山東省淄博市部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期中聯(lián)考數(shù)學(xué) 含解析

2022-2023學(xué)年高一第二學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)試題

單選題（每題5分，共40分）

1.將120°轉(zhuǎn)化為弧度為（）

A.亞B.空C.3D.2

6363

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化公式直接轉(zhuǎn)化.

7727r

【詳解】120°=120°X-^-=2,

18003

故選：B.

2.如圖所示的△A8C中，點(diǎn)。是線段A8上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，則潴

（）

A.--AB--ACB.-AB+-ACC.-AC--ABD.-AB+-AC

62622662

【答案】B

【解析】

【分析】依題意可得。6=gAB,BE=^（AC-AB）,根據(jù)平面向量的加減運(yùn)算可得.

【詳解】由已知可得。B=BE=-BC=-（AC-AB],

322V>

niii

所以。E=OB+8E=-A8+—（AC-AB）=-AB+—AC.

32、>62

故選：B.

3.化簡(jiǎn)sin347cos148+sin77cos58的值為（）

A73Rx/3C1nV2

2222

【答案】D

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得所求代數(shù)式的值.

【詳解】原式=sin（270+77）cos（90+58）+sin77cos58

=sin58cos77+cos58sin77sin(58+77)=sin135=sin(180-45)=sin45=—

2

故選：D.

4.已知向量a、b不共線，且c=xa+"d=a+（2x—lg,若c與d共線，則實(shí)數(shù)x的值為（）

1-1

A.1B.一一C.1或一一D.-1或一一

222

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量共線的基本定理可得關(guān)于實(shí)數(shù)x的等式，解之即可.

【詳解】因?yàn)閏?與d共線，則存在攵eR,使得d=kc，即a+（2x—1）。=依a+

Ax—1

因?yàn)橄蛄縜、。不共線，則匕_°..整理可得x（2x-l）=l,即2/一%一1=0，

解得x=-1或1.

2

故選：C.

A/3,01.1.2tan27°c=Jl—c,10。，則有（）

5C.攻。=——coso——sin6,b--------------r，

221-tan-27

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【答案】C

【解析】

【分析】先利用輔助角公式和二倍角公式化簡(jiǎn)。，b,c,再進(jìn)行比較.

【詳解】解：由題意得：a=—cos6°--sin6°=sin(60°-6°)=sin540,

22

,2tan27°_

b=-------------=tan54,c>3110。=.55。,

1-tan227°2

tan54°>tan450=1>sin54-<sin55<1>

：.a<c<h,

故選：C

3兀

6.已知扇形面積半徑是1,則扇形的周長(zhǎng)是（）

8

371.3兀c371c3兀,

A.—+1B.—+2C.—+2D.—+1

16842

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由扇形的面積公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

1313

【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為/,由扇形的面積公式可得，S=-lr,即二兀=-/xl,所以/=二兀，

2824

則扇形的周長(zhǎng)為2r+/=2+°兀.

4

故選：C

JTJ

7.已知角。與S都是任意角，若滿足。+9=一，則稱。與9“廣義互余”.已知sin（乃+a）=——，下列

24

角￡中，可能與角?！皬V義互余'’的是（)

.c1B.cos("一尸)=；

A.siny?=—

「,AAD.COS(2TT—/)=；

C.tanp=］5

【答案】D

【解析】

【分析】由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷

11

［詳解］若sin(7r+a)=——,即sina=—,若0=---a,

442

則cosy?=sina=',sinQ=cosa=±^5，tan/?=,故A,C錯(cuò)誤,

44

對(duì)于B,若cos(%—￡)=1,則COSA=—L,B錯(cuò)誤,

44

對(duì)于D,若cos(2)一￡)=',貝iJcos/7=—,D正確.

44

故選：D

8.已知函數(shù)=Gsinox—cos3x（0>0）,則/（x）在區(qū)間［0,2兀］上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)和2條對(duì)

稱軸，則。的取值范圍是（）

-513、（513]（5131（513、

'B-乃]。匕'不_|D-[nJ

【答案】A

【解析】

【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為〃x）=2sin"用，由0WxW2?？汕蟮?—2取值

范圍，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式，解之即可.

【詳解】因?yàn)?（x）=Gsin69%-coscox=2sin（Gx-￡）,

TTTTIT

因?yàn)?9>0，當(dāng)0WxW2乃時(shí)，——<cox——<2（7M——,

666

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間[（）,2可上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)和2條對(duì)稱軸，

則--426971<2兀,解得一<69<——,

26612

故選：A.

二、多選題（每題5分，共20分，少選得2分，錯(cuò)選得0分）

9.已知平面向量d=（1,0）,/>=（1,2A/3）,則下列說法正確的是（）

A.|a+0|=16B.（d+A）?〃=2

C.向量a+8與a的夾角為30。D.向量a+b在。上的投影向量為2a

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)計(jì)算即可判斷A,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B,由夾角公式可判斷C,由

投影向量的求解公式可判斷D.

【詳解】a+6=(l+l,0+2G)=(2,2出)，所以4,故A錯(cuò)誤;

.?(a+/?)=lx2+0x2出=2,故B正確;

dAd-\-b

cos<a,a+Z?>=------

悶a+〃2

兀

<a,a+b>e(O,n),:.<a,a+b>=—,故C錯(cuò)誤;

a\a+h]n7

向量〃+6在a上的投影向量為'一人工=*xa=2d，故D正確.

同向1

故選：BD

sinx,sinx2cosx

10.函數(shù)/(幻==,下列選項(xiàng)正確的是()

cosx,sinx<cosx

A.該函數(shù)的值域?yàn)?/p>

B.當(dāng)x=2E+]TT/eZ)時(shí)，該函數(shù)取得最大值；

C.該函數(shù)是以兀為最小正周期的周期函數(shù)；

37r

D.當(dāng)且僅當(dāng)2E+TT<X<2E+絲(ZeZ)時(shí)，/(%)<0.

2

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)題意，做出函數(shù)/(x)的圖像，結(jié)合函數(shù)圖像逐項(xiàng)判斷，即可得到結(jié)果.

sinx,sinx>cosx

【詳解】因?yàn)?1)=<

cosx,sinx<cosx

對(duì)于C,當(dāng)sinxNcosx時(shí)，/(x+2K)=sin(A：+2K)=sinx,

當(dāng)sinxvcosx時(shí)，/(x+2K)=cos(x+2;r)=cosx,所以，函數(shù)/(x)為周期函數(shù),

做出函數(shù)/(x)的圖像(圖中實(shí)線)如下圖所示：

結(jié)合圖形可知，函數(shù)/(X)的最小正周期為2兀，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于A,由圖可知，函數(shù)/(力的值域?yàn)橐惶?hào),1,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由圖可知，當(dāng)x=2E或x=2E+](keZ)時(shí)，函數(shù)/(X)取得最大值1,故B正確；

對(duì)于D,由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)2癡+兀<》<2癡+與(攵eZ)時(shí)，f(x)<0,故D正確.

故選：BD

11.如圖，在矩形ABC。中，AB=2AD=2,E為邊4B的中點(diǎn)，若P為折線段。EC上的動(dòng)點(diǎn)，則

則AP=(a』_a),BP=(a-2,l-?),

所以AP-8尸=a(a-2)+(l-a)?=2/-4。+1=2(。-1)2-1,

因?yàn)猷╤2,所以2(a-l)2-le[-l,l],

即APBPe[-\,]].

故選：AD

12.已知/(x)=2sin3x+0)3＞0,0＜夕＜兀)為偶函數(shù)，其圖象與直線y=2的其中兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)分別為王，々，歸―引的最小值為幾，將/(x)的圖象向右平移￡個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖

6

象，則下列選項(xiàng)正確的是()

A.g(x)=2cos^2x-^

B.函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞減

C.是函數(shù)g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

兀

D.若方程g(x)=加在0,-上有兩個(gè)不等實(shí)根，則14帆＜2

【答案】BD

【解析】

【分析】首先根據(jù)已知條件得到/(x)=2cos2x,對(duì)選項(xiàng)A,根據(jù)三角函數(shù)平移變換即可判斷A錯(cuò)誤，

對(duì)選項(xiàng)B,根據(jù)2x—梟(0,兀)即可判斷B正確，對(duì)選項(xiàng)C,根據(jù)cos12x\兀-微卜一/即可判斷C錯(cuò)

誤，對(duì)選項(xiàng)D,畫出g(x)的圖象即可得到答案.

【詳解】因?yàn)?(力的圖象與直線y=2的兩個(gè)交點(diǎn)為兩個(gè)最高點(diǎn)，且后一占|的最小值為幾，

所以/(x)的最小正周期丁=兀，所以。=2.

因?yàn)?(x)為偶函數(shù)，且0＜°＜兀，所以8=],故/(x)=2sin(2x+1^=2cos2x.

因?yàn)間(x)=2cos2(X-B|=2COS2%-外，所以A錯(cuò)誤；

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合正弦型函數(shù)的對(duì)稱性、圖象變換性質(zhì)逐一判斷即可.

2兀，兀兀、

【詳解】因?yàn)榭?gt;0,所以由正弦型函數(shù)的周期公式可知：一二2x；+：=>啰=2,

co136J

即/(x)=2sin(2x+°),

由‘‘[三[=2''11('^+夕]=0=5+夕=尿*GZ),

7T7CI兀)

因?yàn)榫W(wǎng)<5，所以令氏=1，所以0=§，即/(x)=2sin[2x+gj.

27r

因?yàn)?(x)的最小正周期為號(hào)=71,所以①正確；

因?yàn)?圖=2"2、e+1]=672,所以/(x)的圖象不關(guān)于直線％=看對(duì)稱，因此②不對(duì)：

因?yàn)?(內(nèi))=/(￡)，所以和々關(guān)于該函數(shù)的一條對(duì)稱軸對(duì)稱,

AC兀兀/r\mil71/_

令2x+—=mn+—(meZ)=>x=---1(mGZx),

32212

(7C71\7T

因?yàn)榭?工2J，所以令加=0,即對(duì)稱軸為：x,

f(xt+X2)=/0=2sin(2x>])=G,所以③正確；

因?yàn)?(x)的圖象向左平移。(6>0)個(gè)單位得到g(x)的圖象，

所以g(x)=/(x+0)=2si“2x+26+01,

因?yàn)間(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，

”,，C71c八71/一、八〃兀71

所以2X--F2。H--=〃兀(72GZ)3—------,

6323

因?yàn)?。?,所以當(dāng)〃=1時(shí)，。的最小值為無，因此④正確，

6

故答案為：①③④

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)經(jīng)過的零點(diǎn)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.

16.已知點(diǎn)G是,ABC的重心，過點(diǎn)G作直線與AB,AC兩邊分別交于〃、N兩點(diǎn)，且

AM=mAB,AN=nAC,m>0,n>0，則3機(jī)+5〃的最小值是

8+2后

【答案】

3

【解析】

延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)。，則點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，且。，將用AM,AN表示，再根

【分析】AG=1AAG

據(jù)M,N,G三點(diǎn)共線，可得加，〃的等量關(guān)系，再利用等量代換結(jié)合基本不等式即可得解.

【詳解】解：延長(zhǎng)AG交于點(diǎn)Q,

2

則點(diǎn)。為3c的中點(diǎn)，且AG=-A0,

3

故Ad=2AO=§xg（A^+〃）=，（AQ+A（j

又因?yàn)?W=〃?A8,4N=〃AC,，〃>0,〃>0，

_sifAMAN）1…1…

所以AG=-+=——AM+一AN,

31mn3m3n

因?yàn)镸,N,G三點(diǎn)共線,

所以「一+」-=1,

3m3n

（11（ru\85〃"2、8c8+2V15

貝ij3m+5n=-------1------（3m+5n）=—d---1——>—+2

13m3n'733mn33

當(dāng)且僅當(dāng)2='，即〃=巫士9,加=t時(shí)，取等號(hào),

3mn159

所以3m+5〃的最小值是8+2而

3

四、解答題（共70分）

17.已知向量〃[-?，b=2e]+e2,其中e2=(1,0),求:

(1)〃?。和,+可的值；

(2)Q與〃的夾角。的余弦值.

【答案】(1)?./,=4)\a+^3y/2

⑵-

5

【解析】

【分析】(1)利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解，利用向量的模公式求解；

(2)利用向量的夾角公式求解.

【小問1詳解】

因?yàn)?e2=(-2,1),b^2et+e2=(-1,2),

所以Q?/?=(—2)x(-1)+1x2—4,

I..|2.2?2..

所以,+q=a+b+2Q-Z?=5+5+2X(2+2)=18,

所以1+目=3正.

【小問2詳解】

18.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+0)(O<9<jr)的圖象過點(diǎn)

(1)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

7T

(2)Vxe0,-,7(x)N加總成立.求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

3兀兀

【答案】(1)E—,kn+—，左eZ

OO

/

(2)-oo,-

【解析】

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)過1方,1J可得進(jìn)而利用整體法即可求解,

TT7TTT5TT

(2)根據(jù)OKxW],得一＜2x+—〈一，即可由三角函數(shù)的性質(zhì)求解最值求解.

2444

【小問1詳解】

因?yàn)椋緎i”J"與+")=L

TTJT

所以1+0=2%r+5，ZGZ.

因?yàn)?＜/＜兀，所以尹=囚，y=sin2x+—

4I4

TTJTIT

由2&?！?lt;2x+—<2kii+—,kwZ.

242

3It7T

得：kn----<x<kji+—,kGZ.

88

3TT兀

所以函數(shù)y=/(x)的單調(diào)增區(qū)間為kn-—,kn+—,k&Z.

oo

【小問2詳解】

71

由Vz0,-"(x)2加總成立，得用＜/(%)的最小值.

.__..,_TTLL1r兀/c兀,57c

因?yàn)?〈尤《一,所以一W2xH—W—.

2444

所以當(dāng)2x+'=2時(shí)，/(*)取得最小值—1.

442

所以加的取值范圍是一°0，—

19.已知平面向量&、b，若卜|=2,慟=3,卜一〃|=M.

(1)求向量a、b的夾角；

(2)若，=。+必且c_La，求卜|.

【答案】⑴—

3

(2)卜|=2百

【解析】

【分析】(1)在等式,-力|=1歷兩邊平方，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得向量a、b的夾角的

余弦值，結(jié)合向量夾角的取值范圍即可得解;

(2)由已知可得c.a=O,利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求出1的值，然后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

性質(zhì)可求得也.

【小問1詳解】

解:因?yàn)?一萬|=4后,則(方-6)=a-2ab+b=|iz|-2|a|-|&|cos^a,&^+|z>|

=4-12cos(a,0)+9=19,所以，cos(〃,6)=-；,

又因?yàn)?《卜,“<兀，因此，@?遣,即向量Q、b的夾角為g

小問2詳解】

解：因?yàn)閏=a+仍且c_La，貝！Ic?〃=(a+仍)?〃=7+Zpz|-|/?|cos^"

71

20.已知函數(shù)/(x)=2百cos?—+X-2sin(?i+x)cosx-6.

(1)求/(x)的最小正周期;

7171

(2)當(dāng)xe時(shí)，求/(X)的最大值和最小值，以及相應(yīng)X的值;

(ji?143Ji.

(3)若八"。-qJ=不，“?！?71，求sin2%的值.

【答案】(1)兀

⑵龍=￡時(shí),Win=1，X=W時(shí)Wax=2.

412

c、24月+7

\JJ--------------------------

50

【解析】

【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)/(%)=25祖［2彳-三)，即可由周期公式求解,

兀兀兀

(2)根據(jù)〈工得r=2尤—gw2,即可由正弦函數(shù)的性質(zhì)求解,

423163_

(3)根據(jù)同角關(guān)系以及和差角公式即可求解.

【小問1詳解】

f(x)=2y/3cos(/+x)]-2sin(jt+x)-cosx-y/3

=2V3sin2x+2sinx?cosx-6=>/3(l-cos2x)+sin2x-y/3

=sin2x->/3cos2x=2sin(2x一gJ

2兀

故周期為丁=——=兀

2

【小問2詳解】

兀，,兀_71兀2兀

--t=2x----€-,—

423|_63」

7TTT7rl

當(dāng)/=%即x=I時(shí)，(sin/)min=sin-=-,此時(shí)乂3=1

當(dāng)r=|■即》=皴時(shí),(sinr)1)m=sin]=l此時(shí)為”=2.

小問3詳解】

21.如圖，AB是半徑為1的圓。的直徑，點(diǎn)。為圓周上一點(diǎn)，且NABC=60。，點(diǎn)P為圓周上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求ABxBC的值；

(2)求的最大值.

【答案】(1)-1；

(2)4.

【解析】

【分析】(I)法一：由題設(shè)可得AB=2，BC=1,<AB,50=120?,再應(yīng)用向量數(shù)量積的定義求

ABxBC；法二：構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系并確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到A8,BC,應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)

算求ABXBC

(2)法一：根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義判斷AB-AP的最大時(shí)P與5位置關(guān)系，即可得最大值；法二：

設(shè)P(cosa,sina),aeR,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可.

【小問1詳解】

法一：因?yàn)锳3是單位圓。直徑，則NAC8=90。，A3=2,又NABC=60°,

所以6c=1,<A6,B0=120?.

所以A8IC=|A3|田3|cos<A3,3C>=2X1X(一￡|=-L

法二以圓心。為原點(diǎn)，直徑AS軸建立平面直角坐標(biāo)系，則4.1,0),的,。),弓務(wù)

xV^I^/r(cosa,sina)

所以A8=(2,0),8C=(—g,#).

所以A88C=(2,0A(—L^)=2X(_L)+0X^=—1.

2222

【小問2詳解】

法一：因?yàn)?5ApMABIIAPIcosNPAB,|AB|=2,

所以要使最大，則需IAP|cosNPA5最大，而|AP|cosNPAB為AP在A8上的投影,

當(dāng)。與B重合時(shí)|AP|COS/B4Q最大，此時(shí)ABAP=|AB||AB|cosNPAB=2x2xl=4,

所以AbAP的最大值為4.

法二：設(shè)P(cosa,sina),aeR,