2024年高考數(shù)學高頻考點題型總結一輪復習 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（精練：基礎+重難點）

2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結

第U練對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（精練）

【A組在基礎中考查功底】

一、單選題

Q

1.（2023?天津?統(tǒng)考二模）已知2'=3,log2g=y,則2x+y=（）

A.3B.5C.210g23D.23

【答案】A

【分析】根據指對運算化簡x=10g23,再根據對數(shù)運算法則計算2x+y的值.

Q

【詳解】2'=3ox=log23,y=log2-

2

2x+y=2log23+log,|=log2^3=log28=3.

故選：A.

2.（2023?山西陽泉?統(tǒng)考三模）函數(shù)〃x）=log2X+d+m在區(qū)間（1,2）存在零點.則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.（YO,-5）B.（-5,-1）C.（1,5）D.

【答案】B

【分析】利用函數(shù)的單調性的性質及函數(shù)零點的存在性定理即可求解.

【詳解】由XTog?X在（0,+8）上單調遞增，%=爐+”7在（0,+8）上單調遞增，得函數(shù)〃尤）=log2X+f+〃?在區(qū)間

（0,+8）上單調遞增,

因為函數(shù)"x）=log2龍+爐+現(xiàn)在區(qū)間（1,2）存在零點,

/(1)<0即［logzl+V+MY。

2解得一5＜相＜一1,

f(2)>0'^log22+2+m>0

所以實數(shù)m的取值范圍是（-5,-1）.

故選：B.

3.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預測）基本再生數(shù)4與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一

個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型:

/（。=/（其中e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)）描述累計感染病例數(shù)，⑴隨時間f（單位：天）的變化規(guī)律，指

數(shù)增長率廠與R。，T近似滿足以=1+”\有學者基于已有數(shù)據估計出&=3.28,T=6,據此，在新冠肺炎疫情初始

階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為（）（參考數(shù)據：ln2=0.69,ln3=Ll）

A.1.2天B.1.8天C.2.9天D.3.6天

【答案】B

【分析】根據所給模型求得『=038,令f=0,求得/（0）,根據條件可得方程e°38，=2,然后解出f即可.

【詳解】把瑞=3.28,T=6代入&=1+4,可得「=3=^^1=0.38,.」（。=6。的，

T6

當7=0時，/（0）=1,貝！|e°38，=2,兩邊取對數(shù)得0.38/=ln2,解得公黑-1.8.

O.Jo

故選：B.

03

4.（2023春?貴州.高三校聯(lián)考期中）若a=log°*4,b=1.2,c=log210.9,則（）

A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c

【答案】D

【分析】〃用對數(shù)函數(shù)的單調性和。，1比較，8用指數(shù)函數(shù)的單調性和1比較，。用對數(shù)函數(shù)的單調性和。比較，即

可判斷大小關系.

【詳解】因為。<。3<1,所以尸1%3》為減函數(shù),

所以logo/<log030.4<log030.3,即0<。<1.

因為1.2>1,所以y=L2,為增函數(shù)，

所以即。>1.

因為2.1>1,所以y=log21x為增函數(shù)，

所以logzQ9<logzJ,即c<0,

所以b>a>c.

故選：D

【答案】A

【分析】根據函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值等知識確定正確答案.

【詳解】依題意y=ln（cosx）,xe

y=cosx為偶函數(shù)，貝！Jy=ln（cosx）為偶函數(shù),

又0<cosx<l,貝！Jy=ln(cosx)<0.

故選A.

6.（2023春?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第十三中學校?？奸_學考試）已知函數(shù)〃x）=Hnx|.若0<。<6,且

/(?)=f(,b),則。+46的取值范圍是()

A.(4,+oo)B.[4,+>?)C.(5,+oo)D.[5,+co)

【答案】C

【分析】根據函數(shù)圖象得-lna=lnb,則工=6,令g(b)=a+46=46+；,利用對勾函數(shù)的圖象與性質即可求出其

ab

范圍.

【詳解】由/⑷得Ilna|=|ln6|.根據函數(shù)ydlnxl的圖象及

得-lna=lnb,0<a<l<b,所以工=b.

所以g(6)>g(l)=5.故a+46>5,

故選：C.

7.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)全x)=log”(無一D+1,(a>0,a*全恒過定點A,過定點A的直線/：如+固=1

與坐標軸的正半軸相交，貝的最大值為()

A.-B.—C.-D.1

248

【答案】C

【分析】求出A,代入直線方程，再根據基本不等式可求出結果.

【詳解】令X-1=1,即x=2,得/⑴=1,則4(2,1),

貝!|2，〃+"=1且機>0,n>0,

由2m+n>2《2nmn122rmnmn<—.

8

當且僅當根=J,"=!時，等號成立，

42

故選：C

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因

式的和轉化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最

值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

【答案】A

【分析】先求出定義域，由〃-x）=〃x）得到〃尤）為偶函數(shù)，結合函數(shù)在（0,1）,[1,包）上函數(shù)值的正負，排除BC,

結合函數(shù)圖象的走勢，排除D,得到正確答案.

【詳解】/（可二號答變形為了⑴二段],定義域為（-8,O）U（O,M）,

故〃尤）為偶函數(shù)，關于y軸對稱.

當0<x<l時，/（%）<0,時，/（x）>0,排除BC,

又xf+8時，〃尤）-0,故排除D,A正確.

故選：A.

9.（2023?河南周口?統(tǒng)考模擬預測）若a=log45,&=1log26,c=（g），貝U（）

A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】運用對數(shù)的運算法則和指數(shù)函數(shù)的性質求解.

【詳解】"制

=—log25,b=—log26,:.b>a>l

對于指數(shù)函數(shù)y=,當x>0時，0<y<l,.■-Q]°6<1.

b>a>c；

故選：A.

10.（2023?全國?高三專題練習）己知函數(shù)若命題，，七eR,/（X）<1”為假命題，則實數(shù)。的

Jog"x,x>2

取值范圍是（）

A.—,2B.（1,2]C.^1,^2JD.

【答案】A

【分析】根據題意，轉化為命題“VxeR,為真命題.利用不等式恒成立得出關于。的不等式求解.

【詳解】由題意知a>0且awl,命題“VxeR,為真命題，

當x42時，〃x）=-；x+a,易知〃尤）在（-e,2]上單調遞減，其最小值為-g+a,

則由/（x）Nl恒成立得-5+aNl,即aN*

當x>2時，”x）=log.x?l恒成立，貝!]”>1,此時函數(shù)/（x）=log〃x為增函數(shù)，

^loga2>lllogaa,得l<aV2.

、3

綜上，—<tz<2,

-3-

即實數(shù)〃的取值范圍是2,2.

故選：A

11.（2023?河北?高三學業(yè)考試）若函數(shù)〃x）=log“x（4>0且"1）在區(qū)間[a,2a2]上的最大值比最小值多2,貝壯

（）

A.2或4B.3或gC.4或；D.2或；

【答案】A

【分析】分別討論。>1和然后利用對數(shù)函數(shù)的單調性列方程即可得解.

【詳解】由題意a<26解得?；?<0（舍去），

①當。>1時，函數(shù)〃x）=log“x在定義域內為增函數(shù)，

2

貝!J由題意得logn（2a）-logaa=2,

所以log.2。=2即=2〃，解得〃=2或a=0（舍去）；

②當g<a<l時，函數(shù)〃x）=logM在定義域內為減函數(shù)，

貝岫題意得log“aTog“（2a2）=2,

所以log“[=2即/=；,解得a=+；

2a2a</2

綜上可得：a=2或正.

故選:A.

【點睛】本題考查了分類討論思想的應用，考查了對數(shù)函數(shù)單調性的應用，屬于基礎題.

12.（2023?全國?高三專題練習）設。=豌35，b=log4盯，c=lo&e,貝1J（）

A.b<c<aB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】c

【分析】根據題意，化為6a=log35,3&=log43,2C=log52,即可比較a,6的大小關系,然后6a,6c作商即可比較

。的大小，從而得到結果.

【詳解】由題設知6a=logs5,3b=log43,2c==log52=log35,3b=log43,

所以12。=21og35=log325<log327=3,12b=41og43=21og23=log29>3,

所以12QV12Z?,故〃<Z?.

因為2c=1嗎2,所以%=&=止.螞/逑±螞[/以

6alog35lg5lg5121g5J[lg25）

所以6c<6a,所以。<。，于是c<a<b.

故選：C.

二、多選題

13.（2023?湖南?鉛山縣第一中學校聯(lián)考二模）下列結論正確的是（）

A.e3+e5>e3.e5B.Ig3+lg5>lg3-lg5

C.2*+6f3"D.log310+log510>log310-log510

【答案】BD

【分析】根據指數(shù)以及對數(shù)的運算性質即可結合選項逐一求解.

【詳解】對于A,*1=3+3,由于e>2,所以±二=3+；<3+3<1，故A錯誤，

e8e5e3e8e5e32523

對于B,由于l>lg3>0,l>lg5>0,所以譬黑=±+二>1，所以Ig3+lg5>lg3-lg5,故B正確,

Ig3-lg5lg5lg3

2"+6”

對于C,<1,所以C錯誤,

3”-57t

log10+log10_11

對于D,由于3>108310>2,2>108510>1,所以35+=lg5+lg3=lgl5>l,故D正確,

log3101og510log510log310

故選：BD

14.（2023?全國?高三專題練習）設函數(shù)/'（x）=|lgx|在,,?。┥系淖钚≈禐橐?，函數(shù)g（x）=sin?在[0,同上的最大

值為若熊=：,則滿足條件的實數(shù)。可以是（）

2]____

A.—B.—C.D.^/10

【答案】BD

【分析】根據對數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的圖象，對a分類討論，結合對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的單調性求解即可.

【詳解】函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，如圖，

當0<a<l時，函數(shù)/1（x）=|lgx|在（a,l）上單調遞減，在+8）上單調遞增，所以%,=lgl=O,

函數(shù)g（x）=sin段在［0,句上單調遞增，所以Ma=sin?,

所以M〃-?=sin曰=；,解得〃=；；

當時，函數(shù)/（x）=|lg%|在［。,轉）上單調遞增，所以?=|lga|=lga,

由圖可知，函數(shù)g（x）=si喂在［0,可上，有0V?牛，得出=1

所以=l_lga=；,解得q=

結合選項，實數(shù)a可以是;和加6.

故選：BD.

三、填空題

15.（2023?上海?高三專題練習）若實數(shù)x、y滿足lgx=:〃、y=10lm,則沖=.

【答案】10

【分析】根據指數(shù)式與對數(shù)式的關系，將lgx=〃，轉化為指數(shù)式，再根據指數(shù)運算公式求值.

【詳解】由lgx=m,得無=10%

所以孫=10m101-m=10"""'=10,

故答案為：10.

16.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)y=l+log.（2-x）（a>0且"1）的圖像恒過定點尸，且點尸在圓

/+9+"a+加=0外，則符合條件的整數(shù)小的取值可以為.（寫出一個值即可）

【答案】5（不唯一，取機>4的整數(shù)即可）

【分析】先求定點尸的坐標，結合點在圓外以及圓的限制條件可得加的取值.

【詳解】因為函數(shù)丫=1+1。8“（2-司的圖像恒過定點（1,1）,所以尸（L1）；

因為點P在圓Y+y?+mx+m=0外，

所以I2+仔+m+m>05.nr-4m>0）解得一1<7找<?；颍?gt;4；

又加為整數(shù),所以"，的取值可以為5,6,7,,

故答案為：5（不唯一，取相>4的整數(shù)即可）.

17.（2023?全國?高三專題練習）一種藥在病人血液中的量保持lOOOmg以上才有療效,而低于500mg病人就有危險.現(xiàn)

給某病人靜脈注射了這種藥2000mg,如果藥在血液中以每小時10%的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，

那么從現(xiàn)在起經過小時內向病人的血液補充這種藥，才能保持療效.（附：坨2W0.3010,lg3”0.4771,精確

到O.lh）

【答案】6.6

【分析】寫出血液中藥物含量關于時間的關系式，解不等式求出答案.

【詳解】設xh后血液中的藥物量為>mg,

則有、=2000（1-10%）'

令y21。。。得：XV&%_設［］-6.6

故從現(xiàn)在起經過6.6h內向病人的血液補充這種藥，才能保持療效.

故答案為：6.6

18.（2023?河南平頂山?葉縣高級中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)"》）=1。8“（2-42尤）在區(qū)間［3,7］上單調遞增，貝心

的取值范圍為.

【分析】令〃（力=2-/了（。>0）,即可判斷"⑴在［3,7］上的單調性，依題意可得y=log."在［3,7］上為減函數(shù)，即

可得到不等式組，解得即可.

【詳解】令〃（x）=2-4了.〉。），則”（%）=2-42武。>0）在［3,7］為減函數(shù)，

「1\Q<a<\

所以由復合函數(shù)的單調性可知V=log“〃在［3,7］上為減函數(shù)，貝!?“⑺=2-7/>0，解得0<a〈手，

即。的取值范圍為0,

故答案為：0,

【B組在綜合中考查能力】

一、單選題

1.（2023?天津河西?統(tǒng)考一模）已知3"=4"="!+［=2,則，"的值為（）

a2b

A.36B.6C."D.^6

【答案】C

【分析】兩邊取對數(shù)，根據對數(shù)的運算性質、法則化簡即可得解.

【詳解】3"=4"=機>0,

a=log3m,b=log4m,

U+l=bg,"3+m嗚4=l°g“6=2,

.-.nr=6,BPm=娓或m=（舍去）

故選：C

2.（2023.江西南昌?校聯(lián)考模擬預測）已知收=16&，則。+豌2。=（）

A.11或一2二3B.n或-2上1C.12或一2二3D.10或21

8888

【答案】A

【分析】對心獻=16及兩邊同時取對數(shù)，可解得logj=；或-］，討論logj=；或時a+bg?”的值，即可得出

答案.

【詳解】由/，“=16后，兩邊取對數(shù)得1嗎（。如）=1嗎（16五）（1嗎。）2=1。,可（0）9=：,所以log4a=|或-1.

33

當。4。=不時，。=4,=2?=8，所以a+log20=8+log28=n；

3_21

當log<2二一^時，?=42=-,

428

1.123

所以〃+loga=—+log—=--—,

2o2oo

23

綜上，a+log2a=ll或-胃，

故選：A.

3.（2023?全國?高三專題練習）如圖為一臺冷軋機的示意圖.冷軋機由若干對軋輻組成，厚度為a（單位：mm）的

帶鋼從一端輸入，經過各對車輻逐步減薄后輸出，厚度變?yōu)橄Γ▎挝唬簃m）.若c=10,￡=5,每對軋輻的減薄率r

不超過4%,則冷軋機至少需要安裝軋輯的對數(shù)為（）（一對軋輻減薄率廠=忙2><100%,32=0.3010,炮3=0.4771）

a

【答案】D

【分析】根據題意可得10。-4%）"45,兩邊取對數(shù)能求出冷軋機至少需要安裝軋輻的對數(shù).

(詳解】厚度為。=10mm的帶鋼從一端輸入經過減薄率為4%的〃對軋輯后厚度為10(1-4%)",過各對車輻逐步減

薄后輸出，厚度變?yōu)椤?5,

則10(1-4%)"45=(1-4%)"4；,(1-4%)">0,1>0

.-.1g(1-4%)“<lg1^nlg(l-4%)<-lg2

lg2

lg(l-4%)<0,.-.n>~x

I)lg(l-4%)

>一32=Tg2=Tg2-0.3010

n?16.8156

lg0.96lg(3x25xO.Ol)lg3+51g2-20.4771+5x0.3010-2

故選：D.

4.(2023秋?安徽宣城?高三統(tǒng)考期末)設“=」,人=乎，。=苧，則()

e23

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

【答案】D

【分析】先構造函數(shù)無)=3，對函數(shù)求導，利用導函數(shù)的單調性可得到6<“，且c<。，再結合In8<ln9,即

可得到8<c,進而即可得到答案.

【詳解】設/'(x)=t,貝!)/(犬)=號，

當0<x<e時，此時“X)單調遞增;

當x>e時，r(x)<0,此時f(x)單調遞減,

所以〃x)ma*=/(e)=：,

所以/(2)=坐<L且〃3)=坐<L即6<“，且c<。，

2e3e

又In8<ln9,JU!!ln23<ln32,即31n2<21n3,BP,即Z?vc,

故〃>Q>C,

故選：D.

—x^+x,xV1S

5.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/("=iogM，x>i，若對任意的％eR,不等式/(%)<]加-療恒成立,

、3

則實數(shù)機的取值范圍為()

「11]「1J「c1]「1J

A.-1,-B.-,1C.-2,-D.-,1

4」|_4」4」|_3」

【答案】B

【解析】求出函數(shù)/(x)的最大值，結合已知條件可得出了(無)根-根2,進而可求得實數(shù)加的取值范圍.

-X2+X,X<1

_f1

【詳解】/(x)=,log]>1，當時，f(x)=-x2+x-—x—L1<1.

I2I44,

、3

當x>l時，”x）=log/<0.

3

所以，小）加=/（）=!?

若對任意的xeR,不等式〃尤）41團-加恒成立，則1K,

所以，nV--/?z+—<0,解得

444

因此，實數(shù)機的取值范圍是；」.

故選：B.

【點睛】結論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據以下原則進行求解:

(1)Vxe￡>,相W/(x)o帆

(2)VxeD,?77>/(^)<^^>/(%)^；

(3)*e￡),1mx；

(4)3xeD,龍)1111n.

6.（2023?安徽銅陵?統(tǒng)考三模）已知a=log75,^=log97,c=logll9,則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a

【答案】A

【分析】利用換底公式得到-logg7=^-譬二柜黑萼2,再利用基本不等式比較即可；同理得到反。的

1g71g91g71g9

大小.

【詳解】解：因為1叫5-1暇7嗤-號二號詈薩,

又因為lg51g9W,；叫=［掾卜］詈J=展7,

^fy,log75-log97<0,即0<6；

lg7lg9lg71gll-lg29

因為log97Togu9=

lg9Igll-lglllg9

又因為1g71g1"[g7；g"：=[等:<^J=lg29,

^f^log97-logn9<0,即Z;vc,

所以。

故選：A

i3

7.（2023?全國?高三專題練習）若/0）=108“（62_》+3）（4>。且"1）在1,-上恒正，則實數(shù)。的取值范圍是（）

123、__28

A.z（2，+^B-（了§）0+8）

]833

c（5'5）"（5'+8）D-兮+°°）

【答案】c

【分析】根據題意，結合對數(shù)型復合函數(shù)的性質，列出不等式，即可容易列出不等式，即可容易求得參數(shù)范圍.

【詳解】因為函數(shù)/（x）=log“（加-》+1），。>0且g1,在11（]上恒正，

令沆（X）=加―%+；,

所以當時，“（X）的對稱軸方程為1=2<1,知

13

即Q—1H-->1,Q>一?

22

當0<々<1時,

Q<a<l

——<1

2a

a-l+—>0

I2

解不等式得:

1o&

所以實數(shù)〃的取值范圍是（51）

故選：C.

【點睛】本題考查對數(shù)型復合函數(shù)的性質，注意函數(shù)定義域即可，屬中檔題.

二、多選題

13

8.（2023春?廣東?高三校聯(lián)考階段練習）若。=log,3+log32,6=log34+log43,c=log45+k>g54,d=二，貝I]（）

6

A.a>d>bB.d>b>c

C.a>c>bD.a>d>c

【答案】ABD

i3

【分析】構造函數(shù)”無）=x+：,通過函數(shù)單調性及Iog23>]>log34>log45,比較出各式的大小關系.

【詳解】設函數(shù)〃耳=尤+1,易得在口,內）上單調遞增.

O333

因為ylog?=log2^<log23,丁3=log3^>log34,

445

log34=l+log3->l+log4->l+log4-=log45>1,

所以/(log23)>>/(log34)>/(log45),

13

即q=log3+log2>d-->b-log4+log3>c-log5+log4.

2363445

故選：ABD

9.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x),則()

A.””在(0,2)單調遞增

B.在(0,1)單調遞增，在(1,2)單調遞減

C.，=〃%)的圖象關于直線》=1對稱

D.y=〃x)的圖象關于點(1,0)對稱

【答案】BC

【分析】由題可得函數(shù)的定義域，化簡函數(shù)/(x)=lnx(2-x)=ln(f2+2x),分析函數(shù)的單調性和對稱性，從而判

斷選項.

fx>0

【詳解】函數(shù)的定義域滿足cc，即0<x<2,

[2—

即函數(shù)的定義域是卜|0<尤<2},

V/(x)=lnx(2—x)=ln(—x2+2x),

^t=-x2+2x=-(x-iy+l,則函數(shù)在(0,1)單調遞增，在。,2)單調遞減，

又函數(shù)y=lnf單調遞增，

由復合函數(shù)單調性可知函數(shù)/(無)在(0,1)單調遞增，在。,2)單調遞減，故A錯誤，B正確；

因為/(1+x)=ln(l+x)+ln(l—%),/(1-無)=ln(l-尤)+ln(l+x),

所以/(l—x)="l+x),即函數(shù)y=〃x)圖象關于直線x=l對稱，故C正確;

3

所以/In-,所以D錯誤.

故選：BC.

三、填空題

10.（2023?全國?高三專題練習）若Txe1,2,不等式-幻理工x+辦＜°恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為

22

【答案】（3,-5）

【分析】分離參數(shù)，將恒成立問題轉化為函數(shù)最值問題，根據單調性可得.

【詳解】因為Vx不等式2d-xlog/+辦＜°恒成立，

_2J2

所以"logy-2x對Vxe'J恒成立.

2|_2_

記〃x）=log：_2x,尤e1,2,只需0＜/（力晶.

因為y=logrx在xjga］上單調遞減，y=-2x在x?口2］上單調遞減，

21_2」|_2

所以"x）=loglx-2x在無e1,2上單調遞減，

2|_2

所以/（》）*="2）=-5,所以"-5.故答案為：（口,-5）

2

11.（2023?全國?高三專題練習）若函數(shù)/（乃=優(yōu)+2一耳（°〉。且的圖像經過定點尸（%〃），則函數(shù)

g（尤）=log"（尤2-WX+4）的最大值為.

【答案】-1

【分析】由題知尸（-2,）進而得9。）=1R（尤2+2尤+4）,進而結合復合函數(shù)求值域即可.

79

【詳解】由于函數(shù)f（x）="+2一彳是由函數(shù)/（無）=優(yōu)（。＞0且“H1）向左平移2個單位，再向下平移I個單位得到，

所以函數(shù)/（無）=武2-『。＞0且"1）的圖像經過定點尸1-2,￡|,

當且僅當--1時等號成立.

故答案為:-1?

【點睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)過定點問題，對數(shù)型復合函數(shù)值域求解問題，考查運算求解能力，是中檔題.本題解

題的關鍵在于根據已知條件得尸1-2,j,進而利用配方法得g（x）=logj（x+l『+3］,再結合二次函數(shù)值域求解即

可.

12.（2023?海南?？?校考模擬預測）已知函數(shù)＞=」的圖象與函數(shù)y=er+1和y=Inx-1的圖象分別交于點

X

,％）,B{X2,%）,則占x?=.

【答案】1

【分析】確定為+ln占+1=0,-+ln-+l=0,設/'（x）=x+lnx+l,根據函數(shù)單調遞增得到國=’,得到答案.

【詳解】9+i=一,貝1］玉+ln玉+1=0；Inx2-1=—,即一+ln—+1=0,

%x2x2x2

設/（犬）=x+lnx+l,函數(shù)在（0,+8）上單調遞增，

/（石）=/（｝］，則%=｝，即石r2=1.

故答案為：1.

四、解答題

13.（2023春?全國?高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)/（%）=e「冰-L（〃￡R）的最小值為0.

⑴求實數(shù)。的值；

01

（2）設啊=Ll+ln0.1,m2=O.le,m3=g,判斷加3加2，加3的大小.

【答案】（1）4=1

（l）m｛＜m2＜ini

【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，分。＜0、。＞0兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調區(qū)間，即可得到函數(shù)的最小

值為〃lna）=eJalna—l,從而得到lna+工-1=0,再令e⑷=lna+—l,利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，即可

aa

得到。值，從而得解；

（2）由（1）可得I2x+l,當x＞-l時兩邊取對數(shù)得到lnx4x-l,當xe（0,l）時，設尸（%）=龍3-（1+尤）一Inx,

根據函數(shù)值的情況判斷%＞叫，當x?0，l）時，設G（x）=》+ln元-In戶，即可判斷?〈?，從而得解.

【詳解】（1）解：由題意得尸（%）=?-a.

x

當aWO時，f\x）=e-a＞09/（“單調遞增，無最小值，不滿足題意.

當4＞0時，令/'（尤）=0,得x=lna.

當了￡（-oo/na）時,/r（x）＜0；當了￡（lna,+oo）時,光）＞0.

所以/（%）在（f°,Ina）上單調遞減，在（Ina,-+w）上單調遞增.

所以"%）的最小值為了（lna）=ein"—aln〃一1=。，Bpintz+--1=0.

設0（Q）=lna+，_1,貝=.令夕'（a）=0,得a=l.

當1￡（0,1）時，夕'（1）＜0;當"￡。,+00）時，夕'（。）＞0,

所以°（〃）在（0,1）上單調遞漏在（1,+8）上單調遞增，

即9(a)min=。(1)=。-故lna+，-1=。的解只有。=1，

綜上所述，4=1.

(2)解：由(1)W/(x)=eT-x-l>0,所以e，2x+l,當且僅當尤=0時等號成立.

當時，不等式兩邊取對數(shù)，得x?ln(x+l),所以InxWx-l,當且僅當x=l時等號成立.

當無￡(0,1)時，設F(x)=xex-(l+x)-lnx,

貝!|/(力=3+?一(1+x)—lnxNx+lnx+1—(1+x)—lnx=0,當且僅當x+lnx=0時，等號成立.

因為0.1+ln0.1w0,所以(Me?！挂?.1—所以用2>叫.

當xw(0,l)時，設G(x)=x+lnx-ln^-,因為Ovl-xvl,

1-x

所以G(x)=j;+lnx-lnx+ln(l-x)=x+ln(l-x)vx+l-x—1=0,

所以x+lnx<lnx—ln(l—x),BPxex.

1-x

故O.le?！?lt;所以/</%.

1—(J.19

綜上所述，叫<7%<加3.

【C組在創(chuàng)新中考查思維】

一、解答題

1.(2023?河北邢臺?校聯(lián)考模擬預測)已知X>-1,證明：

(l)ex-l>x>ln(x+l)；

(2)(ex-l)ln(x+l)>x2.

【答案】⑴證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)利用導數(shù)研究函數(shù)/'(x)=x-ln(x+l)的單調性可得〃x"〃0)=0,即證Qln(x+1),進而e―eS叫,

即證ex-12元，原不等式即可證明；

(2)易知尤=0時不等式成立；當"0時，利用二階導數(shù)研究函數(shù)g(x)=士的單調性可得g(x)<g[ln(x+l)],

即白<g+D(x>T),變形即可證明.

e*-11xV

【詳解】⑴令/(X)=X-ln(x+l),則尸(x)=告,X>-1,

當-!<x<0時，r(x)<0,/(x)單調遞減;

當x>0時，/^)>0,/(x)單調遞增，

所以f(x)2f(O)=O,等號僅當x=0時成立，即xNln(x+l),

從而e'Ne1n(*叫=尤+1，所以e'-12元.

綜上，eA-l>x>ln(x+l).

(2)顯然x=0時，(e*-l)ln(x+l)=尤2=0,即(e*—l)ln(x+l)2尤?成立.

令g(x)=/^，xwO,則g(%)=p]『，x^O,

令/z(x)=(l-x)e*—1,貝!]〃(“)=—xe*,

當x<0時，〃(x)>0,/心)單調遞增；當x>0時，〃(x)<0,九⑺單調遞減,

所以72(司4〃(0)=0,等號僅當x=0時成立,

,、h(x]

從而可得g(x)=「N<，XHO,所以g(x)在(-8,0)和(0,+動上單調遞減.

(eT)

由(1)知，一l<x<0時，0>x>ln(%+l)；x>0時，x>ln(x+l)>0,

所以g(x)<g[ln(x+l)],即&<喝？皿「)?

又當x>—1且XW0時，x(e%-l)>0,所以(e-l)lna+l)>f.

故x>T時，(e*—l)ln(x+l)2尤。

【點睛】在解決類似的問題時，要熟練應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與最值，善于培養(yǎng)轉化的數(shù)學思想，學會構造新

函數(shù)，利用導數(shù)或二階求導研究新函數(shù)的性質即可解決問題.

二、單選題

2.(2023?全國?高三專題練習)已知a=6=0.7e°」，c=cos!,則()

A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>a>c

【答案】B

71Q

【分析】根據對數(shù)的運算，計算可得則ln6-lna弋+1端.構造函數(shù)/(0=1-尤+以，根據導函數(shù)得到函

數(shù)的單調性，即可得出Inb-山。<0,根據對數(shù)函數(shù)的單調性即可得出。>6；先證明當x>0時，sinx<尤.然后根據

二倍角公式以及不等式的性質，推得

【詳解】因為a=g廣=3喇=小

一719

所以,Inb—lna=0.1+ln0.7—ln—=----bln—.

91010

11_r

令/(x)=l—x+lnx,x>0,貝!|/'(x)=_l+_=------,

當0<x<l時，制x)>0,所以在(0,1)上單調遞增,

所以..卜"1)=0,

所以ln〃一lna<0.

因為y=Inx在(0,+8)上單調遞增，所以

令g(x)=sinx-x,則g，(％)=cos%-140恒成立,

所以，g(x)在R上單調遞減,

所以，當％>0時，有g(x)<g(0)=0,BPsinx<x,

所以Ovsingvg.

2i

因為cos§=l-2sin2§,

2i97

所以cos—=1-2sin23*5—>1——=—,

3399

所以

所以

故選:B.

【點睛】方法點睛：對。力，。變形后，作差構造函數(shù)，根據導函數(shù)得到函數(shù)的單調性，即可得出值的大小關系.

3.(2023?全國，局三專題練習)設〃=1口彳，b-,c=tan—,貝lj()

A.c>b>aB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

【答案】A

【分析】利用正切函數(shù)單調性借助1比較b,c大??；根據對數(shù)結構構造函數(shù)/(%)=/-ex比較a,b大小，即可解

答.

【詳解】因為產tanx在(0哈jr)上單調遞增，于是tan4?>tan7?r=l>2芻6，即c〉b,

25427

令F(%)=e”-ex,0<%<l,則/(%)=e"-e<0,所以/(%)在(0,1)上單調遞減，

所以/(%)>/⑴=。，即

取X=||，則段26-2613g、[26]13

e27>e---->2.7x——=2.6=--，所以二7>ln=~,即Hnb>a,

27275275

所以

故選：A

4.(2023.陜西寶雞.?？寄M預測)已知函數(shù)〃*)=卜嗎|1-業(yè)若函數(shù)8")=產(力+4(村+?有6個不同的零點,

且最小的零點為i=-1,則2〃+/?=().

A.6B.-2C.2D.-6

【答案】B

【分析】根據函數(shù)圖象變換，畫出圖像，找到對稱軸，進而數(shù)形結合求解即可.

【詳解】由函數(shù)y=log?x的圖象，經過翻折變換，可得函數(shù)y=log2|x|的圖象，

再經過向右平移1個單位，可得y=logz|x-l|=log2，-x|的圖象，

最終經過翻折變換，可得了=卜。員|1-尤||的圖象，如下圖：

則函數(shù)y=〃尤)的圖象關于直線％=1對稱,

令t=/(x)

因為函數(shù)g(x)=/2(x)+4(x)+?最小的零點為X=-1,且=

故當〃X)=1時，方程g(x)=o有4個零點，

所以，要使函數(shù)g(x)=If(x)+安(x)+?有6個不同的零點,且最小的零點為x=-l,則〃同=0,或〃x)=l,

所以，關于1方程/+〃+2)=。的兩個實數(shù)根為0』

所以，由韋達定理得。=Tb=0,2a+b=-2

故選：B

【點睛】本題解題的關鍵點在于數(shù)形結合，將問題轉化為關于f方程產+〃+26=0的兩個實數(shù)根為。」，進而得

a=-l,b=0.

三、多選題

5.(2023春?遼寧?高三朝陽市第一高級中學校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)(々＞0且分1),下

列說法正確的是()

A.g(x)=27a)+為偶函數(shù)

C1、，（x）

B./7（尤）=2?。?5為非奇非偶函數(shù)

C.尸（力為偶函數(shù)（（⑺為〃尤）的導函數(shù)）

D.若ae（l,2],貝U2八”>2》對任意xe成立

【答案】ACD

【分析】