協(xié)方差完整版本

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一、協(xié)方差的概念與性質(zhì)

二、相關(guān)系數(shù)的意義與性質(zhì)

三、協(xié)方差矩陣§3.3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差一、協(xié)方差的概念與性質(zhì)1.

問題的提出若隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立,那么若隨機(jī)變量X和Y不相互獨(dú)立,2.協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義定義3.7(X,Y)是二維隨機(jī)變量,量稱為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差,記為cov(X,Y),即而稱為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)．注1

X和Y的相關(guān)系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量又稱為標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差,是個(gè)無量綱的量.2

若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立

E[X

E(X)]E[Y

E(Y)]3

cov(X,X)

D(X).

0.的協(xié)方差.3、協(xié)方差的計(jì)算公式證(1)cov(X,Y)

E(XY)

E(X)E(Y);(2)D(X

Y)

D(X)

D(Y)

2cov(X,Y).(1)cov(X,Y)

E{

X

E(X)][Y

E(Y)}

E[XY

XE(Y)

YE(X)

E(X)E(Y)]

E(XY)

2E(X)E(Y)

E(X)E(Y)

E(XY)

E(X)E(Y).(2)D(X

Y)4、協(xié)方差的性質(zhì)性質(zhì)3.11性質(zhì)3.12性質(zhì)3.13性質(zhì)3.14性質(zhì)3.15cov(X,Y)

cov(Y,X).cov(X,Y)

E(XY)

E(X)E(Y).cov(aX,bY)

abcov(X,Y),a,b為常數(shù)．cov(X1+X2,Y)

cov(X1,Y)

cov(X2,Y).若X與Y獨(dú)立,則cov(X,Y)

0.性質(zhì)3.16D(X

Y)

D(X)

D(Y)

2cov(X,Y).推廣解設(shè)隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)為0.5,例1例2解相關(guān)系數(shù).由

X與Y的相關(guān)系數(shù);(證明見P46例2.12)注1

二維正態(tài)分布密度函數(shù)中,參數(shù)代表了2

對(duì)于二維隨機(jī)變量

X,Y,二、相關(guān)系數(shù)的意義與性質(zhì)1.

問題的提出

問a,b應(yīng)如何選擇,可使得隨機(jī)變量a

bX最接近隨機(jī)變量Y?接近的程度又如何來衡量?分析解之得2.相關(guān)系數(shù)的意義定義3.8

聯(lián)系較緊密．設(shè)隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)例3解X與Y不相關(guān);因此,X與Y不獨(dú)立.存在線性關(guān)系.由可知:

3.獨(dú)立與不相關(guān)的關(guān)系(1)不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系(性質(zhì)3.19)相互獨(dú)立不相關(guān)(2)不相關(guān)的充要條件例4A

不相關(guān)的充分條件,但不是必要條件B

獨(dú)立的充分條件,但不是必要條件C

不相關(guān)的充分必要條件D

獨(dú)立的充分必要條件顯然應(yīng)該選擇C.

隨機(jī)變量X與Y的方差存在且不等于0,則D(X

Y)

D(X)

D(Y)是X和Y

.(考研試題)解例5A

不獨(dú)立B獨(dú)立C不相關(guān)D

相關(guān)所以X與Y不相關(guān).解設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布,記U

X

Y,V

X

Y,則隨機(jī)變量U與V必然().X與Y同分布4、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)3.17證則即設(shè)隨機(jī)變量性質(zhì)3.18證

(

)因而因而其中

(

)(數(shù)學(xué)期望定義)性質(zhì)3.19若X與Y相互獨(dú)立,則X與Y不相關(guān),反之不真.三、協(xié)方差矩陣1.

n維隨機(jī)變量協(xié)方差矩陣設(shè)n維隨機(jī)變量的二階混合中心矩,都存在,則稱矩陣為n維隨機(jī)變量的協(xié)方差陣.2.二維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣其中注10

由于cij=

cji協(xié)方差矩陣為對(duì)稱的非負(fù)定矩陣.注20

協(xié)方差矩陣的應(yīng)用.由于引入矩陣由此可得由于內(nèi)容小結(jié)1.

協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義相關(guān)系數(shù).X與Y的協(xié)方差,2.相關(guān)系數(shù)的意義聯(lián)系較緊密.再見例1-1設(shè)X與Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,且D

X

1,D

Y

3,cov

X,Y

0.3,求方差D

X

Y

與D2X3Y.備用題解例1-2設(shè)隨機(jī)變量X和Y均服從參數(shù)

1/2U2X,V

X

Y,求U與V的協(xié)方差cov

U,V.的指數(shù)分布,令函數(shù)解由隨機(jī)變量X和Y均服從參數(shù)

1/2的指數(shù)分布,則而D

X

4,D

Y

4.

設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量

X,Y

的聯(lián)合密度函數(shù)為試計(jì)算D

2X

3Y

8

.解由性質(zhì)3.16得D

2X

3Y

8

D

2X

D

3Y2cov2X,3Y

4D

X9D

Y12covX,Y

例2-1為了計(jì)算上述方差和協(xié)方差,需要先計(jì)算E

X,E

X2,E

Y,E

Y2

和E

XY.為此,先計(jì)算X和Y的邊緣分布.由此計(jì)算得于是可得協(xié)方差代回原式,可得D

2X

3Y

8

設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量

X,Y

的聯(lián)合密度函數(shù)為解例2-2

由協(xié)方差公式得求Z的數(shù)學(xué)期望和方差;(2)求X與Z的相關(guān)系數(shù);解例2-3例2-4解例4-1設(shè)隨機(jī)變量X,Y有方差,求證:隨機(jī)變量U

X

Y與V

X

Y不相關(guān)的充分必要條件為D

X

D

Y.解因?yàn)橐虼?cov

U,V0的充要條件是D

X

D

Y.例4-1例4-2設(shè)擲三次均勻硬幣,隨機(jī)變量X表示出現(xiàn)的正面次數(shù),Y表示正面次數(shù)與反面次數(shù)的差的絕對(duì)值,(1)X與Y是否不相關(guān)?(2)X與Y是否相互獨(dú)立?解計(jì)算概率,得聯(lián)合分布律YX0123