人教版版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題16.1二次根式【八大題型】(原卷版+解析)

專題16.1二次根式【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷二次根式】 1【題型2根據(jù)二次根式有意義的條件求參數(shù)范圍】 2【題型3利用二次根式被開方數(shù)的非負(fù)性求值】 2【題型4根據(jù)二次根式是整數(shù)求字母的值】 2【題型5數(shù)軸與二次根式的化簡(jiǎn)的綜合運(yùn)用】 3【題型6逆用a2=a（a≥0）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式】 4【題型7根據(jù)含隱含條件的參數(shù)范圍化簡(jiǎn)二次根式】 4【題型8復(fù)合型二次根式的化簡(jiǎn)求值】 4【知識(shí)點(diǎn)1二次根式的定義】形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做二次根號(hào)，【題型1判斷二次根式】【例1】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）a是任意實(shí)數(shù)，下列各式中：①a+2；②(?2a)4；③a2+3；④a2+6a+9；⑤a2?3，一定是二次根式的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-1】（2023春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A．a(chǎn) B．32 C．12 【變式1-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）下列式子一定是二次根式的是()A．a(chǎn)2 B．－a C．3a 【變式1-3】（2023春·陜西·八年級(jí)階段練習(xí)）下列式子：7，2x，A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【知識(shí)點(diǎn)2二次根式有意義的條件】(1)二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)；（2）二次根式具有非負(fù)性：a≥0【題型2根據(jù)二次根式有意義的條件求參數(shù)范圍】【例2】（2023·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在函數(shù)y=2?xx?1中，自變量A．?1<x≤2 B．?2<x≤1 C．1≤x≤2 D．1<x≤2【變式2-1】（2023春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若式子1?3xx有意義，則x【變式2-2】（天津市南開區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）下列各式中x的取值范圍是x≥3的是（

）A．3?x B．x?3 C．3+x D．1【變式2-3】（2023春·浙江紹興·八年級(jí)校聯(lián)考期中）若x=2能使下列二次根式有意義，則這個(gè)二次根式可以是（

）．A．x?1 B．1?x C．x?3 D．?x【知識(shí)點(diǎn)3二次根式的性質(zhì)】性質(zhì)1：a2=a（a性質(zhì)2：a2=a=a（a【題型3利用二次根式被開方數(shù)的非負(fù)性求值】【例3】（2023春·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知y=x?2022?2023?x+1，其中【變式3-1】（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？计谀┤魓?1+y+3=0【變式3-2】（2023春·黑龍江綏化·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若y=x?3+3?x【變式3-3】（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）已知實(shí)數(shù)a滿足(2008?a)2+a?2009【題型4根據(jù)二次根式是整數(shù)求字母的值】【例4】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）若36n是整數(shù)，則整數(shù)n【變式4-1】（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┮阎?0n是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)n為（）A．2 B．4 C．5 D．20【變式4-2】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知10?n是整數(shù)，則自然數(shù)n所有可能的值的和為______．【變式4-3】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如果17+4a是一個(gè)正整數(shù)，則整數(shù)a的最小值是（

）A．-4 B．-2 C．2 D．8【題型5數(shù)軸與二次根式的化簡(jiǎn)的綜合運(yùn)用】【例5】（2023春·廣東云浮·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：a2

【變式5-1】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知：實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：a+12

【變式5-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期末）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)c2?aA．b?c B．?2a?b?c C．b+c D．?b?c【變式5-3】（2023春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀材料，解答問(wèn)題。例：若代數(shù)式2?a2+a?4分析：原式=a?2+a?4，而a表示數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，a?2表示數(shù)解：原式=a?2+a?4在數(shù)軸上，分別討論數(shù)a表示的點(diǎn)在數(shù)2表示的點(diǎn)左邊，在數(shù)2表示的點(diǎn)和數(shù)4表示的點(diǎn)之間，在數(shù)4表示的點(diǎn)右邊，可得a的范圍應(yīng)是2≤（1）此例題的解答過(guò)程用了哪些數(shù)學(xué)思想？請(qǐng)舉例．（2）化簡(jiǎn)7?a2【題型6逆用a2=a（a≥0）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式】【例6】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x4【變式6-1】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）將3x【變式6-2】（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）（2023貴州省黔東南州）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：x5【變式6-3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)x2(2)x3(3)4x(4)x2【題型7根據(jù)含隱含條件的參數(shù)范圍化簡(jiǎn)二次根式】【例7】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一次函數(shù)y=mx+n的圖象如圖所示，化簡(jiǎn)m2【變式7-1】（2023春·黑龍江綏化·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若化簡(jiǎn)|1?x|?x2?8x+16的結(jié)果是2x?5【變式7-2】（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知m是2的小數(shù)部分，則式子(m?1)2【變式7-3】（2023春·黑龍江綏化·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知ab＜0，化簡(jiǎn)a2【題型8復(fù)合型二次根式的化簡(jiǎn)求值】【例8】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）像4?23，48?45，…這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn)，如：4?2(1)化簡(jiǎn)：10+221(2)化簡(jiǎn)：14?83(3)若a+65=(m+5n)2，且a，【變式8-1】（2023春·北京海淀·八年級(jí)校考期中）a，b為有理數(shù)，且a+3b=4+2【變式8-2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)4?10+2【變式8-3】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）觀察下面的運(yùn)算，完成計(jì)算：5?26=(1)3?2(2)3+44+23專題16.1二次根式【八大題型】【人教版】 TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷二次根式】 1【題型2根據(jù)二次根式有意義的條件求參數(shù)范圍】 3【題型3利用二次根式被開方數(shù)的非負(fù)性求值】 4【題型4根據(jù)二次根式是整數(shù)求字母的值】 5【題型5數(shù)軸與二次根式的化簡(jiǎn)的綜合運(yùn)用】 6【題型6逆用a2=a（a≥0）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式】 7【題型7根據(jù)含隱含條件的參數(shù)范圍化簡(jiǎn)二次根式】 8【題型8復(fù)合型二次根式的化簡(jiǎn)求值】 9【知識(shí)點(diǎn)1二次根式的定義】形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做二次根號(hào)，【題型1判斷二次根式】【例1】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）a是任意實(shí)數(shù)，下列各式中：①a+2；②(?2a)4；③a2+3；④aA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】∵二次根式a必須滿足a≥0∴只有②③④可以確定被開方數(shù)非負(fù)一定是二次根式的個(gè)數(shù)是3個(gè)故選C【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，能熟記二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A．a(chǎn) B．32 C．12 【答案】C【分析】一般地，我們把形如a(a≥0)【詳解】解；A、當(dāng)a≥0時(shí)，a才是二次根式，本選項(xiàng)不符合題意；B、32C、12D、?4中，?4<0，故不是二次根式，本選項(xiàng)不符合題意；故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的定義，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是理解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，給出一個(gè)式子能準(zhǔn)確的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式的定義確定被開方數(shù)中的字母取值范圍．【變式1-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）下列式子一定是二次根式的是()A．a(chǎn)2 B．－a C．3a 【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的定義，直接判斷得結(jié)論．【詳解】解：A、a2B、a<0時(shí)，－a不是二次根式，故B錯(cuò)誤；C、3aD、a<0時(shí)，a不是二次根式，故D錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，形如a(a≥0)是二次根式，注意二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【變式1-3】（2023春·陜西·八年級(jí)階段練習(xí)）下列式子：7，2x，A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】B【分析】解題需要分別考慮是否滿足二次根式需要同時(shí)滿足的兩個(gè)條件：一是含有根號(hào)，二是被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).【詳解】根據(jù)二次根式的定義可得7，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的定義，熟練掌握這一點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.【知識(shí)點(diǎn)2二次根式有意義的條件】(1)二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)；（2）二次根式具有非負(fù)性：a≥0【題型2根據(jù)二次根式有意義的條件求參數(shù)范圍】【例2】（2023·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在函數(shù)y=2?xx?1中，自變量A．?1<x≤2 B．?2<x≤1 C．1≤x≤2 D．1<x≤2【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)有意義的條件得到2?x≥0x?1>0,解不等式組即可得到自變量x【詳解】解：由題意得2?x≥0x?1>0解不等式組得1<x≤2，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了自變量的取值范圍，熟練掌握二次根式和分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若式子1?3xx有意義，則x【答案】x≤13【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，即可求解．【詳解】解：∵式子1?3xx∴1?3x≥0且x≠0，解得：x≤13且故答案為：x≤13且【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和分式的意義，掌握二次根式及分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（天津市南開區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）下列各式中x的取值范圍是x≥3的是（

）A．3?x B．x?3 C．3+x D．1【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：A、∵3?x≥0，∴x≤3，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵x?3≥0，∴x≥3，故本選項(xiàng)符合題意；C、∵3+x≥0，∴x≥?3，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵x?3>0，∴x>3，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式和分式有意義的條件，熟知二次根式的被開方數(shù)非負(fù)、分式的分母不為0是解題的關(guān)鍵.【變式2-3】（2023春·浙江紹興·八年級(jí)校聯(lián)考期中）若x=2能使下列二次根式有意義，則這個(gè)二次根式可以是（

）．A．x?1 B．1?x C．x?3 D．?x【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的定義分析，即可得到答案．【詳解】A．當(dāng)x＝2時(shí)，x-1＝2-1＝1＞0，x?1有意義，符合題意；B．當(dāng)x＝2時(shí)，1-x＝1-2＝-1＜0，1?x無(wú)意義，不符合題意；C．當(dāng)x＝2時(shí)，x-3＝2-3＝-1＜0，x?3無(wú)意義，不符合題意；D．當(dāng)x＝2時(shí)，-x＝-2＜0，?x無(wú)意義，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)，從而完成求解．【知識(shí)點(diǎn)3二次根式的性質(zhì)】性質(zhì)1：a2=a（a性質(zhì)2：a2=a=a（a【題型3利用二次根式被開方數(shù)的非負(fù)性求值】【例3】（2023春·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知y=x?2022?2023?x+1，其中【答案】0或2【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件得出x?2022≥02023?x≥0，求出2022≤x≤2023，再根據(jù)x為整數(shù)，得出x=2022或x=2023【詳解】解：要使y=x?2022?2023?x解得：2022≤x≤2023，∵x為整數(shù)，∴x=2022或x=2023，當(dāng)x=2022時(shí)，y=2022?2022當(dāng)x=2023時(shí)，y=2023?2022綜上分析可知：y的值為0或2．故答案為：0或2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式被開方數(shù)大于等于零．【變式3-1】（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？计谀┤魓?1+y+3=0【答案】4【分析】結(jié)合題意，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可分別得到x和y的方程，經(jīng)計(jì)算從而完成求解．【詳解】∵x?1∴x?1=0y+3=0∴x=1y=?3∴x?y=1??3【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式、一元一次方程、等式等知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根、一元一次方程、等式的性質(zhì)，從而完成求解．【變式3-2】（2023春·黑龍江綏化·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若y=x?3+3?x【答案】1【分析】根據(jù)二次根式成立的條件得出關(guān)于x的不等式組，求得x=3，進(jìn)而求出y=?2，代入xy【詳解】∵y=x?3∴x?3≥03?x≥0∴x=3．∴y=x?3∴xy故答案是19【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，熟練掌握aa≥0以及a?p=1a【變式3-3】（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）已知實(shí)數(shù)a滿足(2008?a)2+a?2009【答案】2009【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出a取值范圍，再將等式邊形即可．【詳解】解：∵二次根式有意義，∴a-2009≥0，即a≥2009，∴2008-a≤-1＜0，∴a-2008+a?2009=a，解得a?2009=2008，等式兩邊平方，整理得a-20082=2009．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式具有非負(fù)性是解答此題的關(guān)鍵．【題型4根據(jù)二次根式是整數(shù)求字母的值】【例4】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）若36n是整數(shù)，則整數(shù)n【答案】1，4，9，36【分析】36n是整數(shù)，則36n≥0，且36【詳解】解：∵36n∴36n≥0，且∴①36n=1，即②36n=4，即③36n=9，即④36n=36，即綜上所述，整數(shù)n的所有可能的值為1，4，9，36．故答案是：1，4，9，36．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，理解36n【變式4-1】（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┮阎?0n是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)n為（）A．2 B．4 C．5 D．20【答案】C【分析】將20n化簡(jiǎn)為25n【詳解】解：20n=2∵20n是整數(shù)，∴滿足條件的最小正整數(shù)n為5，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了求二次根式中參數(shù)的值，熟知二次根式的計(jì)算結(jié)果是整數(shù)的情況是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知10?n是整數(shù)，則自然數(shù)n所有可能的值的和為______．【答案】26【分析】根據(jù)二次根式的定義可知10?n≥0，直接列出n所有可能的值再求和即可．【詳解】10?n是整數(shù)，則自然數(shù)n所有可能的值為n=1,6,9,10，所以n所有可能的值的和為1+6+9+10=26．故答案為：26【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的定義，解題關(guān)鍵是明確a,a≥0【變式4-3】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如果17+4a是一個(gè)正整數(shù)，則整數(shù)a的最小值是（

）A．-4 B．-2 C．2 D．8【答案】A【分析】根據(jù)17+4a是一個(gè)正整數(shù)，得出a＞?174，根據(jù)a為整數(shù)，得出a的最小值為?4，最后代入【詳解】解：∵17+4a是一個(gè)正整數(shù)，∴17+4a＞∴a＞∵a為整數(shù)，∴a的最小值為?4，且a=?4時(shí)，17+4a=故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)題意求出a＞【題型5數(shù)軸與二次根式的化簡(jiǎn)的綜合運(yùn)用】【例5】（2023春·廣東云浮·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：a2

【答案】?2a+c【分析】根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，確定式子的符號(hào)，再進(jìn)行化簡(jiǎn)即可【詳解】解：由數(shù)軸，得a<?1,?1<c<0,b>1，∴?a+b>0,c?b<0．∴原式=?a+=?a?a+b+c?b=?2a+c．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)，化簡(jiǎn)絕對(duì)值．解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，確定式子的符號(hào)．【變式5-1】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知：實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：a+12

【答案】2a?3b+3【分析】直接利用數(shù)軸得出a+1，b?1，a?b的符號(hào)，再化簡(jiǎn)得出答案．【詳解】由題圖可知?1<a<0，0<b<1，∴a+1>0，b?1<0，a?b<0，∴=a+1+21?b=a+1+2?2b?b+a=2a?3b+3．【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)軸確定式子的符號(hào)，二次根式的性質(zhì)及絕對(duì)值的意義，根據(jù)數(shù)軸確定a+1，b?1，a?b的符號(hào)是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期末）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)c2?aA．b?c B．?2a?b?c C．b+c D．?b?c【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸得到b<c<0<a，b>【詳解】解：由圖可知，b<c<0<a，b>∴a+b<0，∴c==?c?a+a+b=b?c故選A．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，正確根據(jù)去絕對(duì)值方法和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行分析是解決本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀材料，解答問(wèn)題。例：若代數(shù)式2?a2+a?4分析：原式=a?2+a?4，而a表示數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，a?2表示數(shù)解：原式=a?2+a?4在數(shù)軸上，分別討論數(shù)a表示的點(diǎn)在數(shù)2表示的點(diǎn)左邊，在數(shù)2表示的點(diǎn)和數(shù)4表示的點(diǎn)之間，在數(shù)4表示的點(diǎn)右邊，可得a的范圍應(yīng)是2≤（1）此例題的解答過(guò)程用了哪些數(shù)學(xué)思想？請(qǐng)舉例．（2）化簡(jiǎn)7?a2【答案】（1）數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想；（2）17?2a或3或2a?17【分析】（1）根據(jù)題中的解題過(guò)程即可得出結(jié)論；（2）分a＜7，7≤a≤10及a＞10三種情況進(jìn)行討論即可．【詳解】解：（1）數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想．（2）原式＝|7?a|＋|a?10|①當(dāng)a＜7時(shí)，原式＝7?a＋10?a＝17?2a；②當(dāng)7≤a≤10時(shí)，原式＝3；③當(dāng)a＞10時(shí)，原式＝a?7＋a?10＝2a?17．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論．【題型6逆用a2=a（a≥0【例6】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x4【答案】(x+2)(x?2)(x+【分析】先把x2【詳解】x=(=(=(x+2)(x?2)(x+故答案為(x+2)(x?2)(x+【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式主要利用a=(【變式6-1】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）將3x【答案】3【分析】利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：3故答案為：3x+2【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解常用的方法是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）（2023貴州省黔東南州）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：x5【答案】x【分析】根據(jù)提取公因式法和平方差公式，結(jié)合二次根式的性質(zhì)分解因式即可．【詳解】解：x=x=x=xx故答案為：xx【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解、二次根式的性質(zhì)，掌握提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)x2(2)x3(3)4x(4)x2【答案】(1)x+(2)x(3)2x+(4)x?【分析】（1）首先將7化為72（2）首先提取公因式x，將5化為52（3）首先將4x2化為2x2（4）首先將3化為32【詳解】（1）解：x2?7=（2）解：x3?5x（3）解：4x2?11=（4）解：x2?23【點(diǎn)睛】此題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行分解因式，熟練掌握，即可解題．【題型7根據(jù)含隱含條件的參數(shù)范圍化簡(jiǎn)二次根式】【例7】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一次函數(shù)y=mx+n的圖象如圖所示，化簡(jiǎn)m2【答案】n?1【分析】先根據(jù)一次函數(shù)y=mx+n經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，且交于y軸的正半軸，可得m＞0，n＜0，再由圖可知，當(dāng)x=1時(shí)，一次函數(shù)的值大于0，即有當(dāng)【詳解】∵一次函數(shù)y=mx+n經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，且交于y軸的正半軸，∴m＞0，由圖可知，當(dāng)x=1時(shí)，一次函數(shù)的值大于0，∴將x=1代入y=mx+n中有y=m+n＞即：m==m+n?m?1=n?1，故答案為：n?1．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次根式的化簡(jiǎn)以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等知識(shí)，根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出m＞0，【變式7-1】（2023春·黑龍江綏化·八年級(jí)校考階段練習(xí)）若化簡(jiǎn)|1?x|?x2?8x+16的結(jié)果是2x?5【答案】1≤x≤4【分析】根據(jù)1?x?x2?8x+16=2x?5【詳解】解：由題意可知：1?x∴1?x∴x?1?∴當(dāng)x<1時(shí)原式=1?x+x?4=?3不合題意；∴當(dāng)x>4時(shí)，原式=x?1?x+4=3不合題意；∴當(dāng)1≤x≤4時(shí)，原式=x?1+x?4=2x?5符合題意；∴x的取值范圍為：1≤x≤4，故答案為：1≤x≤4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.【變式7-2】（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知m是2的小數(shù)部分，則式子(m?1)2【答案】2?【分析】首先確定m=2?1，再將其代入【詳解】解：∵m是2的小數(shù)部分，∴m=2∴(m?1)2故答案為：2?2【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算以及二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出m=2【變式7-3】（2023春·黑龍江綏化·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知ab＜