2023-2024學(xué)年山東省棗莊市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省棗莊市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知點(diǎn)H是點(diǎn)以2,9,6)在坐標(biāo)平面。中內(nèi)的射影，則點(diǎn)，的坐標(biāo)為()

A.(2,0,0)B.(0,9,6)C.(2,0,6)D.(2,9,0)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)空間中射影的定義即可得到答案.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)4是點(diǎn)42,9,6)在坐標(biāo)平面。町內(nèi)的射影，所以?的豎坐標(biāo)為0,

橫、縱坐標(biāo)與4點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相同，所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2,9,0).

故選：D

2.已知加=(x,-2,5),〃=(1,4,-10),且而〃則*的值是()

A.--B.-2C.vD.2

22

【正確答案】A

【分析】由藍(lán)〃■直接列方程求解即可.

【詳解】因?yàn)槲?(居一2,5),"=(1,4,70),且記〃加

所以A*焉，解得、=《，

故選：A

3.如圖，空間四邊形O/8C中，OA=~a>OB=b>歷=1點(diǎn)M在。4上，且OM=2M4,

N為8c的中點(diǎn)，則礪=()

B.一與+與+匕

322

1-21-

D.—a+—b7——c

232

【正確答案】B

【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.

【詳解】MN^ON-OM;（麗+西號(hào)3**5寺

故選：B.

4.已知直線心、屈若直線右與《垂直，則4的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【正確答案】D

【分析】由直線，2與4垂直得到4的斜率與，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得到答案.

【詳解】因?yàn)橹本€，2與4垂直，且4=6,所以4X與=-1,解得q=一日，

設(shè)4的傾斜角為々，tana=-乎，所以a=150".

故選：D

5.在棱長(zhǎng)均為1的平行六面體ABCD-ABCQi中，/BAD=/BAA、=ADAA,=60°,則卜弓卜

（）

A.5/3B.3C.576D.6

【正確答案】C

【分析】設(shè)在=￡,AD=b，AA]=c,利用J布卜屈瓦芯結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可得

到答案.

【詳解】設(shè)48=。，AD=b>44]=。，由已知，得<〃,書>=60',<a9c>=60°,<c,b>=60°?

16r|=||=|c|=1,所以QB=a.c=c%=5，

1uuir.rr-r—r—rn~~r;~r;r-rFTr^r

所以AG=J（o+b+c）2=5/4+b+c+2a-b+2a-c+2b-c=yj6-

故選：C

6.已知數(shù)列應(yīng)｝滿足％=2,%尸子當(dāng)勺為偶數(shù)時(shí)，貝a=（）

3%+1,當(dāng)對(duì)為奇數(shù)時(shí)，

A.—B.1C.2D.4

64

【正確答案】B

【分析】根據(jù)遞推式以及4=2迭代即可.

【詳解】由4=2,得02=3=1,a,=3a2+1=4,a4=-^-=2,%=?=1,

%=3%+1=4,a7=^~=2,%=今=1.

故選：B

7.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的

焦點(diǎn).已知拋物線f=4y的焦點(diǎn)為R一條平行于y軸的光線從點(diǎn)區(qū)(1,2)射出，經(jīng)過(guò)拋物

線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B射出，則經(jīng)點(diǎn)B反射后的反射光線必過(guò)點(diǎn)()

A.(-1,2)B.(-2,4)C.(-3,6)D.(-4,8)

【正確答案】D

【分析】求出A、尸坐標(biāo)可得直線4F的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出8,根據(jù)選項(xiàng)可得答

案，

【詳解】把x=l代入/=外得y=；,所以4I。，尸(0,1)

1-13

所以直線//的方程為，4,即產(chǎn)一9+1，

y—i=----x4

0-1

3?.

與拋物線方程聯(lián)立,4解得］.所以2(-4,4),

X2=4yI"-

因?yàn)榉瓷涔饩€平行于y軸，根據(jù)選項(xiàng)可得D正確，

故選：D.

8.已如雙曲線*《=1。>06>0的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過(guò)用的直線交雙曲線的右

ab

支于4,8兩點(diǎn)，若傷1AB,且4|/用=3|/回，則該雙曲線的離心率為()

A.我

B.710C.叵D.75

22

【正確答案】A

【分析】先作輔助線，設(shè)出邊長(zhǎng)，結(jié)合題干條件得到娟=3。，=利用勾股定理得

到關(guān)于a,c的等量關(guān)系，求出離心率.

【詳解】連接片8,設(shè)用=3x,則根據(jù)4M用=3|/卻可知，邳=4x,因?yàn)橛?/p>

勾股定理得：|耳卻=5x,由雙曲線定義可知：|/|-M圖=2a,阿|-阿|=%,解得:

|j/s|=3x-2a,\BF2\=5x-2a,從而3X-2Q+5X-2Q=4x,解得：x=at所以月|=3a,

叵，即該雙曲線的離心率為叵.

22

二、多選題

9.圓V+/=4與圓/+/-4x-2/ny+/=0的位置關(guān)系可能是（）

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)含

【正確答案】ABC

【分析】由圓心距與兩圓半徑的關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系.

【詳解】/+F-4x-2,〃y+"戶=0整理為：（x-2）2=4,從而圓心為（2,加），半

徑為2,而》2+/=4的圓心為（0,0）,半徑為2,從而兩圓的圓心距為,4+,

當(dāng)?>2+2,即團(tuán)>2石或相<-2百時(shí)，此時(shí)兩圓外離;

當(dāng)d4+m2=2+2,此時(shí)/M=±2#'，此時(shí)兩圓外切；

由于"+蘇22恒成立，故當(dāng)24“+/<2+2，即-26<m<2j5時(shí)，兩圓相交；

且^^7版22,故兩圓不會(huì)內(nèi)含或內(nèi)切，綜上：兩圓得位置關(guān)系可能是外離，外切或相交.

故選：ABC

10.已知S”為等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和，且q=-7,S3=-15,則下列結(jié)論正確的是（）

A.an=2n-9B.｛%｝為遞減數(shù)列

C.q是4和劣的等比中項(xiàng)D.S”的最小值為-16

【正確答案】AD

【分析】先由題干中條件得到公差"=2,從而求出通項(xiàng)公式，判斷出AB選項(xiàng)；計(jì)算出處,

4，為發(fā)現(xiàn)4、氏。，故判斷C選項(xiàng)的正誤；D選項(xiàng)｛《,｝為遞增數(shù)列，且%=-1<0,

%=1>0,從而得到其最小，計(jì)算出結(jié)果即可判斷.

【詳解】由題意得：S3=3q+3d=-15,因?yàn)椋?-7,所以4=2,所以｛6｝通項(xiàng)公式為：

勺=-7+2（〃-1）=2〃-9,A選項(xiàng)正確；由于d=2>0,所以｛/｝為遞增數(shù)列，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

通過(guò)計(jì)算可得：。4=-1，。6=3，%=9,其中所以。6不是%和的的等比中項(xiàng)，

C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋玻秊檫f增數(shù)列，且4=-1<0,?5=1>0,故S“在〃=4時(shí)取得最小值,

$4=4%+6d=-28+12=-16,D選項(xiàng)正確

故選：AD

11.已知直線a+l）y-l=0,其中aeR,下列說(shuō)法正確的是（）

A.若直線/與直線x-y=0平行，則”=0

B.當(dāng)。=1時(shí)，直線/與直線x+N=0垂直

C.直線/過(guò)定點(diǎn)（1,0）

D.當(dāng)。=0時(shí)，直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)直線方程的相關(guān)性質(zhì)即可逐項(xiàng)求解.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若直線/與直線x-N=O平行，則/一葉1=1=4"1)=0=。=0或1,

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)。=1時(shí)，直線/為x-y-l=O,斜率為1,而直線x+y=O斜率為-1,...兩條

直線垂直，故B正確：

對(duì)于C項(xiàng)，-a+l)y-l=0恒成立時(shí)，令y=0,得x=l,即直線過(guò)定點(diǎn)(1,0),故C

正確；

對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)a=0時(shí)，直線/為x-y-l=0,令x=0ny=-l,令y=0nx=I,所以橫截

距和縱截距互為相反數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

12.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體/8CD-44GA中，P在線段8n上運(yùn)動(dòng)(包括端點(diǎn))，下

列選項(xiàng)正確的有()

C.直線PC|與平面488，所成角的最小值是g

6

D.尸C+尸。的最小值為26

【正確答案】ACD

【分析】證明AC,平面48〃得到A正確；取特殊點(diǎn)排除B；根據(jù)距離的最值得到C正確;

確定尸C+PZ)=尸。+尸4241得到D正確，得到答案.

【詳解】如圖所示：連接/，，DB,紇C,

1平面BCC/i，B(u平面8CG。，故N8J.8C，

B、C1BG,BC,//ADt,故qC_LAD],

又因?yàn)?Bn"A=4故印。平面482,

又因?yàn)?Pu平面48。，故/尸C,A正確；

當(dāng)尸與B重合時(shí)，PB即3Q,由于。3,8c不垂直，故B錯(cuò)誤;

C,到平面A、BCD,的距離為;CQ=五，

當(dāng)PG最大時(shí)，直線pq與平面45CD,所成角度最小，

PC)的最大值為8c=2&，

故此處線面所成角的最小值。的正弦值為sind=g=Le/0,』71，故?=7F1，C正確:

2近2L2j6

PC+PDPC+PA}>AtC,當(dāng)4,RC三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，D正確.

故選：ACD

三、填空題

13.若2=(1,0,-1),6=(0,2,1),"=(2,九—1)為共面向量，則機(jī)的值為.

【正確答案】2

【分析】根據(jù)空間向量共面定理即可求解.

【詳解】若7為共面向量，

則存在一組唯一的實(shí)數(shù)九〃，使得展=21+〃$,

即（2,九-1）=/,0,-1）+〃（0,2,1）,

2=2b=2

即＜2〃=加,解得，m=2,

一九+〃=-11〃=1

故2

14.已知數(shù)列｛%｝中，%=2,%=】，且數(shù)列｛7%｝為等差數(shù)列，則%=.

7

【正確答案】-

1______1_

【詳解】試題分析：由題意得：,有1一m111、yaw57

a=-------:-----=—,-------=-------1-（5-3W=-=aJ=—

7-324a5+l%+112‘5

等差數(shù)列通項(xiàng)

15.在棱長(zhǎng)為1的正方體44GA中，O為平面4月的中心，E為8C的中點(diǎn)，

則點(diǎn)O到直線4E的距離為.

【正確答案】旦觸6

66

【分析】建立空間坐標(biāo)系，求解直線4"的單位方向向量工，結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解.

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4（1,0,1）,E（；,1,0）,0（1,；,；）,

因?yàn)镸=.04=（o,-；,；）,

2IA[E\33322

-----2

所以。4?〃=一].

所以點(diǎn)。到直線4E的距離為不忒_畫;）2=4.

故答案為.正

6

16.已知點(diǎn)4(2,1),5(3,4),C(0,2),直線/h=左卜-1),若直線/與線段48有公共點(diǎn),

則k的最大值為；若直線/與線段BC有公共點(diǎn)，則上的取值范圍是.

【正確答案】2(-8,-2］可2,+8)

【分析】直線/表示過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線，在平面直角坐標(biāo)系中作出線段當(dāng)直線/過(guò)點(diǎn)8

時(shí)，直線/與線段43相交且斜率最大，求出斜率；作出線段8C,直線/分別過(guò)點(diǎn)8和點(diǎn)C

時(shí)，為斜率的臨界值，得到斜率的取值范圍.

【詳解】直線/表示過(guò)點(diǎn)。0)的直線，在平面直角坐標(biāo)系中作出線段48如圖，

當(dāng)直線/過(guò)點(diǎn)8時(shí)，直線/與線段48相交且斜率最大，此時(shí)斜率勺=。=2；

在平面直角坐標(biāo)系中作出線段8c如圖，

直線/過(guò)點(diǎn)8時(shí)，斜率匕=2,直線/過(guò)點(diǎn)C時(shí)，斜率玲=^^=-2,所以上的取值范圍為

(-co,-2]U[2,+co).

故2:U[2,+oo)

四、解答題

17.(1)在等差數(shù)列｛%｝中，5“為其前"項(xiàng)的和，若S4=6,58=20,求九.

(2)在等比數(shù)列中也｝也+4=60,處3=36,求。和公比4.

【正確答案】(1)72；(2)自=2,夕=3或々=-2應(yīng)=-3

【分析】(1)利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式計(jì)算首項(xiàng)和公差，再代入計(jì)算品,；(2)利用等比

中項(xiàng)的性質(zhì)求優(yōu)，并結(jié)合"+a=60確定4的具體值，再代入等式計(jì)算可求出4，q.

【詳解】解：(1)設(shè)數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)為q,公差為d,

4al+6d=6,

由題意，得。二。,”

8%+28d=20

31

解得q=Z，d

所以品=16q+1204=72.

(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，她=母=36,

又a+“=b2(l+r)=60,

所以b2>0也=6,

所以1+q,=10,

解得g=±3.

當(dāng)g=3時(shí)，^,=—=2；

q

當(dāng)g=-3時(shí)，6,=—=-2.

q

18.給出下列條件：①焦點(diǎn)在x軸上；②焦點(diǎn)在了軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)A到其

焦點(diǎn)F的距離等于2；④拋物線的準(zhǔn)線方程是x=-2.

（1）對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)。的拋物線C：從以上四個(gè)條件中選出兩個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使得拋物線。

的方程是V=4x,并說(shuō)明理由；

（2）過(guò)點(diǎn)（4,0）的任意一條直線/與C:/=4x交于A,B不同兩點(diǎn)，試探究是否總有

OALOB^請(qǐng)說(shuō)明理由.

【正確答案】（1）選擇條件①③;詳見(jiàn)解析（2）總有次，礪，證明見(jiàn)解析

（1）通過(guò)焦點(diǎn)位置可判斷條件①適合，條件②不適合，通過(guò)準(zhǔn)線方程，可判斷條件④不適

合，利用焦半徑公式可判斷條件③適合；

（2）假設(shè)總有風(fēng)，礪，設(shè)直線/的方程為x=W+4,聯(lián)立）-,利用韋達(dá)定理計(jì)算

x=ty+4

方?礪可得結(jié)果.

【詳解】解：（1）因?yàn)閽佄锞€C：/=4x的焦點(diǎn)廠（1,0）在x軸上，所以條件①適合，條件②

不適合.

又因?yàn)閽佄锞€C：/=4x的準(zhǔn)線方程為：x=-l,

所以條件④不適合題意，

當(dāng)選擇條件③時(shí),|4同=乙+1=1+1=2,

此時(shí)適合題意，

故選擇條件①③時(shí)，可得拋物線C的方程是y2=4x；

（2）假設(shè)總有厲_L麗，

由題意得直線/的斜率不為0,

設(shè)直線/的方程為x=W+4,

y2=4x

由《得/一416=0

x=W+4

設(shè)“（X1,必），8（X2，%）

所以A>0恒成立，必+%=47,y1y2=-16,

222

則玉*2=（陰+4）（仇+4）=tyfy2+4/（^+y2）+16=-16^+16/+16=16.

所以。404=$'2+必歹2=16-16=0,

所以厲，礪，

綜上所述，無(wú)論/如何變化，總有況J.而.

本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

19.如圖，在四棱錐P-48c。中，底面/BCD為正方形，4B=2,AP=3,直線尸4垂直于

平面ABCD,E,F分別為P4”的中點(diǎn)，直線ZC與。尸相交于。點(diǎn).

（1）證明：與CD不垂直；

（2）求二面角B-PC-D的余弦值.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析;

⑵一土

【分析】（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、3/P所在直線分別為X、＞、z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，計(jì)算得出無(wú).①wO,即可證得結(jié)論成立；或利用反證法；

（2）利用空間向量法即求.

【詳解】（1）方法一：如圖以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、4P所在直線分別為X、夕、z軸

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C(2,2,0)、0(0,2,0),P(0,0,3)、《0,0,|)、尸(1,0,0).

___uuu

設(shè)因?yàn)槭?"1,/,0),FZ)=(-1,2,0),

因?yàn)獒荨ǘ?，所以得T，即點(diǎn)。住I，o],

—123\33)

因?yàn)檎?[WCD=(-2,0,0),

---4

所以O(shè)E-CZ)=:wO,

3

故OE與CD不垂直.

方法二：假設(shè)。￡與CD垂直，又直線4，平面ZBCACOu平面N8CD,

所以P/，CO.而尸”與OE相交，

所以CDJ_平面P/C

又。u平面P4C,

從而CD1CA

又已知N88是正方形，

所以C。與CZ不垂直，這產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)不成立，

即OE與C。不垂直得證.

(2)設(shè)平面尸8c的法向量為$=(』,必,zj,又。(0,2,0),P(0,0,3),8(2,0,0),C(2,2,0)

因?yàn)辂?(-2,0,3),而=(0,2,0),

所以償而=/+：=。，令寸3,得屋(3,0,2).

BCm=2必=0

設(shè)平面PCD的法向量為方=(七,%/2),

因?yàn)樵?(-2,0,0),麗=(。,2,-3),所以除工或二。，

令%=3,得萬(wàn)=(0,3,2).

因?yàn)殡H何，訃輻=9

顯然二面角8-PC-。為鈍二面角，

4

所以二面角8-PC-D的余弦值是一石.

20.已知數(shù)列｛”“｝的前n項(xiàng)和S,=2a?-2.

(1)證明｛4｝是等比數(shù)列，并求｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(2)在?！昂停ァ敝g插入〃個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為4的等差數(shù)列，求數(shù)列

的前N項(xiàng)和。.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析，。"=2”

⑵3一展

【分析】(1)利用4=S“-S,i(〃22)及已知即可得到證明，從而求得通項(xiàng)公式；

(2)先求出通項(xiàng)上=等，再利用錯(cuò)位相減法求和即可.

【詳解】(1)因?yàn)镾,,=2a,,-2,

當(dāng)"22時(shí)，S,,_i=2a“T-2,

所以，當(dāng)〃22時(shí)，a“=2%,又q=2%-2,解得q=2,

所以｛。“｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

故。,,=2"

-2〃1〃+1

(2)因?yàn)椤！?2"，所以"，=%a!，a=/_,—,

〃+1n+1an乙

7；」+L-L2xL3>4++(〃+】)J,

"4w42222”，

/1T=2rx/1+c3lx>+...+/(〃+1l、)x尸1，

所以=1+卷+/+~+/-(〃+1”擊

i尹0-2"T)〃+131n+1

=1+4-------&-------------=----------------

i2”+i22〃2〃+i

1—

2

_3〃+3

―22n+,

LL,、|f?〃+3

所以北=3-芝二

21.某公園有一形狀可抽象為圓柱的標(biāo)志性景觀建筑物，該建筑物底面直徑為8米，在其南

面有一條東西走向的觀景直道，建筑物的東西兩側(cè)有與觀景直道平行的兩段輔道，觀景直道

與輔道距離10米.在建筑物底面中心。的東北方向20&米的點(diǎn)4處，有一360。全景攝像

頭，其安裝高度低于建筑物的高度.

?A

攝像頭

西輔道/Q\東輔道

西景源/物光景直道東

(1)在西輔道上距離建筑物1米處的游客，是否在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)？

(2)求觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長(zhǎng)度.

【正確答案】(1)不在

(2)17.5米

【分析】(1)以。為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求出直線

48方程，判斷直線N8與圓。的位置關(guān)系即可;

(2)攝像頭監(jiān)控不會(huì)被建筑物遮擋，只需求出過(guò)點(diǎn)/的直線/與圓O相切時(shí)的直線方程即

可.

【詳解】(1)以。為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的直角坐標(biāo)系

則。(0,0),/(20,20),觀景直道所在直線的方程為y=-10

依題意得：游客所在點(diǎn)為例-5,0)

則直線N8的方程為主=短^,化簡(jiǎn)得4x-5y+20=0,

I20I20

所以圓心。到直線4B的距離4=+52=百<4,

故直線AB與圓0相交，

所以游客不在該攝像頭監(jiān)控范圍內(nèi).

(2)由圖易知：過(guò)點(diǎn)4的直線/與圓。相切或相離時(shí)，攝像頭監(jiān)控不會(huì)被建筑物遮擋,

所以設(shè)直線/過(guò)A且恰與圓。相切，

①若直線/垂直于x軸，則/不可能與圓0相切；

②若直線/不垂直于x軸，設(shè)/：y-20=%(x-20),整理得H-y-20A+20=0

所以圓心0到直線/的距離為”=『芋,+”=4,解得4='或%=:，

"2+143

34

所以直線/的方程為y-20=：(x-20)或y-20=§(x-20),

即3x-4y+20=0或4x-3y-20=0,

設(shè)這兩條直線與了=-10交于。，E

y=-10y=TO

由解得x=-20,解得x=-2.5,

3x-4y+20=04x-3y-20=0

所以同=17.5,

觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長(zhǎng)度為17.5米.

攝像頭

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/與橢圓C交于4、B兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為M,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|。河|=啦,

求N08面積的最大值.

【正確答案】(1)《