2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州市常熟市高二年級上冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

江蘇省蘇州市常熟市2023-2024學(xué)年

高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

注意事項：

學(xué)生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求：

1.本卷滿分150分，答題時間為120分鐘.答題結(jié)束后，請將答題卷交回.

2.答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卷

的規(guī)定位置.

3.請在答題卷上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效.作答必須用

0.5毫米黑色墨水的簽字筆.請注意字體工整，筆跡清楚.

4.請保持答題卷卷面清潔，不要折疊、破損.一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

［已知集合S=W=2"+L"GZ},T=依而+L"Z},則s?T（）

A.0B.Sc.TD.Z

R答案》C

K解析D任取小了，貝產(chǎn)4〃+1=2?2〃）+1,其中〃eZ,

所以，teS,故T±S,因此，S（\T=T

故選：C.

2,則0的否定是（）

AVx<0,A"<0BVx<0,x2<0

C3^<0,^2<0口3x<0,x2<0

K答案UD

K解析U因為命題〃：也<°，*>°,所以0的否定是太

故選：D.

3.在空間中，/,m是不重合的直線，a,B是不重合的平面，則下列說法正確的是（）

A.若Pa,mu。，&〃￡，則/〃加

B.若l〃m,mu0,則/p

C若a（3=m,/_L”則/J?4

D.若/'a,/〃m，a"B,則根，力

K答案》D

K解析［若/ua,mu/3,a〃尸，則/〃加或/，相異面，故A錯誤;

若1〃m,mu/3,則/B或Iu0,故B錯誤；

若a，戶,a0=m,1tm,可能有/u〃，故c錯誤；

若/_La,/〃加，則〃z_La,又夕〃尸，則加，〃，故D正確,

故選：D.

4,函數(shù)尸（2"-2）smx在［_兀,兀］的圖象大致為（）

K答案》A

K解析』設(shè)個）=（2、一2一》叫則仆=（23卜g）",

故f（x）為卜乃，句上的偶函數(shù),故排除B.

/田=2二2一久0

又⑴，/（0）=0,排除c、D.

故選：A.

AE=-ABCF=-CD

33,G為EF的中點，則°G=(）

-AD--AB-AB--AD

A.22B.42

11

-AD--AB-AB——AD

C.42D.22

K答案』D

1

DG=-DE+-DF

K解析U22

^-（DA+AE]+——DC

2、>23

=-\-AD+-AB\+-AB

2（3J3

1-If

—AB——AD

22

故選：D.

.（兀）3，兀兀）

sina+—\=-,a——，一

6,已知13J5I26人則sina的值為（）

3-4^3+463-2百3+26

A.10B.10C.10D.10

隋案》A

（兀兀、兀（兀兀）

aG——，—a+—e——

K解析》因為I26人所以3I62人

..(兀兀、.，兀、兀(兀、.兀

sina=sina+------=sina+—cos------cosa+—sm—

(33jV3J3i3j3

314733-473

=—x--------x-----=------------

525210

故選：A.

7.古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基

礎(chǔ).現(xiàn)根據(jù)劉徽的《重差》測量一個球體建筑物的高度，已知點A是球體建筑物與水平地面

的接觸點（切點），地面上8,0兩點與點A在同一條直線上，且在點A的同側(cè).若在8,C

處分別測得球體建筑物的最大仰角為60。和20。，且8C=100m,則該球體建筑物的高度約

50

--------m---------m--------m--------m

A.cos10°B.cos10°c.sin10°D.sin10°

K答案》B

K解析H如圖所示：設(shè)球的半徑為R,

則AB=tan60/?=也R

人一RR

tan（泊-tan10

lOOsinlOlOOsinlO

BC——GR=100nH=-——

tan10_J__fjcos10-Gsin102sin(30-10)

tan10

50sinl0_25

2sinl0cos10cos10,

2R=50

所以cos10,故選：B.

AB

8.在四面體ABC。中，已知二面角A-3。-C為直二面角，ZBA￡）=90°,NCBD=45。,

AB=AD=.,設(shè)4。='（'>°）.若滿足條件的四面體43。。有兩個，則/的取值范圍

是（）

A(°4)BH)c("3)0S同

K答案》D

R解析》取8。中點為E,連接AE,EC

A

M

因為N3AD=90°,AB=AD=6,E為BD中點、,

_R口ABV6

所以A￡_L8D,且垃2,

因為4￡u平面4冷，又二面角A-BO—C是直二面角1,所以AEL平面BCD,

又ECu平面BCD,所以AE_LEC

在二BCE中，/CBD=45°,由余弦定理得：

EC2=BE2+BC2-2BE-BCcos45°=-+BC2-2x-—BC--=-+BC2-V3BC

2222

EC2=AC2-AE2=AC2--AC2--=-+5IC2-j3BC

又2所以22

22

即BC-y/3BC+3-AC=0t

設(shè)3C=a(a>0),即/_6a+3_/=0,

滿足條件的四面體A88有兩個，所以a有兩個正根,

A=-9+4/2>0

*

所以I3-/2>0,所以

故選：D.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯或不選的得0分.

9.已知i為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（）

234

Ai+i+i+i=0

B.3+i>l+i

C.若z=°+2i）,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第四象限

D.已知復(fù)數(shù)z滿足|Z-2I|=3,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為圓

R答案HAD

K解析FA：i+i2+F+i4=iT_i+l=0,本選項正確；

B：因為兩個復(fù)數(shù)不能比較大小，所以本選項不正確；

C：因為z=（l+2i）2=l+4i-4=-3+4i,

所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第二象限，因此本選項不正確；

D：因為憶—2"=3,所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為圓心為（°，2）,半徑為3的圓，因

此本選項正確，故選：AD.

10.袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,從中有放回地依

次隨機摸出2個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第一次取出的

球的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字都是偶數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球

的數(shù)字之和為6”，則（）

A.甲與乙是對立事件B.甲與乙是互斥事件

C.丙與丁相互獨立D.甲與丁相互獨立

K答案》BD

R解析2設(shè)甲、乙、丙、丁事件分別對應(yīng)A，B,C,0,

則=l

丁包含的基本事件有。5），（24），（3,3）,（4,2）,（5,1）,

P（￡＞）=—=-P（C￡））=2=2尸（AQ）=」_=J_

則'）5x55,'）5x525,v'5x525.

3

P（A）+P（B）=-^1

對于A、B,顯然甲乙事件不能同時發(fā)生，又5，則A錯誤；B正確；

24

對于c,石'""（0=法，則P（8）“（C"（D）,則c錯誤；

對于D,0（犯總‘尸"⑵總，貝/（班=,位（切口正確.

故選：BD.

11.若定義在R上的奇函數(shù)"X）滿足/（*）=/=一X）,且當(dāng)xe（o,l］時，/（彳）=匕則（）

A.y=/（x+l）為偶函數(shù)B.在（3,5）上單調(diào)遞增

C./“）在（一工一1）上單調(diào)遞增D./*）的最小正周期丁=4

R答案UABD

K解析》由/（幻=八2-x）得函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于％=1對稱，函數(shù)/（X+D的圖象是由

函數(shù)“X）的圖象向左平移一個單位長度得到的，所以函數(shù)/（X+D的圖像關(guān)于），軸對稱，所

以函數(shù)/（x+D是偶函數(shù)，故A正確；

由/（x）=/（2-x）得/（-）=/（2+x）=-/（刈，所以/（4+幻=/（x）,小）的最小正周

期為4,故D正確；

當(dāng)xe（O,l］時，/（x）=x,因為/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)xe［T,O）時，/（x）=x,

且/（0）=0,所以/（x）在（-L1）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，因為/（X）的最小正周期

7=4,所以f（x）在（3,5）上單調(diào)遞增，在（一'一1）上單調(diào)遞減，故B正確，C錯誤.

故選：ABD.

12.如圖，若正方體A'。。一"CQ的棱長為2,點M是正方體在側(cè)面8℃由上的一個

動點（含邊界），點。是A4的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

3G

A'r-i-

C

IAOB

A.三棱錐P-°。附的體積為定值

572

B,四棱錐P-外接球的半徑為4

C.若RM,°P,則4M的最大值為2&

675

D.若D'M1DP,則4"的最小值為5

[答案XABD

K解析》對于A：

三棱錐P-DD]M的體積為v/銖?fù)饨蠱=".般M啊，

因為點p是的的中點，所以的面積Sp四=5'2><2=2是定值，

且點M到平面「DR距離是正方體的棱長2,

14

所以三棱錐P—。2M的體積“"叩=憶雌…“=§小2二為定值，故A正確,

對于B：

由正方體的性質(zhì)可得四棱錐「一BDD'用為正四棱錐,

設(shè)BD「DBi=Q則PQJL平面曲附

所以四棱錐°一8”>內(nèi)外接球的球心。在直線尸。上，

設(shè)外接球的半徑為R,則明=42。+(2回2=2上,0,2=73PD[=,2?+/=),

所以PQ=J(石>一(君>=0,

R_550

在，OQq中，OQ2+QD：=OD：,即(/?_&)、(G)JR;解得一2a-4,故B正

確；

對于C：

過點p作PK,BB、,則點K是網(wǎng)的中點，

連接KC,取BC的中點N,連接N&,A",4G,

因為PK〃A8且PK=AB,AB=CDRAB〃CD,所以PK//CD且PK=CD,

所以四邊形PKC。為平行四邊形，所以KC//PD,

v.KBCaNCC、訴D.NNC￡=ZBCKvNNC,+NC、NC=90°

所以NBCK+NGNC=9。。，所以CN_LKC,

又AG,平面BBgCKCu平面BB￡C所以D,C,1KC

又DCnC[N=G,￡>|G，GNu平面￡>[C]N,所以KC_L平面RGN,

所以。P_L平面AG',因為平面℃而平面四C|C=GN,

又RMJLDP所以點n的軌跡是線段GN,

在—AGN中AC=2拒GN=QNC'+CC；=#>A,N=ylA^+AB2+BN2=3

所以4"的最大值為3,此時用與N重合，故c錯誤；

cos紹NC廣超病T乎丫=旦

對于D：在AG'中,2x3xV55

d=AN-sinZA.NC.=3x—=

所以點A?到dr"w的距離為55

述

所以4"的最小值為5，故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.計算：1嗚12+2叱*［嗚4=

K答案211

io

log,12+2”陶5—log4=log,—+2x2*5=1+2x5=11

K解析》\4

故K答案》為：11.

2兀

14.若圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為3,半徑為2的扇形，則這個圓錐表面積為

8K2+47T

R答案》9

K解析》設(shè)圓錐底面半徑為，扇形的弧長為"

=生*2=竺4兀

2nrr--

因為33,所以3

S「袖=?*竺=近

所以僧339

8兀之4兀8兀2+4兀

S圓錐=§側(cè)+冗產(chǎn)=---1--=---

999

87+4兀

故R答案』為：9

15.寫出一個定義域不是R,但值域是R的奇函數(shù)y（x）三

R答案1taru（R答案X不唯一，合理即可）

（解析力由正切函數(shù)性質(zhì)可知滿足條件，即/（x）=tanx

故K答案》為：tanx（R答案》不唯一）.

tanC

16.在銳角三角形ABC中，已知2sin?A+sin2_8=2sin2C,則tanA

tanAtan8tanC的最小值是.

叵

隋案232

K解析』因為Zsin?A+sin2B=2sin2。,

2,,c2=ci2+—

由正弦定理得2。-+匕=2c-,從而2

「cr-c1hsinB

cosC=---------------=——=--------

則2ab4Q4sinA,

4sinAcosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC

所以

tanC_3

gp有3sinAcosC=cosAsinC,tanC=3tanA即（anA-

tanA+tanC4tanA

tanfi=-tan（A+C）

tanAtanC-13tan2A-l

11113tan2A-l19tan2A+13

----1-----1-----=-----1---------1-----=---------

則tanAtanfitanCtanA4tanA3tanA12tark4

3A13B-13-岳

—tanA+--------->2J—tanAx----------=------

412tanAV412tanA2

九tad姮

當(dāng)且僅當(dāng)412tanA,即3時取等號.

所以tanAtanBtanC的最小值為2

叵

故R答案》為：3,2.

四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17已知復(fù)數(shù)z=（m7）+W+l）i（meR）.

（1）若z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第二象限，求”的取值范圍;

（2）若z為純虛數(shù)，設(shè)z3,z?-z在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為A,B,求向量在向量

上的投影向量的坐標(biāo).

解：⑴z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為（加一1，加+1）,

因為點（"一1'加+1）位于第二象限,

/n-1<0

所以W+l>0,解得-1<機<1.

所以加的取值范圍為（T」）；

（2）因為z為純虛數(shù),

m-1=0

V

所以W+解得加=1,

所以z=2i,所以z、(2i)3=-8i,z2_z=_4_2i,

04=(0,-8),OB=(-4,-2)

OAOB8)

OB=-(-4,-2]=

20v75>

所以由

<16_8

即向量04在向量上的投影向量的坐標(biāo)為I5’5

18.某企業(yè)為了深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，組織全體120位黨員開展“學(xué)習(xí)二十大，爭

當(dāng)領(lǐng)學(xué)人”黨史知識競賽，所有黨員的成績均在［75,10°］內(nèi)，成績分成5組，按照下面分組

進行統(tǒng)計分析：第1組［75,80）,第2組頤，85）,第3組除財，第4組［90,95）,第§

組［95,100］，并繪制成頻率分布直方圖如圖所示，按比例分配的分層抽樣的方法在第3,4,

5組共選取6人作為企業(yè)“二十大精神”的宣傳使者.

頻率

組距

Ov7580859095100分?jǐn)?shù)

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計黨員成績的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)；

（2）若從6位宣傳使者中隨機選取兩人參加宣傳活動，求第3組中至多有一人被選中的概

率.

解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，

小于90分的黨員成績所占比例為（ooi+oa+s06”"？，

所以黨員成績的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)位于設(shè)°，95）內(nèi)，

可以估計黨員成績的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為92.5；

（2）由頻率分布直方圖可知，第3,4,5組黨員人數(shù)的比例為3：2：1,

6x---=3

按比例分配的分層抽樣的方法選取第3組黨員人數(shù)為3+2+1人.

將第3組三位黨員編為A,B,C,其他組三位黨員編為O,E,F,

用為，々表示兩位黨員，則可以用（*，9）表示隨機選取兩人的組合，

設(shè)事件M=”從宣傳使者中隨機選取兩人，第3組中至多有一人被選中”，

試驗的樣本空間Q=｛（A8），（A，C），（A,D）,（A,￡：）,（AF）,（B,C）,（B,￡＞）,

A/=｛（AD）,（A,E）,（AF）,（S,D）,（B,E）,（5,F）,（C,D）,

（C,E）,（C,F）,（D,E）,（Z）,F）,（￡,F））

124

155

/（x）=V3sin（0龍+9）+1-2cos21）（①>0,0<°<兀）

19.已知函數(shù)12J為奇函數(shù)，

71

且/（X）圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為2.

（1）求“X）的K解析》式及單調(diào)減區(qū)間；

兀

（2）將函數(shù)/（力的圖象向右平移1個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的萬（縱坐標(biāo)不

71n

變），得到函數(shù)，=g（x）的圖如當(dāng)LW'Zl時，求方程g-（x）+3"g（x）+6=°的

所有根之和.

解：（1）由題意可知，

/（x）=V3sin（69X+^）-cos（cox+cp）=2sincox+（p--

函數(shù)I6人

f（y\勺---=kll

又因為函數(shù),I刃為奇函數(shù)，所以可得6,ZeZ,

_兀

又夕€（°'兀），解得夕6,

因為函數(shù)“X）圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為5,

T2兀

1=---=兀

可得周期I?,由。>0可得0=2.

__71__.37

士方南將〃x）=2sin2x

故函數(shù)J、.令，2

.兀,3兀

E+一,攵兀H---

可得單調(diào)減區(qū)間為144」，AeZ.

兀

（2）將函數(shù)/（力的圖象向右平移％個單位長度,

y=2sin|2x--|

可得【3J的圖象，

j_y=g(x)=2sin|4x--j

再把橫坐標(biāo)縮小為原來的5,得到函數(shù)I3人

由方程屋(小38w(可+6=。得g(x)=-6或g(x)=-28

--sin(4x/]=_G

2或I3>

即(舍)

K71“兀5TI5兀

xe4x——e

8

當(dāng)-2-時,3

4r兀_2兀兀4兀5兀

所以33或5■或3或3；

即方程有四個實數(shù)根，不妨設(shè)為辦，々，工3，％4；

,兀/兀)兀,兀2兀4兀571-

4x——+——+——+4兄——=---O-++—+—=2兀

可得JJ33333

5兀571

Xj+/+七+元?=----

所以6,故所有根之和為6.

20.記J3C的內(nèi)角A叢°的對邊分別為之仇c,已知-ABC的面積為⑺，。為BC中點,

且AO=1.

71

ZADC=-

(1)若3,求tan3；

(2)若從+。2=8,求<c.

7T

ZADC^-

解：(1)方法1：在"RC中，因為。為3c中點，3,AD=1,

Ixlx-Lax

SAnc=-AD-DCsinZADC=

則222282ABe2,解得a=4.

2兀

ZADB

在△A3。中，3,由余弦定理得c?=BO?+AD?—2BZZADcosNADB,

c2=4+l-2x2xlx(--；)=7r,

即:2,解得c=，

2戶不、2V21

sinB=Vl-cosB=-F=14

9

.?sin8A/3

tanB=----=——

所以COS55.

方法2：在中，因為。為8c中點，3,AD=1,

百一8_1e

=

SADC=—AD-DCsinZ.A.DC=—xlx—cix—=—a=-SARr—

則2222824BC2,解得。=4,

在，ACO中，由余弦定理得〃2=C02+A￡>2-2CD-ADcosZADB9

h2=4+l-2x2xlxl=3,/-

即2,解得"=

有AC2+AC>2=4=CD2,ijiijZCAD=2,C=6,

3心.6

CE-ACcosC=—,AE==ACsinC=——

過A作于E,于是22

,5…AE6

BDE=—tanB=---=——

2,所以BE5.

(2)方法1：在△ABD與r.ACf)中，

-

21,1

c=~a~+1-2x—tzxlxcos(7t-ZAZ)C)

11

b~9=—a9"+l-2x—?xlxcosZADC

由余弦定理得142

—a~+2—b~+c'-.

整理得2,而b-+c-=8,則a=2A/3,

S=—x-73x1xsinZ.ADC=

又22解得sinNAQC=l,

ZADC=-

而0<ZADC<7T,于是2,

所以6=c=J+CD?=2

方法2：在?43c中，因為。為5c中點，則2A￡)=A3+AC,又C8=A3_AC,

?2_2.

于是45一+。夕=(AB+AC)2+(AB—ACf=2(力2+。2)=16,

即4+/=16,解得。=2百，

SAnr=—x73x1xsinZ.ADC=—

又22,解得sin4DC=l,

ZADC=-

而0<NA￡>C<7t,于是2,

所以人=c=VAD^+CD^=2

21.如圖，四棱錐尸一ABCZ)中，PAL平面ABCQ,AD//BC,AD±CD,且

AD=CO=2,3c=4,PA=&

（1）求證：ABIPC.

V26

（2）已知M為線段PO上一點，若與平面A3CD所成角的正切值為26,試確定M

點位置；并求此時二面角“一A。一。的大小.

（1）證明：因為AD〃8C,AD±CD,AD=CD=2（BC=4,

所以四邊形ABCZ）是直角梯形，且AC=20,AB=&BC-AD）+CD?=2五，

故A§2+AC2=16=8。2,即ABIAC

又PA_L平面ABC。，A5u平面ABC。，所以PA_LAB.

又P4AC=A,且PAACu平面PAC,所以平面PAC,

又PCu平面PAC,所以AB_LPC；

（2）解：過點”作MN_LA。于點N,連接5N,

因為PAJ■平面ABC。，ADu平面ABC。，所以R4_LA￡>,

因為MN,P4u平面尸A。，所以MN"PA,

因為24,43,所以MNLAB,

因為ABcAZ）=A,AB,ADu平面ABC。，

所以MNL平面ABCD,則ZMBN為BM與平面ABC。所成的角

設(shè)4V=x（O?xW2）

則ND=2T,MN=￥