2023-2024學(xué)年四川省達州外國語學(xué)校高二（上）9月月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省達州外國語學(xué)校高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月

份）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.在空間直角坐標(biāo)系。―xyz中，已知點M是點N（3,4,5）在坐標(biāo)平面。xy內(nèi)的射影,則點M的坐標(biāo)是（）

A.(3,0,5)B.(0,4,5)C.(3,4,0)D.(0,0,5)

2.一幾何體的直觀圖和主視圖如圖所示，下列給出的四個俯視圖中正確的是（

正（主）視圖

3.如圖所示，梯形AB'C'D'是平面圖形力BCD用斜二測畫法畫出的圖形，A'D'=

2B'C'=2,=則平面圖形4BCD的面積為（）

X'

A.2B.2V-2C.3D.3V-2

4.如圖，如圖，G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示GH,MN是異面直線的圖形

的序號為（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

5.下列說法正確的是（）

A.如果直線］不平行于平面a,那么平面a內(nèi)不存在與/平行的直線

B.如果直線”/平面a,平面a〃平面?，那么直線〃/平面0

C.如果直線/與平面a相交，平面a〃平面.，那么直線/與平面0也相交

D.如果平面al平面y,平面0，平面y,那么平面a〃平面￡

6.已知正三棱臺的上、下底面的棱長分別為3和6,側(cè)棱長為2,則該正三棱臺的體積為（）

A19GB21cc19G口21口

'2'2'4'4

7.如圖，球面上有4、B、C三點，Z.ABC=90°,B4=BC=3,球心。到平面ABC的

距離是|「，則球體的體積是（）

A.727r

B.367r

C.187r

D.871

8.如圖正方體的棱長為1,線段反以上有兩個動點E,尸且EF=好，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.4C與BE所成角為45。B.三棱錐A-BEF的體積為定值

C.EF〃平面ABCDD.二面角4-EF-B是定值

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.以下各角中可能為鈍角的有（）

A.異面直線所成角B,直線和平面所成角C.二面角的平面角D.兩個向量形

成的角

10.諫戀花?春景》是北宋大文豪蘇軾所寫的一首詞作，其下闋為：“墻里秋千墻

外道，墻外行人，墻里佳人笑，笑漸不聞聲漸悄，多情卻被無情惱”.如圖所示，假

如將墻看做一個平面，墻外的道路、秋千繩、秋千板簡單看做是直線.那么道路和墻

面線面平行，秋千靜止時，秋千板與墻面線面垂直，秋千繩與墻面線面平行,那么當(dāng)

佳人在蕩秋千的過程中（）

A.秋千繩與墻面始終平行

B.秋千繩與道路始終垂直

C.秋千板與墻面始終垂直

D.秋千板與道路始終垂直

11.如圖，已知二面角A-BD—C的大小為aG,H分別是BC,CD的中點，E,F分

別在AD,上，煞=*=：,且ZC1平面BCD,則以下說法正確的是（）

ADAD6

A.E,F,G,，四點共面

B.FG〃平面ADC

C.若直線FG,HE交于點P,則P,A,C三點共線

D.若△ABD的面積為6,則△BCD的面積為3

12.優(yōu)章算術(shù)/中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉席，如圖,

在鱉膈P-ABC中，PA1平面ABC,AB1BC,S.AB=2.若鱉腌P-力BC外

接球的體積為36兀，則當(dāng)該鱉席的體積最大時，下列說法正確的是（）

A.PA=4

B.BC=4

C.該鱉臊體積的最大值為?

B

D.該鱉臊的表面積為8+87-5

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量五=(2,-1,3),K=(-1,1,%),若五與坂垂直，則團+2而=.

14.如圖，在直三棱柱4BC-4遇1的中，4C=BC=CCltAC1BC,點。是4B的中點，則直線當(dāng)8和平面。)當(dāng)

所成角的正切值為.

15.如圖三棱柱4BC-a當(dāng)6中，側(cè)面BBiGC是邊長為2菱形

NCBBi=60°,BG交&C于點0,力。1側(cè)面BB1&C,且△力為等腰

直角三角形，如圖建立空間直角坐標(biāo)系0-xyz,則點兒的坐標(biāo)為

16.在邊長為6的菱形4BCO中，N4=申現(xiàn)將AHB。沿BO折起，當(dāng)三棱錐4-BC。的體積最大時，三棱錐

A-BCD的外接球的表面積為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

如圖，某幾何體的下部分是長、寬均為8,高為3的長方體，上部分是側(cè)棱長都相等且高為3的四棱錐，求:

(1)該幾何體的體積；

(2)該兒何體的表面積.

18.(本小題12.0分)

如圖所示，已知圓柱的側(cè)面展開圖的面積為6兀，底面直徑BO=2,C為底面上異于B,D的點，且NBOC=30°.

求：

(1)二面角力-CD-B的余弦值;

(2)點B到平面4CD的距離.

19.(本小題12.0分)

如圖所示，底面為正方形的四棱錐P—48CD中，AB=2,P4=4,PB=PD=2<5,AC與8。相交于點。,

E為PD中點.

(1)求證：EO〃平面PBC；

(2)P4上是否存在點F,使平面OEF〃平面PBC,若存在，請指出并給予證明：若不存在，請說明理由.

20.(本小題12.0分)

在四棱錐Q—ABC。中，底面4BCD是正方形，若AD=2,QD=QA=R，QC=3.

(1)求證：平面。4。1平面4BC。；

(2)求異面直線QC與4。所成角的余弦值.

21.(本小題12.0分)

如圖，在直三棱柱4BC—AiBiCi中，AB=BC=CC^=V-ABA.BC.

(1)求證:ACi1BC

(2)求Bi。與平面44。傳所成的角的大小.

22.(本小題12.0分)

已知在梯形4BC。中，AD//BC,乙4BC=NBAD=*AB=BC=2AD=4,E,F分別是AB,CO上的點,

EF//BC,AE=2,沿EF將梯形ABC。翻折，使平面AEFDJ"平面EBCF(如圖).

(1)證明:EF1平面ABE；

(2)求二面角。-BF-E的余弦值.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：根據(jù)題意，點N(3,4,5)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影為(3,4,0),

結(jié)合空間中點的坐標(biāo)運算可得點M的坐標(biāo)是(3,4,0).

故選：C.

根據(jù)空間中點的坐標(biāo)運算可解.

本題考查空間中點的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：幾何體的俯視圖，輪廓是矩形，幾何體的上部的棱都是可見線段，所以C、。不正確;

幾何體的上部的棱與正視圖方向垂直，所以A不正確.

故選：B.

通過幾何體結(jié)合三視圖的畫圖方法，判斷選項即可.

本題考查三視圖的畫法，幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：如圖，

作平面直角坐標(biāo)系％-。一小使4與。重合，AD在z軸上，且4。=2,AB在y軸上，且4B=2,

過8作BC〃4D,且BC=1,則四邊形ZBCD為原平面圖形，其面積為S=*1+2)x2=3.

故選：C.

由題意還原原四邊形，再由梯形面積公式求解.

本題考查利用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，熟記畫法是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】【分析】

判定異面直線的方法：①根據(jù)它的判定定理：“經(jīng)過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該點的

直線是異面直線."②定義法：不在同一個平面內(nèi)的.兩條直線稱為異面直線；③反證法：既不平行又不

相交的直線即為異面直線.

本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力和思維能力.

【解答】

解：異面直線的判定定理：“經(jīng)過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.”

根據(jù)異面直線的判定定理可知：在圖②④中，直線GH、MN是異面直線；

在圖①中，由G、M均為棱的中點可知：GH//MN；

在圖③中，;G、M均為棱的中點，.??四邊形GMNH為梯形，則GH與MN相交.

故選：D.

5.【答案】C

【解析】解：對于4,如果直線I不平行于平面a,那么當(dāng)2ua時，平面a內(nèi)存在與I平行的直線，故A錯誤；

對于B,如果直線〃/平面a,平面a〃平面處那么直線1〃平面/?或直線/u平面口，故3錯誤；

對于C,如果直線，與平面a相交，平面a〃平面.，那么由面面平行的性質(zhì)得直線/與平面口也相交，故C正

確；

對于D,如果平面al平面y,平面01平面y,那么平面a與平面/?相交或平行，故。錯誤.

故選：C.

對于4,當(dāng)a時，平面a內(nèi)存在與I平行的直線；對于8,直線〃/平面6或直線1u平面色對于C,由面面

平行的性質(zhì)得直線I與平面0也相交；對于0,平面a與平面/?相交或平行.

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，

是中檔題.

6.【答案】D

【解析】解：因為正三棱臺的上、下底面的邊長分別為3,6,

所以上下底面面積分別為S'=tx孕X32="XS=:x孕X62=9"

22422

如圖，連接上下底面中心。。1，則。01即為三棱臺的高，過B作BCLA01，垂

足為C,

設(shè)。。1=BC=h,AC=AO1—C01=AO1—B0,

又上下底面外接圓半徑分別08=：、靠=，？，0M=；x端=2，？，側(cè)棱長為4B=2,

所以正三棱臺的高為。。1=BC=7AB2-AC?=22-馬/=1，

所以其體積為v=g/i（S，+S+yTs^）=IX1X（學(xué)+9c+J空義9<3）=丐三

故選：D.

先利用勾股定理求出三棱臺的高，再根據(jù)棱臺的體積公式即可求解.

本題考查正三棱臺的體積計算，考查運算求解能力，屬于中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：由題意，/.ABC=90°,/.ABC=90°,BA=BC=3,貝必C=3y/~2,

球心到平面力BC的距離為|4,正好是球心到4C的中點的距離，

所以球的半徑是：J（亨）2+（嗎1=3,

球的體積是：［兀,33=36”，

故選：B.

由題意球心。到平面4BC的距離是|「，正好是球心到4c的中點的距離，可求出球的半徑，然后求球的表

面積.

本題考查球的內(nèi)接體問題，考查學(xué)生空間想象能力，是中檔題.確定三角形4BC的形狀以及利用球半徑與

球心。到平面4BC的距離的關(guān)系，是解好本題的前提.

8.【答案】A

【解析】解：力」,在正方體中，力C1平面BDDiBi，BEu平面BDDiBi，

■.AC1BE,即4c與BE所成角為90。，故A錯誤，

B-AC，平面BDD1B1，4至I」平面BEF的是巨離為定值，

△BEF的底EF為定值，高為為定值，.??三棱錐A-BEF的體積為定值，故8正確，

C.EF//BD,由線面平行的判定定理可得，EF〃平面4BCD成立，故C正確，

D二面角4-EF-B等價為二面角4-AB1-B,則二面角4一QB1一B的大小為定值，故。正確，

故錯誤的是4

故選：A.

根據(jù)空間直線和平面平行以及二面角，體積公式，分別進行判斷即可.

本題主要考查命題的真假關(guān)系，結(jié)合空間直線和平面位置關(guān)系以及體積公式，二面角的定義是解決本題的

關(guān)鍵.

9.【答案】CD

【解析】解：根據(jù)異面直線、線面角、二面角、向量所成角的定義可知，對于4,異面直線所成角的范圍為

(0,芻，A錯誤；

對于B,直線和平面所成角的范圍為［0,a，B錯誤；

對于C,面角的平面角的范圍為［0,可，C正確；

對于D,兩個向量形成的角的范圍為［0,可，。正確.

故選：CD.

根據(jù)異面直線、線面角、二面角、向量所成角的定義可解.

本題考查異面直線、線面角、二面角、向量所成角的定義，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ACD

【解析】解：顯然，在蕩秋千的過程中，秋千繩與墻面紿終平行，

但與道路所成的角在變化而秋千板與墻面垂直，

故也與道路始終垂直.

故選：ACD.

根據(jù)己知條件結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和面面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論.

本題考查了線面垂直的性質(zhì)和面面垂直的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

11.【答案】ACD

【解析】解：G,H分別是BC,CD的中點，可得G/7//BD,

E,F分別在AD,ABk,若=*=可得EF〃BD,

則EF〃GH,所以E,F,G,"四點共面，故A正確；

由于EF=”D,GH=加,即有EF<GH,則直線EF與直線GH相交，交

點為P,

由P在直線EH上，而P在平面ZCD內(nèi)，則直線FG與平面4CD相交，故8錯誤；

直線EF與直線GH相交，可得P既在平面4co內(nèi)，也在平面ABC內(nèi)，

則P在平面4CD和平面4BC的交線4C上，故C正確；

4CJ■平面BCO,過C作CMJ.80,垂足為M,連接AM,由三垂線定理可得4M180,

則乙4MC為二倍角力-BD-C的平面角，在直角三角形ACM中，NAMC=60。，

CM=^AM,S^ABD=\BD-AM=6,則S“BD=?CM=；x6=3,故￡>正確.

故選：ACD.

由中位線定理和平行線分線段成比例的判定定理，可判斷4由直線和平面的位置關(guān)系可判斷B；由兩個相

交的公理可判斷C；由三垂線定理可得二面角的平面角，結(jié)合三角形的面積公式，計算可判斷D.

本題考查空間選線線、線面和面面的位置關(guān)系，主要是線面平行、垂直的判斷和性質(zhì)，二面角的平面角的

求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：因為四個面都為直角三角形，所以PC的中點。到四個頂點的距離都相等，

故點。是鱉膈外接球的球心，所以外接球的體積為36兀，

所以外接球半徑R=3,

故PC=6.設(shè)P4=a,BC=b,

i^LPA2+AB2BC2=PC2,解得Q2+/)2=32,

土仇711oLa2+b216

故"-4BC=ox^x26xa=-ah<-x---=—?

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時，/YBC取得最大值熱

此時PB=AC=V42+22=2y/~5,

所以表面積S=2x；x2x4+2xgx4x2屋=8+8AT5.

故選：ABD.

根據(jù)鱉臊的幾何特征，分別根據(jù)外接球半徑求出邊長判斷48選項；

根據(jù)體積及表面積公式計算判斷C,。選項即可.

本題主要考查幾何體的表面積，屬于中檔題.

13.【答案】V-26

【解析】解：向量五=(2,-1,3),b=(―l,l,x)>a與其垂直,

'.a-b=-2—l+3x=0<

解得x=1，

?■a+2b=(0,1,5)，

\a+2b\=『。2+12+52=V-26.

故答案為：V26-

由，與3垂直，解得x=1,從而W+2弓=(0,1,5)，由此能求出|五+231.

本題考查向量的模的求法，考查向量垂直的性質(zhì)、向量坐標(biāo)運算法則等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，是

基礎(chǔ)題.

14.【答案】亨

【解析】解：AC=BC,。是4B的中點，所以CDLAB,

在直三棱柱中，BBiJ.CD,

由于4BnBBi=B,所以CDJ■平面4BB1人.

過8作8E1B1。，垂足為E,

則CD1BE,

由于C￡)nBiD=D,所以BD_L平面COB1，

所以NB&E是直線和平面COB1所成角，

./DDcBD\AByj~2

所以直線B]B和平面。。為所成角的正切值為好.

故答案為：￡2.

作出直線B1B和平面CDB1所成角，由此求得所成角的正切值.

本題主要考查線面角的計算，空間想象能力的培養(yǎng)等知識，屬于基礎(chǔ)題.

二點4的坐標(biāo)為(-C,1,1).

故答案為：（―V-3,1,1）.

過點&作&E1平面BCC/i，連接BiE,GE,則BiE〃OG，CXE//OBX,AXE//AO,由此可求得點兒的坐

標(biāo).

本題考查空間中點的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】60兀

【解析】解：邊長為6的菱形ABCD,在折疊的過程中，

當(dāng)平面4BD1平面BCD時，三棱錐的體積最大；

如圖所示：

在平面48。中，設(shè)點尸為△ABD的中心，在平面BCD中，設(shè)點H為△BCD的中心：

由于48=AB=AD=CD=BC=6,

取BO的中點E,連接4E、CE,

所以4E=V62-32=3<3,

則EF=OH=C，CH=2<3，

故三棱錐A-BCD的外接球的半徑R=J（口2+（2「）2=E，

故S球=4?兀?（C5）2=60兀.

故答案為：607r.

首先求出三棱錐的體積最大時平面ABO_L平面BCE）,進一步求出外接球的球心和半徑，最后求出球的表面

積.

本題考查的知識要點：三棱錐體和外接球的半徑的確定，球的表面積公式，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)

學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：連接&CrBi。1交于點。，取當(dāng)6的中點E,連接P0,

OE,PE,

(1)V長方如=8x8x3=192,

^p-AiB1ciD1=§x8x8x3=64.

Vd=192+64=256；

(2)?；PO=3,OE=4,

???PE=VPO2+0E2=5>

S四棱錐側(cè)=4xgx8x5=80,

S長方體=4x8x34-8x8=160,

S總=80+160=240.

【解析】(1)按照公式求出長方體和四棱錐的體積，求和即可;

(2)先找到四棱錐側(cè)面的高，然后可求出四棱錐的側(cè)面積，進而求長方體的表面積，求和即可.

本題考查了兒何體表面積和體積的計算，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)丫BD是底面的直徑，C為底面上異于8,。的點，???CD1BC,

又AB_L平面BCD,CDu平面BC。，AB1CD,

又BCCMB=B,BC,ABu平面ABC,

CD1平面ABC,又ACu平面ABC,二CD1AC,

.?.乙4cB為二面角4-CD-B的平面角.

???圓柱的側(cè)面展開圖的面積為6兀，底面直徑BD=2,

2-rtxAB=6TT,AB=3,在RtABOC中，/.BDC=30°,所以BC=^BD=1,

在RtZiHBC中，AC=V10>所以cos/TlCB=裝=="，

AC10

所以二面角4-CD-B的余弦值為哥；

(2)在平面4BC中，作BE14C于E,由(1)知CDJ_平面ABC,

又BEu平面4",則CD1BE,

???CDQAC=C,CD,ACu平面4CD,所以BE_L平面AM

即BE為點B到平面4C。的距離,

在RtAABC中，8七=些"=型衛(wèi)，

AC10

即點B到平面4CD的距離為端I

【解析】(1)依題意可得AB，CD,證明CD_L平面4BC,即可得到CD1AC,則乙4cB為二面角4一CD-B的

平面角，再由銳角三角函數(shù)計算可得；

(2)在平面ABC中，作BE1AC于E,即可證明BE_L平面ACD,即BE為點B到平面ACD的距離，在Rt△4BC中，

利用等面積法求出BE,即可得解.

本題考查二面角的求解，點面距的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：由底面為正方形的四棱錐可得。為8。的中點，再由E為PD的中點，

可得0后為4PBD的中位線，

所以。E〃PB,

而OEU面PBC,PBu面P8C,

所以可證得OE〃面PBC；入、

(2)存在P4的中點F,使得平面。EF〃平面PBC；A

因為E,F為中點，所以E/7/40,/\\

因為4O〃BC,所以EF〃BC,/A'\\..

EFC面PBC,BCu面PBC,/“。\/

所以EF〃面PBC,

再由(1)及EFnOE=E,

所以可證得面OEF〃面PBC.

【解析】(1)由題意可得。為BD的中點，及OE為APBC的中位線，可證得OE〃PB,再由線面平行的證法，

可得線面的平行；

(2)取P4的中點F,可證得EF〃BC,再由(1)可得兩個面平行.

本題考查線面平行的證法及面面平行的證法，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)證明：取4。的中點。，連接QO,OC,

因為力D=2,QD=QA=C，QC=3,可得Q0J.4D,

而Q。nOC=。，

所以QO1平面/BCD,

QOu平面Q4D,

所以平面。4。1平面4BCD；

(2)因為AD〃BC,連接BO,

則BC與QC所成的角為異面直線QC與所成的角，

所以NBCQ或它的補角為所求的角，

由題意可得QC=QB=3,BC=2,

BC

所以cos/BCQ=企=*,

即異面直線QC與4D所成角的余弦值為全

【解析】(1)取4。的中點0，由題意可得Q01AD,再證得Q010C,可證得平面QA。1平面4BCD；

(2)通過平移直線可得異面直線所成的角，在三角形中求出它的余弦值.

本題考查面面平行的證法及異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.

21.【答案】證明：(1)連接BC】與&C相交于點D,如下圖所示

B

在直棱柱中，BBi_L平面4BC,48u平面4BC,

BB11AB,

又4B1BC,BCCBBi=B,BC,BB】u平面BBCC,

所以，ABJL平面BBiQC,

又?:BrCu平面BBiGC,二AB1BrC

???BC=CCi，.?.四邊形BCC$i為菱形，即BiC_LBG

又?；ABCBG=D,且/B,BGu平面/BQ,

???BiC_L平面ABQ,又?；AC】u平面

JLACr.

(2)取41G的中點E，連接BiE,CE.如下圖所示；

B

>11F1=B1C1,AXE=ECX,???BXE1/11C1

又???CG1平面GIG，BtEu平面&BiG，

:.CG1B1E,

又???AiCiDCC]=G，且4G，CCiU平面44CC,

BXE_L平面aaqc,

CE是CBi在面Z&GC內(nèi)的射影，々EC/是CBi與平面441GC所成角的平面角.

???在Rt△CEB1中，易知B1E=1,5=2,

???sin/ECBi—第-I，:.乙ECB[=30°

即CBi與平