2024數(shù)學論文求圓的切線方程的幾種方法

2024利用洛必達法則來處理高考中的恒成立問題求圓的切線方程的幾種方法在高中數(shù)學人教版第二冊第七章《圓的方程》一節(jié)中有一例題：求過已知圓上一點的切線方程，除了用斜率和向量的方法之外還有幾種方法，現(xiàn)將這些方法歸納整理，以供參考。例：已知圓的方程是x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點M(x0，y0)的切線的方程。解法一：利用斜率求解圖1解法二：利用向量求解圖1（這種方法的優(yōu)點在于不用考慮直線的斜率存不存在）圖2圖2解法三：利用幾何特征求解解法四：用待定系數(shù)法求解利用點到直線的距離求解利用直線與圓的位置關(guān)系求解：導數(shù)在函數(shù)極值方面的誤區(qū)ⅰ.將“穩(wěn)定點”等同于“極值點”定義1：可導函數(shù)的方程的根，稱為函數(shù)的穩(wěn)定點。定義2：設(shè)函數(shù)在區(qū)間有定義，若，且存在的某鄰域，，有，則稱是函數(shù)的極大點（極小點），是函數(shù)的極大值（極小值）。極大點和極小點統(tǒng)稱為極值點；極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。對于“”只是它為“函數(shù)的極值點”的必要而不充分條件。即函數(shù)的極值點必然在函數(shù)的穩(wěn)定點的集合之中，反之，不成立，即穩(wěn)定點不一定是極值點。例3中的函數(shù)，它在上可導，由方程，解得唯一穩(wěn)定點，從圖像上看，顯然點不是可導函數(shù)的極值點。例6.函數(shù)的極值點是┈┈┈┈┈┈┈┈（）錯解：導函數(shù)，令，解得，故答案應選C。剖析：這三點都是穩(wěn)定點，那是不是極值點？存在極值點條件：導函數(shù)在穩(wěn)定點的兩側(cè)有不同的符號，必是函數(shù)的極值點。顯然導函數(shù)在兩側(cè)有相同的符號，不是函數(shù)的極值點。正解：由知，當時，，當時，；當時，，當時，，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)；在上是單調(diào)遞減函數(shù)。因此，只有為極小值點，而和不是極值點（實際上是函數(shù)的拐點），故應選D。例7.函數(shù)，當時，有極值，那么的值為。誤解：導函數(shù)，因為函數(shù)在處有極值，可得，解得或因此或。剖析：上述解題忽略了一個細節(jié)，解題過程中只用到，和，這能說明它是極值點嗎？當、時，函數(shù)在上是增函數(shù)，顯然不是函數(shù)的極值點；驗證當、時，是函數(shù)的極值點。故。ⅱ.誤把極值當最值例8.求函數(shù)在區(qū)間上的最值。誤解：導函數(shù)，解得，或，經(jīng)驗證，和都是函數(shù)的極值點，即為極大值，為極小值，因此函數(shù)的最大值為，最小值為。剖析：本題是誤把“極值”當成“最值”所導致的錯誤。對于上面所給出的定義可知，極值是一個局部概念，是函數(shù)在某一點的小領(lǐng)域內(nèi)的最值；而最值是整體概念，是在整個閉區(qū)間上的最值。在一個區(qū)間上可能有很多極大值（極小值），而且某些極大值還可能小于某些極小值，但只能有一個最大值（如果存在最大值）和一個最小值（如果存在最小值）。因此求函數(shù)閉區(qū)間上的最值，需要將函數(shù)的一切極值與其端點值進行比較才能確定。本題兩端點值，所以函數(shù)的最大值為，最小值為。ⅲ.把極值點的取值范圍擴大例9.函數(shù)在區(qū)間上的極大值就是最大值，則的取值范圍。誤解：導函數(shù)，令，解得，經(jīng)驗證是函數(shù)的極值點，所以，解得，故的取值范圍是。剖析：定義2，即極值定義，不難發(fā)現(xiàn)極值點在區(qū)間的內(nèi)部（即不能是區(qū)間的端點），是函數(shù)的極值是與函數(shù)在的某個領(lǐng)域上的函數(shù)值比較而言。因此是函數(shù)的極大值點，有題意得，，解得，故的取值范圍是。這是圓心在坐標原點的圓的切線方程的求法，若圓心不在原點，也可以用這些方法求解。同樣一道題，思路不同，方法不同，難易程度不同。顯然在以上的幾種解法中，用向量法和幾何特征求解相對來說簡單一些。實際上在圓這一章，很多時候用幾何特征求解圓的方程和直線方程是教簡單的方法，同學們下來可以嘗試。一、導數(shù)與函數(shù)的交匯例1．（2006年山東卷）設(shè)函數(shù),其中,求的單調(diào)區(qū)間.解析：由已知得函數(shù)的定義域為，且（）（1）當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.（2）當時，由，解得.、.隨的變化情況如下表:極小值從上表可知當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述:當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)在上單調(diào)遞增.【評注】利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性一直是高考的重點和熱點,?？汲Ｐ?主要有:根據(jù)對參數(shù)的討論來確定函數(shù)的單調(diào)性;已知含參函數(shù)的單調(diào)性來求對應參數(shù)的取值范圍.二、導數(shù)與數(shù)列的交匯例2．（2006年江蘇卷）對正整數(shù)，設(shè)曲線在處的切線與軸交點的縱坐標為，則數(shù)列的前項和的公式是解析：曲線在處的切線的斜率為又因為切點為，所以切線方程為，令得,令.數(shù)列的前項和為【評注】本題考查應用導數(shù)求曲線切線的斜率,數(shù)列通項公式以及等比數(shù)列的前項和的公式,應用導數(shù)求曲線切線的斜率時,要首先判斷所經(jīng)過的點是否為切點.否則容易出錯.三、導數(shù)與三角的交匯例3．（2005年湖北）若，則與的大小關(guān)系（）A．B．C．D．與的取值有關(guān)解析：令,由，在上的正負可知與的取值有關(guān)。故答案應選D.例4．（2005年全國1）設(shè)函數(shù)，圖象的一條對稱軸是直線（1）求;（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（3）證明直線與函數(shù)的圖象不相切.解析：（1）是函數(shù)的圖象的對稱軸,（2）由（1）知因此由題意可得.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（3）證明:曲線的切線斜率的取值范圍為.而直線的斜率為,直線與函數(shù)的圖象不相切.【評注】（1）例3若直接比較與的大小關(guān)系,則比較麻煩.而采用構(gòu)造函數(shù),對函數(shù)進行求導,判斷函數(shù)在所給區(qū)間的單調(diào)性,利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較兩個代數(shù)式,有事半功倍之效.（2）例4.的第3小題利用導數(shù)的幾何意義來證明直線與函數(shù)的圖象不相切.起到化繁為簡的作用.四、導數(shù)與向量、方程的交匯例5．（2001年天津高考模擬試題）已知平面向量，（1）證明（2）若存在不同時為零的實數(shù)和，使，且，試求函數(shù)關(guān)系式（3）據(jù)（2）的結(jié)論，議論關(guān)于的方程的解的情況。解析：（1）（2）即整理得上式化為（3）討論方程的解的情況，可以看作曲線與直線的交點個數(shù)。于是，令解得，當變化時，的變化情況如下表：極大值極小值當時，有極大值，極大值為當時，有極小值，極小值為而時，得所以的圖象大致如圖所示：于是當或時，直線與曲線僅有一個交點，則方程有一解；當或時，直線與曲線有兩個交點，則方程有兩解；當時，直線與曲線有三個交點，但不同時為零，故此時方程也有兩解；當或時，直線與曲線有三個交點，則方程有三個解；【評注】本題考查了平面向量的數(shù)量積、導數(shù)的運算、函數(shù)和方程有關(guān)知識，同時又運用了轉(zhuǎn)化化歸思想，邏輯性強，是一道典型的融向量、導數(shù)、函數(shù)、方程為一體的綜合性題目，符合高考在知識交匯處設(shè)計試題的原則。五、導數(shù)與不等式的交匯例6.（2006年四川）已知函數(shù),的導函數(shù)是,對任意兩個不相等的正數(shù),證明:（1）當時,（2）當時,解析:（1）略.（2）證法一:由,得下面證明對任意兩個不相等的正數(shù),有恒成立,即證成立.設(shè),則令，得，列表如下：極大值對任意兩個不相等的正數(shù),當時,證法二:由,得是兩個不相等的正數(shù)設(shè)，則，列表：極大值即對任意兩個不相等的正數(shù),當時,【評注】本題是利用導數(shù)求函數(shù)的極值及運用比較法、放縮法證明不等式的綜合問題，考查學生推理能力、運算能力和綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。六、導數(shù)與解析幾何的交匯例7．（2004年福建高考模擬試題）設(shè)函數(shù)分別在、處取得極小值和極大值，平面上點、的坐標分別為，，該平面上動點滿足，點是點關(guān)于直線的對稱點。（1）求點、的坐標；（2）求動點的軌跡。解析：（1）令得或當時，；當時，；當時，.函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值；故當時，點、坐標分別為（2）設(shè)則①又②又的中點在上，③由①、②、③消去，得，其中動點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓。【評注】本題以函數(shù)的導數(shù)與極值為載體，利用向量設(shè)計點的軌跡，借助對稱建立相關(guān)點間的聯(lián)系，是典型的解析幾何中求軌跡的問題。七、導數(shù)與立體幾何的交匯例8．（2005年全國3）用長為90cm、寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角，再焊接而成（如圖），問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？解析：設(shè)容器高為cm，容器的容積為cm，則求的導數(shù)，令，得（舍去）當時，，那么為