離散數(shù)學(xué)二元關(guān)系和函數(shù)

關(guān)于離散數(shù)學(xué)二元關(guān)系和函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中，函數(shù)是在實(shí)數(shù)集合上進(jìn)行討論的，其定義域是連續(xù)的。本章把函數(shù)概念予以推廣⑴定義域?yàn)橐话愕募?，支持離散應(yīng)用。⑵把函數(shù)看作是一種特殊的關(guān)系：?jiǎn)沃刀P(guān)系。4.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第2頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天函數(shù)定義定義

設(shè)F為二元關(guān)系,若

x∈domF都存在唯一的y∈ranF使xFy成立,則稱F為函數(shù).對(duì)于函數(shù)F,如果有xFy,則記作y=F(x),并稱y為F在x的函數(shù)值.例1F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}

F2={<x1,y1>,<x1,y2>}

F1是函數(shù),F2不是函數(shù)4.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第3頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天函數(shù)與關(guān)系的區(qū)別從A到B的函數(shù)f與一般從A到B的二元關(guān)系R有如下區(qū)別：A的每一元素都必須是f的序偶的第一坐標(biāo)，即dom(f)=A；但dom(R)

R若f(x)=y，則函數(shù)f在x處的值是惟一的，即(f(x)=y)(f(x)=z)(y=z)，；但(xRy)(xRz)得不到y(tǒng)=z4.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第4頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1

設(shè)A={1,2,3,4,5}，B={6,7,8,9,10}，分別確定下列各式中的f是否為由A到B的函數(shù)。(1)f={(1,8),(3,9),(4,10),(2,6),(5,9)}(2)f={(1,9),(3,10),(2,6),(4,9)}(3)f={(1,7),(2,6),(4,5),(1,9),(5,10),(3,9)}解

（1）能構(gòu)成函數(shù)，因?yàn)榉虾瘮?shù)的定義條件。（2）不能構(gòu)成函數(shù)，因?yàn)锳中的元素5沒(méi)有像，不滿足像的存在性。（3）不能構(gòu)成函數(shù)，因?yàn)锳中的元素1有兩個(gè)像7和9，不滿足像的惟一性。

4.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第5頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天函數(shù)相等定義設(shè)F,G為函數(shù),則

F=G

F

G∧G

F

一般使用下面兩個(gè)條件：

(1)domF=domG

(2)

x∈domF=domG都有F(x)=G(x)

實(shí)例函數(shù)

F(x)=(x2

1)/(x+1),G(x)=x

1不相等,因?yàn)閐omF

domG.

4.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第6頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天從A到B的函數(shù)定義

設(shè)A,B為集合,如果

f為函數(shù)

domf=A

ranf

B,則稱f為從A到B的函數(shù),記作f：A→B.實(shí)例

f：N→N,f(x)=2x是從N到N的函數(shù)

g：N→N,g(x)=2也是從N到N的函數(shù)

4.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第7頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天B上A定義所有從A到B的函數(shù)的集合記作BA,讀作“B上A”，符號(hào)化表示為

BA={f|f：A→B}

計(jì)數(shù)：

|A|=m,|B|=n,且m,n>0,|BA|=nm.A=

,則BA=B

={

}.

A≠

且B=

,則BA=

A=

.

4.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第8頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天實(shí)例例2設(shè)A={1,2,3},B={a,b},求BA.

解BA={f0,f1,…,f7},其中

f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>},f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>}

f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>}，f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>}

f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>}，f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>}

f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>},f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}

4.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第9頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天函數(shù)的像定義設(shè)函數(shù)f：A→B,A1

A.

A1在f下的像：f(A1)={f(x)|x∈A1}

函數(shù)的像

f(A)=ranf

注意：函數(shù)值f(x)∈B,而像f(A1)

B.例3

設(shè)f：N→N,

且

令A(yù)={0,1},B={2},那么有

f(A)=f({0,1})={f(0),f(1)}={0,2}

4.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第10頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天函數(shù)的性質(zhì)定義設(shè)f：A→B,

（1）若ranf=B,則稱f：A→B是滿射的.

（2）若任意x1，

x2

A

而且不相等，都有f(x1)與

f(x2)不相等,則稱f：A→B是單射的.

（3）若f：A→B既是滿射又是單射的,則稱f：

A→B是雙射的f

滿射意味著：

y

B,都存在x使得

f(x)=y.f單射意味著：f(x1)=f(x2)

x1=x2

4.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第11頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天注意：①由單射的定義可知，設(shè)X和Y是有限集合，若存在單射函數(shù)f:X→Y，則|X|≤|Y|。②由滿射的定義可知，設(shè)X和Y是有限集合，若存在滿射函數(shù)f:X→Y，則|X|≥|Y|。③由雙射的定義可知，設(shè)X和Y是有限集合，若存在雙射函數(shù)f:X→Y，則|X|=|Y|。4.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第12頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天實(shí)例例4判斷下面函數(shù)是否為單射,滿射,雙射的,為什么?

(1)f：R→R,f(x)=

x2+2x

1

(2)f：Z+→R,f(x)=lnx,Z+為正整數(shù)集

(3)f：R→Z,f(x)=

x

(4)f：R→R,f(x)=2x+1

(5)f：R+→R+,f(x)=(x2+1)/x,其中R+為正實(shí)數(shù)集.

4.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第13頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天解(1)f：R→R,f(x)=

x2+2x

1

在x=1取得極大值0.既不單射也不滿射.

(2)f：Z+→R,f(x)=lnx

單調(diào)上升,是單射.但不滿射,ranf={ln1,ln2,…}.(3)f：R→Z,f(x)=

x

滿射,但不單射,例如f(1.5)=f(1.2)=1.

(4)f：R→R,f(x)=2x+1

滿射、單射、雙射,因?yàn)樗菃握{(diào)的并且ranf=R.

(5)f：R+→R+,f(x)=(x2+1)/x

有極小值f(1)=2.該函數(shù)既不單射也不滿射.

實(shí)例（續(xù)）4.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第14頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天構(gòu)造從A到B的雙射函數(shù)有窮集之間的構(gòu)造例5A=P({1,2,3}),B={0,1}{1,2,3}解

A={

,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

B={f0,f1,…,f7},其中

f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>},f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>},

f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>},f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>},

f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>},f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>},

f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>},f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.令f：A→B,f(

)=f0,f({1})=f1,f({2})=f2,f({3})=f3,f({1,2})=f4,f({1,3})=f5,f({2,3})=f6,f({1,2,3})=f74.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第15頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天實(shí)數(shù)區(qū)間之間構(gòu)造雙射構(gòu)造方法：直線方程例6A=[0,1]

B=[1/4,1/2]

構(gòu)造雙射f:A→B

構(gòu)造從A到B的雙射函數(shù)（續(xù)）解令f：[0,1]→[1/4,1/2]f(x)=(x+1)/4

4.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第16頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天構(gòu)造從A到B的雙射函數(shù)（續(xù)）A與自然數(shù)集合之間構(gòu)造雙射方法：將A中元素排成有序圖形，然后從第一個(gè)元素開(kāi)始按照次序與自然數(shù)對(duì)應(yīng)例7A=Z,B=N，構(gòu)造雙射f：A→B將Z中元素以下列順序排列并與N中元素對(duì)應(yīng)：

Z：0

11

22

33…

↓↓↓↓↓↓↓

N：0123456…

則這種對(duì)應(yīng)所表示的函數(shù)是：

4.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第17頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天常函數(shù)、恒等函數(shù)、單調(diào)函數(shù)

1.

設(shè)f：A→B,若存在c∈B使得

x∈A都有

f(x)=c,則稱f：A→B是常函數(shù).2.稱A上的恒等關(guān)系IA為A上的恒等函數(shù),對(duì)所有的x∈A都有IA(x)=x.3.設(shè)f：R→R，如果對(duì)任意的x1,x2∈R，x1<x2,就有f(x1)

f(x2),則稱f為單調(diào)遞增的；如果對(duì)任意的x1,x2∈A,x1<x2,就有f(x1)<f(x2),則稱f為嚴(yán)格單調(diào)遞增的.

類(lèi)似可以定義單調(diào)遞減和嚴(yán)格單調(diào)遞減的函數(shù).4.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第18頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天集合的特征函數(shù)設(shè)A為集合,

A’

A,A’的特征函數(shù)

A’：A→{0,1}定義為實(shí)例集合：X={A,B,C,D,E,F,G,H},

子集：T={A,C,F,G,H}

T的特征函數(shù)

T：

x

ABCDEFGH

T(x)

10100111

4.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第19頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.設(shè)R是A上的等價(jià)關(guān)系,令

g：A→A/R

g(a)=[a],

a∈A

稱g是從A到商集A/R的自然映射.自然映射4.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第20頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天實(shí)例例8(1)A的每一個(gè)子集A’都對(duì)應(yīng)于一個(gè)特征函數(shù),不同的子集對(duì)應(yīng)于不同的特征函數(shù).例如A={a,b,c},則有

={<a,0>,<b,0>,<c,0>}，

{a,b}={<a,1>,<b,1>,<c,0>}(2)給定集合A，A上不同的等價(jià)關(guān)系確定不同的自然映射,其中恒等關(guān)系確定的自然映射是雙射,其他的自然映射一般來(lái)說(shuō)是滿射.例如

A={1,2,3},R={<1,2>,<2,1>}∪IAg(1)=g(2)={1,2},g(3)={3}4.6函數(shù)的定義與性質(zhì)第21頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天函數(shù)復(fù)合的定理定理設(shè)F,G是函數(shù),則F

G也是函數(shù),且滿足

(1)dom(F

G)={x|x∈domG

G(x)∈domF}

(2)

x∈dom(F

G)有F

G(x)=F(G(x))

推論1

設(shè)F,G,H為函數(shù),則(F°G)°H和F°(G°H)

都是函數(shù),且(F°G)°H=F°(G°H)推論2

設(shè)f：B→C,g：A→B,則f°g：A→C,且

x∈A都有f°g(x)=f(g(x)).

4.7函數(shù)復(fù)合和反函數(shù)第22頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天函數(shù)復(fù)合運(yùn)算的性質(zhì)定理設(shè)g：A→B,f

：B→C.

(1)如果f,g都是滿射,則f

g：A→C也是滿射.

(2)如果g,

f都是單射,則f

g:A→C也是單射.

(3)如果g,f都是雙射,則f°g：A→C也是雙射.

證(1)

c∈C,由f：B→C的滿射性,

b∈B使得

f(b)=c.對(duì)這個(gè)b,由g：A→B的滿射性，

a∈A

使得f(a)=b.由合成定理f°g(a)=f(g(a))=f(b)=c

從而證明了f°g：A→C是滿射的.第23頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天函數(shù)復(fù)合運(yùn)算的性質(zhì)

(2)假設(shè)存在x1,x2∈A使得f

g(x1)=f

g(x2)

由合成定理有f(g(x1))=f(g(x2)).

因?yàn)閒：B→C是單射的,故g(x1)=g(x2).又由于g：A→B也是單射的,所以x1=x2.從而證明f°g：A→C是單射的.(3)由(1)和(2)得證.

定理設(shè)f:A

B，則

f=f°IB

=IA°f

第24頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理

設(shè)f:X→Y，g:Y→Z，那么（1）若gf是單射，則f是單射。（2）若gf是滿射，則g是滿射。（3）若gf是雙射，則f是單射，g是滿射。函數(shù)復(fù)合運(yùn)算的性質(zhì)第25頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天反函數(shù)存在的條件任給函數(shù)F,它的逆F

1不一定是函數(shù),是二元關(guān)系.實(shí)例：F={<a,b>,<c,b>}，F(xiàn)

1={<b,a>,<b,c>}任給單射函數(shù)f：A→B,則f

1是函數(shù),且是從ranf到A的雙射函數(shù),但不一定是從B到A的雙射函數(shù).實(shí)例：f:N→N,f(x)=2x,

f

1:ranf→N,f

1

(x)=x/2第26頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天反函數(shù)定理設(shè)f：A→B是雙射的,則f

1：B→A也是雙射函數(shù).

證因?yàn)閒是函數(shù),所以f

1是關(guān)系,且

domf

1=ranf=B,ranf

1=domf=A,

對(duì)于任意的y∈B=domf

1,假設(shè)有x1,x2∈A使得

<y,x1>∈f

1∧<y,x2>∈f

1成立,則由逆的定義有

<x1,y>∈f∧<x2,y>∈f根據(jù)f的單射性可得x1=x2,從而證明了f

1是函數(shù)，且是滿射的.下面證明f

1

的單射性.

若存在y1,y2∈B使得f

1(y1)=f

1(y2)=x,從而有

<y1,x>∈f

1∧<y2,x>∈f

1

<x,y1>∈f∧<x,y2>∈f

y1=y2

第27頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天反函數(shù)的定義及性質(zhì)對(duì)于雙射函數(shù)f：A→B,稱f

1：B→A是它的反函數(shù).反函數(shù)的性質(zhì)定理設(shè)f：A→B是雙射的,則

f

1

f=IA,f

f

1=IB

對(duì)于雙射函數(shù)f：A→A,有

f

1

f=f

f

1=IA

第28頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理

若f:X→Y是可逆的，那么（l）(f-1)-1=f（2）f-1

f=IX，f

f-1=IY定理3.9

設(shè)X,Y,Z是集合，如果f:X→Y，g:Y→Z都是可逆的，那么g

f也是可逆的，且(g

f)-1=f-1

g-1。第29頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天函數(shù)復(fù)合與反函數(shù)的計(jì)算例設(shè)f：R→R,g：R→R

求f

g,g

f.如果f和g存在反函數(shù),求出它們的反函數(shù).

解

f：R→R不是雙射的,不存在反函數(shù).g：R→R是雙射的,它的反函數(shù)是g

1：R→R,g

1(x)=x

2第30頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、兩個(gè)有限集如何比較多少。設(shè)兩個(gè)班級(jí)A和B，要比較這兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生哪班多，哪班少，可采取兩種方法。方法1：報(bào)數(shù)。報(bào)數(shù)后看誰(shuí)的數(shù)目大，數(shù)目大的就表示這個(gè)班上學(xué)生人數(shù)多。但這個(gè)方法對(duì)無(wú)限集卻行不通。方法2：配對(duì)。將A中的一個(gè)學(xué)生a1和B中的一個(gè)學(xué)生b1配成一對(duì)，配好以后，不許他們?cè)俸蛣e人配對(duì)了。然后再把A中的另一個(gè)學(xué)生a2和B中的一個(gè)學(xué)生b2配成一對(duì)，同樣，配好以后也不準(zhǔn)他們?cè)俸推渌伺鋵?duì)了。這樣一對(duì)一配下去，如果A中的人都配完了，而B(niǎo)還剩下一些人，則說(shuō)B中的學(xué)生比A多；如果B中的人都配完了，而A剩下一些人，則說(shuō)A中的學(xué)生比B多；如果A和B中的學(xué)生正好都能一對(duì)一地搭配起來(lái)，則說(shuō)A和B的學(xué)生人數(shù)一樣多。這種“配對(duì)