2023年高考數(shù)學(xué)二模試卷

2023年高考數(shù)學(xué)二模試卷

1.已知集合A={x|ax2-3%+2=0}的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值為()

A.IB.0C.翔)D.無解

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足(i-l)z=2,給出下列四個(gè)命題其中正確的是()

A.z的虛部為一1B.\z\=2C.z=14-iD.z2=2i

3.已知向量萬=(-1,1)范=(3,1),貝地在B上的投影向量為()

A.(to)B.(—喑—奧

C.(1,1)D.

4.某市在文明城市建設(shè)中，鼓勵(lì)市民"讀書好，好讀書，讀好書”.在各閱覽室設(shè)立茶座,

讓人們在休閑中閱讀有用有益圖書.某閱覽室為了提高閱讀率，對于周末前來閱讀的前三名閱

讀者各贈(zèng)送一本圖書，閱讀者從四種不同的書籍中隨意挑選一本，則他們有且僅有2名閱讀者

挑選同一種書的概率為()

3539

ABC-

---

894D.

16

5.放射性核素粥89的質(zhì)量”會(huì)按某個(gè)衰減率衰減，設(shè)其初始質(zhì)量為Mo,質(zhì)量M與時(shí)間t(單

位：天)的函數(shù)關(guān)系為M=M。向,若錮89的質(zhì)量從/衰減至g%,1M0,2%所經(jīng)過的

時(shí)間分別為口，t2,打，則()

A.打—2tl+t2B.￡3=11+*2C.上2=2tl+土3D.=2tl-t2

6.經(jīng)過P(2,3)向圓/+y2=4作切線，切線方程為()

A.5x-12y+26=0B.13%-12y+10=0

C.5x—12y+26=?；騲=2D.13%—12y+10==2

7.正三棱柱ABC-481cl的底面邊長是4,側(cè)棱長是6,M,N分別為CC】，AB的中點(diǎn)，若P

是側(cè)面BCG當(dāng)上一點(diǎn)，且PN〃平面A&M,則線段PN的最小值為()

等強(qiáng)

A.J-5-D.

-s-

8.已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足f(x+6)=/(x),y=/(x+3)為偶函數(shù)，若/。)在(0,3)

內(nèi)單調(diào)遞增.記a=/(2021),b=f(e"c=/(/n2),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b<c<aB.c<b<aC.a<c<bD.a<b<c

9.下列化簡正確的是()

A.cos820sin52sin820cos52°=—2B.sinlS°sin30Osin750=：

Lo

22

C.ta"48°+產(chǎn)172：=D.COS15Sin15。=?

1—tan48tan722

10.已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,且f'(x)>1,/(3)=4,則下列結(jié)論中正確的有()

A./Q)為增函數(shù)B.g(x)=/(為一x為增函數(shù)

C./(2X一1)>4的解集為(一總2)口./(2%-1)>2工的解集為(2,+8)

11.已知拋物線y2=2PMp>0)的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線/交拋物線于4B兩點(diǎn)，以線段4B

為直徑的圓交y軸于“、N兩點(diǎn)，設(shè)線段4B的中點(diǎn)為P,貝!|()

A.OA-OB=-^-

4

B.若|仍?|BF|=4p2,則直線AB的斜率為C

C.若拋物線上存在一點(diǎn)E(2,t)到焦點(diǎn)F的距離等于3,則拋物線的方程為y2=8x

D.若點(diǎn)尸到拋物線準(zhǔn)線的距離為2,則sinzPMN的最小值為:

12.如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂卜戶"

直，力。=0E=4,G為線段4E上的動(dòng)點(diǎn)，則()C/；

A.若G為線段4E的中點(diǎn)，則GB〃平面CE尸

B.AE1CF8

C.BG2+CG2的最小值為48

D.點(diǎn)B到平面CEF的距離為殍

13.在Q-$7的展開式中，含；的項(xiàng)的系數(shù)是.

14.設(shè)a>0,b>1,若a+b=2,則，出取最小值時(shí)a的值為.

15.若函數(shù)f(無)=x(x-c)2在久=3處有極小值，則c的值為.

2

16.已知坐標(biāo)平面xoy中，點(diǎn)&,尸2分別為雙曲線c-^-y2=i(a>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)

M在雙曲線。的左支上，“尸2與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)￡>,且。為M『2的中點(diǎn)，點(diǎn)/為△

?！笆?的外心，若0、/、D三點(diǎn)共線，則雙曲線C的離心率為.

17.在仆ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=2bcosB,C=y.

⑴求B；

(2)在下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△4BC存在且唯一確定，并求8c邊上的中線的長

度.

②△48C的周長為4+2，？；②面積為SMBC=亨?

18.已知等差數(shù)列5｝中，公差d>0,=77,且-1,成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛?！保耐?xiàng)公式；

1

(2)若7；為數(shù)列｛/［二｝的前n項(xiàng)和，且存在neN*,使得7；-4斯+1>。成立，求實(shí)數(shù)屁勺取

anan+l

值范圍.

19.如圖1,在44BC中,D,E分別為AB,4c的中點(diǎn)，。為DE的中點(diǎn)，AB=AC=2<5,

BC=4.將A40E沿。E折起至！UAOE的位置,使得平面&OE，平面BCE。,如圖2.

(I)求證：AyO1BD.

(口)求直線4c和平面4/。所成角的正弦值.

(Ill)線段&C上是否存在點(diǎn)F,使得直線DF和BC所成角的余弦值為手？若存在，求出兼的

值；若不存在，說明理由.

20.我國為全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃某

企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金.該企業(yè)為了了解研

發(fā)資金的投入額x(單位：百萬元)對年收入的附加額y(單位：百萬元)的影響，對往年研發(fā)資

金投入額看和年收入的附加額%進(jìn)行研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下:

投入額期234568911

年收入的附加額力3.64.14.85.46.27.57.99.1

(1)求年收入的附加額y與投入額X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

(2)若年收入的附加額與投入額的比值大于1,則稱對應(yīng)的投入額為"優(yōu)秀投資額"，現(xiàn)從上

面8個(gè)投入額中任意取3個(gè)，用X表示這3個(gè)投入額為"優(yōu)秀投資額”的個(gè)數(shù)，求X的分布列及

數(shù)學(xué)期望.

【參考數(shù)據(jù)】Xiyt=334.1,=48.6,￡?=*=356.

【附】在經(jīng)驗(yàn)回歸方程，=bx+a^.b=

第13-1)2-1%*_癡2,a=y-bx-

21.已知橢圓E：冒+=l(a>6>0)的左.右焦點(diǎn)分別為0(一1,0),F2(1,0),過&且斜率

為一的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)在X軸上的射影恰好為尸2.

(1)求橢圓E的方程；

(2)如圖，下頂點(diǎn)為4,過點(diǎn)B(0,2)作一條與y軸不重合的直線.該直線交橢圓E于C,。兩點(diǎn).直

線?10,4C分別交支軸于點(diǎn)口，G.求證：AABG與A4。”的面積之積為定值，并求出該定值.

22.已知函數(shù)/'(X)=Inx,g(x)=(,其中a>0.

(1)若F(x)=方盛1而一/(霜在(°」)上單調(diào)遞減，求。的取值范圍.

(2)證明：送=㈤11與<ln(n+1),n,fceW*.

KT1

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：集合4有一個(gè)元素，即方程a/-3x+2=0有一解，

當(dāng)a=。時(shí)，A=(x\ax2-3%+2=0}={x|-3%+2=0}={|},符合題意，

當(dāng)aW。時(shí)，ax2-3x4-2=0有一解,

Q

則4=9-8a=0,解得：a=.，

O

綜上可得：a=0或a=1,

O

故選：c.

集合力有一個(gè)元素，即方程a/-3x+2=0有一解，分a=0,a40兩種情況討論,即可得解.

本題主要考查了元素與集合的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】AD

【解析】解：(i-l)z=2,

__2_2(-1-i)_.

,?z--1+1-(-l+i)(-l-i)-Td-'，

對于A,Z的虛部為-1,故/正確，

對于B,|z|=J(-1尸+(-=。，故6錯(cuò)誤，

對于C,z=-1+i,故C錯(cuò)誤，

對于。,z2~(-1-j)2=(1+02=2i,故。正確.

故選：AD.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，先對z化簡，再結(jié)合復(fù)數(shù)的性質(zhì),即可依次求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：向量五=方=(3,1),設(shè)。=<a,b>,

八ab-21

cose=麗=GE=~7f'

行在b上的投影向量為Ia\cos9-需=V-2x(―^=)??^嗡=

故選：D.

根據(jù)投影向量的計(jì)算公式求解.

本題考查平面向量的投影向量的計(jì)算方法，屬于中檔題.

4.【答案】D

【解析】解：三人挑四種書，每人有4種選法，共有43=64種方法，

恰有2人選同一種書的方法有^以廢種，即36種方法，

故恰有2人選同一種的概率P=占=丸

1O

故選：。.

由條件求出所有基本事件的個(gè)數(shù)，再求事件恰有2名閱讀者挑選同一種書所包含的基本事件的個(gè)數(shù),

利用古典概型的概率公式求概率即可.

本題主要考查古典概型及其概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

fl

5Mo=M0?Io=sg或

=50

【解析】解：由題可得，^M=M-,則《

oo即12=50log23,

.t3=50，。出12

強(qiáng)Mo=Mo?

2

因?yàn)镋og212=log2(3x2)=log23+2,所以=2tl+t2.

故選：4.

根據(jù)題意列出方程組指數(shù)式化為對數(shù)式，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算法則，求出，結(jié)合/。比12=1。92(3X22)=

log23+2,得到t3=2tl+t2.

本題主要考查函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】c

【解析】解：(1)當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線x=2是圓的切線；

(2)當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，：y-3=k(x-2),

.|2k-3|?<

由(0,0)到切線距離為d=了/二=2,得仁加

此時(shí)切線方程為y-3=^(X-2),即5x-12y+26=0.

故選：C.

根據(jù)切線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得正確答案.

本題考查圓的切線方程的求解，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

7.【答案】c

【解析】解：如圖,

取BBi的中點(diǎn)為D,連接CD,ND,

vND//ABX,ND不包含于平面力BiM,力當(dāng)包含于平面,:.ND〃平面AB】“，

同理CD〃平面ABiM，?:CDCND=D,

:平面CND〃平面,

*PN〃平面4B1M,

.?點(diǎn)P在緋殳CD上,

當(dāng)PN1CD時(shí)，線段PN最短，

v\ND\=722+32=<13,\CD\=742+32=5,|CN|=V42-22=2<3,

貝!||CN|2+\ND\2=\CD\2,CN1.ND,

CN-ND=CD-PN,

...*2口尸=等.

故選：C.

先求出平面CND〃平面4&M,再確定點(diǎn)P在線段CD上,進(jìn)而由PN1CD得出答案.

本題考查面面平行的判定，考查三角形面積的運(yùn)用，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：f(x)滿足/(%+6)=f(x),y=f(x+3)為偶函數(shù),

所以函數(shù)的周期7=6,且關(guān)于x=3對稱，

因?yàn)樵?0,3)內(nèi)單調(diào)遞增，a=/(2021)=/(5)=/(I),b=心),c=/(Zn2),

又1>ln2>\ny/-e>e-1,

則a>c>b.

故選：力.

根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

9.【答案】ABD

【解析】解：4：cos82Osin52。一sin8220s52°=sin(52°-82°)=sin(-30)=-白正確；

B:sinlS°sin30Osin75°=sinlS°sin30%osl5°=^sin230°=:,正確；

Lo

C.tan48°+tan72°,—處;軍.

tanx48

1-加48%麗72。=+72°)=tan(1200)=一口'鑰l天'

D:cos2150—sin215°=cos30°=號,正確.

故選：ABD.

4逆用差角正弦公式求值；B誘導(dǎo)公式、倍角正弦公式化簡求值；C和角正切公式化簡求值；。倍

角余弦公式化簡.

本題主要考查了和差角公式，二倍角公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，屬于中檔題.

10.【答案】ABD

【解析】解：對于4,因?yàn)閁(x)>1,所以人乃為增函數(shù)，故力正確；

對于B,由g(x)=/(x)-X,g{x)=f'(x)-l>o,所以g(x)為增函數(shù)，故8正確;

對于c"(3)=4,則/(2x-1)>4等價(jià)于/(2x-1)>/(3),又f。)為增函數(shù)，所以2x-1>3,

解得x>2,所以f(2x-1)>4的解集為(2,+電，故。錯(cuò)誤；

對于。，/(2x-1)>2x割介于f(2x-1)-(2x-1)>1=f(3)-3.

即g(2x-1)>g⑶,又g(x)為增函數(shù),所以2x-1>3,解得久>2,所以f(2x-1)>2x的解集

為(2,+8)，故。正確；

故選：ABD.

利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可判斷4B,利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式判斷.

本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于中檔題，構(gòu)造新函數(shù)是解題關(guān)

鍵.

11.【答案】AD

【解析】

【分析】

本題考查拋物線的焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)以及焦點(diǎn)弦長、焦半徑的計(jì)算，考查方程思想和運(yùn)算能力，

是直線與拋物線的綜合問題，屬于難題.

設(shè)直線珀勺方程為％=my+l，設(shè)做/,乃)，8(亞，力)，聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)

定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可判斷4；由拋物線的定義，結(jié)合韋達(dá)定理，解方程可得M,可得直

線4B的斜率，可判斷8;由拋物線的定義求得p,可得拋物線的方程，可判斷C；設(shè)直線，的方程為

x=my+l,設(shè)力(勺,乃)，B(x2,y2),聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，運(yùn)用弦長公式和點(diǎn)到直線

的距離公式，求得sinzPMN關(guān)于m的表達(dá)式，求得最小值，可判斷。.

【解答】

解：拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸@,o),

準(zhǔn)線方程為X=-1，對于4，可設(shè)A(Xi，yJ乃(亞/2),

直線的方程為x=my+1,與拋物線y?=2Px聯(lián)

立，消去X,可得y2-2pmy-p2=0,

2

可得乃+72=2pm,yty2=-p,

551104?OB=xix2+y，2=與滬+以及=卷一「2=一￥，故Z正確；

對于B,由拋物線的定義可得?田尸|=(與+§)(X2+與)=x62+§+x2)+。

=。+/?(2pm2+p)+。=4P2,解得m=±v-3,則直線的斜率為土一,故8錯(cuò)誤；

對于C,若拋物線上存在一點(diǎn)E(2,t)到焦點(diǎn)F的距離等于3,由拋物線的定義可得2+§=3,解得

P=2,則拋物線的方程為f=4x,故C錯(cuò)誤;

對于。，拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為P=2,則該拋物線的方程為y2=4x,設(shè)直線珀勺方程為

x=my+1，設(shè)4(Xi，yi),B(%2，y2)，聯(lián)立1可得y?-4my-4=0,△=16m2+16>0,

2

yi+y2=4m,所以/+x2=m(yi+y2)+2=4m+2,

22

\AB\=Xi+x2+2=4(m+1),P到y(tǒng)軸的距離為d=歿熱=2m+1,

所以sin/PMN=蠢=*=1一而%=L當(dāng)且僅當(dāng)m=。時(shí)，取得等號，故D

正確.

故選：AD.

12.【答案】ABD

【解析】解：因?yàn)锽DEF是矩形，所以DE1DB,

又矩形BDEF所在平面與正方形4BC0所在平面互相垂直，矩形BDEF所在平面與正方形48CD相交

于BD,

且DEu平面BDEF,所以。E1平面4BC0,

而4。,DCu平面ABC0,所以0EVAD,DCVDE,

而4BCD是正方形，所以4。1DC,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

E

A*.

B

x

則4(4,0,0),B(4,4,0),C(0,4,0),E(0,0,4),尸(4,4,4),

對于a,CE=(0,-4,4),CF=(4,0,4),

當(dāng)G為線段AE的中點(diǎn)時(shí)，G(2,0,2),得話=(2,4,-2),

設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為記=(x,y,z),

有巴?竺=-4y+4z=0,則可取沆=(1,-1,—1),

(m-CF=4%+4z=0

因?yàn)樵?訪=2x1+4x(-1)+(-2)x(-1)=0,GBC平面CEF，則GB〃平面CEF，故/正確；

對于B,AE=(-4,0,4),CF=(4,0,4),

所以荏?#=-16+16=00荏1而，故8正確；

對于C,設(shè)G=Cq,yi，Zi),則(與一4,y1)Z1)=A(—4,0,4)(4e[0,1])=>G(4-42,0,41),

得BG2+CG2=64A2-32/1+48=64(4-i)2+44有最小值44,故。錯(cuò)誤；

對于。,CB=(4,0,0),cos(CB,m)=尚焉=而忐^=￥，

所以點(diǎn)B到平面CEF的距離為|而|.cos(CB,m)=4x?=拶，故。正確.

故選：ABD.

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得DE1平面4BCD,由線面垂直的性質(zhì)可得DEl.AD,DCLDE,又AD1

DC,建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明線線、線面的位置關(guān)系和求解點(diǎn)到平面的距

離，結(jié)合空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求出BG2+CG2,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

本題考查線面平行，線線垂直的判定，考查點(diǎn)到平面的距離，考查空間向量的運(yùn)用，考查邏輯推

理能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】560

【解析】解：二項(xiàng)式。-$7展開式的通項(xiàng)公式為G?x7-r.(_|y=(_2)r,g?/-2r,

令7—27=-1=r=4,

所以(x-，的展開式中%勺系數(shù)為(—2)4.6=16x35=560.

故答案為：560.

根據(jù)題意可得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為(-2y.C夕?，令7-=一1,求出r即可求解.

本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】I

【解析】解：a>0,b>l,得匕-1>0,

由a+h=2,得a+(b-1)=1,

L

+(-+rr)[a+(b-l)]=10+止+凸10+2乎亙元二=16,

ah—1、Qb—1八、八a力一ixab—1

當(dāng)且僅當(dāng)絕2=言，即a=J,b=[時(shí)等號成立.

a0-144

故當(dāng)a=上匕=/成+言取得最小值16.

3

4-

根據(jù)題意可得b-1>0、a+(b-1)=1,結(jié)合基本不等式中"1"的用法計(jì)算即可求解.

本題考查了"乘1法"與基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】3

【解析】解:因?yàn)閒(X)=X(x-c)2,所以U(x)=(X-c)(3x-c),

又因?yàn)楹瘮?shù)f(X)=x(x一c)2在X=3處有極小值，

所以八3)=(3-c)(9-c)=0,解得C=3或c=9,

當(dāng)c=3時(shí)，八%)=(%-3)(3%-3),

所以x>3時(shí)，fQ)>0,1<x<3時(shí)，/'(%)<0,

所以函數(shù)f(x)在x=3處取得極小值；

當(dāng)c=9時(shí),f{x)=(x-9)(3%-9),

所以3<%<9時(shí)，/G)<0,%<3時(shí)，/7為>0,

所以函數(shù)f(乃在x=3處取得極大值，不合題意，舍去.

故答案為：3.

利用導(dǎo)數(shù)在x=&處取到極值的必要不充分條件/Go)=0,從而求出c值，再對c進(jìn)行檢驗(yàn)即可求

出結(jié)果.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】<5

【解析】解：由題意知，雙曲線的漸近線方程為y=±KF2(c,0),

不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，貝狄財(cái)坊=會(huì),

由。為“尸2的中點(diǎn)，0、/、。三點(diǎn)共線知直線。。垂直平分,

n

貝mUi。le。r.-y=-1x,有-±-赤=一。，且=1鼠,=1丁m+c，

解得m=噌，兀=今所以M(咚1勺，

將M(咚1勺，即(若。芻，代入雙曲線的方程，

得心算一殍=1，化簡可得c2=5a2，即e=門，

aLcLcz

當(dāng)點(diǎn)M在第三象限時(shí)，同理可得e=n.

故答案為：屋.

設(shè),根據(jù)題意可知。。垂直平分MF2,利用兩直線垂直斜率之積為-1和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得

段=且J?n=；?吟，求出m、n,得出點(diǎn)M坐標(biāo)，代入雙曲線方程得到關(guān)于a、c的方程，結(jié)

合離心率的定義化簡即可求解.

本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題.

17.【答案】解：⑴?.?C=2bcosB,C=y,

在小ABC中，由正弦定理得sinC=2sinBcosB,sin2B=三,

又0<B<,則0<2B〈第:2B=,解得B=;

(2)如圖所示,設(shè)。為BC的中點(diǎn),貝必。為BC邊上的中線.

若選。：由⑴得B屋，4=，設(shè)BC=AC=2x,

由余弦定理得cos年=4/譽(yù)2值,則赫=2g,

32-2x-2x

故周長為(4+2<^)x=4+2y/~3,解得x=1,則BC=AC=2,AB=2<3,

則在△ABD中，由余弦定理得cosB="B;編加=^+1-AD2=<3,解得力0=「.

2ABBD4V32

若選②：VS^ABC=ShABC-^absinC=,即6=V-3,則CD=?,

在44c。中,由余弦定理得=AC2+CD2_2AC.CDcosC=3+1-2xxx

42

I2，4，

4。=早，故8c邊上的中線長為子.

【解析】⑴利用正弦定理將條件中的邊轉(zhuǎn)化成角，將c=?弋入，即可求出sin2B,即可得出答

案；

(2)若選⑦,首先根據(jù)44BC的周長求出三角形三邊長度，然后在△4BD中使用余弦定理即可求出

中線力。的長度若選②，首先根據(jù)△4BC的面積求出4c與8C的長度，可得CD的長度然后在△ACD

中使用余弦定理即可求出中線4。的長度.

本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：⑴由題意可得1孫+=77即**葭E-36

2

+5d-I)=(%+d)(ax+10d)(°-4d)?(7+5d)-36

又因?yàn)閐＞0,所以｛)：；，所以即=n+1..............................(5分)

(2)?:---=---------=—.....—

')anan+i(n+l)(n+2)n+1n+2'

711,11,,1111n

n2334n+ln+22n+22(n+2),

???存在neN*,使得7；—4即_】＞0成立.

二存在幾GN*,使得溫力-"n+2)＞。成立.

即存在nGN*,使得a＜而可成立.

溫斤=溫的42(當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)取等號)?

???A＜^,即實(shí)數(shù)；I的取值范圍是(—8忐...................(12分)

【解析】⑴利用等差數(shù)列的和以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求解數(shù)列的首項(xiàng)與公差，然后求解數(shù)列

的通項(xiàng)公式.

(2)數(shù)列七戶)的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解數(shù)列的和，通過T"-4廝-1＞。成立.說明存在

anan+l

neN*,使得溫萬-+2)＞0成立.得到2＜而看成立.利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解即可.

本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和的方法，等差數(shù)列以及等比數(shù)列的應(yīng)用，是中檔題.

19.【答案】(I)證明：因?yàn)樵凇鰽BC中，D,E分別為AB,AC的中點(diǎn)，

所以DE〃BC,AD=AE.

所以41。=&E,又。為0E的中點(diǎn)，所以4。1DE.

因?yàn)槠矫?10E1平面BCE。,

平面為DECI平面BCE。=DE,且&。u平面公￡)￡1,

所以公。1平面BCE。,

因?yàn)锽Du平面BCED,

所以公。1BD.

(U)解：取BC的中點(diǎn)G,連接0G,所以。E106.

由(I)得七。10E,右。10G.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz.

由題意得，&(0,0,2),6(2,-2,0),C(2,2,0),D(0,-l,0).

所以砧=(2,-2,-2),A^D=(0,-1,-2),砧=(2,2,-2).

貝??黑=0,

[n-ArD=0,

即舄魂覺=°'

令％=1,貝！Jy=2,z=—1,所以元=(1,2,-1).

設(shè)直線&C和平面&BD所成的角為8,

貝！IsinO=|cos(n,^C)|=黑翼=號.

故所求角的正弦值為學(xué).

(in)解：線段上存在點(diǎn)尸適合題意.

設(shè)不甘=A卡，其中46[04].

設(shè)F(Xi，yi，Zi),則有(x〕yi，Zi-2)=(22,22,-2A),

所以與=2"%=22,Z]=2-24,從而尸(2尢242-2A),

所以而=(22,2A+1,2-24),又阮=(0,4,0),

所以際而屈心黯=?的+"

|￡,F||SC|4^(2A)2+(2A+l)2+(2-2a)2'

________|24+1|__________￡2?

(21)2+(2a+l)2+(2-2A)27'

整理得16萬—24a+9=0.解得4=弓.

所以線段4C上存在點(diǎn)尸適合題意,且第=I.

【解析】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用直線與平面所成角的求法，考查空間想象能

力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題.

(I)證明41。1。立結(jié)合平面&OE1平面BCEO,推出公。，平面8CE。,即可證明4。1BD；

(U)取BC的中點(diǎn)G，連接OG，推出OE1OG.ArO1OE,&。1OG建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz.求

出平面&B。的法向量，然后利用空間向量的數(shù)量積求解直線&C和平面&B。所成的角的正弦值；

(III)設(shè)審=AA^C,其中4G[0,1].求出前=(2A,2A+1,2-2A),結(jié)合近=(0,4,0),然后利用空

間向量的數(shù)量積求解異面直線所成角，推出結(jié)果即可.

2+3+4+5+6+8+9+11

.【答案】解:(l)x==6,y=白?=1%=等=6.075,

208

334.1-8x6x6.075

所以b_20.625

^=lxl~nx356-8x36

c八

又因?yàn)閍=y-bx'所以a=6.075-0.625x6=2.325，

所以年收入的附加額y與投入額x的線性回歸方程為y=0,625%+2.325；

(2)8個(gè)投入額中，"優(yōu)秀投資額"的個(gè)數(shù)為5個(gè)，故X的所有可能取值為0,1,2,3?(X=0)=:=表,

P(X=1)=粵=JI,P(X=2)=辱=mP(X=3)=烏=春

、}C§56，、,C§56，、?Cg561

則X的分布列為：

X0123

1

P15155

56562828

【解析】(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)和參考公式，即可求出y與投入額X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

(2)求出X的所有可能取值和對應(yīng)的概率，即可求出X的分布列，再由期望公式即可求出答案.

本題主要考查了線性回歸方程的求解，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)過&且斜率為子的直線的方程為y=f(%+1),

令x=1,得y-￥,

a2-b2=1

由題意可得H+工_1,解得=2,b2=l.

2

???求橢圓E的方程為：+y2=i；

證明：(2)由題意知，直線BC的斜率存在，設(shè)直線BC:y=收+2,

0(%1，71),C(x2,y2),

y=kx+2

聯(lián)立/上21得(1+2fc2)%2+8kx+6=0.

e+y=i

-8k_6

?1,%+"2=詢'X/2=詢'

由4=16k2—24>0，得/c2>—,

4

???乃+為=k(Xi+%2)+4=五普,

2

y/2=（依i+2）（依2+2）=kxrx2+2k&+x2）+4=

直線4。的方程為y=若無-1,令y=0,解得％=憊,

則“(憊，°),同理可得G(危，。)，

1Xi1%23%1%2

BC-OH=X1XIl><X3X|l=l1

,■,^^2T+^2T+?；4(l+y1)(l+y2)

6

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