2023-2024學(xué)年廈門二中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷及答案解析

2023-2024學(xué)年廈門二中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷

（試卷滿分150分；考試時(shí)間120分鐘）

第I卷（選擇題共60分）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A（—l,6,8）,B（l,5,7）,則|陰=（）

A.2B.72C.6D.76

2.已知點(diǎn)A（-3』,-4）,8（7,1,0）,則線段A8的中點(diǎn)M關(guān)于平面。戶對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（—2,1,—2）B.（2,1,-2）C.（2,—1,-2）D.（2,1,2）

3.下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P、A、B、C共面的是（）

ULIUlUUUUUUUULIUUU11UIUULU1

A.OA+OB+OC=-OPB.OA+OB+OC=OP

ULIULU1UUUUUU

c.OA+OB+OC=2OPD.OA+OB+OC=3OP

4.已知四棱錐底面ABC。為平行四邊形，M,N分別為棱BC,尸。上的點(diǎn)，萼=！，PN=ND,

CB3

設(shè)AB=a，AD=b<AP=c>則向量MN用｛〃，匕，。｝為基底表示為（）

A.aH—h-\—cB.~ciH—bH—cC.a—b—cD.~a—b—c

32623262

5.已知平面。=｛冏〃代尸=0｝,其中點(diǎn)蟲(chóng)1,2,3）,法向量〃=（1,1,1）,則下列各點(diǎn)中不在平面a內(nèi)的是（）

A.（3,2,1）B.（—2,5,4）C.（-3,5,4）D.（2,-4,8）

6.己知正四面體ABC。，/為AB中點(diǎn)，則直線CM與直線8。所成角的余弦值為（）

7.定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在長(zhǎng)方體

ABCD-AMGA中，AB=1,BC=2,M=3,則異面直線AC與8G之間的距離是（）

A.在B.也C.顯D.-

5767

8.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體4BCO-AB|GA中，P為棱84的中點(diǎn)，。為正方形BBCC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含

邊界），則下列說(shuō)法中不氐硬的是（）

A.若〃平面AP。，則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是一條線段

B.存在。點(diǎn)，使得AQ工平面APC

c.當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱CG上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐Q-APO的體積最大

D.若乎，那么。點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為日萬(wàn)

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要

求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列四個(gè)結(jié)論正確的是（）

A.任意向量〃,6,若々.〃=0，則a=0或匕=0或（。,匕）=萬(wàn)

B.已知A（3J0）,僅5,2,2）,C（2,0,3）,則點(diǎn)。到直線AB的距離為何

C.已知向量a=（l,l,x）s=（—2,x,4）,若x<|，則卜，今為鈍角

D.若a,b,C是不共面的向量，則a+。，b+c,c+“的線性組合可以表示空間中的所有向量

10.在棱長(zhǎng)為3的正方體A8CD-AEG。中，點(diǎn)尸在棱。C上運(yùn)動(dòng)（不與頂點(diǎn)重合），則點(diǎn)8到平面4。尸

的距離可以是（）

A.V2B.6C.2D.y/5

11.如圖，平行六面體A88-AAGA中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為1,且它們彼此的夾角都是60。,

2

A.AC1=瓜

B.AC,±BD

C.四邊形BDQ蜴的面積為正

2

D.平行六面體ABCD-A耳GR的體積為受

2

12.如圖的六面體中，C4=CB=C￡>=1,AB=BD=AD=AE=BE=DE=6,則()

A.CD,平面ABCB.AC與BE所成角的大小為］C.CE=6D.該六面體外接球的

表面積為3兀

第II卷(共70分)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已用”=(-1,2,1),ft=(-2,-2,4),則人在0方向上的投影向量為.

14.如圖，二面角a-/-4等于120。，4、B是棱/上兩點(diǎn)，B。、AC分別在半平面a、4內(nèi)，AC±l,BD11,

S.AB=AC=BD=2,則CD的長(zhǎng)等于.

15.在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)P(%%,z0)且法向量加=(a,6,c)的平面方程為

a(x-%)+6(y-%)+c(z-z<))=0,經(jīng)過(guò)P小,為/。)且方向向量n=(A,B,C)的直線方程為

土盧=二左=0包.閱讀上面材料?，并解決下列問(wèn)題：給出平面a的方程3x+y-z-5=0,經(jīng)過(guò)點(diǎn)

ABC

P(0,0,0)的直線/的方程為x='=-z,則直線/的一個(gè)方向向量是,直線/與平面a所成角的余

弦值為.

16.盧浮宮金字塔位于巴黎盧浮宮的主院，是由美籍華人建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的，已成為巴黎的城市地標(biāo).盧

浮宮金字塔為正四棱錐造型，該正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為“，高為若該四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球

面上，則球心到該四棱錐側(cè)面的距離為.

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

3

17.如圖，在底面為菱形的四棱錐E—ABC。中，8E_L底面ABC。，/為C￡>的中點(diǎn)，且==

ZABC=120°,以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

⑴寫出A,8,￡>,E四點(diǎn)的坐標(biāo);

⑵求cos〈A8,￡>E〉.

18.已知向量a=(-2,-1,2),5=(-1,1,2),c=(x,2,2).

(I)當(dāng)|c|=2點(diǎn)時(shí)，若向量履+〃與c垂直，求實(shí)數(shù)x和女的值；

(H)若向量c與向量共面，求實(shí)數(shù)x的值.

19.如圖所示，在四棱錐M-A8CZ)中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱40的長(zhǎng)為3,且

AMAB=ZMAD=a)°,N是CM的中點(diǎn)，設(shè)a=A8，b=AD<c=AM.

(1)用a、b、c表示向量BN，并求3N的長(zhǎng)；

⑵求證：平面M4C.

20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面4BCO為正方形，平面ABC。，M,N分別為棱P。，BC的

中點(diǎn)，F(xiàn)4=AB=2.

⑴求證：MN//平面B4B；

(2)求直線MN與平面所成角的正弦值.

1

21.如圖，在三棱臺(tái)ABC-RBC中，若在m"平面ABC,ABJ.AC,AB=AC=AAI=2,AG=1,M為

棱BC上一動(dòng)點(diǎn)(不包含端點(diǎn)).

4

B\

B

(1)若M為8C的中點(diǎn)，在圖中過(guò)點(diǎn)A作一個(gè)平面a,使得平面GM4//a.(不必給出證明過(guò)程，只要求作

出a與棱臺(tái)ABCZ)-A8|CQ的截面)；

(2)是否存在點(diǎn)〃，使得平面GMA與平面ACCH所成角的余弦值為亞？若存在，求出BM長(zhǎng)度；若不存

6

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架的邊長(zhǎng)都是1,且它們所在的平面互相垂直.活

動(dòng)彈子M,N分別在正方形對(duì)角線AC和B/上移動(dòng)，且CM和BN的長(zhǎng)度保持相等，記CM=8N=a

(0<a<V2).

(1)問(wèn)。為何值時(shí)，的長(zhǎng)最小？

(2)當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)求平面MNA與平面夾角的余弦值.

1.D

【分析】直接由空間兩點(diǎn)的距離公式求解即可.

【詳解】由題意得|AB|=+(6-5)2+(8-7)2=瓜.

故選：D.

2.A

【分析】求出A8的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，再求出關(guān)于平面Ojz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A(—3」,T),8(7,1,0)

所以AB的中點(diǎn)用(2,1,-2),

所以M關(guān)于平面0yz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,1-2),

故選：A.

3.D

5

【分析】要使空間中的P、A、B、C四點(diǎn)共面，只需滿足OP=xO4+)，OB+zOC，且x+y+z=l即可.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，=-(-1)+(-1)+(-1)=-3*1,所以點(diǎn)尸與A、B、C三點(diǎn)不共面;

對(duì)于B選項(xiàng)，OP=OA+OB+OC，1+1+1=3^1,所以點(diǎn)P與A、B、C三點(diǎn)不共面；

對(duì)于C選項(xiàng),0P=；0A+g0B+；0C,|+|+|=所以點(diǎn)尸與A、B、C三點(diǎn)不共面;

4444444

對(duì)于D選項(xiàng)，OP=\OA+\OB+\OC,:+:+:=1,所以點(diǎn)尸與A、B、C三點(diǎn)共面.

333333

故選：D.

4.D

【分析】由圖形可得MN=MC+8+ON，根據(jù)比例關(guān)系可得MC=gA。，DN=；DP,再根據(jù)向量減法

DP^AP-AD'代入整理并代換為基底向量.

【詳解】MN^MC+CD+DN^-AD-AB+-DP=-AD-AB+-(AP-AD]=-AB--AD+-AP

3232V'62

即A/N=_"?+；＜?

故選：D.

5.B

【分析】結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)分別求出4P,計(jì)算〃?6P的值是否為0,從而得出結(jié)論.

【詳解】對(duì)于A,E)P=(2,0,-2),n-^P=lx2+lx0+lx(-2)=0,故選項(xiàng)A在平面a內(nèi)；

對(duì)于B,4P=(-3,3,l),h/JP=lx(-3)+lx3+lxl=l#0,故選項(xiàng)B不在平面a內(nèi)；

對(duì)于C,4P=(-4,2,2),〃4/＞=卜(-0+以2+以2=0,故選項(xiàng)C在平面a內(nèi)；

對(duì)于D,4『=(1,-6,5),/2/?)P=lxl+lx(-6)+lx5=O,故選項(xiàng)D在平面a內(nèi).

故選：B.

6.B

【分析】設(shè)正四面體A3CZ)的棱長(zhǎng)為2,取AO的中點(diǎn)F,連接ME、CF,利用幾何法求解作答.

【詳解】如圖，設(shè)正四面體438的棱長(zhǎng)為2,取A。的中點(diǎn)F,連接“尸、CF,

因?yàn)镸、尸分別為A8、A￡＞的中點(diǎn)，則板〃8。且==

6

因此NCME或其補(bǔ)角為直線CM與直線80所成的角，

因?yàn)锳BC為等邊三角形，M為的中點(diǎn)，則。/J_W,且CM=ACsin60=6，

\_MF￡

同理CF=百，在等腰CM/中，cosZCMF=2_=工_=立，

MC66

所以直線CM與直線8。所成角的余弦值為正.

6

故選：B

7.D

【解析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出AC和BC；的公垂線的方向向量”，求出AB，再由

〃=1中可求出.

H

【詳解】如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（2,0,0）,C（0,1,0）,8（2,1⑼,G（0,1,3）,

則AC=（-2,l,0）,BC,=（-2,0,3）,

設(shè)AC和BQ的公垂線的方向向量〃=（x,y,z）,

則Id），即1令尤=3,則"=（3,6,2）,

n-BCX=0[-2x+3z=0

AB=（0,1,0）,

【點(diǎn)睛】本題考查異面直線距離的求解，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法求解.

8.B

【分析】取B|G，CG中點(diǎn)EV,證明REF//平面AOP，得動(dòng)點(diǎn)軌跡判斷A,建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，由QQ與此法向量平行確定。點(diǎn)位置，判斷B,利用空間向量法求得

7

。到到平面APD距離的最大值，確定。點(diǎn)位置判斷C,利用勾股定理確定。點(diǎn)軌跡，得軌跡長(zhǎng)度判斷D.

【詳解】選項(xiàng)A,分別取中點(diǎn)E,尸，連接2瓦。尸,或"PF,由尸尸與BC，AA平行且相等

得平行四邊形AfFR，所以RF//AP,

平面A。？，A/u平面AOP,所以。尸〃平面A。/',

連接qc,EF//BtC,B、C〃AD,所以EF〃A。，同理防〃平面AQP,

EFcD、F=F,ERRFu平面REF,所以平面QEF//平面A,。尸，

當(dāng)QeEF時(shí)，RQu平面2EF,所以D,Q//平面AQP,即。點(diǎn)軌跡是線段EF,A正確；

選項(xiàng)B,以2為原點(diǎn)，所在直線分別為x，yz軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則4(100),

0(0,0,1),P(l,l,g),設(shè)。(x,l,z)(0<x,z<l),

4。=(一1,0,1)，4/=(0，1，；)，AQ=(x,l,z),

設(shè)7W=(〃也C)是平面4尸。的一個(gè)法向量，

力AO=-Q+C=O

則｛I,取c=l則〃?=,

m-AiP=b+—c=0

若。QJ_平面4尸。，則AQ〃加，所以存在/IER,使得AQ=4〃2,

x=A

2

-l=-y,解得x=z=-2e[0,1],因此正方形內(nèi)(含邊界)不存在點(diǎn)。，使得R。，平面AP。，B

z=2

錯(cuò)；

選項(xiàng)c,△AP。面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)。到平面AP。的距離最大時(shí)，三棱錐Q-AP。的體積最大,

AQ=(I,l,z),

Q到平面APC的距離為d=卑3|

3

x+z——0<x+z<2,

H32

323

OKX+ZK5時(shí)，6?=—[—―(x+z)],當(dāng)x+z=0時(shí)，d有最大值1,

8

3231

54x+z42時(shí)，^/=-[(x+z)--],x+z=2時(shí)，"有最大值],

綜上，x+z=O時(shí)，”取得最大值1,故。與G重合時(shí)，”取得最大值，三棱錐。-4尸。的體積最大，C正

確；

選項(xiàng)D,2G平面BBCC，CQu平面BBCC，D.C,1CtQ,

所以＜0="口。2-℃2=[,所以Q點(diǎn)軌跡是以G為圓心，亨為半徑的圓弧，圓心角是軌跡長(zhǎng)度

為L(zhǎng)X2IX—/r,D正確.

424

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，解題關(guān)鍵是勾畫出過(guò)。且與平面APQ平行的平面

D、EF,由體積公式，在正方形BBCC內(nèi)的點(diǎn)。到平面吊尸。的距離最大，則三棱錐。-4尸短體積最大.

9.ABD

【分析】對(duì)A,根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式分析即可；對(duì)B,根據(jù)空間中點(diǎn)到線的距離向量公式求解即可；對(duì)

C,討論特殊情況反向時(shí)判斷即可；對(duì)D,根據(jù)空間向量共面滿足的條件判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,@出=同.問(wèn)《?(出9=0,

則同=0或忖=。或cos(a,6)=0,即4=0或b=o或(a?、，故A正確；

AB-AC

對(duì)于B,因?yàn)锳8=(2』,2),AC=(-1,-1,3),所以------=1.

\AB\

設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為"，則"=業(yè)『—1=可,故B正確；

2._

對(duì)于C，a-b=-2+x+4x=5x-2?若工＜不，則4?。=5工一2＜0，

當(dāng)￡//初寸,則存在唯一實(shí)數(shù)2,使得人茄,即(―2/,4)=(4%人)，

—2=/

所以＜x=4,解得％=/1=—2,

4=

所以當(dāng)X＜g,且"-2時(shí)，,力)為鈍角，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,若a、b、c?是不共面的向量，則a+A、b+c、C+。也是不共面的向量，

否則若a+6、b+c,c+a共面，則存在實(shí)數(shù)MN,使得=xS+c)+y(c+a),

i=y

即a+b=ya+x，，+(x+y)c,則」=X,顯然無(wú)解，

0=x+y

所以a+b、b+c、c+a也不共面,

9

由空間向量基本定理，可能用它們表示出空間任意向量，D正確.

故選：ABD

10.CD

【分析】利用坐標(biāo)法，設(shè)，可得平面ARP的法向量〃=93,。，進(jìn)而即得.

【詳解】以。為原點(diǎn)，力人力心力^分別為心戶z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則0(0,0,0),A(3,0,0),8(3,3,0),￡>,(0,0,3),設(shè)

所以"=(-3/,O),A0=(-3,0,3),AB=(0,3,0),

設(shè)勺=(3,乂，4)為平面4。2的法向量，

n.?AP=-3x.+ry.=0.

則有：，令N=3,可得”=(r,3,r),

n}?AD{=-3x,+3Z[=0

40.ng

則點(diǎn)B到平面AD.P的距離為d==/,,

|?|V2r+9

因?yàn)?<f<3,所以距離的范圍是(石,3).

故選：CD.

11.ABD

【分析】A、B選項(xiàng)通過(guò)空間向量的模長(zhǎng)及數(shù)量積進(jìn)行判斷即可；C選項(xiàng)通過(guò)空間向量求出進(jìn)而

求出面積即可；D選項(xiàng)作出平行六面體的高，求出相關(guān)邊長(zhǎng)，即可求出體積.

222*2

【詳國(guó)軍】AC^AB+AD+AA.,則AC；=AB^AD+AA]^+2ABAD+2ABAA]+2ADAA]

=12+12+12+2xlxlxcos60+2xlxlxcos60+2xlxlxcos60=6,故1AC]卜述，A正確；

AC^AB+AD+AA,,BD=AD—AB，

L

ACCBD=^AB+AD+AA^(AD-AB^=ABAD-AB'+AD-ADAB+AA^AD-A\AB

=lxlxcos60-I2+12-lxlxcos60+lxlxcos60-Ixlxcos60=0,故Ag_LBO,B正確；

10

連接則8A=3A+A￡>+￡)〃，笈￡>=81A+4E>I+￡)|。，

?2222

BD、=BA+AD+DD]+2BA-AD+2AD-DD1+2BA-DD}

=l2+l2+l2+2xlxlxcosl20+2xlxlxcos60+2xlxlxcosl20=2,即卜"卜立，同理忸4=及，故四

邊形B￡)A4為矩形，

面積為1x1=1,C錯(cuò)誤;

過(guò)4作4盧_1面438,易知E在直線AC上，過(guò)E作所_LA8于尸，連接4尸，由AB,EF_LAB得

面AEF,易得481.4/,故AP=A4,<os60=',AE=-^—=^,A,E=JAA}-AE2=^-,

2cos3033

故平行六面體ABCO-AHCQ的體積為Ixlxlx且x2x4^=變，D正確.故選：ABD.

2232

12.ACD

【分析】利用線面垂直的判定定理、空間向量以及球的表面積公式進(jìn)行計(jì)算求解.

【詳解】因?yàn)镃4=CB=CD=1,BD=AD=叵,

所以C42+C￡)2=A￡)2,CB2+C￡)2=BO2,即CD_LC4,CO_LCB,又CAr\CB=C,

所以CO,平面ABC,故A正確；

因?yàn)镃O_L平面ABC,如圖，建立空間之間坐標(biāo)系，

因?yàn)镃4=CB=CD=1,所以四面體C-ABO是正三棱錐，

因?yàn)锳8=BO=A￡)=AE=BE=￡)E=&,所以四面體E—是正四面體,

在正三棱錐C-9中過(guò)點(diǎn)C作底面的垂線，垂足為正三角形4冷的中心，

II

同理，在正四面體E-加中，過(guò)頂點(diǎn)E作底面的垂線，垂足為正三角形畫的中心，

所以，C、G、E三點(diǎn)共線；

因?yàn)镃(0,0,0),。(0,0,1),8(0,1,0),4(1,0,0),因?yàn)镚是正三角形麗的中心，所以

設(shè)因?yàn)樵谡拿骟wE—中，EG=竽，在正三棱錐C—ABD中，CG=￡,

所以每=6,解得f=l,所以所以BE=(l,0,l),又。1=(1,0,0),

所以85(。4,跖)=旦也=*,故AC與BE所成角的大小為:，故B錯(cuò)誤;

\/\CA\\BE\24

因?yàn)镃E=(1,1,1),所以CE=G，故C正確;

顯然，該六面體外接球的球心位于線段CE的中點(diǎn)，因?yàn)镃E=6,所以六面體外接球的半徑R=",

所以該六面體外接球的表面積為4兀a=3兀，故D正確.故選：ACD.

]_2]_

13.

【分析】用力在a方向上的投影乘以與Q同向的單位向量可得結(jié)果.

【詳解】。在a方向上的投影向量為篙言2-4+4(-1,2,1)_(121]

V1+4+171+4+1I3;353J

12n

故答案為:3'3'3>1

14.4

【分析】根據(jù)二面角的定義，結(jié)合空間向量加法運(yùn)算性質(zhì)、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】由二面角的平面角的定義知(肛AC)=120。，

BD-AC=\BL^AC\cos^BD,AC)=2x2xcosnO°=-2,

由ACJJ,BD11,得ACBA=0，BDBA=0>又。C=￡>B+BA+AC，

A|DC|2=(DB+BA+AC^=DB2+BA'+AC'+2DB-BA+2DBAC+2BAAC

=22+2?+22-28￡>AC=12-2x(_2)=16,

12

所以pc|=4,即CD=4.

故答案為：4.

15.(1,2,-1)叵##

1111

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合已知條件求得平面的法向量，以及直線的方向向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可

求解.

【詳解】因?yàn)槠矫鎍的方程3x+y-z-5=0,不妨令x=0,y=0,可得z=—5,

所以過(guò)點(diǎn)Q(0,0,-5),設(shè)其法向量為m=(a,b,c),

根據(jù)題意得依+"y+c(z+5)=0,即ax+by+cz+5c=0f

由平面a的方程為3x+y-z-5=0,則?=?=空，

31—5

不妨取。=3,可得b=l,c=-l,則平面a的一個(gè)法向量為機(jī)=(3,1,—1),

經(jīng)過(guò)點(diǎn)R。,。,。)的直線/的方程為x/=-z

不妨取)，=2,則x=l,z=-l,則該直線的一個(gè)方向向量為〃=(1,2,-1),

則直線/與平面a所成的角為。，則sin3=|cos伽,〃)卜蹺=而黑=華

由OefO百，所以cosO=Jl-sin?夕=叵.故答案為:(12-1)；叵

21111

【分析】連接AC、BD,交于O',連接PO',則球心在PO'的延長(zhǎng)線上，結(jié)合題意可得O'ALO'8,且

O'A=O'B=^-a,0'尸=|。，設(shè)OO'=x,OA=OP=r,求出，=聶。，以。'為原點(diǎn)，以O(shè)'AO'B,O'P所

在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，再結(jié)合法向量求解即可.

【詳解】如圖，連接AC、BD,交于O',連接P。'，則球心在尸。上(或延長(zhǎng)線上)，

B2

在正四棱錐中，O'A^O'B,S.O'A=O'B=—a,O'P=-a,

23

設(shè)。4=OP=r,所以/=*，解得，

以。'為原點(diǎn)，以0'4,0'8,0'P所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則'B0,-^-a,0,p(。,。,]”)，0(0,0,—聶)，

所以*殍,o,閣,叫[o冬制，04=(冬喝

13

zo

——ax-2￡3-

/、n-PA=02

設(shè)平面2W的法向量為〃=(x,y,z),則,即＜加

)n-PB=O72一Z-O

~r~ay-3

a

\OA-n\ClH----in

所以球心。到四棱錐側(cè)面的距離為1=匚"16=17a

M5-40

2

17.⑴A（2,0,0）,8（0,0,0）,D（l,^3,0）,￡（0,0,2）（2）^

【分析】（1）根據(jù)△88為正三角形，由AB=2,結(jié)合空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的寫法，即可求解；

（2）利用空間向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】（1）解：由題意，可得△BCQ為正三角形，因?yàn)锳3=2,所以8尸=6，

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，8AB所在的直線分別為的方向?yàn)閤軸、y軸和z軸建立的空間直角坐標(biāo)系，可得

A（2,0,0）,8（0,0,0）,D（l,V3,0）,E（0,0,2）.

（2）解：由（1）可得48=（-2,0,0）,DE=（-1,-6,2）,

/“gABDE272

所以8MAB，%=網(wǎng)網(wǎng)=痂正=:

【分析】（I）根據(jù)|c1=2應(yīng)可求得x=0,再根據(jù)垂直的數(shù)量積為0求解%即可.

14

(n)根據(jù)共面有c=2a+再求解對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等關(guān)系求解即可.

【詳解】解：(1)因?yàn)閨c|=2立，所以正。T?=20nx=().

且％。+/?=(-2k—1,l—k92k+2).

因?yàn)橄蛄堪?0與工垂直，所以(無(wú)。+辦c=0.即22+6=0.

所以實(shí)數(shù)無(wú)和攵的值分別為0和-3.

(II)因?yàn)橄蛄?與向量q,人共面，所以設(shè)C=+.

因?yàn)?x,2,2)=A(-2,-l,2)+〃(為,1,2),

X="2，

x——24—〃，

T所以實(shí)數(shù)x的值為總

,2=〃一4所以《

2=22+2//,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的基本求解方法，包括模長(zhǎng)的運(yùn)算以及垂直的數(shù)量積表達(dá)與共面向量的關(guān)

系等.屬于基礎(chǔ)題.

19.(1)8N=—ga+g力+ge,平(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)在三角形8CN,三角形AMC,正方形A5CD等閉合路徑中進(jìn)行向量轉(zhuǎn)化，將向量8N用。、b、

c表示，再平方將向量實(shí)數(shù)化求出向量BN的模即BN的長(zhǎng).

(2)先用基向量法求防可證得比)_LAW,結(jié)合正方形A3Q9中5￡>_LAC,可證得平面MAC.

【詳解】(1)因?yàn)镹是CM的中點(diǎn)，底面A5CQ是正方形，

所以8N=BC+CN=AO+；CM=AO+g(AM-4C)

=AD+-\AM-(AD+AB\]=--AB+-AD+-AM=--a+-h+-c,

2L\〃222222

又同=網(wǎng)=2,W=|回=2，同=kM=3,

且ZM4B=ZM4￡)=60。，Z/M5=90°,

所以|潴『=卜/+/+產(chǎn)1=1冏+叩+皆一2=2—2加+以3

117

=_(4+4+9-0-2x2x3cos600+2x2x3cos60°)=—,

所以|BN卜唱，即助v的長(zhǎng)為手

LILK1LH4LIUUtlULllLIUL1UUlllLILILIULtlUULI1111

(2)0^BDg4M=(AD-AB)g4M==2X3XCOS600-2X3XCOS60°=0,

所以BO_LAM，即3￡>_LAM.又在正方體4?C￡>中，BDJ.AC,

15

且ACcA〃=A,AC,AMu平面M4c所以801平面MAC.

20.(1)證明見(jiàn)解析(2)巫

15

【分析】(1)若E是R4中點(diǎn)，連接易證8M0E為平行四邊形，進(jìn)而有8E//MN,利用線面平

行的判定證結(jié)論：

(2)轉(zhuǎn)化為求直線BE與平面PBD所成角正弦值，利用等體積法求E到面尸8￡＞的距離，即可求夾角正弦值.

【詳解】(1)若E是R4中點(diǎn)，連接又M為P3中點(diǎn)，

所以EB//AO且EB=gAD,又ABCD為正方形,即4)〃8c且4)=BC,

而N為8c中點(diǎn)，取EMHBN豆EM=BN,即為平行四邊形，

所以BE//MN,3Eu面MNa面PAB,則MN//面B4B.

(2)由(1)知：直線MN與平面PBD所成角，即為直線8E與平面P8Z)所成角，

若E到面PBD的距離為d,則A到面PBD的距離為2d,

由P4_L平面ABC。，AB,ADABCD,貝lj必_L43,%_L4),

由A8C￡＞為正方形，則AB_L4。，又口=AB=2,

所以△尸處為邊長(zhǎng)為2近的等邊三角形，BPSraD=^x2V2x2^xsin60°=2^,

由匕匕?