2023-2024學(xué)年江西省宜春市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年江西省宜春市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.拋物線y=1/的準(zhǔn)線方程是（）

4

A.丁=_1B.y=i

11

C.x=-----D.x=—

1616

【正確答案】A

【分析】得出焦點(diǎn)位置和P=2即可得出.

【詳解】由y=1/化為丁=4拋物線焦點(diǎn)在y軸正半軸，且p=2,

4

則準(zhǔn)線方程為y=-L

故選：A.

2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)加（2,1,-3）關(guān)于平面Oxz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（—2,—1,3）B.（—3,1,2）C.（—2,—1,-3）D.（2,—1,-3）

【正確答案】D

【分析】根據(jù)空間坐標(biāo)系點(diǎn)的對(duì)稱求解即可.

【詳解】/（2,1,-3）關(guān)于平面。"的對(duì)稱點(diǎn)為（2,-1,-3）.

故選：D

3.已知雙曲線C的方程為《-片=-1,則下列說法正確的是（）

169

A.雙曲線。的實(shí)軸長(zhǎng)為8

3

B.雙曲線C的漸近線方程為y二嚀x

4

C.雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3

9

D.雙曲線。上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為:

4

【正確答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)直接求解即可.

V2V2

【詳解】由題得雙曲線方程為2-L=l,

916

所以a=3,b=4,c=y/$+=5,所以實(shí)軸長(zhǎng)為6,故A錯(cuò)誤;

雙曲線的漸近線方程為N=±?X=±3X,故B正確；

b4

雙曲線的焦點(diǎn)(0，。)到一條漸近線即辦=0的距離為

由于對(duì)稱性，雙曲線的上下焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離都相等，

故C錯(cuò)誤；

雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為c-a=2,故D錯(cuò)誤.

故選:B.

4.已知兩個(gè)變量x和〉之間存在線性相關(guān)關(guān)系，某興趣小組收集了一組x,?的樣本數(shù)據(jù)如

下表所示：

X12345

y0.50.611.41.5

根據(jù)表中數(shù)據(jù)利用最小二乘法得到的回歸方程是()A.y=0.2lx+0.53

B.y=0.25x+0.21

C.y=0.28x+0.16D.y=0.31x+0.11

【正確答案】c

【分析】求出37,由回歸直線必過樣本中心，將點(diǎn)U依次代入各項(xiàng)檢驗(yàn)是否成立可得

結(jié)果.

【詳解】?.,x=-x(l+2+3+4+5)=3,^=-x(0.5+0.6+l+1.4+1.5)=l

55

回歸直線必過樣本中心(3,1),

而A、B、D項(xiàng)中的回歸直線方程不過點(diǎn)(3,1),C項(xiàng)的回歸直線方程過點(diǎn)(3,1),

故選：C.

5.有甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)同一型號(hào)的產(chǎn)品，甲廠生產(chǎn)的次品率為10%,乙廠生產(chǎn)的次

品率為20%,丙廠生產(chǎn)的次品率為30%,生產(chǎn)出來的產(chǎn)品混放在一起.已知甲、乙、丙三

個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)分別占總數(shù)的50%、30%、20%,任取一件產(chǎn)品，則取得產(chǎn)品為次品

的概率是()

A.0.83B.0.79C.0.21D.0.17

【正確答案】D

【分析】根據(jù)三個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)的占比以及次品率可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可知，任取一件產(chǎn)品，則取得產(chǎn)品為次品的概率是

0.1x0.5+0.2x0.3+0.3x0.2=0.17.

故選：D.

6.關(guān)于x的方程小二『_京—2=0有唯一解，則實(shí)數(shù)人的范圍是()

A.k=+5/3

B.%￡(-2,2)

C.kG(-oo,-2)U(2,+00)

D.Ae(-8,-2)11(2收)U卜點(diǎn)6}

【正確答案】D

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)=與g*)=h+2只有一個(gè)交點(diǎn)，然后利用數(shù)形結(jié)合處

理.

【詳解】因?yàn)榉匠?i=^_履-2=0有唯一解，

即=履+2有唯一解，

即/(x)=與g(x)=h+2的圖象有唯一交點(diǎn)，

又y=即/+/=1,(形0)

表示圓心為(0,0),半徑為1的上半圓(包括4-1,0)和8(1,0),

而g(x)=6+2是過定點(diǎn)C(0,2)的直線，

如圖：

2

當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，由圓心到直線的距離公式得：下^=1,解得％=±百

由圖象可知，當(dāng)《<-2或%>2或4=±JJ時(shí)，八x)=h與g(x)=h+2的圖象有唯一交點(diǎn).

故選：D

7.將詩集《詩經(jīng)》、《唐詩三百首》，戲劇《牡丹亭》，四大名著《紅樓夢(mèng)》、《西游記》、《三

國(guó)演義》、《水滸傳》7本書放在一排，下面結(jié)論成立的是()

A.戲劇放在中間的不同放法有7!種B.詩集相鄰的不同放法有6!種

C.四大名著互不相鄰的不同放法有4!x3!種D.四大名著不放在兩端的不同放法有6x4!種

【正確答案】C

【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)后進(jìn)行判斷即可.

【詳解】選項(xiàng)A：戲曲書只有一本，所以其余6本書可以全排列，共有6!種不同排列方

法；

選項(xiàng)B：詩集共2本，把詩集當(dāng)成一本，不同方法有6!種，這兩本又可交換位置，

所以不同放法總數(shù)為2x6!；

選項(xiàng)C：四大名著互不相鄰，那只能在這四本書的3個(gè)空隙中放置其他書，共有3!種放

法，

這四本書又可以全排列，所以不同放法總數(shù)為4!x3!；

選項(xiàng)D：四大名著可以在第2至第6這5個(gè)位置上任選4個(gè)位置放置，共有A；種放法,

這四本書放好后，其余3本書可以在剩下的3個(gè)位置上全排列，

所以共有不同放法總數(shù)為A；x3!

故選：C.

8.19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)

展.提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同

心的圓上，稱為蒙日?qǐng)A，且該圓的半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的平方和的算術(shù)平方根.

若圓(x-2)，(i)2=9上有且只有一個(gè)點(diǎn)在橢圓三+/=］的蒙日?qǐng)A上，則占的值為()

A.+1B.+5C.±721D.±2斯

【正確答案】C

［分析］根據(jù)題意得橢圓5+/=1的蒙日?qǐng)A方程為V+/=4,進(jìn)而得該圓與己知圓相切,

再根據(jù)圓的位置關(guān)系求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，橢圓］+/=1的蒙日?qǐng)A方程為一+/=4,

因?yàn)閳A（x-2）2+（y-6『=9上有且只有一個(gè)點(diǎn)在橢圓］+/=1的蒙日?qǐng)A上，

所以該圓與已知圓相切，

又兩圓圓心間距離為“+從，

所以14+/=5或J4+從=1（無解，舍去），解得6=±血

故選：C.

二、多選題

9.下列說法中，正確的命題是（）

A.對(duì)于任意兩個(gè)事件A與8,如果尸（/8）=P（⑷尸（8）,則事件A與B獨(dú)立

B.互斥的事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件：

C.E（aX+b）=aE（X）+b,D（aX：+b）=a2D（X）

D.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2,/）,若尸（X<4）=0.8,則尸（2<X<4）=0.3.

【正確答案】ABCD

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的定義判斷A,根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義B,根據(jù)期望和方

差的性質(zhì)判斷C,根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由尸（48）=尸（N）P（8）,根據(jù)獨(dú)立事件的定義可得事件A與3獨(dú)立；A正

確；

對(duì)于B,互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定為互斥事件，B正確；

對(duì)于C,由期望的性質(zhì)可得E（M+6）=/（X）+b,由方差的性質(zhì)可得。（aX+b）=/Z）（X）,

C正確；

對(duì)于D,因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2,/）,所以尸（X42）=0.5,

又P（X<4）=0.8,又P（2<X<4）=0.3,D正確.

故選：ABCD.

10.已知空間中三點(diǎn)二（0,1,0）,8（2,2,0）,C（-l,3,1）,則下列結(jié)論正確的有（）

A.ABA.AC

B.與劉共線的單位向量是（11,0）

C.而與前夾角的余弦值是-叵

11

D.平面/8C的一個(gè)法向量是（1,-2,5）

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷AD,根據(jù)共線向量和單位向量判斷B,根據(jù)

向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算判斷C.

【詳解】因?yàn)?（0,1,0）,8（2,2,0）,C（-l,3,l）,

所以方=（2,1,0）,就=（-1,2,1）,5C=（-3,1,1）,

對(duì)于選項(xiàng)A：在.農(nóng)=-2+2+0=0，故萬_L就，A正確：

對(duì)于選項(xiàng)B：（1,1,0）不是單位向量,且。,1,0）與荏=（2,1,0）不共線,B錯(cuò)誤;

ABBC6+1+0y/55

COS(ABBC\----

選項(xiàng)C：''k畫畫「石X而一TT,C正確;

選項(xiàng)D：設(shè)加=(1,-2,5),則云.懣=2-2+0=0，而?就=-l-4+5=0,

所以切_LZ8，m±AC>

又=N8,/Cu平面43C,

所以向量(1,-2,5)是平面N8C的一個(gè)法向量，D正確；

故選：ACD

11.若，+l)(x+2)s=4+叩+。2*2+…+”7x7,其中qeR,i=0,1,2,-??7,則()

A.旬=32B.。3=120

C.%+《+%+,一+。7=486D.a2+a4+a6=244

【正確答案】ABC

【分析】令x=0，求出%可判斷A；求出巴可判斷B；令x=l,求出〃o+q+%+…+%的

值，令工=一1,求出為一。1+。2-〃3+〃4+--%的值，兩式相加可判斷C,D.

【詳解】對(duì)于A,令x=0,旬=25=32,所以A正確；

對(duì)于B,（/+l）（x+2）s的J前面的系數(shù)為四=C；24+C；22=5x16+10x4=120,所以B正

確；

對(duì)于C,令x=l,q+q+%+%+%+…+%=2x3,=486①，

對(duì)于D,令x=-l,a0-at+a2-a3+a4+---%=2②，

①+②得2（%+。2+4+。6）=488,所以&+。2+4+4=244,貝!]%+%+6=212,所以D

錯(cuò)誤.

故選ABC.

12.已知拋物線E：爐=4》的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,過尸的直線與E交于4,8兩點(diǎn)，分別

過48作/的垂線，垂足為C,D,且工廠=38尸，M為AB中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.ZCFD=90°B.△CMD為等腰直角三角形

C.直線的斜率為土6D.Z08的面積為4

【正確答案】AC

【分析】對(duì)于A、B,結(jié)合拋物線定義可得；

對(duì)于C、D,由直線與拋物線聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理及三角形面積公式可得.

【詳解】如圖，過點(diǎn)M向準(zhǔn)線/作垂線，垂足為M設(shè)4看,必），8（%必）.

對(duì)于A,因?yàn)?尸=4C,所以N4FC=N4CF,又因?yàn)镹OFC=N4CF,

所以NOFC=N4FC,所以FC平分/。以，同理可知我。平分/O尸8,所以/。吟=90。，

故A正確；

對(duì)于B,假設(shè)△CMO為等腰直角三角形，則NC尸。=NCMD=90。，

則C,D,F,A/四點(diǎn)共圓且圓的半徑為1c〃=MV,又因?yàn)榱κ?38尸，

2

所以AB=AF+BF=AC+BD=2MN=4BF,所以MN=2BF,

所以CD=2MN=4BF,所以顯然不成立，故B錯(cuò)誤；

v-4x

,,所以/-4"9-4=0,

fx=my

y,4-=4加~2y2=4加

所以*~,又因?yàn)榱κ?3",所以必=一38，所以＜/,

帥一卜3%=-4

所以/=1,所以'=±如，所以直線的斜率為±6，故C正確；

3m

對(duì)于D,不妨取加=3，貝卜"+%=亍，所以比警］+16=孚,

3L仍一X1

所以S,,0.=，.℃|凹—%|=，xlx=4.A.,故D錯(cuò)誤.

L^AUD2”I//1233

三、填空題

13.1一/=)的展開式中V的系數(shù)為.

【正確答案】60

【分析】先求出展開式通項(xiàng)，令x的指數(shù)為3即可求出.

【詳解】卜-六的展開式通項(xiàng)為卻|=C：.卜貴)=(_2)1C】x

令6-|r=3,解得r=2,所以展開式中/的系數(shù)為(-2丫=60.

故60.

14.過點(diǎn)(1,2)且與圓/+/=］相切的直線的方程是.

【正確答案】x=l或3x-4y+5=0

【分析】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可得直線/:x=l,分析可得直線與圓相切，滿足題意，當(dāng)直

線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為A,可得直線/的方程，由題意可得圓心到直線的距離

1=修3=廠=[,即可求得左值，綜合即可得答案.

W+1

【詳解】當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，因?yàn)檫^點(diǎn)(1,2),

所以直線/:x=l,

此時(shí)圓心(0,0)到直線x=l的距離為l=r,

此時(shí)直線/:x=l與圓x?+V=1相切，滿足題意；

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為4,

所以/：y-2=々(x-l),BPkx-y-k+2=0,

因?yàn)橹本€/與圓相切，

所以圓心到直線的距離一=，=1,解得％

收+14

所以直線/的方程為3x-4y+5=0.

綜上：直線的方程為x=l或3x-4y+5=0

故x=l或3x-4y+5=0

15.已知點(diǎn)耳為雙曲線=i的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線/與雙曲線c相交于R。兩

4

點(diǎn).若|P周=3,則|。用=.

【正確答案】7

【分析】先證明四邊形片尸入。是平行四邊形，再根據(jù)雙曲線的定義可求解.

【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性，可知|0勺=|。。|,又|0片=|0巴|,所以四邊形月尸鳥。是平行

四邊形,所以IPRHMI，

由|尸制=3〈君+2=c+o,可知點(diǎn)P在雙曲線的左支，如下圖所示：

由雙曲線定義有|尸61-|尸￡|=4,又|尸片|=3,所以|?！陓=|率1=7.

故7

16.三菱柱ABC-AIBICI中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，NBAA尸NCAAi=60。則異面直線

ABi與BC,所成角的余弦值為

【正確答案】遠(yuǎn)

6

【詳解】如圖設(shè)麴=2方=反刀=1設(shè)棱長(zhǎng)為1,則函=&+$,~BC,=a+c-b

,因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，且NA44=NO4=60°所以￡$=["=鼠"=；,所以

2

|ABX|=yj(a+,|BC}|=yj(a+c—b)--BC、=(a+h)'(a+c—b)=\,設(shè)異

八福.屆1娓

面直線的夾角為8,所以3"扃扃|=不方=了.

四、解答題

17.已知（2x+1—）

展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16.

(1)求〃的值；

(2)求展開式中含f的項(xiàng)的系數(shù).

【正確答案】(1)5；(2)80.

【分析】(1)根據(jù)已知結(jié)合組合數(shù)公式，通過解一元二次方程進(jìn)行求解即可:

(2)利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解:(1)由題意,MA）展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16.

即：&+&+d=1+"+當(dāng)辿=16,解得：”=5或〃=-6(舍去).

即〃的值為5.

(2)由通項(xiàng)公式心=Cf(2x廣=C*25-*/T,

令5-22,可得.左=2

所以展開式中含Y的項(xiàng)為=屐2".若=80x2,

故展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為80.

18.由1,2,3,4,5組成的五位數(shù)中，分別求解下列問題.(應(yīng)寫出必要的排列數(shù)或組合

數(shù)，結(jié)果用數(shù)字表示)

(1)沒有重復(fù)數(shù)字且為奇數(shù)的五位數(shù)的個(gè)數(shù)；

(2)沒有重復(fù)數(shù)字且2和4不相鄰的五位數(shù)的個(gè)數(shù)；

(3)恰有兩個(gè)數(shù)字重復(fù)的五位數(shù)的個(gè)數(shù).

【正確答案】(1)72個(gè);(2)72個(gè)；(3)1200個(gè).

【分析】(1)由題知，該五位數(shù)個(gè)位數(shù)為奇數(shù)，然后余下的四個(gè)數(shù)全排列即可.

(2)先對(duì)1,3,5三個(gè)數(shù)全排列，然后利用插空法排列2和4即可.

(3)從5個(gè)數(shù)中挑選出重復(fù)的數(shù)字，從剩下的4個(gè)數(shù)中挑選3個(gè)數(shù)字，先對(duì)重復(fù)數(shù)字排列,

然后余下的三個(gè)數(shù)全排列即可.

【詳解】解：(1)由題知，該五位數(shù)個(gè)位數(shù)為奇數(shù)，然后余下的四個(gè)數(shù)全排列即可.

C?《=72個(gè).

(2)先對(duì)?1,3,5三個(gè)數(shù)全排列，然后利用插空法排列2和4,即4^4=72個(gè)

(3)從5個(gè)數(shù)中挑選出重復(fù)的數(shù)字，從剩下的4個(gè)數(shù)中挑選3個(gè)數(shù)字，先對(duì)重復(fù)數(shù)字排列,

然后余下的三個(gè)數(shù)全排列即C^CjAl=1200個(gè)

19.已知過點(diǎn)力(3,2)的圓的圓心M在直線y=3x上，且y軸被該圓截得的弦長(zhǎng)為4.

(1)求圓加的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)N(-2,3),若點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求1PM+|P時(shí)的最小值，并寫出取得最小值時(shí)點(diǎn)

產(chǎn)的坐標(biāo).

【正確答案】(l)(x-l)2+(y-3>=5

(2)3丁，尸?。)

【分析】(1)用待定系數(shù)法設(shè)出圓心，根據(jù)圓過點(diǎn)和弦長(zhǎng)列出方程求解即可；

(2)當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)戶叫+|尸川有最小值，求出直線A/N的方程，令產(chǎn)0即可.

【詳解】(1)由題意可設(shè)圓心加(。,3a),

因?yàn)閥軸被圓M截得的弦長(zhǎng)為4,

所以/=(g)+=4+二,

又尸=\MA\=("3)2+(3a-2)2,

則4+“2=("3)，(3"2)2,

化簡(jiǎn)得/一2。+1=0,解得。=1,

則圓心M(1,3),半徑—“7/=指，

所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l『+(y-3)2=5.

(2)點(diǎn)N(-2,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N'(-2,-3),

則|PA/|+|PN|=\PM\+>\MN'\=J(l+2)?+(3+3)2=3亞，

當(dāng)且僅當(dāng)A1,P,N'三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，

因?yàn)?A，=「H^=2,則直線的方程為N-3=2(X-1),即y=2x+l,

令y=0,得》=-；，則｛一；,o）.

20.如圖，在底面是菱形的四棱錐P-/8co中，￡為C。中點(diǎn)，NAPD=90。，NADC=6（T，

已知P/=PO=1.

⑴若P8=0,證明：ABLPE；

（2）若尸C=0，求二面角尸-8-/的平面角的余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵4

【分析】（1）證明Z814E,再由勾股定理證明48J.4P,從而證明48人平面NPE,即

可證明（2）取工。的中點(diǎn)。，連接。P,OC,證明P。工面/8C。，從而建立空間

直角坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，以及向量的坐標(biāo)，求解平面PC。的法向量為￡,又因?yàn)槠?/p>

面的法向量為%=（0,0,1）,代入向量的夾角公式計(jì)算.

【詳解】（1）連結(jié)4E,由于E為C。中點(diǎn)，且N4DC=6。'，故

又有AB=AD=?AP=-Ji，而BP=后,AP=1,

故可知8尸2=/麻+4尸2，則又4E14P=4

所以N8/平面4PE,而PEu平面/PE,故Z81PE.

（2）取的中點(diǎn)O,連接。P,OC,

在△/「￡）中，PA=PD=1,4PD=90°,。為X。中點(diǎn)，所以正，OP1AD.

22

在中，AD=DC=?，4OC=6（T，所以O(shè)C=如.

2

又,：PC=6,PO2+oc2=PC2.OCIPO.

又OCC\AD=O,NDu平面/8CQ,OCu平面/8CZ）,P01面/8CO.

Zf

所以以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

([7、(行、(歷、則無=卜冬孝,。］不=(當(dāng)。,§

則C券,0,00,m,0,P0,0,學(xué)

"

屈=o

2

晨而=0一丁

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為［(X1,%zj,則，

?,"CP=0娓V2=O

-TX,

所以或=(1,6,6).易知微=(0,0,1)為平面的一個(gè)法向量,

/~1-'\W,?%5/21

cos仙，〃2)=而向="=一廠，由圖可知，二面角尸-8-N的平面角為銳角，

所以二面角P-CD-A的平面角的余弦值為叵.

7

對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向

量的夾角公式求解.

21.北京時(shí)間2022年4月16日09時(shí)56分，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功

著陸，神舟十三號(hào)載人飛行任務(wù)取得圓滿成功，全體中華兒女深感無比榮光.半年“出差”，

神舟十三號(hào)航天員順利完成全部既定任務(wù)，創(chuàng)造了實(shí)施徑向交會(huì)對(duì)接、實(shí)施快速返回流程、

利用空間站機(jī)械臂操作大型在軌飛行器進(jìn)行轉(zhuǎn)位試驗(yàn)等多項(xiàng)“首次”.為了回顧“感覺良好”三

人組太空“出差亮點(diǎn)”，進(jìn)一步宣傳航空科普知識(shí)，某校組織了航空知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).活動(dòng)規(guī)定

初賽需要從8道備選題中隨機(jī)抽取4道題目進(jìn)行作答.假設(shè)在8道備選題中，小明正確完成

每道題的概率都是:且每道題正確完成與否互不影響，小宇能正確完成其中6道題且另外2

4

道題不能完成.

(1)求小明至少正確完成其中3道題的概率;

(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示小宇正確完成題目的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;

【正確答案】(1)鑒189

256

(2)分布列見解析，3

【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)概率公式和概率加法公式求解;

(2)由已知確定隨機(jī)變量X的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公

式求期望.

【詳解】(1)記“小明至少正確完成其中3道題”為事件A,

3

貝J|P(4)=C：

(2)X的可能取值為2,3,4.

P(X=2)=^C2^c2=—15=—3

'JC：7014

4

3=罟47

r°C4153

P(X=4)=^^=—=

''C：7014

X的分布列為:

X234

343

P

147TZ

343

數(shù)學(xué)期望E(X)=2X]+3X]+4XA=3

22.已知橢圓C：「+,=l(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)其右焦點(diǎn)為尸便,0).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)橢圓C的右頂點(diǎn)為A,若點(diǎn)RQ在橢圓。上，且滿足直線/P與4。的斜率之積為去，求

△NP。面積的最大值.

【正確答案】⑴工+/=1

（嗚

【分析】（1）根據(jù)橢圓過的點(diǎn)和右焦點(diǎn)，列方程組求出a,6,，，則橢圓方程可求：

（2）設(shè)尸。：，=丘+切,/西,％）,0仇,必），與橢圓方程聯(lián)立，消去V