2023-2024學(xué)年福建省莆田市涵江區(qū)錦江中學(xué)高三（上）第一次開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023.2024學(xué)年福建省莆田市涵江區(qū)錦江中學(xué)高三(上)第一次開學(xué)數(shù)

學(xué)試卷

一、單選題(本大題共9小題，共45.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合4={-3,—1,0,1,2,3,4},CRB={x|x<0或x>3},則ACB=()

A.0B.{-3,-1,0,4)C.{2,3}D.{0,1,2,3)

2.設(shè)a,b是實數(shù),則“a>聞”是“歷⑷+1)>ln(b2+1)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.下列求導(dǎo)運算正確的是()

xxz

A.(a+2)'=aB.=_x-3C.(伍2x)'=三D.(—cosx)=sinx

4.若曲線f(x)=:+kZnx(e是自然對數(shù)的底數(shù))在點(e,k+l)處的切線與y軸垂直，則k=()

A.1B.—C.——D.—1

5.設(shè)x,yeR,向量益=(x,1,1),b=(l,y,1)-c=(2,-4,2),且&1冷b//c>則|,+山=.()

A.27~2B.C.3D.4

6.一袋中裝有10個盲盒，已知其中3個是玩具盲盒，7個是文具盲盒，甲、乙兩個小孩從中先后任取一個盲

盒，則乙取到的是玩具盲盒的概率為()

2137

-

--C

A.9B.3D.

1010

7.我國古代數(shù)學(xué)名著仇章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱

錐稱為陽馬.如圖，四棱錐P-ABCC為陽馬，平面ABCZ),且EC=2PE,若

DE=xAB+yAC+zAP>則x+y+z=()

A.1

B.2

8.已知函數(shù)y=/(x)對于任意的x6(*J)滿足1(x)cosx+/(x)sinx>0(其中尸(x)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)),

則下列不等式成立的是()

A./(O)>V-2/(5B.<2/(-5)>/(-=)

c.Cf⑨》&)D./(O)>2/(=)

9.如果a,b,c,dERf則正確的是()

2

A.若a>b,則工<7B.若Q>b,則Qc?>be

ab

C.若Q>b,c>d,則a+c>b+dD.若a>b,c>d,則ac>bd

二、多選題(本大題共2小題，共10.0分。在每小題有多項符合題目要求)

10.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球，先從甲罐中隨機取出一

球放入乙罐，分別用事件4，4和4表示從甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球；再從乙罐中隨機取出一

球，用事件B表示從乙罐中取出的球是紅球，則下列結(jié)論正確的是()

A.P(B)*B?P(B|4)=卷

C.事件8與事件&相互獨立D.A】，42,4是兩兩互斥的事件

11.已知關(guān)于％的不等式a/+"+cNO的解集為｛x|x43或不之4｝,則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是()

A.a>0

B.不等式b%+c<0的解集為｛%[%<—4｝

C.不等式c/一加:+Q<0的解集為｛%忱<一；或%>|)

D.a+b+c>0

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

12.已知若正數(shù)a、b滿足a+b=l,則2+上的最小值為.

13.10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，則在第一次抽到次品條件下，第二次抽到次品的概率.

14.已知隨機變量f服從二項分布f?則P(f=2)=.

15.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本(固定投入)為2500元，已知每生產(chǎn)x件這樣的產(chǎn)品而要再增加可變成本

C(x)=200x+表/(元)，若生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能以每件500元售出，則該廠生產(chǎn)件這種產(chǎn)品時，可獲

得最大利潤元.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(本小題10.0分)

已知函數(shù)f(%)=x3—ax2.

(1)若((1)=3,求函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,2］上的最大值；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,2］上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

17.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P-4BCO的底面是矩形，PO_L底面ABC。，PD=DC=2,AD=2^,M為BC的中點.

(1)求直線BD與平面4PM所成角的正弦值;

(2)求。到平面4PM的距離.

18.(本小題12.0分)

甲、乙兩名運動員進(jìn)行五局三勝制的乒乓球比賽，先贏得3局的運動員獲勝，并結(jié)束比賽.設(shè)各局比賽的結(jié)

果相互獨立，每局比賽甲贏的概率為|,乙贏的概率為全

(1)求甲獲勝的概率；

(2)設(shè)X為結(jié)束比賽所需要的局?jǐn)?shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

19.(本小題12.0分)

如圖，在三棱臺ABC-AiBiG中，若人14-L平面ABC,ABA.AC,AB=AC=AA1=2,=1,N為AB中

點，M為棱BC上一動點(不包含端點).

(1)若M為BC的中點，求證：&N//平面RAM；

(2)是否存在點M,使得平面GMA與平面4CG4所成角的余弦值為《？若存在，求出BM長度；若不存在，

6

請說明理由.

20.(本小題12.0分)

為了了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班48人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下的2x2列聯(lián)表:

已知在全班48人中隨機抽取1人，抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為|.

(1)請將上面的2x2列聯(lián)表補充完整(不用寫計算過程)；

(2)試根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，分析喜愛打籃球與性別的關(guān)系；

(3)現(xiàn)從女生中抽取2人進(jìn)一步調(diào)查，設(shè)其中喜愛打籃球的女生人數(shù)為X,求X的分布列與均值.附：*2=

2

(a+b)流溜其中…2

a0.1000.0500.0100.001

Xa2.7063.8416.63510.828

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)=x—alnx.

(1)求f(%)的單調(diào)區(qū)間;

a

(2)若y=f(x)有兩個零點，記較小零點為%o，求證：(a-l)x0>-

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：,：CRB={x\x<0或%>3],B={x|0<x<3},

：.AnB={0,1,2,3},

故選：D.

先由CRB求出集合B,再利用集合的交集運算求解.

本題主要考查了集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解:若a>|b|,]H!)a2>b2,ln(a2+1)>ln(62+1),

Sln(a2+1)>ln(d2+1),則&2+1>爐+1,即|a|>|b|,當(dāng)a<0時，推不出a>網(wǎng),

所以“a>聞”是“l(fā)n(a2+1)>ln(h2+1)”的充分不必要條件.

故選:A.

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及充分不必要條件的定義可得答案.

本題考查了充分必要條件的定義，考查不等式問題，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解:對于4,(ax+2)z=axlna,故A錯誤；

對于B,(X-2)，=-2X-3,故B錯誤；

對于C,Si2x)'=；x2=]，故C錯誤；

vy2xx

對于(―cosx)z=sinx,故。正確.

故選：D.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式即可得到結(jié)論.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：由/(*)=5+依但得尸(%)=一.+[,

根據(jù)題意有f'(e)=—￡+(=0,解得k=l.

故選：A.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與直線垂直的關(guān)系求解即可.

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，考查兩直線垂直與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查向量的模的求法，考查向量平行、向量垂直、平面向量坐標(biāo)運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解

能力，屬于中檔題.

利用向量平行和向量垂直的性質(zhì)列出方程組，求出x,y,再由平面向量坐標(biāo)運算法則求出,+3,由此能求

出m+/i.

【解答】

解：設(shè)X，yGR,向量2=(x,1,1),b=(l,y,1)>1=(2,-4,2),

Jia1c,b//c>

加(2xT—4+2=0,解得｛1i

.-.a+b=(1,1,1)+(1,-2,1)=(2,-l,2)>：.\a+b\=V4+1+4=3.

故選：C.

6.【答案】C

【解析】解：一袋中裝有10個盲盒，已知其中3個是玩具盲盒，7個是文具盲盒，甲、乙兩個小孩從中先后

任取一個盲盒，記事件4B分別表示甲、乙取到的是玩具盲盒，

則由題意得P(4)=白P(A)=P(B|A)=|,P(B|X)=|,

32713

X+_X

所以P(B)=P(AB)+P(AB)=PQ4)P(B|A)+P(A)P(B|A)=

101010

--

故選：C.93

根據(jù)全概率公式結(jié)合已知條件求解即可.

本題考查全概率公式相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：如圖，四棱錐P—ABCO為陽馬，

P41平面ABCC,且EC=2PE,DE=xAB+yAC+zAP>

因為EC=2PE,所以兩=g同，

所以屁=AE-AD=AP+PE-AD

一］一一

=AP^^PC-AD

=而+可靠―麗一而

2一］一一

=+可4。一/0

2_,1_k_k

=g/P+可4c—（AC+CD）

2一2一一

=^AP-^AC-CD

=1AP-jAC+AB,

X=1

y=-3,貝H+y+z=1.

{z=|

故選：A.

根據(jù)空間向量線性運算法則計算可得.

本題考查空間向量線性運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：令g（x）=3,（—55）,

八/COSX22

因為對于任意的％e（一精）滿足/'。）孫工+/'（%力出%＞0,

則自如串3如＞0,

八/cos"

所以g（x）在（一工）上單調(diào)遞增，

。（。）〈9（〉即緇〈學(xué)，

4

所以/（0）＜/句（力，A錯誤；

9（冶）＜9（-/即磊＜孰，

所以，句（冶）＜/（一》B錯誤,

g?）＞g?），即裳〉歲，

34COSoCOS-r

34

所以CG）＞W(wǎng)）,c正確；

儀。）＜婿），即緇（普

所以/（0）＜2/?）,。錯誤.

故選：c.

結(jié)合已知選項可考慮構(gòu)造函數(shù)g(x)=嫖，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可比較函數(shù)值

大小.

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，比較函數(shù)值大小，解題的關(guān)鍵是函數(shù)的構(gòu)造，屬于中檔題.

9.【答案】C

【解析】解：對于4,令a=l,b=-l,滿足a>b,但工>：,故A錯誤，

ab

對于B,當(dāng)c=0時，ac2=be2,故B錯誤，

對于C,a>b,c>d,

由不等式的可加性可得，a+c>b+d,故C正確，

對于。，令a=1,b=—1,c=1,d=—1,滿足a>b,c>d,但ac=bd,故O錯誤.

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解.

本題主要考查不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BD

【解析】解：依題意得「(4)=卷=今P(&)=^=",P(4)=卷，

則P(B|4)=V，故B正確；

P(B|4)=奈4,P(B&)=強4

所以P(B)=P(Ai)P(B|4)+P(A2)P(B\A2)+P(&)P(B|A3)

.—r^々，

=21Xl5T+51Xi4l+l30Xl4T=292,故從不正-p-7確；

因為P(B4)=急1T=￡,P(4)P(B)=打盤=卷,P(84)"P(4)P(B),

所以事件8與事件&不相互獨立，故C不正確；

根據(jù)互斥事件的定義可知乙，A2,4是兩兩互斥的事件，故力正確.

故選：BD.

根據(jù)條件概率公式計算可知3正確;根據(jù)全概率公式計算可知4不正確;根據(jù)計算可知P(B&)豐P(&)P(B),

故C不正確；根據(jù)互斥事件的定義可知。正確.

本題主要考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】AD

【解析】解：不等式a/4-Z?x+c>0的解集為｛%［%<3或%>4｝,

所以Q>0,且3和4是方程a/+力％+。=。的兩根，選項A正確；

［3+4=--

由根與系數(shù)的關(guān)系知，《c%所以b=-7a,c=12a,

（3x4=a

所以不等式bx+c<0可化為一7x+12<0,解集為｛巾>券｝,選項B錯誤；

不等式c/一^久+a<0可化為12/+7x+1<0,解集為｛x［x<或x>—上｝,選項C錯誤；

因為不等式a/+匕％+c20的解集為｛x|xW3或x24｝,所以x=1滿足不等式，即a+b+c>0,選項￡）

正確.

故選：AD.

根據(jù)不等式ax?+bx+c20的解集得出a>0,且3和4是方程a/+bx+c=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系

得出b、c與a的關(guān)系，再判斷選項中的命題是否正確.

本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題.

12.【答案】/

【解析】解：因為正實數(shù)a、b滿足a+b=l,

所以ab4（竽）2=；,當(dāng)且僅當(dāng)。=6=；時，等號成立；

又為+b^2=l（2+高）陵。+2）+他+2）］="（2+震+鬻）>1?（2+器.骸=擊

當(dāng)且僅當(dāng)窸=喀，即a=b=J時，等號成立.

b+2a+22

故答案為：

根據(jù)題中條件，由與+與=:（2+與）Ka+2）+（b+2）］,展開后，利用基本不等式，即可求出結(jié)果.

a+2b+25、Q+2b+2yLVyvZJ

本題考查了基本不等式的應(yīng)用，難點在于將原式子變化成：（』+士）［（a+2）+（6+2）］,屬于中檔題.

13.【答案】I

【解析】解：根據(jù)題意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；

則第二次抽到次品的概率為余

故答案為|.

根據(jù)題意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率計算公式，計算可得答案.

本題考查概率的計算，解題時注意題干“在第一次抽到次品條件下”的限制.

14.【答案】捺

【解析】解：???§?B(43)表示做了4次獨立實驗，每次試驗成功概率為，

???P(f=2)=廢x?2x(|)2=捺.

故答案為：親

根據(jù)二項分布的概率公直接求解即可.

本題考查二項分布相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】609500

【解析】解：設(shè)該廠生產(chǎn)“件這種產(chǎn)品的利潤為〃久)元，

由題意可得生產(chǎn)x件的收入為500%元，總成本為25000+C(x)=2500+200x+2爐元，

DO

則"%)=500%-2500-C(x)=300%一白爐-2500,x€N”,

DO

則Z/(x)=300-今—令//(X)=0,得x=60,

當(dāng)0<x<60時,L'(x)>0,L(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)欠>60時，L\x)<0,L(x)單調(diào)遞減，

可得％=60是函數(shù)〃%)的極大值點，也是最大值點，

則當(dāng)x=60時,利潤最大為"60)=300x60-表x603-2500=9500元.

故答案為:60；9500.

設(shè)該廠生產(chǎn)x件這種產(chǎn)品的利潤為L(x)元，由利潤等于收入減去成本，可得LQ)的解析式，運用導(dǎo)數(shù)可得L(x)

的最大值和對應(yīng)的x的值.

本題考查函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的運用，考查運算能力，屬于中檔題.

16.【答案】解：(l)/'(x)=3刀2一2以，因為f'(l)=3,所以3-2a=3,所以a=0,

f'(x)=3x2>0,在［0,2］上恒成立，所以函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞增，

所以/(X)max=/(2)=8;

(2)因為函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,2］上為增函數(shù)，

所以1(%)=3x2-2ax>0在［1,2］上恒成立，

所以a<|x在［1,2］上恒成立，所以a<|.

實數(shù)a的取值范圍為(-8,|］.

【解析】(1)先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)((1)=3求出a=0,根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性即可得；

(2)根據(jù)題意知f'(x)>0,分離參數(shù)即可得.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求最值，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)以。為坐標(biāo)原點，DA,DB,DP所在直線分別為％軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖，

則￡)(0,0,0),B(2S,2,0)P(0,0,2),4(2<7,0,0),M(<7,2,0),

：.DB=(2S,2,0)，設(shè)平面4PM的法向量為記=(x,y,z),

PA=(2<^,0,-2).MA=(<7,-2,0)，

貝倬寢樓二取丫=匕得"(EZ，

/福一\-而灰_______2<7xn+2xl+0x2_________

'宿J(2>T2)2+22+02XJ(AT2)2+12+22

???直線BD與平面APM所成角的正弦值為手；

(2)由(1)可知平面4PM的法向量為日=(，々1,2),DP=(0,0,2)，

d=|^p|=今「，D到平面4PM的距離為

【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可；

(2)利用空間點到直線距離公式進(jìn)行求解即可.

本題考查線面角、點到平面的距離等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

18.【答案】解：(1)由已知可得，比賽三局且甲獲勝的概率為匕=(|)3=捺,

比賽四局且甲獲勝的概率為P2=鬣(|)2x(1-1)x|=捺，

比賽五局且甲獲勝的概率為P3=廢(|)2X(1-|)2X|=g,

所以甲獲勝的概率為P=Pl+P2+P3=44+霽=翳.

(2)隨機變量X的取值為3,4,5,

則p(x=3)=(|)3+(j)3=l，

P(X=4)=讖(|)2X；X|+C^)2X|X*3+'=3

P(X=5)=底(|)2x?)2=A,

所以隨機變量X的分布列為：

X345

1108

P(X)

32727

則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3xg+4x染+5x，=當(dāng).

【解析】(1)由題意分別求得三局、四局、五局比賽甲獲勝的概率，然后相加可得甲獲勝的概率；

(2)由題意可知X的取值為3,4,5,計算相應(yīng)的概率值可得分布列，進(jìn)一步計算數(shù)學(xué)期望即可.

本題主要考查事件的獨立性，離散型隨機變量及其分布列，分布列的均值的計算等知識，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(1)證明：分別取4B中點N,連接MN,

則MN為AaBC的中位線，

MN//AC,MN=\AC=1,

又4G=1,4C〃&6，

MN〃&G，MN=&G，

四邊形MM41cl為平行四邊形，

:.A\N"C\M,乂4NC平面GMA,GMu平面GM4

???AN〃平面GM4.

(2)以4為坐標(biāo)原點，荏，而，標(biāo)正方向為x,y,z軸，建系如圖,

???=(0,1,2)，BC=(-2,2,0)，AB=(2,0,0)，

設(shè)的=4近(0<4<1)，則麗=(一2尢2尢0)，

：.AM=AB+BM=(2-2X,2X,0)，

令平面GM4的法向量為元=(x,y,z),

則回7-n=y+2z=0,

IXn=(2A,2A-2,1-2)；

(AM-n=(2-2A)x+2Ay=o'

又易知平面ACGa的一個法向量記=(1,0,0),

.?.[85(記,元)]=黯=|2A|￡6

J4A2+4(A-1)2+(1-A)2了,

解得2=3或；1=一1(舍),

A^M=|BC,A|^M|=1|BC|=^,

?3□□

即BM的長為亨.

【解/斤［(1)取AB中點N,易證得四邊形MN&Ci為平行四邊形，得到&N〃GM,由線面平行的判定可證得

結(jié)論；

(2)以4為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的=2元(OCA<1),根據(jù)面面角的向量求法可構(gòu)造方程求

得;I的值，由此可得結(jié)果.

本題考查線面平行的證明，向量法求解面面角問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，方程思想，屬中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意得，喜愛打籃球的人有48x|=32人，則喜愛打籃球的男生32—10=22人，男

生共22+6=28人，

則女生48-28=20人，不喜愛打籃球的女生20-10=10人,

可得如下2x2列聯(lián)表：

喜愛打籃球不喜愛打籃球合計

男生22628

女生101020

合計32