數系的擴充和復數的概念 高一下數學人教A版（2019）必修2

人教A版高中數學必修第二冊數系的擴充和復數的概念廣信數學組引入我們知道，對于實系數一元二次方程ax2+bx+c=0，當△=b2-4ac<0時沒有實數根.因此，在研究代數方程的過程中，如果限于實數集，有些問題就無法解決.事實上，數學家在研究解方程問題時早就遇到了負實數的開平方問題，但他們一直在回避.到16世紀，數學家在研究實系數一元三次方程的求根公式時，再也無法回避這個問題了，于是開始嘗試解決.在解決這個問題的過程中，數學家們遇到了許多困擾，例如負實數到底能不能開平方?如何開平方?負實數開平方的意義是什么?等等.

本章我們將體會數學家排除這些困擾的思想，通過解方程等具體問題，感受引入復數的必要性，了解從實數系到復數系的擴充過程和方法，研究復數的表示、運算及其幾何意義，體會“數”與“形”的融合，感受人類理性思維在數系擴充中的作用.

情境引入問題：你知道數系是怎樣擴充的嗎？數系的每一次擴充又解決了哪些問題？情境引入自然數集整數集有理數集實數集刻畫相反意義的量引入了負數解決測量等分問題引入了分數解決度量正方體對角線等問題引入了無理數自然數負整數整數無理數有理數分數實數

從社會實踐來看隨著社會發(fā)展，數系在不斷擴充．計數的需要引入了自然數課堂引入自然數集整數集有理數集實數集刻畫相反意義的量引入了負數解決測量等分問題引入了分數解決度量正方形對角線等問題引入了無理數

從社會實踐來看隨著社會發(fā)展，數系在不斷擴充．數系的每一次擴充都是為了滿足社會生產實踐的需要計數的需要引入了自然數情境引入另一方面，數集的每次擴充都是為了解決數學內部的矛盾。從數學發(fā)展的角度來看（2）在整數集中求方程2x-1=0的解；自然數集N整數集Z有理數集Q實數集R無解有解無解有解有解無解（3）在有理數集中求x2-2=0方程的解；

（4）在實數集中求x2+1=0方程的解．無解有解？引入新數（1）在自然集中求方程x+1=0的解；情境引入為了解決這樣的方程在實數系中無解的問題,我們設想引入一個新數i,使得x=i是方程的解,即使得i2=-1.i是數學家歐拉最早引入的，它取自imaginary(想象的，假想的)一詞的詞頭，i2=i·i.（1）i2=-1；（2）實數可以與

i

進行四則運算，在進行四則運算時，原有的加法與乘法的運算律(包括交換律、結合律和分配律)仍然成立。如果沒有運算，數只是孤立的符號！數系擴充規(guī)則：數集擴充后，新數集中規(guī)定的加法和乘法運算，與原數集中規(guī)定的加法和乘法運算協(xié)調一致，并且加法和乘法都滿足交換律和結合律，乘法對加法滿足分配律．探究新知探究新知問題4：把實數系擴充之后，得到的新數系由哪些數組成呢？思考：你能否寫出一個代數形式，把剛剛的數都包含在內？實數a把實數b與i相乘，結果記作bi把實數a與bi相加，結果記作a+bi例如：2i，-3i，例如：2+i，1-3i，a+0i0+bi所有實數以及i都可寫成a+bi(a,b∈R)的形式實部虛部1、復數的概念(1)形如的數叫做復數,通常用字母

z

表示.

i

叫虛數單位

(2)全體復數所形成的集合叫做復數集，一般用C

表示.探究新知復數的代數表示虛數純虛數實數例1：指出復數的實部與虛部。

課堂典例問題4：復數

什么情況數下為實數？虛數集純虛數集實數集復數集問題5：實數集R與擴充后復數集C是什么關系呢？復數z=a+bi問題6：你能對復數a+bi(a，b∈R)進行分類，并用韋恩圖表示它們之間的關系嗎？

探究新知2、復數的分類

課堂典例(2)當，即時，復數z是虛數．例2實數m取什么值時，復數是(1)實數？(2)虛數？(3)純虛數？解：(1)當，即時，復數z是實數．(3)當，且，即時，復數z是純虛數．

(1)是虛數；(2)是純虛數.

探究新知3、復數相等復數只有相等與不相等，沒有大小關系；如果兩復數比較大小，那么這兩復數一定為實數。規(guī)定：問題7:

實數可以比較大小，復數可以比大小嗎？若a+bi=3+2i則a=b=

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課堂典例例3：求適合下列方程的實數x與y的值:（1）

說明:實數問題復數問題轉化

課堂練習2.如果(m2-1)+(m2-2m)i>0,求實數m的值.練習：1.若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求實數x，y的值.通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？試從知識、方法、數學思想、經驗等方面談談．

數系的擴充課堂小結通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？試從知識、方法、數學思想、經驗等方面談談．

數系的擴充課堂小結虛數有理數Q整數Z自然數N實數R負整數分數無理數復數C通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？試從知識、方法、數學思想、經驗等方面談談．

數系的擴充復數的基本概念兩個復數相等的含義復數的分類……實數系擴充到復數系運用了類比的研究方法.解決復數相等問題運用了轉化的數學思想.方