高考數(shù)學(xué)（新高考版）一輪復(fù)習(xí)教師用書素養(yǎng)提升 高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題的提分策略

素養(yǎng)提升1高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答

題的提分策略

示例

⑴討論了(X)的單調(diào)性；

(2)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間［0,1］上的最小值為1且最大值為1?若存在，求出a,b的所有

值;若不存在，說明理由.

思維導(dǎo)引〉本題可拆解成以下幾個(gè)小問題：

⑴①求函數(shù)〃X)=2X3ax2+b的導(dǎo)數(shù);②利用分類討論思想判斷函數(shù)的單調(diào)性.

⑵①對(duì)a分類討論,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;②分別求函數(shù)〃x)的最值，列出關(guān)于a,b的方程

組;②解方程組，判斷a,b是否符合相應(yīng)區(qū)間.

規(guī)范解答〉(劫對(duì)〃X)=2X3ax2+b求導(dǎo)，

得f0=6x22ax=2x(3xa)....................................................

令f'(x)=(X得x=?；騲=：.

若a>0,則當(dāng)xG(8,o)ug,+8)時(shí)/，(x)>0;當(dāng)xG(0,e時(shí)/0<0.故/伍)在(8,0)和6,+8)

上單調(diào)遞增，在(09上單調(diào)遞減....................................................

若。=0/(刈在(8,+8)上單調(diào)遞増................................................。

若0<0,則當(dāng)XW(8,|)U(0,+8)時(shí)/贅)>0；當(dāng)XWg,。)時(shí)/0<0.故/。)在(89和(0,+8)

上單調(diào)遞増，在60)上單調(diào)遞減....................................................0

(2)滿足題設(shè)條件的a,b存在.

⑴當(dāng)a<0時(shí)，由@知,f(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，所以/(x)在區(qū)間［0』上的最小值為〃0)=仇最大值

為/(1)=2a+b廝以b=1,2a+b=l,則a=O,b=1,與a<0笄盾，所以a<0不成立................

(ii)當(dāng)a=0時(shí)，由⑴知，(x)在［0,1］上單調(diào)遞增,所以由〃0)=1/(1)=1得a=O,b=1.......

(iii)當(dāng)0<a<3時(shí),由⑴知,/(x)在銀)上單調(diào)遞減，在尊1)上單調(diào)遞增，所以/(x)在［0,1］上的最小值

3

為了§二/b,最大值為/(0)=b或/⑴=2a+b.

若9b二1/二1,貝1」。二3貶，與0<a<3矛盾..........................................。

若少=1,2o+b=l,則a=3百或a=3厲或a=0,與0<a<3矛盾....................(8)

(iv)當(dāng)應(yīng)3時(shí),由⑴知,/(x)在［0,1］上單調(diào)遞減，所以/(x)在區(qū)間［0,1］上的最大值為〃0)=b,最小值

為/⑴=2。+b,亦以2a+b=l,b=l,則a=4,b=l............................................................................

綜上，滿足題設(shè)的a力存在.當(dāng)a=O,b=1或a=4,b=l時(shí),f(x)在區(qū)間［0內(nèi)上的最小值為1且最

大值為1.........................................................................................................................................................

容感悟升華

閱卷得分晨

現(xiàn)場(chǎng)

①求導(dǎo)正確得1分；

第⑴問②區(qū)間及對(duì)應(yīng)的單調(diào)性正確得1分；

采點(diǎn)得⑦區(qū)間及對(duì)應(yīng)的單調(diào)性正確得1分；4分

分說明④區(qū)m間及對(duì)應(yīng)的單調(diào)性正確得1分.

第⑵問

采點(diǎn)得m8分

分說明

在第(2)問中，假設(shè)存在這樣的a,b,則有

提分(-1</(0)=b<l,—I

1二:〉二)一；“「1所以0<b+l<a<b+3<4.

探源(-1</(I)=2-a+b<l,

于是可避免對(duì)a<0時(shí)的情況的討論.

1.正確運(yùn)用公式

牢記求導(dǎo)公式與法則，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.

2.分類討論要全面

含參問題分類討論是難點(diǎn)，要做到合理分類，不重不漏.

3.定義域優(yōu)先

在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要先確定函數(shù)的定義域，解決問題時(shí)

滿分必須在定義域內(nèi)進(jìn)行.在對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí)，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等

策略于0的點(diǎn)(導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn))外,還要注意定義域內(nèi)不連續(xù)點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn).

4.合理選擇求解方法

在求函數(shù)的最值時(shí)要合理選擇方法.

⑴當(dāng)函數(shù)在心力］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)時(shí)，選擇用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.先令

導(dǎo)數(shù)為0,求出此時(shí)自變量的取值,再求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，再與區(qū)間端點(diǎn)處的

函數(shù)值進(jìn)行比較,最后取最值.

⑵要注意靈活運(yùn)用其他方法求最值，求導(dǎo)不一定最簡(jiǎn)單.

x+1

示例2［2019全國(guó)卷11,12分］已知函數(shù)/(x)=lnX

x-11

⑴討論〃x)的單調(diào)性,并證明/(X)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

(2)設(shè)xo是/(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)4(xo,lnxo)處的切線也是曲線y=ex的切線.

思維導(dǎo)引KD

給什

由f(x)=lnx書得其定義域.

么

得什由/'(刈=：+帰>。得單調(diào)性―

么

求什

么

要證明/(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，即要證明/(x)在(0,1)和(1,+8)上分別有一個(gè)零點(diǎn).

想什

么

差什在(1,+8)內(nèi)分別取兩個(gè)特殊值，使得一個(gè)函數(shù)值小于0,而另一個(gè)函數(shù)值大于0(可取

么e,e)即可證明〃x)在(1,+8)上有一個(gè)零點(diǎn)，記為xi.

找什

注意到/(§=Inx*nx+77=f(x),即可證明/(x)在(0,1)上有零點(diǎn);

么尸1

⑵

給什

么由Xo是/(x)的一個(gè)零點(diǎn)知Inxo二絲二

得什x()T

么

易知點(diǎn)6(InxoJ)在曲線y=ex上，要證明曲線片Inx在點(diǎn)厶處的切線也是曲線y=ex

差什x0

么

的切線，只需證明直線A8的斜率和曲線y=lnx在點(diǎn)厶處的切線的斜率及曲線丫=^在

找什

么

點(diǎn)8處的切線的斜率相等.

規(guī)范解答＞(l)/(x)的定義域?yàn)?0,l)U(l,+8).

因?yàn)閒’(x)U產(chǎn),

所以〃x)在(0,1)和(1,+8)上單調(diào)遞增..............................................

因?yàn)閒(e)=l詈＜0,/的=2礬=等0,

所以/(x)在(1,+8)上有唯一零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為xi,則/(Xi)=0.....................................................，

又0＜Ll,/(丄)=Inxi鈣=/(xi)=0,故/(x)在(0,1)上有唯一零點(diǎn)丄.

綜上，(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)......................................................I

⑵因?yàn)閬A=e」nx。,故點(diǎn)8(Inxo,與在曲線片e*上..................................

由題設(shè)知/(刈)二0,即InXo=^7，

x()T

丄1睜上弁,

連接A8,則直線AB的斜率kAB=^—=普土=.................................!

-InX0-XQ.0....XqXQ

曲線片e、在點(diǎn)8(InxoJ)處的切線的斜率是丄，曲線y=lnx在點(diǎn)4(xo,lnx°)處的切線的斜率也

工0X0

是所以曲線y=lnx在點(diǎn)4(xo,

InX。)處的切線也是曲線片ex的切線..............................................12分

1.得步驟分:抓住得分點(diǎn)停得滿分.如第⑴問中，求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，利用

零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2.得關(guān)鍵分:解題過程中不可忽視關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無則沒分.如第(1)

滿分

策略

問中，求出/(x)的定義域?yàn)?0,l)U(l,+8),判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)

性;第⑵問中，找關(guān)系式Inx0=",判定直線AB的斜率與曲線片Inx在

XQ-1

點(diǎn)A(x0,lnx。)處的切線的斜率及曲線'=心在點(diǎn)B處的切線的斜率相等.

3.得計(jì)算分:解題過程中計(jì)算準(zhǔn)確是得滿分的根本保證，如第⑴問中，

求/，(x)準(zhǔn)確是關(guān)鍵,否則全盤皆輸.第⑵問中，正確計(jì)算公8等是關(guān)

鍵,否則不得分.

第(2)問也可用如下思路求解：

先求出片Inx在點(diǎn)厶處的切線方程片上+lnx01;

x0

再求出y二e、在點(diǎn)(X2,e*2)處的切線方程y=eX2-x+eX2(lX2),由e*=丄知

x0

一題

多解X2=Inxo,則y=j+^-(1+lnx0).

于是只需證明3l+lnxo)與Inxo1相等，將Inxo=黑分別代入彳導(dǎo)它們

均為二-,即可證明.

XQ-1

區(qū)獨(dú)［2018全國(guó)卷I,12分］己知函數(shù)/(x)=：x+olnx.

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

⑵若/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)Xi,X2,證明:號(hào)等<。2.

⑴|求f(x)的定義域,對(duì)函數(shù)“X)短kl對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論，即可判斷〃x)的單調(diào)性I

⑵|結(jié)合⑴，求出f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)MM時(shí)a的取值范圍，以及-xz的關(guān)系式以那汕逆|進(jìn)行轉(zhuǎn)向J構(gòu)造函數(shù)b幅

xl~x2

所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，即可證得籲

解析》(l)/(x)的定義域?yàn)?O,+8)J?)=>吒=手1.......................................................:

①若042,則/，(x)W0,當(dāng)且僅當(dāng)a=2,x=l時(shí)/0=0,所以,但在(0,+8)上單調(diào)遞減....

②若。>2,令/'(x)=0相乂=學(xué)或*=當(dāng)亙.

當(dāng)xG(0,f)U(厘,+句時(shí)/'(x)<。；

當(dāng)XC(甲，竺尹)時(shí)/'?>0.

所以〃x)在(0,空經(jīng))和(當(dāng)亙,+8)上單調(diào)遞減，在("竺，竺經(jīng))上單調(diào)遞增.............>:

(2)由(1)知，若/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則a>2....................................................................................6%

因?yàn)?(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)X1,X2滿足X2GX+l=0,所以X1X2=1,不妨設(shè)X1<X2,則%2>1...................

因?yàn)?當(dāng)必超?二丄1+alnxE!nxi=2+QM^2=2+O^f.....................................................9吋

xi-xXiXxxxx-L-X

22r2r2x22

所以f(x)f(x2)<a2等價(jià)于丄x2+2lnx2<0...................................................................................10句

xrx2x2

設(shè)函數(shù)g(x)=：x+2lnx,由⑴知,g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，又g(l)=0,所以當(dāng)x￡(l,+8)時(shí),g(x)<0.

分

所以看必+如冰。，即/a2...........................................................................................2

本題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值點(diǎn)與不等式

命題的證明等,考查考生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力

探源等，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想等,考查的

核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

素養(yǎng)考查途徑

素養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算求/，(x),解方程，代數(shù)式恒等變形等.

探源分類討論，由導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，輔助函數(shù)

邏輯推理

的構(gòu)造等.

a.計(jì)算失誤.如求/，(x)出錯(cuò)，或求號(hào)*出錯(cuò).

b.不善于分類討論.在第⑴問中，求出f'(x)=號(hào)二,沒有想到用分

類討論的方法確定了，(x)在(0,+8)上的符號(hào).

失分C.忽略函數(shù)的定義域.沒有注意到/(X)的定義域，導(dǎo)致第⑴問出錯(cuò)，或

探源使分類討論過程復(fù)雜(潛在失分).

d.不善于發(fā)現(xiàn)隱含條件.在第(2)問中沒有想到xi,X2是方程X?ax+l=0

的兩根，從而沒有運(yùn)用X1X2=1.

e.不善于轉(zhuǎn)化.沒有將2+。警2轉(zhuǎn)化為丄X2+2lnx2<0,進(jìn)而構(gòu)

不發(fā)"

造函數(shù)求解.

高考中的解答題在閱卷評(píng)分時(shí),一般是"據(jù)點(diǎn)給分"或"分段給分".依

據(jù)該題考查的知識(shí)點(diǎn)和基本技能，分步給分，只要在解答過程中抓住

得分點(diǎn)，就能得到步驟分.相應(yīng)地，考生分段得分一般有兩種措施：

提分

①分步解答，能寫幾步就寫幾步，得到相應(yīng)的步驟分.②跳步解答，若

探源

解題中卡在某一處,來不及證明中間結(jié)論，則可以跳過這一步，寫出后

續(xù)步驟;若題目的第一問做不出來，可將第一問作為“已知"，完成第二

問,也可能得分.

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)類解答題，無論是單調(diào)性、極值、最值問題還是不等式問

答題

題，需要先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性來求解，因

策略

此掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系尤為重要.

[12分]己知函數(shù)/?)=呼.

⑴求函數(shù)〃x)在[1,+8)上的值域;

(2)若Vxe[l,+8)jnx(lnx+4)42ax+4恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

[2020江西紅色七校第一次聯(lián)考,12分]已知/(x)=，(x+2)o(x+lnx)(oeR).

⑴討論/(x)的單調(diào)性;

⑵若/(X1)=/(X2)(X1HX2),證明：X1+X2>2a

[2020洛陽市第一次聯(lián)考,12分]已知函數(shù)〃x)=Hnxx2+(2al)x,其中aCR.

⑴當(dāng)a=l時(shí),求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)/(x)的極值；

⑶若函數(shù)〃x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍.

[12分]己知函數(shù)f(x)=ex1bx2+ax(o,t(GR).

⑴當(dāng)a>1且b=l時(shí)，試判斷函數(shù)〃x)的單調(diào)性.

⑵若a<le且b=l,求證:函數(shù)/(x)在口,+8)上的最小值小于點(diǎn)

⑶若/(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，求ab的最小值.

素養(yǎng)提升1高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答

題的提分策略

1.⑴易知f-(x)=^<0(x>l),(1分)

"(X)在［1,+8)上單調(diào)遞減/(x)max寸⑴=2.(3分)

VX>1時(shí),/(x)>0,

"(x)在［1,+8)上的值域?yàn)?0,2］.(5分)

(2)令g(x)=lnx(lnx+4)2ax4,xG［l,+8),

則g，(x)=2(平a),(6分)

①若加0廁由⑴可知0(x)>0,g(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增，

Vg(e)=l2oe>0,與題設(shè)矛盾,???皿0不符合要求.(7分)

②若g2,則由⑴可知@(x)40,g(x)在口,+8)上單調(diào)遞減,

Ag(x)<g(l)=2a4<0,；.oN2符合要求.(8分)

③若0<。<2,則三乂0￡(1,+8),使得也辺=0,

則g(x)在口而上單調(diào)遞增，在(xo,+8)上單調(diào)遞減,

g(x)max=g(xo)=lnXo(lnXo+4)2ax04.(9分)

Inxo=axo2,

；?g(X)max=(GXo2)(oxo+2)2axo4=(OXO+2)(OXO4).

由題意知g(x)max?O,即(axo+2)(oxo4)VO,解得2<crx0<4,

2

即2<lnx0+2<4=>l<x0<e.(10分)

???。=土，且由(1)可知f(刈=吧在(1,+8)上單調(diào)遞減，

XQX

4八

：.^<a<2.(11分)

綜上,。的取值范圍為0,+8).(12分)

【解題關(guān)鍵】根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)并合理運(yùn)用已知結(jié)論是解決本題的關(guān)鍵.

2⑴f(x)的定義域?yàn)?0,+8),

由/(x)=，(x+2)a(x+lnx),

得/，(x)=x+la滬立產(chǎn)=竺臀，

若aVO,則/，(x)>0恒成立,/(x)在(0,+8)上是增函數(shù)；

若a>0,則當(dāng)0<x<a時(shí)/，(x)<0,當(dāng)x>a時(shí),/'(x)>0,

則〃x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增.

綜上可得，當(dāng)加0時(shí)〃x)在(0,+8)上是增函數(shù)；

當(dāng)a>0時(shí)，(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增.(6分)

(2)由⑴知，當(dāng)aSO時(shí)/(x)在(0,+8)上是增函數(shù),

不存在/(Xi)=/(X2)(X1WX2),所以O(shè)>0.

由⑴知當(dāng)a>0時(shí)((x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增，存在/(X1)=/(x2).

不妨設(shè)0<Xi<a<X2,設(shè)g(x)=/(a+x)/(ax),xG(0,a),

則g'W=/1(0+x)+f'(ax),

又由⑴知/'仕)=空警,可得“(刈寸'(a+x)+f'(a、)=魚等+竺詈國(guó)

因?yàn)閤0(0,o),所以gl(x)=^j<0,

所以g(x)在(0,o)上單調(diào)遞減，所以g(x)<0,

即當(dāng)x(0,a)Blj(a+x)<f(ax),由于0<axi<a,

則/(a(axi))>/(a+(axi)),

即/(xi)=/(o(axi))>/(a+(axi))=/(2aXi).

又f(X2)=/(X1),則有/(X2)>/(2axi).

又X2>a,2a*1>°/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以X2>2OXI,即XI+X2>2G.(12分)

3.⑴當(dāng)o=l時(shí)/(x)=lnxx2+x(x>0)/()彳2x+l=嗎⑴]).

當(dāng)/，(x)<0時(shí),x>l;當(dāng)/，(x)>0時(shí)Q<x<l.

???函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1).(3分)

⑵/(x)的定義域是(0,+8)/f(x)=;2x+(2a1)=3+產(chǎn)).

若a《0,則f，(x)<0,此時(shí)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，無極值；(4分)

若a>0,則由f，(x)=0,解得x=a,

當(dāng)0<x<a時(shí)/，(x)>0,當(dāng)x>a時(shí)/1(x)<0,(5分)

???/(x)在(0,o)上單調(diào)遞增，在(q+8)上單調(diào)遞減，

???當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)〃x)取極大值，極大值為/(a)=a(lna+a1),無極小值.(7分)

(3)莊I⑵可知，當(dāng)a<0時(shí)Rx)在。+8)上單調(diào)遞減，則〃x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去.

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(x)的極大值為〃o)=o(lna+a1).

令g(x)=lnx+xl(x>0),

則g，(x)=}1>0,?，?g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又g(l)=O,/.當(dāng)0<x<l時(shí),g(x)<0；當(dāng)x>l時(shí),g(x)>0.(9分)

(i)當(dāng)0<聡1時(shí)/(a)=og(o)WO,則函數(shù)〃x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去.(10分)

(ii)當(dāng)a>lB't,/(a)=ag(a)>0,

1)-父0,

.??函數(shù)/(X)在(30)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，

e

/(3al)=oln(3a1)(3al)2+(2al)(3al)=a[ln(3a1)(3a1)].

設(shè)h(x)=lnxx(x>2),

則h'(x)=：1<0,，人,)在(2,+8)上單調(diào)遞減，

則h(3al)<ln22<0,

，函數(shù)/(x)在(a,3a1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，函數(shù)/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍為(1,+8).(12分)

4.⑴由題意可得/，(x)=exx+a