江蘇省常州市聯(lián)盟學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月階段調(diào)研考試數(shù)學(xué)

常州市聯(lián)盟學(xué)校2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期階段調(diào)研高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間120分鐘滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.若，，則等于（）A. B.C. D.2.若，，夾角為120?，則等于（）.A. B.6 C. D.3.已知向量，，那么向量可以是（）A. B. C. D.4.是平行四邊形外一點(diǎn)，用、、表示，正確表示為（）A. B.C. D.5.有關(guān)平面向量的說(shuō)法，下列正確的是（）A.若，，則 B.若與共線且模長(zhǎng)相等，則C若且與方向相同，則 D.恒成立6.（）A.1 B. C.3 D.7.已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱為“趙爽弦圖”.他用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的證明，極富創(chuàng)新意識(shí).“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如圖，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則（）A.9 B. C.12 D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小值為1B.若，則C.若，與垂直的單位向量只能為D.若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為10.下列化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（）A B.C. D.11.在中，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則是等腰三角形B.若，，則為等邊三角形C.若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，則的面積是面積的D.若分別是邊中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，設(shè)，則的值為_(kāi)__________.13.圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國(guó)人所崇尚的圖騰.如圖所示的是一個(gè)圓形，圓心為O，A，B是圓O上的兩點(diǎn)，若，則________________.14.我國(guó)人臉識(shí)別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)檢測(cè)樣本之間的相似度，余弦距離是檢測(cè)相似度的常用方法．假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，余弦相似度為向量，夾角的余弦值，記作，余弦距離為．已知，，，若P，Q的余弦距離為，Q，R的余弦距離為，且，則__________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知是平面上兩個(gè)不共線的向量且（1）若方向相反，求的值；（2）若三點(diǎn)共線，求的值.16已知，，，求：（1）；（2）與的夾角．17.（1）已知，，且及，求的值；（2）若，，求的值.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，.（1）若，，求的值；（2）若與的夾角為且，求的值.19.在直角梯形中，已知，，，動(dòng)點(diǎn)、分別在線段和上，且，．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）求向量的夾角；（3）求的取值范圍．常州市聯(lián)盟學(xué)校2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期階段調(diào)研高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間120分鐘滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.若，，則等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直接求解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選:D.2.若，，的夾角為120?，則等于（）.A. B.6 C. D.【答案】A【解析】【分析】由數(shù)量積公式求解.【詳解】.故選：A3.已知向量，，那么向量可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的充要條件計(jì)算即可判斷.【詳解】向量，，則存在，使得故只有向量符合.故選：A.4.是平行四邊形外一點(diǎn)，用、、表示，正確的表示為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，則為、的中點(diǎn)，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出，即可得解.【詳解】設(shè)，則為、的中點(diǎn)，如下圖所示：所以，，同理可得，所以，，因此，.故選：C.5.有關(guān)平面向量說(shuō)法，下列正確的是（）A.若，，則 B.若與共線且模長(zhǎng)相等，則C.若且與方向相同，則 D.恒成立【答案】D【解析】【分析】根據(jù)零向量與共線向量的定義判斷A，根據(jù)相等向量的定義判斷B，根據(jù)向量的定義判斷C，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷D.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)，，，滿足，，但是與不一定共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若與共線且模長(zhǎng)相等，則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律可知恒成立，故D正確.故選：D6.（）A.1 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由利用兩角和的正切公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B7.已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)中點(diǎn)為，確定，為正三角形，再計(jì)算向量的投影得到答案.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，則，即，故邊為圓的直徑，則，又，則為正三角形，則有，向量在向量上的投影向量，故選：A8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱為“趙爽弦圖”.他用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的證明，極富創(chuàng)新意識(shí).“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如圖，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則（）A.9 B. C.12 D.【答案】B【解析】【分析】先由勾股定理求出，再由向量數(shù)量積的定義式求出乘積即可.【詳解】由題意可知，，設(shè)，由勾股定理可得，解得，所以，所以，故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小值為1B.若，則C.若，與垂直單位向量只能為D.若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為【答案】AB【解析】【分析】對(duì)A：根據(jù)模的運(yùn)算公式代入計(jì)算，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可判斷；對(duì)B：利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)即可判斷；對(duì)C：舉反例即可判斷；對(duì)D:根據(jù)向量夾角是鈍角，得到且向量與向量不反向共線，即可判斷．【詳解】對(duì)A：，則當(dāng)時(shí)，取最小值1，故A正確；對(duì)B：若，則，解得，故B正確；對(duì)C：若,易知也是垂直單位向量，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：若與的夾角為鈍角，則,，且向量與向量不反向共線，即，解得且，故D錯(cuò)誤；故選：AB．10.下列化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用和（差）角公式計(jì)算可得.【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D正確.故選：BCD11.在中，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則是等腰三角形B.若，，則為等邊三角形C.若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，則的面積是面積的D.若分別是邊中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】由單位向量，向量垂直判斷A,由夾角公式及模長(zhǎng)判斷B,由平面向量基本定理確定M位置判斷C,由三點(diǎn)共線及平面向量基本定理將表示為t的二次函數(shù)求最大值判斷D.【詳解】對(duì)A,分別表示與同向的單位向量，由平面向量加法可知：為的平分線表示的向量，由，可得的平分線與垂直，故是等腰三角形，故A正確；對(duì)B,由題意，,則，，故，又，則，即，故為等邊三角形，故B正確；對(duì)C,若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，設(shè)，則，即，結(jié)合，知，則點(diǎn)是邊上的靠近B的三等分點(diǎn)，則的面積是面積的，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，如圖所示：因?yàn)樵谏?，即，，三點(diǎn)共線，設(shè)，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則，，令，時(shí)，取得最大值為．故D正確．故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用三點(diǎn)共線及平面向量基本定理表示為t的二次函數(shù)解決D選項(xiàng).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，設(shè)，則的值為_(kāi)__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，則，又因?yàn)?，所?故答案為：.13.圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國(guó)人所崇尚的圖騰.如圖所示的是一個(gè)圓形，圓心為O，A，B是圓O上的兩點(diǎn)，若，則________________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意，利用數(shù)量積公式直接計(jì)算即可．【詳解】依題意，，則．故答案為：2．14.我國(guó)人臉識(shí)別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)檢測(cè)樣本之間的相似度，余弦距離是檢測(cè)相似度的常用方法．假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，余弦相似度為向量，夾角的余弦值，記作，余弦距離為．已知，，，若P，Q的余弦距離為，Q，R的余弦距離為，且，則__________.【答案】【解析】【分析】利用新定義得到關(guān)于，的方程，進(jìn)而求得，，再利用基本關(guān)系式求得，從而利用整體法與余弦函數(shù)的和差公式即可得解.【詳解】，，所以，所以，同理可得,，所以，解得，，因?yàn)?，所以，，所以，，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問(wèn)題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知是平面上兩個(gè)不共線的向量且（1）若方向相反，求的值；（2）若三點(diǎn)共線，求的值.【答案】（1）2；（2）或【解析】【分析】（1）由得，再由向量相等可得答案；（2）由題意知，即，再由向量相等可得答案.【詳解】（1）由題意知，，則存在，使得，即，從而，得，或，又方向相反，則（2）由題意知，，由三點(diǎn)共線得，，存在，使得，即，從而，得或，所以或.16.已知，，，求：（1）；（2）與的夾角．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律和模長(zhǎng)公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律和夾角公式運(yùn)算求解.小問(wèn)1詳解】由已知，則，可得，則，所以【小問(wèn)2詳解】設(shè)與的夾角為，則，且，所以與的夾角為．17.（1）已知，，且及，求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由平方關(guān)系求出，再利用兩角和的正弦公式代入求解；（2）將兩式平方相加并利用平方關(guān)系和兩角差的余弦化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】（1）已知，，且及，所以，，所以又及，所以，故；（2）由，，得，，相加得，即，所以.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，.（1）若，，求的值；（2）若與的夾角為且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知向量的坐標(biāo)結(jié)合向量垂直列式求得，再利用兩角差的正切求值；（2）直接利用數(shù)量積求夾角公式及輔助角公式可得，求得的值，則的值可求．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，且，所以，，所以，故；【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以，，，因?yàn)榕c的夾角為，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?19.在直角梯形中，已知，，，動(dòng)點(diǎn)、分別在線段和上，且，．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）求向量的夾角；（3）求的取值范圍．【答案】（1）（2