特征三個注意點(diǎn)(1)差式的項(xiàng)數(shù):兩式作差之后,余項(xiàng)一般為(n+1)項(xiàng);(2)差式的特征:除去前一項(xiàng)和最后一項(xiàng),中間(n-1)項(xiàng)是一個等比數(shù)列;(3)差式的意義:兩式作差得到的是(1-q)Sn,需要進(jìn)行運(yùn)算求出Sn對點(diǎn)訓(xùn)練1(2023全國甲,理17)已知數(shù)列{an}中,a2=1,設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和,2Sn=nan.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;解

(1)由題意可知,2Sn=nan,①當(dāng)n≥2時,2Sn-1=(n-1)an-1,②①-②得2an=nan-(n-1)an-1,∴(n-1)an-1=(n-2)an.考點(diǎn)二裂項(xiàng)相消法求和例2(2023山東濟(jì)南一模)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和記為Sn,且滿足對?n∈N*,都有2Sn=+an.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;規(guī)律方法

裂項(xiàng)相消法求和的解題策略

基本步驟(1)裂項(xiàng):觀察數(shù)列的通項(xiàng),將通項(xiàng)公式拆成兩項(xiàng)之差的形式;(2)累加:將裂項(xiàng)之后的各項(xiàng)相加,寫出和式;(3)消項(xiàng):將中間可以消去的項(xiàng)相互抵消,將剩余的有限項(xiàng)相加,得到數(shù)列的前n項(xiàng)和余項(xiàng)規(guī)律余項(xiàng)呈現(xiàn)對稱性,具體表現(xiàn)在:(1)項(xiàng)數(shù):即前邊余幾項(xiàng),后邊也余幾項(xiàng);(2)順序:前邊余第幾項(xiàng),后邊就余倒數(shù)第幾項(xiàng)對點(diǎn)訓(xùn)練2(2023甘肅蘭州一診)已知數(shù)列{an}中,a1=1,對任意的i∈N*都有an+i-an=i.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;解

(1)∵對任意的i∈N*,都有an+i-an=i,∴當(dāng)i=1時,an+1-an=1.又a1=1,∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,∴an=n.考點(diǎn)三分組求和或并項(xiàng)求和例3(12分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,2(Sn-n+2)=an+1,a2=10,bn=an-1.(1)求證:{bn}是等比數(shù)列;【教師講評—觸類旁通】

分析1:(1)問證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,也就是證明數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列,所以應(yīng)先根據(jù)已知2(Sn-n+2)=an+1,得到數(shù)列{an}的遞推關(guān)系,然后轉(zhuǎn)化為數(shù)列{an-1}的遞推關(guān)系即可得證;分析2:(2)問中{cn}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)對應(yīng)不同的數(shù)列,所以分奇、偶項(xiàng)分別求解.顯然奇數(shù)項(xiàng)是一個等比數(shù)列,但要注意其公比不是3,而是32=9;偶數(shù)項(xiàng)的求和需要利用裂項(xiàng)相消法求解;分析3:數(shù)列分組求和的關(guān)鍵在于根據(jù)通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征準(zhǔn)確分組,通過分組將其轉(zhuǎn)化為兩個或多個簡單數(shù)列的求和,從而達(dá)到最終目標(biāo).對點(diǎn)訓(xùn)練3(12分)(2023山東臨沂一模)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,a1=1,a3+1是a2與a4的等差中項(xiàng),Sn為{an}的前n項(xiàng)和.(1)求{an}的通項(xiàng)公式及Sn;考點(diǎn)四等差、等比數(shù)列的綜合問題例4(2023山東青島一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公差d≠0,S2,S4,S5+4成等差數(shù)列,a2,a4,a8成等比數(shù)列.(1)求Sn;解題技巧

1.證明與判斷一個數(shù)列是等差(或等比)數(shù)列的要求不同,證明必須是嚴(yán)格的,不能用通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式的形式證明.2.無論是求數(shù)列的通項(xiàng)還是求數(shù)列的前n項(xiàng)和,通過變形、整理后,能夠把數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,進(jìn)而利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式解決問題.對點(diǎn)訓(xùn)練4(2023新高考Ⅰ,20)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,且d>1.令,記Sn,Tn分別為數(shù)列{an},