第4節(jié)開普勒行星運動定律和萬有引力定律

第四章曲線運動萬有引力與宇宙航行第4節(jié)開普勒行星運動定律和萬有引力定律目錄CONTENT立足“四層”·夯基礎(chǔ)著眼“四翼”·探考點聚焦“素養(yǎng)”·引思維020301鎖定“目標”·提素能04Part01立足“四層”·夯基礎(chǔ)?一、開普勒行星運動定律1.第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是

橢圓

?，太陽處在橢圓的一個焦點上。2.第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。橢圓

3.第三定律：所有行星的軌道的半長軸的

三次方

?跟它的公轉(zhuǎn)周期的

二次方

?的比值都相等。三次方

二次方

二、萬有引力定律1.內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的

乘積

?成正比，與它們之間距離r的

二次方

?成反比。

3.適用條件（1）公式適用于

質(zhì)點

?間的相互作用。當兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質(zhì)點。（2）質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點，r是兩球

球心

?間的距離。乘積

二次方

質(zhì)點

球心

4.萬有引力的“三個特性”（1）普遍性：任何有質(zhì)量的物體間都存在萬有引力。（2）相互性：兩物體間的萬有引力是一對作用力與反作用力。（3）宏觀性：只有質(zhì)量巨大的天體間或天體與其附近物體間的萬有引力才有實際的物理意義。?

一顆衛(wèi)星圍繞地球運動，A、B是衛(wèi)星運動的遠地點和近地點。（1）根據(jù)開普勒第一定律，衛(wèi)星圍繞地球運動的軌跡是橢圓，地球處于橢圓的一個焦點上。

（

√

）（2）根據(jù)開普勒第二定律，衛(wèi)星在B點的運動速度比在A點小。

（

×

）（3）衛(wèi)星由A向B運動的過程中，所受萬有引力逐漸增大。

（

√

）（4）衛(wèi)星在A點沿衛(wèi)星運動方向發(fā)射的激光速度大于c。

（

×

）（5）衛(wèi)星運動過程中其質(zhì)量比靜止于地球表面時大。

（

√

）√×√×√Part02著眼“四翼”·探考點?考點一

開普勒定律的理解與應(yīng)用

[素養(yǎng)自修型]1.[對開普勒行星運動定律的理解]對于開普勒行星運動定律的理解，下列說法正確的是（

）A.開普勒通過自己長期觀測，記錄了大量數(shù)據(jù)，通過對數(shù)據(jù)研究總結(jié)得出了開普勒行星運動定律B.根據(jù)開普勒第一定律，行星圍繞太陽運動的軌跡是圓，太陽處于圓心位置C.根據(jù)開普勒第二定律，行星距離太陽越近，其運動速度越大；距離太陽越遠，其運動速度越小D.根據(jù)開普勒第三定律，行星圍繞太陽運動的軌道半徑跟它公轉(zhuǎn)周期成正比解析：C

第谷進行了長期觀測，記錄了大量數(shù)據(jù)，開普勒通過對數(shù)據(jù)研究總結(jié)得出了開普勒行星運動定律，選項A錯誤；行星圍繞太陽運動的軌跡是橢圓，太陽處于橢圓的一個焦點上，選項B錯誤；根據(jù)開普勒第二定律，行星距離太陽越近，其運動速度越大，距離太陽越遠，其運動速度越小，選項C正確；根據(jù)開普勒第三定律，行星圍繞太陽運動軌道的半長軸的三次方跟它公轉(zhuǎn)周期的二次方成正比，選項D錯誤。2.[開普勒第二定律的應(yīng)用]如圖所示，一顆衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運動，運動周期為T，圖中虛線為衛(wèi)星的運行軌道，A、B、C、D是軌道上的四個位置，其中A距離地球最近，C距離地球最遠。B和D點是弧線ABC和ADC的中點，下列說法正確的是（

）A.衛(wèi)星在C點的速度最大B.衛(wèi)星在C點的加速度最大

3.[開普勒第三定律的應(yīng)用]太陽系中有一顆繞太陽公轉(zhuǎn)的行星，距太陽的平均距離是地球到太陽平均距離的4倍，則該行星繞太陽公轉(zhuǎn)的周期是（

）A.10年B.2年C.4年D.8年

?1.開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運動。

3.運用開普勒行星運動定律分析求解橢圓軌道運動問題時，判斷行星運動速度的變化，可結(jié)合功能關(guān)系進行分析。行星（或運動天體）處在離太陽（或所環(huán)繞的天體）越遠的位置，速度越?。惶幵陔x太陽（或所環(huán)繞的天體）越近的位置，速度越大。

【典例1】

1789年英國物理學家卡文迪什測出引力常量G，因此卡文迪什被人們稱為“能稱出地球質(zhì)量的人”。若已知引力常量為G，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，地球上一個晝夜的時間為T1（地球自轉(zhuǎn)周期），一年的時間為T2（地球公轉(zhuǎn)周期），地球中心到月球中心的距離為L1，地球中心到太陽中心的距離為L2。下列說法正確的是（

）D.由題中數(shù)據(jù)可求月球的密度

答案

B?（1）由題中數(shù)據(jù)可以求出地球的平均密度嗎？

（2）由題中數(shù)據(jù)可以求出太陽的平均密度嗎？

答案

見解析

?1.[重力加速度法計算天體密度]

C.4D.6

2.[天體環(huán)繞法計算天體的質(zhì)量]1970年4月24日，我國的第一顆人造地球衛(wèi)星發(fā)射成功，自2016年起，將每年的4月24日設(shè)為“中國航天日”。現(xiàn)測得一顆人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的周期為T，速度為v，引力常量為G，由此可推知地球的質(zhì)量為（

）

考點三

天體表面的重力加速度問題

[多維探究類]1.萬有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示。

考法一

距天體表面高為h處的重力加速度問題【典例2】

太空電梯是人類構(gòu)想的一種通往太空的設(shè)備，與普通電梯類似，不同的是，它的作用并不是讓乘客往返于樓層之間，而是將人和物體送入空間站。假設(shè)太空電梯豎直向上勻速運動，它從地面上帶了重25N的植物種子，當太空電梯上升到某高度時發(fā)現(xiàn)種子的重力“變成”了16N。已知地球的半徑為R，不考慮地球的自轉(zhuǎn)，則此時太空電梯距地面的高度約為（

）A.R

答案

B考法二

天體內(nèi)部某深度處的重力加速度問題【典例3】

假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井深度為d。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為（

）

答案

A考法三

地球赤道與兩極的重力加速度問題【典例4】

假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G。地球的密度為（

）

答案

B考點四

相對論

[素養(yǎng)自修類]1.[相對論時空觀的理解]下列說法不正確的是（

）A.牛頓力學時空觀認為空間和時間是獨立于物體及其運動而存在的B.相對論時空觀認為物體的長度和質(zhì)量會隨著物體的速度不同而不同C.牛頓力學只適用于宏觀物體、低速運動問題，不適用于高速運動問題D.當物體的運動速度遠小于光速時，相對論和牛頓力學的結(jié)論仍有很大的區(qū)別解析：D

牛頓力學時空觀認為時間和空間是獨立于物體及其運動而存在的，而相對論時空觀認為時間和空間與物體及其運動有關(guān)系，故A正確；相對論時空觀認為物體的長度和質(zhì)量會隨著物體的速度不同而不同，故B正確；牛頓力學只適用于宏觀物體、低速運動問題，不適用于高速運動（相對于光速）問題，故C正確；當物體的運動速度遠小于光速時，相對論和牛頓力學的結(jié)論相差不大，所以牛頓力學是適用的，故D錯誤。2.[時間延緩效應(yīng)]接近光速飛行的飛船和地球上各有一只相同的銫原子鐘，飛船和地球上的人觀測這兩只鐘的快慢，下列說法正確的有（

）A.飛船上的人觀測到飛船上的鐘一樣快B.飛船上的人觀測到飛船上的鐘較慢C.地球上的人觀測到地球上的鐘較快D.地球上的人觀測到地球上的鐘較慢解析：C

相對論告訴我們，運動的鐘會變慢，由于飛船上的人相對飛船上的鐘是靜止的，而觀測到地球上的鐘是高速運動的，因此飛船上的人觀測到飛船上的鐘相對于地球上的鐘快，A、B錯誤；同樣，地球上的人觀測到飛船上的鐘是高速運動的，因此地球上的人觀測到地球上的鐘比飛船上的鐘快，C正確，D錯誤。3.[長度收縮效應(yīng)]一艘太空飛船靜止時的長度為30m，它以0.6c（c為光速）的速度沿長度方向飛行越過地球，下列說法正確的是（

）A.飛船上的觀測者測得該飛船的長度小于30mB.地球上的觀測者測得該飛船的長度小于30mC.飛船上的觀測者測得地球上發(fā)來的光信號速度小于cD.地球上的觀測者測得飛船上發(fā)來的光信號速度小于c

?一、兩種時空觀1.經(jīng)典時空觀空間、時間是獨立于物體及其運動而存在的。2.相對論時空觀物體占有的空間以及物理過程、化學過程，甚至還有生命過程的持續(xù)時間，都與它們的運動狀態(tài)有關(guān)。二、狹義相對論的三個有用的結(jié)論1.運動的時鐘變慢了。2.運動的尺子長度縮短了。3.運動的物體質(zhì)量增大了。以上三個結(jié)論均為相對觀察者運動時產(chǎn)生的現(xiàn)象。Part03聚焦“素養(yǎng)”·引思維?“融會貫通”歸納好─“填補法”求解萬有引力

運用“填補法”解題的關(guān)鍵是緊扣萬有引力定律的適用條件，先填補后運算，運用“填補法”解題主要體現(xiàn)了等效思想?！镜淅?/p>

如圖所示，O1是一個半徑為2R，質(zhì)量為M的密度均勻球體的球心，現(xiàn)在其內(nèi)以O(shè)2為球心挖去一個半徑為R的球，并在O2處放置一個質(zhì)量為m的質(zhì)點。若已知質(zhì)量分布均勻的薄球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，則O1球剩余部分對O2處質(zhì)點的萬有引力為（

）

答案

A｜反思領(lǐng)悟｜（1）萬有引力定律只適用于求質(zhì)點間的萬有引力。（2）在質(zhì)量分布均勻的實心球中挖去小球后其質(zhì)量分布不再均勻，不可再視為質(zhì)點處理。?

Part04鎖定“目標”·提素能?1.（2022·全國乙卷）2022年3月，中國航天員翟志剛、王亞平、葉光富在離地球表面約400km的“天宮二號”空間站上通過天地連線，為同學們上了一堂精彩的科學課。通過直播畫面可以看到，在近地圓軌道上飛行的“天宮二號”中，航天員可以自由地漂浮，這表明他們

（

）A.所受地球引力的大小近似為零B.所受地球引力與飛船對其作用力兩者的合力近似為零C.所受地球引力的大小與其隨飛船運動所需向心力的大小近似相等D.在地球表面上所受引力的大小小于其隨飛船運動所需向心力的大小解析：C

航天員在“天宮二號”空間站中可以自由漂浮，是由于航天員在“天宮二號”空間站中處于完全失重狀態(tài)，飛船對航天員的作用力近似為零，所受地球引力大小不為零，選項A、B錯誤；航天員所受地球引力提供航天員隨空間站運動的向心力，即航天員所受地球引力的大小與航天員隨空間站運動所需向心力的大小近似相等，選項C正確；由萬有引力定律可知，航天員在地球表面所受地球引力的大小大于航天員在空間站中所受地球引力的大小，所以在地球表面上所受引力的大小大于航天員隨空間站運動所需向心力的大小，選項D錯誤。2.（2023·江蘇省昆山中學模擬預測）中國新聞網(wǎng)宣布：在摩洛哥墜落的隕石被證實來自火星。某同學想根據(jù)平時收集的部分火星資料（如圖所示）計算出火星的密度，再與這顆隕石的密度進行比較。下列計算火星密度的公式錯誤的是（引力常量G已知，忽略火星自轉(zhuǎn)的影響）（

）火星－Mars火星的小檔案直徑d＝6794km質(zhì)量M＝6.4219×1023kg表面重力加速度g0＝3.7m/s2近地衛(wèi)星周期T＝3.4h

3.2021年2月，執(zhí)行我國火星探測任務(wù)的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m。已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為（

）A.6×105mB.6×106mC.6×107mD.6×108m

4.2021年5月，“天問一號”探測器成功在火星軟著陸，我國成為世界上第一個首次探測火星就實現(xiàn)“繞、落、巡”三項任務(wù)的國家?！疤靻栆惶枴痹诨鹦峭２窜壍肋\行時，近火點距離火星表面2.8×102km、遠火點距離火星表面5.9×105km，則“天問一號”（

）A.在近火點的加速度比遠火點的小B.在近火點的運行速度比遠火點的小C.在近火點的機械能比遠火點的小D.在近火點通過減速可實現(xiàn)繞火星做圓周運動

5.科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續(xù)觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示?？茖W家認為S2的運動軌跡是半長軸約為1000AU（太陽到地球的距離為1AU）的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學獎。若認為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽的質(zhì)量為M，可以推測出該黑洞質(zhì)量約為（

）A.4×104MB.4×106MC.4×108MD.4×1010M

6.木星自轉(zhuǎn)周期約10個小時，質(zhì)量約為地球質(zhì)量的318倍，木星的半徑約為地球半徑的11.2倍。下列說法正確的是（

）A.木星上的“一天”比地球長B.木星上的“一年”比地球長C.木星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度D.地球、木星分別與太陽中心連線在相等時間內(nèi)掃過的面積相等

7.2021年4月，我國自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運行，若核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質(zhì)量的是（

）A.核心艙的質(zhì)量和繞地半徑B.核心艙的質(zhì)量和繞地周期C.核心艙的繞地角速度和繞地周期D.核心艙的繞地線速度和繞地半徑

?8.某同學認為只要測出地球赤道位置處的重力加速度g，就可以利用一些常見的數(shù)據(jù)計算出地球的半徑和質(zhì)量。已知常見數(shù)據(jù)為萬有引力常量G，地球的自轉(zhuǎn)周期T，地球兩極處的重力加速度g0。若視地球為質(zhì)量分布均勻的球體，赤道處的重力加速度g已經(jīng)測出，則下列說法中正確的是（

）

9.已知均勻球殼對其內(nèi)部任一質(zhì)點的萬有引力為零。若將地球看作質(zhì)量分布均勻的球體（半徑為R），且不計地球的自轉(zhuǎn)。關(guān)于地球表面處的重力加速度g1，地球表面下方深0.5R處的重力加速度g2，地球表面上方高0.5R處的重力加速度為g3，下列說法正確的是（

）A.g1＜g