河南省 許昌市第一中學2023-2024學年上學期九年級期中考試數(shù)學試卷

2023.2024學年河南省許昌一中九年級(上)期中數(shù)學試卷

一.選擇題(共10小題)

1.(3分)下列與杭州亞運會有關的圖案中，中心對稱圖形是()

2.(3分)方程2^-5x=8的二次項系數(shù)和常數(shù)項分別為()

A.Zr2和8B.2?和-8C.2和-8D.2和8

3.(3分)設A(-2,yi),8(1,*),C(2,”)是拋物線y=a(x+1)2+k(a>0)上的

三點，則yi,*的大小關系為()

A.yi>y2>*B.y\>yi>yiC.y3>yi>y\D.y3>yi>yi

4.(3分)己知點4(-2,3)經(jīng)變換后到點B,下面的說法正確的是()

A.點A與點8關于x軸對稱，則點8的坐標為8(2,3)

B.點A繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后到點B,則點8的坐標為8(2,3)

C.點A與點3關于原點中心對稱，則點3的坐標為8(3,-2)

D.點A先向上平移3個單位，再向右平移4個單位到點8,則點B的坐標為8(2,6)

5.(3分)將二次函數(shù)y=27的圖象向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的函數(shù)

圖象的表達式是()

A.y=2(x+2)2+3B.y=2(x+2)2-3

C.y=2(x-2)2-3D.y=2(x-2)2+3

6.(3分)在同一平面直角坐標系中，函數(shù)、=/+法與y=bx+a的圖象可能是()

7.（3分）五個圖形都是由小圓點按照某種規(guī)律排列而成的，根據(jù)上述規(guī)律，第〃個圖形中

點的個數(shù)與〃的關系式是（）

12345

A.y—n2-n+2B.y—n2-2n+\C.y—n2-n-1D.y—ii2-H+1

8.（3分）電影（長津湖》講述了一段波瀾壯闊的歷史，一上映就獲得全國人民的追捧，某

地第一天票房約3億元，三天后票房收入累計達10億元，若把增長率記作）

A.3（l+x）=10

B.3（l+x）2=10

C.3+3（l+x）2=10

D.3+3（l+x）+3（l+x）2=10

9.（3分）如圖是一款拋物線型落地燈筒示意圖，防滑螺母C為拋物線支架的最高點，燈罩

。距離地面1.5米，燈柱48=1.5米，若茶幾擺放在燈罩的正下方（）

10.（3分）如圖是二次函數(shù)），=0?+灰+。（〃20）圖象的一部分，對稱軸是直線x=-2.關

于下列結論：①曲-4ac>0：③9a-3Z?+c>0；?b-4a—Cr+bx=0的兩個根為xi=0,

X2—-4,其中正確的結論有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

二.填空題（共5小題）

11.（3分）請?zhí)顚懸粋€常數(shù)，使得關于x的方程/-2%+=。有兩個不相等

的實數(shù)根.

12.（3分）如圖，若被擊打的小球飛行高度人（單位：機）與飛行時間，（單位：s）2,則小

球從飛出到落地所用的時間為s.

13.（3分）第二十四屆北京冬奧會入場式引導牌上的圖案融入了中國結和雪花兩種元素.如

圖所示，這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角a（0。<a<360°）后能夠與它本身重合

度.（寫出一個即可）

14.（3分）如圖是二次函數(shù)）'=0^+法+。（aWO）的部分圖象，其與x軸的一個交點坐標為

（-3,0）,則當y<0時，x的取值范圍是.

15.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A在拋物線y=/-2%+3上運動，過點A作AC

軸于點C,以AC為對角線作矩形4BCD,則對角線8。的最小值為.

16.小敏與小霞兩位同學解方程3（x-3）=（x-3）2的過程如下:

小敏：小霞：

兩邊同除以（x-3）,得3=x-3,移項，得3（x-3）-（%-3）2=0,

則x=6.提取公因式，得（x-3）（3-X-3）=0.

則x-3=0或3-x-3=0,

解得xi=3,X2=O.

請你分別判斷他們的解法是否正確？若都不正確，請寫出你的解答過程.（4分）

17.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為4（-1,4）,8（-4,2）,C

（-3,5）.（每個方格的邊長均為1個單位長度）

（1）平移△ABC得到若A1的坐標為（2,2）,則B\的坐標為；

（2分）

（2）若aAzB2c2和aABC關于原點。成中心對稱，則C2的坐標為；（2

分）

（3）ZiABC的面積為；（2分）

（4）將△ABC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后得到的△43&C3.（2分）

（1）當相取何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根？（2分）

（2）設XI、JC2是方程的兩根，且（X1+X2）2-（X1+JC2）-12=0,求，"的值.（2分）

19.請根據(jù)圖片內(nèi)容，回答下列問題:

我叫Omicron（奧密克戎），是新冠病毒

的變異毒株，我的傳染性很強，傳播速度

很快。有一次我感染了1個人，此人未被

有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有121名感

染者.

（1）每輪傳染中，平均一個人傳染了幾個人？（2分）

（2）按照這樣的速度傳染，第三輪將新增多少名感染者（假設每輪傳染人數(shù)相同）？（3

分）

20.如圖，是一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞的上沿是拋物線形狀，橋洞與水面

的最大距離是5m.

（1）經(jīng)過討論，同學們得出三種建立平面直角坐標系的方案（如圖），你選擇的方案是

（填方案一，方案二，或方案三），則B點坐標是,求出你所選方案中的

拋物線的表達式；（3分）

（2）因為上游水庫泄洪，水面寬度變?yōu)?⑶求水面上漲的高度.（5分）

r'一方案一方案二方案三

21.公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定.某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)

計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售100個，且從4月份到6

月份銷售量的月增長率相同.

（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（3分）

（2）若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當售價為40元/個時，若在此基礎

上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品

牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？（5分）

22.“類二次函數(shù)”是在二次函數(shù)的一般式中把自變量x加上一個絕對值所形成的函數(shù).小

明對一個類二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下，請幫他補充

完整.

（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與），的幾組對應值列表如下：

x--4-3-2-101234

y…0-3-4-30-3-4-30

其中，a—,b—；（2分）

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，請畫出該函數(shù)的圖象；（2分）

（3）觀察函數(shù)圖象，并寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)；（2分）

（4）探究與應用：

①方程/+姻-2=0有實數(shù)根；（2分）

②若有關于x的不等式a?+b|x|>x,則x的取值范圍是.（2分）

23.綜合與實踐---------探究特殊三角形中的相關問題.

問題情境:

某校學習小組在探究學習過程中，將兩塊完全相同的且含60。角的直角三角板ABC和

AFE按如圖1所示位置放置.現(xiàn)將Rt/VIEF繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)a（0°<a<90°）,

如圖2,AC與EF交于點N,BC與EF交于點P.

（1）初步探究：

勤思小組的同學提出：當旋轉(zhuǎn)角。=時，是等腰三角形；（2分）

（2）深入探究:

敏學小組的同學提出：在旋轉(zhuǎn)過程中.如果連接AP,CE,那么AP所在的直線是線段

CE的垂直平分線；（3分）

（3）拓展延伸：

在旋轉(zhuǎn)過程中，是否能成為直角三角形？若能，請求出旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)，請說明

理由.（3分）

圖1圖2

2023.2024學年河南省許昌一中九年級（上）期中數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題）

1.（3分）下列與杭州亞運會有關的圖案中，中心對稱圖形是（）

?J3.券

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷.把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后

的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

【解答】解：選項A、B、C不都能找到一個點，所以不是中心對稱圖形.

選項力能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合.

故選：D.

【點評】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后

與自身重合.

2.（3分）方程2?-5x=8的二次項系數(shù)和常數(shù)項分別為（）

A.2?和8B.2?和-8C.2和-8D.2和8

【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式：形如o?+云+c=o",b,c為常數(shù)且。￥0）,

即可解答.

【解答】解：2/-5x=8,

整理得：2?-5%-8=7,

方程2?-4x=8的二次項系數(shù)和常數(shù)項分別為2和-5,

故選：C.

【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解

題的關鍵.

3.（3分）設A（-2,yi）,B（1,*）,C（2,*）是拋物線y=a（x+1）2+k（a>0）上的

三點，則yi,中，*的大小關系為（）

A.y\>y2>y3B.y\>y3>y2C.y3>y2>y\D.y3>y\>y2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線拋物線）?=/（x+1）2+AQ,火為常數(shù)，且a#

0）的開口向上，對稱軸為直線x=-1,然后根據(jù)三個點離對稱軸的遠近判斷函數(shù)值的大

小.

【解答】解：???拋物線拋物線y="(x+1)8+kQ>0)的開口向上，對稱軸為直線x=

-1,

而A(-3,yi)離直線x=-1的距離最近，C(3,”)點離直線x=-1最遠，

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解

析式.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

4.(3分)已知點A(-2,3)經(jīng)變換后到點8,下面的說法正確的是()

A.點A與點8關于x軸對稱，則點B的坐標為8(2,3)

B.點A繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后到點B,則點3的坐標為3(2,3)

C.點A與點8關于原點中心對稱，則點3的坐標為3(3,-2)

D.點A先向上平移3個單位，再向右平移4個單位到點B,則點B的坐標為8(2,6)

【分析】根據(jù)軸對稱，中心對稱，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)一一判斷即可.

【解答】解：A.點A與點B關于x軸對稱，-3)；

艮點A繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后到點5,2)；

C.點4與點B關于原點中心對稱，-6)；

。.點A先向上平移3個單位，則點B的坐標為B(2,故本選項符合題意，

故選：D.

【點評】本題考查軸對稱，中心對稱，旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關鍵是掌握軸對稱，中

心對稱，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考常考題型.

5.(3分)將二次函數(shù)y=2?的圖象向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的函數(shù)

圖象的表達式是()

A.y=2(x+2)2+3B.y=2(x+2)2-3

C.y=2(x-2)2-3D.y=2(x-2)2+3

【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可.

【解答】解：由“左加右減”的原則可知，將二次函數(shù)y=27的圖象先向右平移8個單

位所得函數(shù)的解析式為：y=2(x-2)6；

由“上加下減”的原則可知，將二次函數(shù)y=2(x-2)2的圖象先向下平移3個單位所得

函數(shù)的解析式為：y=2(x-6)2-3.

故選：C.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象幾何變換的法則是解

答此題的關鍵.

6.（3分）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)尸小+笈與），=hx+a的圖象可能是（）

【分析】首先根據(jù)圖形中給出的一次函數(shù)圖象確定4、。的符號，進而運用二次函數(shù)的性

質(zhì)判斷圖形中給出的二次函數(shù)的圖象是否符合題意，根據(jù)選項逐一討論分析，即可解決

問題.

【解答】解：A、對于直線y=bx+“來說，?>0；而對于拋物線y=a/+云來說，對稱軸

x=--L,應在y軸的左側(cè)，圖形錯誤.

7a

B、對于直線來說，a<0；而對于拋物線）二公之+法來說，圖象應開口向下，圖

形錯誤.

C、對于直線）'=法+4來說，?<5；而對于拋物線）=0?+^:來說，圖象開口向下上位

2a

于y軸的右側(cè)，

D、對于直線丫=法+。來說，?>6；而對于拋物線y=o?+以來說，圖象開口向下，故不

合題意.

故選：C.

【點評】此主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及其應用問題；解題的方法是首

先根據(jù)其中一次函數(shù)圖象確定。、人的符號，進而判斷另一個函數(shù)的圖象是否符合題意；

解題的關鍵是靈活運用一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的性質(zhì)來分析、判斷、解答.

7.（3分）五個圖形都是由小圓點按照某種規(guī)律排列而成的，根據(jù)上述規(guī)律，第〃個圖形中

點的個數(shù)與n的關系式是（）

12345

A.y=n2-n+2B.y—n1-2n+lC.y—n2-n-\D.y—n2-n+\

【分析】設點的個數(shù)和n的函數(shù)關系式為丫:加+嬴+的利用圖中幾組數(shù)據(jù)代入計算即可.

【解答】解：設點的個數(shù)和w的函數(shù)關系式為y=a/+〃x+c,將點(1,(7)(3

a+b+c=l

,2a+2b+c=3,

8a+3b+c=7

'a=4

■b=_］，

c=l

...第n個圖形中點的個數(shù)與n的關系式是y=n5-n+\.

故選：D.

【點評】本題考查了二次函數(shù)代數(shù)式的求法，設函數(shù)解析式是解答本題的關鍵.

8.(3分)電影(長津湖》講述了一段波瀾壯闊的歷史，一上映就獲得全國人民的追捧，某

地第一天票房約3億元，三天后票房收入累計達10億元，若把增長率記作x()

A.3(1+x)=10

B.3(1+x)2=10

C.3+3(1+x)2=1。

D.3+3(1+x)+3(1+x)2=10

【分析】根據(jù)該隊第一天票房及以后每天票房的增長率，即可得出該地第二天票房約3

(1+x)億元，第三天票房約3(1+x)2億元，結合該地三天后票房收入累計達10億元,

即可得出關于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：???某地第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長率x增長，

該地第二天票房約3(3+x)億元，第三天票房約3(1+x)5億元，

又?.?三天后票房收入累計達10億元，

二根據(jù)題意可列方程3+3(2+x)+3(1+x)4=10.

故選：D.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二

次方程是解題的關鍵.

9.（3分）如圖是一款拋物線型落地燈筒示意圖，防滑螺母C為拋物線支架的最高點，燈罩

。距離地面1.5米，燈柱AB=1.5米，若茶幾擺放在燈罩的正下方（）

【分析】以AE所在直線為x軸、AB所在直線為），軸建立平面直角坐標系，利用待定系

數(shù)法求出函數(shù)解析式，再求出>=1.5時x的值的即可得出答案.

【解答】解：如圖所示，以AE所在直線為x軸，

方法一：；AB=￡>E=1.5〃?，

...點B與點、D關于對稱軸對稱，

.".AE=6~X1.6=5.2（/?）；

方法二：根據(jù)題意知，拋物線的頂點C的坐標為（1.7,

設拋物線的解析式為y=a（%-1.6）2+2.5,

將點B（7,1.5）代入得，

.?.拋物線的解析式為、=-=一（x-1.6）6+2.5,

2.56

當y=7.5時，--（x-1.6）7+2.5=7.5,

5.56

解得x=0（舍）或x=2.2,

所以茶幾到燈柱的距離AE為3.6米，

故選：A.

【點評】本題考查了將二次函數(shù)的實際應用轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象的抽象能力以及用待定

系數(shù)法求函數(shù)解析式與點的坐標的能力.

10.（3分）如圖是二次函數(shù)），=a?+bx+c（aWO）圖象的-一部分，對稱軸是直線x=-2.關

于下歹U結論：?ah<02-4ac>0；③9a-3Z?+c>0；?b-4a=Qi2+bx—0的兩個根為xi=O,

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】由拋物線的開口方向判斷。與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的

關系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.

【解答】解：..?拋物線開口向下，

：.a<0,

?：-5,

2a

ab>3

：.b-7a=0t

???①錯誤，④正確，

?.?拋物線與x軸交于-4,4處兩點，

.,.b2-4ac>5,方程/+4=0的兩個根為m=0,X2—-3,

②⑤正確，

當x=-3時y>0,即la-3b+c>0,

，③正確，

故正確的有②③④⑤.

故選：C.

【點評】本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2“與6

的關系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式以及特殊值的熟練運用.

二.填空題（共5小題）

11.（3分）請?zhí)顚懸粋€常數(shù)，使得關于x的方程0（答案不唯一）=。有兩個不

相等的實數(shù)根.

【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式△=層-4比>0,即可得出關于c的不等式，

解之即可求出c的值.

【解答】解：a=\,b=-2.

4

?/△=7-4ac=（-2）-4X1XC>4,

故答案為：0（答案不唯一）.

【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當A>0時.，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解

題的關鍵.

12.（3分）如圖，若被擊打的小球飛行高度〃（單位：相）與飛行時間t（單位：s）2,則小

球從飛出到落地所用的時間為4s.

【分析】根據(jù)關系式，令人=0即可求得，的值為飛行的時間

【解答】解：

依題意，令/7=0得

0=20z-5?

得f（20-5?）=7

解得f=0（舍去）或f=4

即小球從飛出到落地所用的時間為7s

故答案為4.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應用.此題為數(shù)學建模題，關鍵在

于讀懂小球從飛出到落地即匕行的高度為0時的情形，借助二次函數(shù)解決實際問題.此

題較為簡單

13.（3分）第二十四屆北京冬奧會入場式引導牌上的圖案融入了中國結和雪花兩種元素.如

圖所示，這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角a（0°<a<360°）后能夠與它本身重合60（答

案不唯一）度.（寫出一個即可）

【分析】先求出正六邊形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：360°+6=60°,

則這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)60°后能夠與它本身重合，

故答案為：60（答案不唯一）.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形、正多邊形的性質(zhì)，掌握正六邊形的中心角是關鍵.

14.（3分）如圖是二次函數(shù)（a#0）的部分圖象，其與x軸的一個交點坐標為

（-3,0）,則當y<0時，x的取值范圍是-3<x<l.

【分析】根據(jù)拋物線與x軸的一個交點坐標和對稱軸，由拋物線的對稱性可求拋物線與x

軸的另一個交點，再根據(jù)拋物線的增減性可求當y<0時，x的取值范圍.

【解答】解：?拋物線），=蘇+云+,（4?0）與x軸的一個交點坐標為（-5,0）,

...拋物線與x軸的另一個交點為（1,2）,

由圖象可知，當y<0時.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，關鍵是得到拋物線與x軸

的另一個交點.

15.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A在拋物線y=--2x+3上運動，過點A作AC

-Lx軸于點C,以4c為對角線作矩形4BC￡>,則對角線的最小值為2.

【分析】利用配方法求出拋物線的頂點坐標，根據(jù)矩形的性質(zhì)解答.

【解答】解：y=/-2x+5=(x-1)2+6,

則拋物線的頂點坐標為(1,2),

，當點A在拋物線的頂點時，4C最小，

；四邊形ABC。是矩形，

；.AC=B。，

二對角線80的最小值為7,

故答案為：2.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、矩形的性質(zhì)，正確求出拋物線的

頂點坐標、掌握矩形的對角線相等是解題的關鍵.

三.解答題(共8小題)

16.小敏與小霞兩位同學解方程3(x-3)=G-3)2的過程如下：

小敏：小霞：

兩邊同除以(x-3),得3=x-3,移項，得3(x-3)-(x-3)2=0,

則x=6.提取公因式，得(x-3)(3-x-3)=0.

則x-3=0或3-x-3=0,

解得xi=3,X2=O.

請你分別判斷他們的解法是否正確？若都不正確，請寫出你的解答過程.(4分)

【分析】先移項，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于x的一

元一次方程，再進一步求解即可.

【解答】解：小敏：錯誤；小霞：錯誤.

正確的解答方法：

移項，得3(x-3)-(x-4)2=0,

提取公因式，得(x-2)(3-x+3)=4.

則x-3=0或2-x+3=0,

解得X3=3,X2=4.

【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、

因式分解法、公式法及配方法，解題的關鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法.

17.如圖，在平面直角坐標系中，AABC的三個頂點分別為A(-1,4),8(-4,2),C

(-3,5).(每個方格的邊長均為1個單位長度)

(1)平移△ABC得到△AIBICI,若4的坐標為(2,2),則B\的坐標為(-1,0)

(2分)

(2)若282c2和△ABC關于原點O成中心對稱，則C2的坐標為(3,-5)

(2分)

(3)AABC的面積為1；(2分)

一2一

(4)將aABC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后得到的△4383C3.(2分)

【分析】(1)由題意可知，AABC是向右平移3個單位長度，向下平移2個單位長度得

到由此可得答案.

(2)根據(jù)中心對稱的性質(zhì)可得答案.

(3)利用割補法求三角形的面積即可.

(4)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可.

【解答】解：(1)VA(-1,4),A2(2,2),

.?.△ABC是向右平移5個單位長度，向下平移2個單位長度得到△A1B3C1,

,：B(-4,3),

：.Bi的坐標為(-1,2).

故答案為：(-1,0).

(2):△A682c2和△ABC關于原點O成中心對稱，C(-4,

；.C2的坐標為(3,-3).

故答案為：(3,-5).

(3)ZSABC的面積為(2+8)X3-^-X2Xl-yX3X2=y-

故答案為：1.

2

(4)如圖，△AiB3c3即為所求.

【點評】本題考查作圖-平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、中心對稱、三角形的面積，熟練掌握平

移、旋轉(zhuǎn)、中心對稱的性質(zhì)是解答本題的關鍵.

18.已知關于x的方程7-2(〃z+l)x+//-3=0.

(1)當/"取何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根？(2分)

(2)設XI、JC2是方程的兩根，且(XI+X2)2-(X1+X2)-12=0,求的值.(2分)

【分析】(1)若一元二次方程有兩不等實數(shù)根，則根的判別式△=層-4雨＞0,建立關

于機的不等式，求出，"的取值范圍.

(2)給出方程的兩根，根據(jù)所給方程形式，可利用一元二次方程根與系數(shù)的關系得到

XI+X2=2(/n+1),代入

且(XI+X2)2-(XI+^2)-12=0,即可解答.

【解答】解：(1)??,方程有兩個不相等的實數(shù)根，

AA=ft2-4ac=[-3(w+1)]2-7XlX(w2-4)=16+8m＞0,

解得：相＞-2；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關系可得：

Xl+X2=7(帆+1),

■:(X1+X7)2-(X1+X2)-12=0,

A[2(m+2)]2-2(m+6)-12=0,

解得："21=5或"22=-2（舍去）

6

V/n>-2；

??1.

【點評】根據(jù)方程的根的情況即可得到關于未知系數(shù)的不等式，轉(zhuǎn)化為結不等式的問題,

另外（2）把求未知系數(shù)的問題，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系即可轉(zhuǎn)化為方程的

問題.

19.請根據(jù)圖片內(nèi)容，回答下列問題：

我叫Omicron（奧密克戎），是新冠病毒

的變異毒株，我的傳染性很強，傳播速度

很快。有一次我感染了1個人，此人未被

有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有121名感

-J

（1）每輪傳染中，平均一個人傳染了幾個人？（2分）

（2）按照這樣的速度傳染，第三輪將新增多少名感染者（假設每輪傳染人數(shù)相同）？（3

分）

【分析】（1）設每輪傳染中，平均一個人傳染x個人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有121名

感染者列一元二次方程，求解即可；

（2）根據(jù)每輪傳染人數(shù)相同進一步求解即可.

【解答】解：（1）設每輪傳染中，平均一個人傳染x個人，

根據(jù)題意，可得（1+x）2=121,

解得X2=1O,X2--12（舍去），

答：每輪傳染中，平均一個人傳染10個人；

（2）根據(jù)題意，121X10=1210（名），

答：按照這樣的速度傳染，第三輪將新增1210名感染者.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關系是解題的

關鍵.

20.如圖，是一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞的上沿是拋物線形狀，橋洞與水面

的最大距離是5m.

（1）經(jīng)過討論，同學們得出三種建立平面直角坐標系的方案（如圖），你選擇的方案是

方案二（填方案一，方案二，或方案三），則B點坐標是（10,0）,求出你所選

方案中的拋物線的表達式；（3分）

（2）因為上游水庫泄洪，水面寬度變?yōu)?〃?，求水面上漲的高度.（5分）

【分析】（1）根據(jù)題意選擇合適坐標系即可，結合已知條件得出點B的坐標即可，根據(jù)

拋物線在坐標系的位置，可知拋物線的頂點坐標為（5,5）,拋物線的右端點8坐標為（10,

0）,可設拋物線的頂點式求解析式；

（2）根據(jù)題意可知水面寬度變?yōu)?”?時x=2或x=8,據(jù)此求得對應y的值即可得.

【解答】解：（1）選擇方案二，根據(jù)題意知點8的坐標為（10,

由題意知，拋物線的頂點坐標為（5,且經(jīng)過點。（0,B（10,

設拋物線解析式為y=a（x-6）2+5,

把點（5,0）代入得：

0=。（4-5）2+4,即a=-A,

5

.?.拋物線解析式為y=-2（x-5）2+5,

5

故答案為：方案二，（10；

（2）由題意知，當x=5-6=2時，-工?+5=」與，

73

所以水面上漲的高度為西米.

5

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應用，根據(jù)拋物線在坐標系中的位置及點的坐標特點，

合理地設拋物線解析式，再運用解析式解答題目的問題.

21.公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定.某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)

計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售100個，且從4月份到6

月份銷售量的月增長率相同.

（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（3分）

（2）若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當售價為40元/個時，若在此基礎

上售價每上漲I元/個，則月銷售量將減少10個，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品

牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？（5分）

【分析】（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x,根據(jù)“4月份銷售100個，6月份銷

售144個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同”列一元二次方程求解即可；

（2）設該品牌頭盔的實際售價為加元/個，根據(jù)月銷售利潤=每個頭盔的利潤X月銷售

量，即可得出關于機的一元二次方程，解之即可求出答案.

【解答】解：（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為X,

由題意得，100（1+x）2=144,

解得x=20%或x=-5.2（舍去），

該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%；

（2）設該品牌頭盔的實際售價應定為〃?元，

由題意得（m-30）[600-10Cm-40）J=10000,

整理得-130，〃+4000=4,

解得w=50或，*=80,

?.?盡可能讓顧客得到實惠，

"=50,

該品牌頭盔的實際售價應定為50元.

【點評】本題考查了列一元二次方程解決實際問題，解題關鍵是準確理解題意，找出等

量關系且熟練掌握解一元二次方程的方法.

22.“類二次函數(shù)”是在二次函數(shù)的一般式中把自變量x加上一個絕對值所形成的函數(shù).小

明對一個類二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下，請幫他補充

完整.

（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應值列表如下：

X??—4-3-2-101234???

???

y??0-3-4-30-3-4-30

其中，a=1,b=-4；（2分）

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，請畫出該函數(shù)的圖象；（2分）

（3）觀察函數(shù)圖象，并寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)；（2分）

（4）探究與應用：（2分）

①方程ax2+b\x\-2=0有兩個實數(shù)根;

②若有關于x的不等式向^+臼可〉》,則x的取值范圍是x<-3或x>5.

【分析】(1)通過待定系數(shù)法求解.

(2)通過函數(shù)解析式及表格內(nèi)點坐標作圖.

(3)由圖象對稱性及圖象最低點可得函數(shù)圖象對稱軸及函數(shù)最小值.

(4)①用△判斷實數(shù)根的個數(shù)；

②用求出直線y=x與函數(shù)圖象交點，結合圖象求解.

【解答】解：⑴將(-4,0),-8)代入y=a/+6|x|得,°=16a+7b

I-3=a+b

解得卜=1,

lb=-5

故答案為：1,-4.

(2)如圖，

(3)由圖象可得函數(shù)圖象對稱軸為)，軸，函數(shù)最小值為y=-2.

(4)A^b2-4aX(-7)=(-4)2+5X1=16+8=24>4,

二方程a^+b\x\-2=8有兩個實數(shù)根.

②當xWO時，令/+4x=x,

解得xi=-3,我