周世勛量子力學(xué)波函數(shù)與薛定諤方程省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

1第二章

波函數(shù)與薛定諤方程ThewavefunctionandSchr?dingerEquation第1頁2

2.1波函數(shù)統(tǒng)計解釋

TheWavefunctionanditsstatisticexplanation

2.2態(tài)疊加原理

Theprincipleofsuperposition

2.3薛定諤方程

TheSchr?dingerequation

2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律

Thecurrentdensityofparticlesandconservationlaws

2.5定態(tài)薛定諤方程

TimeindependentSchr?dingerequation

2.6一維無限深勢阱

Theinfinitepotentialwell

2.7線性諧振子

Thelinearharmonicoscillator

2.8勢壘貫通

Thetransmissionofpotentialbarrier學(xué)習(xí)內(nèi)容第2頁31.了解微觀粒子運動狀態(tài)描述波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋。2.經(jīng)過對試驗分析,了解態(tài)疊加原理。3.掌握微觀粒子運動動力學(xué)方程波函數(shù)隨時間演化規(guī)律Schr?dinger方程。4.掌握定態(tài)及其性質(zhì)。5.經(jīng)過對三個實例討論,掌握定態(tài)Schr?dinger方程求解。學(xué)習(xí)要求第3頁4

微觀粒子因含有波粒二象性，其運動狀態(tài)描述必有別于經(jīng)典力學(xué)對粒子運動狀態(tài)描述，即微觀粒子運動狀態(tài)不能用坐標、速度等物理量來描述。這就要求在描述微觀粒子運動時，要有創(chuàng)新概念和思想來統(tǒng)一波和粒子這么兩個在經(jīng)典物理中截然不一樣物理圖像?！?.1波函數(shù)統(tǒng)計解釋1．微觀粒子狀態(tài)描述微觀粒子運動狀態(tài)可用一個復(fù)函數(shù)來描述，函數(shù)—

稱為波函數(shù)?！?/p>

描述自由粒子波是含有確定能量和動量平面波★假如粒子處于隨時間和位置改變力場中運動，它動量和能量不再是常量（或不一樣時為常量）粒子狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜波描寫，普通記為：描寫粒子狀態(tài)波函數(shù)，它通常是一個復(fù)函數(shù)。第4頁5三個問題？(1)

是怎樣描述粒子狀態(tài)呢？(2)

怎樣表達波粒二象性？(3)

描寫是什么樣波呢？§2.1波函數(shù)統(tǒng)計解釋（續(xù)1）I0

1XP電子單縫衍射試驗2．波函數(shù)統(tǒng)計解釋電子源感光屏PPQQO電子小孔衍射試驗第5頁6▲兩種錯誤看法（1）波由粒子組成如水波，聲波，由物質(zhì)分子密度疏密改變而形成一個分布。這種看法與試驗矛盾，它不能解釋長時間單個電子衍射試驗。電子一個一個經(jīng)過小孔，但只要時間足夠長，底片上仍可展現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有現(xiàn)象，單個電子就含有波動性。實際上，正是因為單個電子含有波動性，才能了解氫原子（只含一個電子?。┲须娮舆\動穩(wěn)定性以及能量量子化這么一些量子現(xiàn)象。§2.1波函數(shù)統(tǒng)計解釋（續(xù)2）

波由粒子組成看法僅注意到了粒子性一面，而抹殺了粒子波動性一面，含有片面性。（2）粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子某種實際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布某種物質(zhì)波包。所以展現(xiàn)出干涉和衍射等波動現(xiàn)象。波包大小即電子大小，波包群速度即電子運動速度。第6頁7§2.1波函數(shù)統(tǒng)計解釋（續(xù)3）什么是波包？波包是各種波數(shù)（長）平面波迭加。平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關(guān)。假如粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義，與試驗事實相矛盾。

試驗上觀察到電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)。比如一個原子內(nèi)電子，其廣延不會超出原子大小≈1。

電子終究是什么東西呢？是粒子？還是波？

“

電子既不是粒子也不是波

”，既不是經(jīng)典粒子也不是經(jīng)典波，不過我們也能夠說，“

電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾統(tǒng)一。”這個波不再是經(jīng)典概念波，粒子也不是經(jīng)典概念中粒子。1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”屬性;2．有確定運動軌道，每一時刻有一定位置和速度。經(jīng)典概念中粒子意味著

第7頁81.實在物理量空間分布作周期性改變;2．干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。經(jīng)典概念中波意味著

（1）入射電子流強度小，開始顯示電子微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣;▲玻恩解釋：OPP電子源感光屏QQ衍射試驗事實：§2.1波函數(shù)統(tǒng)計解釋（續(xù)4）（2）入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣.波動觀點粒子觀點明紋處:電子波強

(x,y,z,t)

2大

電子出現(xiàn)概率大暗紋處:電子波強

(x,y,z,t)

2小電子出現(xiàn)概率小第8頁91926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)統(tǒng)計解釋：

波函數(shù)在空間中某一點強度（波函數(shù)模平方）與粒子在該點出現(xiàn)概率密度成百分比。

可見，波函數(shù)模平方與粒子時刻在處附近出現(xiàn)概率成正比?！?.1波函數(shù)統(tǒng)計解釋（續(xù)5）設(shè)粒子狀態(tài)由波函數(shù)描述，波強度是則微觀粒子在t時刻出現(xiàn)在處體積元dτ內(nèi)概率這表明描寫粒子波是幾率波(概率波),反應(yīng)微觀客體運動一個統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù)有時也稱為概率幅。按Born提出波函數(shù)統(tǒng)計解釋,粒子在空間中某一點處出現(xiàn)概率與粒子波函數(shù)在該點模平方成百分比第9頁10

（1）“微觀粒子運動狀態(tài)用波函數(shù)描述，描寫粒子波是概概波”，這是量子力學(xué)一個基本假設(shè)（基本原理）。

知道了描述微觀粒子狀態(tài)波函數(shù)，就可知道粒子在空間各點處出現(xiàn)概率，以后討論深入知道，波函數(shù)給出體系一切性質(zhì)，所以說波函數(shù)描寫體系量子狀態(tài)（簡稱狀態(tài)或態(tài)）（2）波函數(shù)普通用復(fù)函數(shù)表示。（3）波函數(shù)普通滿足連續(xù)性、有限性、單值性。必須注意

稱為幾率密度(概率密度)§2.1波函數(shù)統(tǒng)計解釋（續(xù)6）令3．波函數(shù)歸一化條件第10頁11和所描寫狀態(tài)相對概率是相同，這里

是常數(shù)。時刻，在空間任意兩點和處找到粒子相對概率是：可見，和描述是同一概率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性?！?.1波函數(shù)統(tǒng)計解釋（續(xù)7）非相對論量子力學(xué)僅研究低能粒子，實物粒子不會產(chǎn)生與湮滅。這么，對一個粒子而言，它在全空間出現(xiàn)概率等于一，所以粒子在空間各點出現(xiàn)概率只取決于波函數(shù)在空間各點強度相對百分比，而不取決于強度絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫粒子狀態(tài)不變，即和描述同一狀態(tài)這與經(jīng)典波截然不一樣。對于經(jīng)典波，當(dāng)波幅增大一倍（原來2倍）時，則對應(yīng)波動能量將為原來4倍，因而代表完全不一樣波動狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。第11頁12為消除波函數(shù)有任一常數(shù)因子這種不確定性，利用粒子在全空間出現(xiàn)概率等于一特征，提出波函數(shù)歸一化條件：§2.1波函數(shù)統(tǒng)計解釋（續(xù)8）又因其中稱為歸一化常數(shù)于是歸一化條件消除了波函數(shù)常數(shù)因子一個不確定性。滿足此條件波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)。第12頁13Ex.1

已知一維粒子狀態(tài)波函數(shù)為求歸一化波函數(shù)，粒子概率分布，粒子在何處出現(xiàn)概率最大。

歸一化常數(shù)

歸一化波函數(shù)解：(1).求歸一化波函數(shù)§2.1波函數(shù)統(tǒng)計解釋（續(xù)9）（2）概率分布：

（3）由概率密度極值條件

因為

故處，粒子出現(xiàn)概率最大。第13頁14注意（1）歸一化后波函數(shù)仍有一個模為一因子不定性（δ為實數(shù)）。若是歸一化波函數(shù)，那么也是歸一化波函數(shù)，與前者描述同一概率波。若對空間非絕對可積時，需用所謂δ函數(shù)歸一化方法進行歸一化。（2）只有當(dāng)概率密度對空間絕對可積時，才能按歸一化條件進行歸一化?！?.1波函數(shù)統(tǒng)計解釋（續(xù)10）第14頁平面波歸一化IDirac

—函數(shù)定義：或等價表示為：對在x=x0

鄰域連續(xù)任何函數(shù)f（x）有：

—函數(shù)亦可寫成Fourier積分形式：令k=px/

,dk=dpx/

,則性質(zhì)：0x0x第15頁16Solve：

歸一化常數(shù)★比如平面波歸一化問題

ex.2

已知平面波,求歸一化常數(shù)§2.1波函數(shù)統(tǒng)計解釋（續(xù)11）歸一化平面波：

利用歸一化條件第16頁17補充作業(yè)題1.以下一組波函數(shù)共描寫粒子幾個不一樣狀態(tài)?并指出每個狀態(tài)由哪幾個波函數(shù)描寫。2.已知以下兩個波函數(shù)試判斷:(1)波函數(shù)和是否描述同一狀態(tài)?(2)對取兩種情況,得到兩個波函數(shù)是否等價?第17頁18開1閉2，衍射花樣（蘭曲線）開2閉1，衍射花樣（紫紅曲線）同時開1，2，衍射花樣（黑曲線）實驗事實顯然§2.2態(tài)疊加原理1.電子雙縫衍射試驗

12

表明概率不恪守迭加標準，而波函數(shù)（概率幅）恪守迭加標準：第18頁19物理意義

當(dāng)兩個縫都開著時，電子既可能處于態(tài)，也可能處于態(tài)，也可處于和線性迭加態(tài)。可見，

若和是電子可能狀態(tài)，則也是電子可能狀態(tài)。

反言之，電子經(jīng)雙縫衍射后處于態(tài)，則電子部分地既可處于態(tài)，也可部分地處于態(tài)?！?.2態(tài)迭加原理（續(xù)1）迭加態(tài)概率:

干涉項電子穿過狹縫１出現(xiàn)在Ｐ點概率密度電子穿過狹縫２出現(xiàn)在Ｐ點概率密度

當(dāng)兩個縫幾何參數(shù)或電子束相對位置不完全對稱時，迭加態(tài),其概率為干涉項第19頁20

態(tài)迭加原理是量子力學(xué)一個基本假設(shè)，它正確性也依賴于試驗證實。

1.若是粒子可能狀態(tài)，則粒子也可處于它們線性迭加態(tài)2．態(tài)迭加原理§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)2）

2.當(dāng)體系處于態(tài)時，發(fā)覺體系處于態(tài)概率是，而且3．電子在晶體表面衍射，動量空間波函數(shù)

d電子沿垂直方向射到單晶表面，出射后將以各種不一樣動量運動，出射后電子為自由電子，其狀態(tài)波函數(shù)為平面波。第20頁21

電子從晶體表面出射后，既可能處于態(tài)，也可能處于、

等狀態(tài)，按態(tài)迭加原理，在晶體表面反射后，電子狀態(tài)可表示成

取各種可能值平面波線性疊加，即§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)3）考慮到電子動量能夠連續(xù)改變衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉結(jié)果第21頁22§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)4）而（2）（1）

即顯然,二式互為Fourer變換式,所以與一一對應(yīng),是同一量子態(tài)兩種不一樣描述方式。以坐標

為自變量波函數(shù)，坐標空間（坐標表象）波函數(shù)以動量為自變量波函數(shù)，動量空間（動量表象）波函數(shù)給出t時刻粒子處于位置處幾率密度

給出t時刻粒子動量為幾率密度二者描寫同一量子狀態(tài)若歸一化，則也是歸一化第22頁23§2.2態(tài)迭加原理（續(xù)5）Prove:此顯示出把平面波歸一化為函數(shù)目標一維情況下，與Fourer變換關(guān)系：若取t=0第23頁24§2.3薛定諤方程1．微觀粒子運動方程應(yīng)含有特點（1）含有波函數(shù)對時間一階導(dǎo)數(shù)（2）方程必為線性（3）質(zhì)量為非相對性粒子(即低速運動粒子),其總能為

本節(jié)研究量子力學(xué)動力學(xué)問題，建立量子力學(xué)動力學(xué)方程——Schr?dinger方程

2．自由粒子運動方程（2）

（1）

第24頁25又（3）將（1）和（2）式代入（3）式，得§2.3薛定諤方程（續(xù)1）（4）

滿足運動方程應(yīng)含有三個特點，此即為自由粒子基本運動方程——自由粒子Schr?dinger方程。討論經(jīng)過引出自由粒子波動方程過程能夠看出，假如將能量關(guān)系式E=p2/2μ寫成以下方程形式：即得自由粒子Schr?dinger方程（4）。再做算符替換：（5）稱為能量算符稱為動量算符第25頁263．勢場中運動粒子Schr?dinger方程設(shè)勢場中運動粒子狀態(tài)波函數(shù)為（6）

§2.3薛定諤方程（續(xù)2）用能量關(guān)系式乘以波函數(shù)

按（5）式，將能量和動量分別用能量算符和動量算符替換，即得Schr?dinger方程粒子哈密頓函數(shù)作動量算符替換第26頁27哈密頓函數(shù)4．多粒子體系Schr?dinger方程§2.3薛定諤方程（續(xù)3）則利用哈密頓算符，可將Schr?dinger方程（6）寫成另一形式（7）稱為哈密頓算符哈密頓算符

（8）Schr?dinger方程（9）第27頁28

（1）Schr?dinger作為一個基本假設(shè)提出來，它正確性已為非相對論量子力學(xué)在各方面應(yīng)用而得到證實。注意

（2）Schr?dinger方程在非相對論量子力學(xué)中地位與牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中地位相仿,只要給出粒子在初始時刻波函數(shù)，由方程即可求得粒子在以后任一時刻波函數(shù)?！?.3薛定諤方程（續(xù)4）第28頁29§2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律1．概率守恒定律由Schr?dinger方程

（1）則設(shè)是粒子狀態(tài)歸一化波函數(shù)取復(fù)共軛

討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)概率將怎樣隨時間改變代入（1）式后，有

（2）第29頁30令稱為概率流密度概率連續(xù)性方程（3）（2）

概率連續(xù)性方程與經(jīng)典電動力學(xué)中電荷守恒方程含有相同形式。（3）式對空間V作體積分§2.４粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（續(xù)1）(4)(4)式表明:粒子單位時間在內(nèi)出現(xiàn)概率增量等于單位時間內(nèi)流入內(nèi)概率(負號表示流入)。(4)式是概率守恒守律積分形式。第30頁31當(dāng)時(4)式即表明粒子總概率不變,即概率守恒。表明波函數(shù)歸一化不隨時間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未毀滅?！?.４粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（續(xù)２）(4)2．電荷守恒定律，粒子數(shù)守恒—電荷密度設(shè)粒子電荷為，質(zhì)量為—質(zhì)量密度—電流密度—質(zhì)量流密度—電荷守恒律——物質(zhì)守恒律第31頁323．波函數(shù)標準條件（1）依據(jù)Born統(tǒng)計解釋，是粒子在

時刻出現(xiàn)在點概率密度，這是一個確定數(shù)，所以要求應(yīng)是單值函數(shù)且有限。（2）依據(jù)粒子數(shù)守恒定律:此式右邊含有及其對坐標一階導(dǎo)數(shù)積分，因為積分區(qū)域是任意選取，所以是任意閉合面。要使積分有意義，必須在變數(shù)全部范圍，即空間任何一點都應(yīng)是有限、連續(xù)且其一階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。

概括之，波函數(shù)在全空間每一點應(yīng)滿足單值、有限、連續(xù)三個條件，該條件稱為波函數(shù)標準條件?！?.４粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（續(xù)3）第32頁33§2.5定態(tài)薛定諤方程1．定態(tài)，定態(tài)波函數(shù)（1）（2）若與無關(guān)，則能夠分離變量，令(2)代入(1)式，兩邊同除，得到（3）

等式兩邊是相互無關(guān)物理量，故應(yīng)等于與無關(guān)常數(shù)（4）（5）第33頁34（6）

(5)代入(2)式，得到令deBroglie能量式

可見分離變量中引入常數(shù)為粒子能量，當(dāng)粒子處于由波函數(shù)（6）所描述狀態(tài)時，粒子能量有確定值，這種狀態(tài)稱為定態(tài)；描述定態(tài)波函數(shù)（6）稱為定態(tài)波函數(shù)。定態(tài)波函數(shù)§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)1）2．定態(tài)Schr?dinger方程

當(dāng)粒子處于定態(tài)中時，含有確定能量，其空間波函數(shù)由方程（3），即由 在給定定解條件下求出，方程（7）稱為定態(tài)Schr?dinger方程。

（7）第34頁35§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)2）3.Hamilton算符和能量本征值方程（8）（9）這兩個方程都是以一個算符作用在定態(tài)波函數(shù)上，得出定態(tài)能量乘以該定態(tài)波函數(shù)，所以算符（10）均稱為能量算符（11）利用哈密頓算符(能量算符)可將方程(9)和定態(tài)Schr?dinger方程(7)和分別寫成第35頁36§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)3）（12）

（13）

和兩式均稱為哈密頓算符(能量算符)本征方程

本征函數(shù)能量本征值

為本征波函數(shù)

當(dāng)體系處于能量本征波函數(shù)所描寫狀態(tài)(又稱本征態(tài))中時，粒子能量有確定值。

討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有定態(tài)波函數(shù)及這些態(tài)中能量

；解能量算符本征方程（12）求定態(tài)波函數(shù)問題又歸結(jié)為解定態(tài)Schr?dinger方程+定解條件組成本征值問題:

定解條件本征能量值譜：本征函數(shù)系：第36頁37§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)4）本征波函數(shù)任意狀態(tài)

4.求解定態(tài)問題步驟（1）列出定態(tài)Schrodinger方程（2）依據(jù)波函數(shù)三個標準條件求解能量本征值問題，得：本征函數(shù)本征能量（4）經(jīng)過歸一化確定歸一化系數(shù)（3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對應(yīng)第個本征值

定態(tài)波函數(shù)第37頁38與無關(guān)5．定態(tài)性質(zhì)（2）概率流密度與時間無關(guān)（1）粒子在空間概率密度與時間無關(guān)與無關(guān)判別定態(tài)方法：§2.5定態(tài)薛定諤方程（續(xù)5）（1）能量是否為確定值（2）概率與時間無關(guān)（3）概率流密度與時間無關(guān)第38頁391.以下波函數(shù)所描述狀態(tài)是否為定態(tài)？為何？（1）

（2）

（3）

思索題

2.假如一個粒子只有兩個可能位置,在量子力學(xué)中其波函數(shù)怎樣?意義又怎樣?√第39頁40§2.6一維無限深勢阱在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用Schrodinger方程來處理一類簡單問題——一維定態(tài)問題（一維無限深勢阱，線性諧振子，勢壘貫通）。（1）有利于詳細了解已學(xué)過基本原理；（2）有利于深入說明其它基本原理；（3）處理一維問題，數(shù)學(xué)簡單，從而能對結(jié)果進行細致討論，量子體系許多特征都能夠在這些一維問題中展現(xiàn)出來；

（4）一維問題還是處理各種復(fù)雜問題基礎(chǔ)。其好處主要有四：考慮一維粒子運動，其勢能為:-aa0U(x)第40頁411．定態(tài)Schr?dinger方程哈密頓算符§2.6一維無限深勢阱（續(xù)1）(1)(2)2．定態(tài)Schr?dinger方程解因及有限，由（2）

（3）從物理考慮，粒子不能透過無窮高勢壁。令（4）（1）第41頁42§2.6一維無限深勢阱（續(xù)2）其通解為：（5）

利用連續(xù)性，由（3）和（5）得當(dāng)，有（n為偶數(shù)）

(6)當(dāng)，有（n為奇數(shù)）

(7)(6)和(7)兩式統(tǒng)一寫成（8）本征能量：（9）第42頁43本征函數(shù)§2.6一維無限深勢阱（續(xù)3）（10）

為偶數(shù)（11）

為奇數(shù)(10)和(11)兩式統(tǒng)一寫成由歸一化條件求得歸一化常數(shù)第43頁44推導(dǎo):（取實數(shù)）§2.6一維無限深勢阱（續(xù)4）（12）歸一化本征函數(shù)or

由此可見：粒子每個定態(tài)波函數(shù)是由兩個沿相反方向傳輸平面波疊加而成駐波。3．粒子定態(tài)波函數(shù)第44頁454．概率幅與概率密度曲線圖§2.6一維無限深勢阱（續(xù)5）對于不一樣量子數(shù)，在阱內(nèi)某一特定點，粒子出現(xiàn)概率是不一樣。波函數(shù)與橫軸相交次數(shù)（不含兩端）稱為節(jié)點數(shù)，顯然為n-1第45頁465.宇稱空間反射：空間矢量反向操作。稱波函數(shù)含有正宇稱（或偶宇稱）稱波函數(shù)含有負宇稱（或奇宇稱）（3）在空間反射下，假如則稱波函數(shù)沒有確定宇稱。（1）在空間反射下，假如有：

則稱波函數(shù)有確定宇稱?！?.6一維無限深勢阱（續(xù)6）第46頁47討論基態(tài)能量§2.6一維無限深勢阱（續(xù)7）（2）能量取分離譜，即能量是量子化。(3)粒子能量最低態(tài)稱為基態(tài)與經(jīng)典最低能量為零不一樣，這是微觀粒子波動性表現(xiàn)，因為“靜止波”是沒有意義，亦即

態(tài)不存在，無意義。（1）束縛態(tài)——通常將在無窮遠處為零波函數(shù)所描寫狀態(tài)稱為束縛態(tài)。（4）當(dāng)為偶數(shù)時，，即含有負宇稱（奇宇稱）。當(dāng)為奇數(shù)時，，即含有正宇稱（偶宇稱)。本征函數(shù)含有確定宇稱是由勢能對原點對稱：而造成。第47頁48§2.7線性諧振子

在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為粒子，受彈性力作用，由牛頓第二定律能夠?qū)懗鲞\動方程為：其解為。這種運動稱為簡諧振動，作這種運動粒子稱為（線性）諧振子。經(jīng)典允許振動范圍諧振子在運動中能量守恒。其能量是振幅連續(xù)函數(shù)。1.經(jīng)典諧振子諧振子哈密頓量：引言諧振子能量：第48頁49

量子力學(xué)中線性諧振子是指在勢場中運動質(zhì)量為粒子

2.量子諧振子比如雙原子分子，兩原子間勢是二者相對距離函數(shù)，如圖所表示。自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近小振動，比如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場振動等往往都能夠分解成若干彼此獨立一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為復(fù)雜運動初步近似，所以簡諧振動研究，不論在理論上還是在應(yīng)用上都是很主要?！?.7線性諧振子（續(xù)1）第49頁50在處，有一極小值。在附近，勢能夠展開成泰勒級數(shù)：axV(x)0V0記若取，即平衡位置處于勢點；并記，則§2.7線性諧振子（續(xù)2）第50頁51Hamiltonoperator定態(tài)Schr?dinger方程：

1.Schr?dinger方程（1）改寫成令

（為待定常數(shù)）（2）

（3）

§2.7線性諧振子（續(xù)3）于是方程（2）可寫成（4）

第51頁522.方程求解當(dāng)時，方程（4）漸近形式為

（5）

方程（5）在處有限解為

令方程（4）解

（6）

代入方程（4）可得滿足微分方程

§2.7線性諧振子（續(xù)4）（稱為厄密方程）(7)(8)用常微分方程冪級數(shù)解法求厄密方程（7）滿足有限性條件（8）有限解，可得厄密方程本征值問題本征值：(9)第52頁53§2.7線性諧振子（續(xù)4）第53頁54本征函數(shù):稱為厄密多項式§2.7線性諧振子（續(xù)5）厄密多項式微分形式幾個厄密多項式：滿足遞推公式第54頁55由歸一化條件(10)并利用積分公式：

求得歸一化常數(shù)(11)3.線性諧振子能量本征函數(shù)(12)歸一化本征函數(shù)§2.7線性諧振子（續(xù)6）第55頁56本征波函數(shù)(13)4.線性諧振子本征能量由(2)和(9)式,即由和得本征能量:

(14)§2.7線性諧振子（續(xù)7）第56頁571能量本征值：

（1）能量譜為分離譜，兩能級間隔為

（2）對應(yīng)一個諧振子能級只有一個本征函數(shù)，即一個狀態(tài)，所以能級是非簡并，每個能級簡并度為1（一能級對應(yīng)量子態(tài)數(shù)稱為該能級簡并度）（3）基態(tài)能量：（又稱零點能）

零點能不等于零是量子力學(xué)中特有，是微觀粒子波粒二相性表現(xiàn)，能量為零“靜止”波是沒有意義，零點能是量子效應(yīng)，已被絕對零點情況下電子晶體散射試驗所證實。討論§2.7線性諧振子（續(xù)8）第57頁58基態(tài)能量：基態(tài)本征函數(shù)：2.基態(tài)在處勢能：在范圍內(nèi)動能由概率密度看出,粒子在處出現(xiàn)概率最大；在范圍內(nèi)，粒子出現(xiàn)幾率不為零。對其它各能級狀態(tài)下波函數(shù)可作類似分析。

§2.7線性諧振子（續(xù)9）第58頁59

在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在范圍中運動。這是因為振子在處，其勢能，即勢能等于總能量，動能為零，經(jīng)典粒子動能不能夠小于零，所以粒子被限制在

可見，量子與經(jīng)典情況完全不一樣。3.含有宇稱§2.7線性諧振子（續(xù)10）

上式諧振子波函數(shù)所包含是偶函數(shù)，所以宇稱由厄密多項式宇稱決定。因為最高次項是。當(dāng)偶數(shù)，則厄密多項式只含ξ偶次項(偶宇稱)；當(dāng)奇數(shù)，則厄密多項式只含ξ奇次項(奇宇稱)。所以,含有宇稱第59頁604．本征函數(shù)與概率密度§2.7線性諧振子（續(xù)11）線性諧振子波函數(shù)線性諧振子位置概率密度第60頁61§2.7線性諧振子（續(xù)12）線性諧振子n=11時概率密度分布虛線代表經(jīng)典結(jié)果：經(jīng)典諧振子在原點速度最大，停留時間短粒子出現(xiàn)概率?。辉趦啥怂俣葹榱?，出現(xiàn)概率最大。

從以上本征函數(shù)與概率密度曲線圖看出，量子力學(xué)諧振子波函數(shù)ψn有n個節(jié)點，在節(jié)點處找到粒子概率為零。而經(jīng)典力學(xué)諧振子在[-a,a]區(qū)間每一點上都能找到粒子，沒有節(jié)點。第61頁62xn很大EnE1E2E00V(x)§2.7線性諧振子（續(xù)13）概率分布特點:E<V區(qū)有隧道效應(yīng)第62頁63勢壘貫通是能量為E粒子入射被勢場散射問題§2.8勢壘貫通IIIIII其結(jié)果是：部分波反射（Reflecting）部分波透射（Transmitting）1.定態(tài)薛定諤方程第63頁64（1）E>U0情形令

§2.8勢壘貫通續(xù)1則有分區(qū)取解ⅠⅡⅢ2.方程求解向右傳輸入射平面波向左傳輸反射平面波由左向右透射波因Ⅲ區(qū)無由右向左傳輸平面波，故三式均為兩個左右傳輸平面波疊加第64頁65

可得透射波振幅及反射波振幅與入射波振幅間關(guān)系聯(lián)立這四個方程式，消除與由波函數(shù)連續(xù)性條件

（4）§2.8勢壘貫通續(xù)2第65頁66經(jīng)過前兩式可得經(jīng)過后兩式可得聯(lián)合上兩組式子可得兩式左右兩端分別相比第66頁67整理得將代入第67頁68第68頁69（5）利用概率流密度公式:求得入射波概率流密度

透射波概率流密度

反射波概率流密度

§2.8勢壘貫通續(xù)3第69頁70

為了定量描述入射粒子透射勢壘概率和被勢壘反射概率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。3.透射系數(shù)和反射系數(shù)透射系數(shù)（6）反射系數(shù)（7）以上二式說明入射粒子一部分貫通勢壘到III區(qū)域，另一部分則被勢壘反射回來。表明粒子數(shù)守恒§2.8勢壘貫通續(xù)4第70頁71（2）E<U0情形

是虛數(shù)令是實數(shù)其中在(4)和(6)式中，把換為

，得到透射波振幅:（8）§2.8勢壘貫通續(xù)5IIIIII第71頁72透射系數(shù):（9）隧道效應(yīng)（tunneleffect）粒子能夠穿透比它動能更高勢壘現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng).它是粒子含有波動性生動表現(xiàn)。當(dāng)然，這種現(xiàn)象只在一定條件下才比較顯著。右圖給出了勢壘穿透波動圖象。此結(jié)果表明，即使，透射系數(shù)普通不等于零?！?.8勢壘貫通續(xù)6IIIIII第72頁73當(dāng)很小，或，而

又不太小時，有，則討論于是（10）式(9)化成1.低能粒子穿透因與

同數(shù)量級，則

故4可忽略§2.8勢壘貫通續(xù)7表明

隨壘寬

和壘高

增大而成指數(shù)減小。第73頁74

2.任意形狀勢壘可把任意形狀勢壘分割成許多小勢壘，這些小勢壘可以近似用方勢壘處理。對每一小方勢壘透射系數(shù)E0abV(x)§2.8勢壘貫通續(xù)8則貫通整