2023-2024學(xué)年上海市高一年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題6

2023-2024學(xué)年上海市高一上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題

一、填空題

1.若扇形的弧長(zhǎng)為2兀，半徑為2,則該扇形的面積是

【正確答案】2兀

【分析】根據(jù)扇形面積公式求得正確答案.

【詳解】依題意，扇形的面積為gx2πx2=2τr?

故2π

2.已知一元二次方程/—aX-Q=O（?！?）的兩個(gè)實(shí)根為占、％，則'+'=.

X\X2

【正確答案】-1

【分析】先利用韋達(dá)定理得到N+々當(dāng)々，再由：+（=EM代入即可求解.

【詳解】因?yàn)橐辉畏匠?-依-。=0（。＞0）的兩個(gè)實(shí)根為小超，

所以斗+x2=β,xlx2=-a.

11X+xa

?-+-=1~01=-=-1t

x1X2XIX2-a

故—1

r4-9

3?函數(shù)y=bg?■的定義域是

【正確答案】（F,-2）.（1,÷∞）

【分析】先利用對(duì)數(shù)式中真數(shù)為正得X到+號(hào)2＞0,再將分式不等式化為一元二次不等式進(jìn)行

X-I

求解.

【詳解】要使y=k>g,寧X+有2意義，須X9+>20,

x-1X-I

g∣J(x+2)(x-l)>0,解得x>l或XV—2,

X+2

即函數(shù)y=log2—的定義域是(f,-2)(l,+∞).

X-Ir

故答案為.(一8,-2)(l,+∞)

4.己知CoSI60=m，則tan20=

【正確答案】-正正

m

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin20的值，進(jìn)而求得cos20的值.

【詳解】因?yàn)镃oSI60=m,所以cos20=-cosl60=-m,

222

所以sin20=Vl-Cos20=y∣?-(-ni)=?Ji-nι,

所以tan20=包工=正正=_叵L

cos20-mm

故一匹近

m

5.定義4-8={引》€(wěn)4且萬(wàn)任3},若4={1,3,5,7,9},8={2,3,5},貝iJ(A—B)U(B—A)=

【正確答案】{L2,7,9}

【分析】根據(jù)題目定義，分別求得A-8={1,7,9}和B-A={2},再利用并集運(yùn)算即可得出

結(jié)果.

【詳解】根據(jù)集合A-8={RXeA且xeB}的定義可知，

當(dāng)A={1,3,5,7,9},8={2,3,5}時(shí)，可得H-B={l,7,9},β-A={2}s

所以(A—8)5B-A)={1,2,7,9}

故{1,2,7,9}

6.將函數(shù)y=2，的圖象向左平移個(gè)單位可得到函數(shù)y=3?2，的圖象.

【正確答案】?23

【分析】根據(jù)指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算知y=32'=2*3.2'=2"喝3,即可求解.

【詳解】因?yàn)閥=32'=2*3?2x=2t+lθf(wàn)c3,

所以將函數(shù)y=2，的圖象向左平移log23個(gè)單位可得函數(shù)y=3?2'的圖象.

故log?3

7.當(dāng)∣lgɑ∣=∣lgb∣,(α≠6)時(shí)，則的最小值是.

【正確答案】

【分析】由IIgaI=IlgW且//，，得出而=1,用均值不等式即可得出答案.

【詳解】Ilgal=IIg4，且〃b,而函數(shù)y=lgx在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

.?.lgab=lgα+lgb=O,即而=1,且a>0,b>0,

.?.-+-≥2-?-=2y∕3,

ab?cιb

當(dāng)且僅當(dāng)■=即6=石，“=且時(shí)，等號(hào)成立,

ab3

故2名

8.已知關(guān)于X的方程--6x+5∣="有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍一

【正確答案】(0,4).

【分析】由題知轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=,-6x+5卜與y=”有4個(gè)不同的交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)

y=y-6x+5∣的圖像即可求出α的取值范圍.

【詳解】方程--6x+5∣=。有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

等價(jià)于函數(shù)y=,-6x+5∣與y="有4個(gè)不同的交點(diǎn).

由函數(shù)y=,-6x+5∣的圖像知:

故(0,4)

本題主要考查方程的根的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

1,X為有理數(shù)

9.德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著,以其命名函數(shù)V=D(x)=0,X為無(wú)理數(shù)'以

函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù).若存在三個(gè)點(diǎn)4為Q(Xl))、B(x2,D(x2)),C(XM(X3))，使得.ABC

為等邊三角形，則D(xl)+D(x,)+D(X3)=

【正確答案】I

【分析】由狄利克雷函數(shù)分析得出.ABC的位置有兩種情況，逐一分析即可得出答案.

Lx為有理數(shù)

【詳解】y=￡>(x)=<

O,X為無(wú)理數(shù)

?'?O(X)=O或1,

存在三個(gè)點(diǎn)A(XlQ(XI))、B(X2,D(X2))yC(ix3,D(X3)),使得AABC為等邊三角形,

O(XI),。(々)，。(與)不同時(shí)為0或1，

不妨設(shè)&<?.

分析得一A8C的位置有兩種情況,

第一種情況:

當(dāng)4為有理數(shù)時(shí)，即Da)=1,如圖,

即。(匕)=0,D(X3)=O,與圖形不一致，舍去；

第二種情況：

當(dāng)王為無(wú)理數(shù)時(shí)，即Da)=0,如圖，

過(guò)點(diǎn)8作3DJLAC,垂足為。，得30=1,AD=—,AB=AC=BC=^~,

33

可知，??=x∣÷AZ)=x∣÷,??=x∣+—,

存在％=一半，使得％=%+等=0∈Q,且七=%+亞=且為無(wú)理數(shù)，

即O(W)=1,D(X?=。與圖形一致，符合題意，

止匕時(shí)，f>(x1)+D(x2)+D(x3)=0÷l+0=l,

B

■>

x

故1.

10.已知函數(shù)/(X)=匕詈在(0,1］是嚴(yán)格增函數(shù)，在［1,+8)上為嚴(yán)格減函數(shù)，若對(duì)任意

xe(0,+e),都有χ4ke,,則上的取值范圍是

【正確答案】*8)

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)最大值可求出InX-X的最大值，對(duì)x≤ke'兩邊取自然

對(duì)數(shù)，分離小k,利用不等式恒成立求解即可.

【詳解】因?yàn)椤▁)=W竺在(0,1］是嚴(yán)格增函數(shù)，在［1,+8)上為嚴(yán)格減函數(shù)，

所以f(x)=上四Ξ≤∕⑴=L

X

由x>0,可得InX-X≤-l,

又X∈(0,+8)時(shí)，由1≤攵e*可得InX≤In(ZeX)=?nk+xf

即InX-X≤In&恒成立，

所以InZ≥-1,即&

e

故/,+a)

二、單選題

11.若α為第三象限角，則()

A.cos2?>OB.cos2a<0C.sin2a>OD.sin2a<0

【正確答案】C

利用"為第三象限角，求2α所在象限，再判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤.

【詳解】因?yàn)棣翞榈谌笙藿?，所以?2%)<。<?+2上)(kwZ),

可得2τr+4Qrv2a<3%+4%乃(Λ∈Z),

所以22是第第一，二象限角，

所以sin2a>0,COS2α不確定,

故選：C

本題主要考查了求角所在的象限以及三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.

12.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=/")滿足：①對(duì)任意χ,yeR,/(χ+y)=f(χ)?∕(y)恒成立;

②若XXy則/(χ)χ∕(y)?以下選項(xiàng)表述不事確的是()

A.y=/(X)在R上是嚴(yán)格增函數(shù)B.若/(3)=10,貝廳(6)=100

C.若/(6)=100,貝ιJ∕(-3)=?D.函數(shù)F(X)=/(X)+f(T)的最小值為2

【正確答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)F(X)的性質(zhì)，再舉例判斷A；取值計(jì)算判斷B,C；借助

均值不等式求解判斷D作答.

【詳解】任意χ,ywR,/(χ+y)=∕(χ)?∕(y)恒成立，

α∈R?α≠0,假設(shè)f(α)=O,則有J.(2α)=∕(α+q)=∕(α)?f(α)=0=f(α),

顯然2"4,與"若X*y則/(X)≠f(y)”矛盾，假設(shè)是錯(cuò)的，因此當(dāng)αeR且αH0時(shí)，/3)≠0,

取x=α≠0,y=0,有/(α)=∕(α)?∕(0),則F(O)=1,于是得Vx∈R,/(x)≠0,

VxeR,∕ω=∕(→^)=[∕(j)]2>O,/(x)√(-x)=/(0)=1,

t+

對(duì)于A,函數(shù)/(x)=g*Vx,y∈R,f(x+y)=(∣)>'=(?)?.(?)?'=/(x)?/(y),

并且當(dāng)χ≠y時(shí)，/(χ)≠∕(y),即函數(shù)/*)=(；)'滿足給定條件，而此函數(shù)在R上是嚴(yán)格減

函數(shù)，A不正確：

對(duì)于B,/(3)=10,則/⑹=/(3)/3)=100,B正確；

對(duì)于C,/(6)=100,則于3)?f(3)=100,而于3)>0,有于3)=10,X∕(3)7∕(3)=1,因

此f(-3)=?,C正確；

對(duì)于D,?(?)-f(.-x)=1,fM>0,則有F(X)=/(x)+/(-x)舷Jf(X)/O=1,

當(dāng)且僅當(dāng)/(x)=F(T)=I,即X=O時(shí)取等號(hào),所以函數(shù)F(X)=/(x)+/G%)的最小值為2,

D正確.

故選：A

關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及由抽象的函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，根據(jù)給定的函數(shù)關(guān)系，在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上賦值即

可.

13.LogiStiC模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了

某地區(qū)新冠病毒感染累計(jì)人數(shù)/（，）■的單位:天）的LogiStiC模型：/⑺=]+923（,而其中K

為最大病毒感染數(shù).當(dāng)[（r）≥0?95K時(shí)，標(biāo)志著該地區(qū)居民工作生活進(jìn)入穩(wěn)定窗口期.在某地區(qū)

若以2022年12月15日為f=l天，以LogiStiC模型為判斷依據(jù)，以下表述符合預(yù)期的選項(xiàng)

是（）

A.該地區(qū)預(yù)計(jì)2023年元旦期間進(jìn)入穩(wěn)定窗口期；

B.該地區(qū)預(yù)計(jì)2023年1月底進(jìn)入穩(wěn)定窗口期；

C.該地區(qū)預(yù)計(jì)2023年2月中下旬進(jìn)入穩(wěn)定窗口期；

D.該地區(qū)預(yù)計(jì)2023年某時(shí)刻不起再有新冠病毒感染者.

【正確答案】C

【分析】根據(jù)條件列不等式，解指數(shù)型不等式即可.

K

【詳解】由題意知，-~不為M≥0.95K,

1十eΓ

fl23l,53

BP：l+e--->≤^t

所以f≥53+電幺53+二-~53+13=66,

0.230.23

因?yàn)橐?022年12月15日為f=l天，所以f≥66天，即預(yù)計(jì)2023年2月18日后該地區(qū)進(jìn)入

穩(wěn)定窗口期，即該地區(qū)預(yù)計(jì)2023年2月中下旬進(jìn)入穩(wěn)定窗口期.

故選：C.

14.已知函數(shù)/（x）=l0g3（儂2-2x+m）,定義域?yàn)锳,值域?yàn)锽.則以下選項(xiàng)正確的是（）

A.存在實(shí)數(shù)機(jī)使得A=B=R

B.存在實(shí)數(shù)m使得A=B=R

C.對(duì)任意實(shí)數(shù)T<m<O,Ac3x0

D.對(duì)任意實(shí)數(shù)，">O,Ac8≠0

【正確答案】D

【分析】設(shè)y=如2-2x+"2,考慮%>1,ιn=?,O<∕π<1,m=0,-?<m<Q,∕%≤-l幾

種情況，分別計(jì)算集合A和5,再對(duì)比選項(xiàng)得到答案..

【詳解】設(shè)y=mχ2-2χ+w,當(dāng)4=4一4>>0,即一IVmVl時(shí)，

設(shè)對(duì)應(yīng)方程的兩根為4，X”不妨取益<々，

當(dāng)力>1時(shí);?=4-4∕n2<0,A=R,5≠R且5/0；

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，A=(-∞,l)(l,+oo),β=R；

當(dāng)0<小<1時(shí)，?=4-W>0,A=(-00,χ1)(χ2,÷∞),B=R；

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，A=(-oo,0),B=R；

當(dāng)一IV機(jī)VO時(shí)，?=4-4∕n2>0,A=(Λ?,X,),y=m---,故8=-00,l0g3m,1

πwxtnnι

當(dāng)m≤-1時(shí)，函數(shù)無(wú)意義.

對(duì)選項(xiàng)A：根據(jù)以上情況知不存在A=B=R的情況，錯(cuò)誤;

對(duì)選項(xiàng)B：根據(jù)以上情況知不存在A=BCR的情況，錯(cuò)誤;

對(duì)選項(xiàng)C：假設(shè)任意實(shí)數(shù)TVmV0,ACjeH0,

取加一』■=!，解得"7=?^~~皂電，則B=（-∞,-2],

f∏918

2+√4-4AH2

對(duì)于Zn/一2工+”?=0，有王

2m

此時(shí)應(yīng)滿足玉=生蟲(chóng)二￡<-2,解得-：<機(jī)<0,

12m5

易得〃?=1-5屈不在此范圍內(nèi),假設(shè)不成立，此時(shí)ACB=0,錯(cuò)誤;

18

對(duì)選項(xiàng)D：根據(jù)以上情況知對(duì)任意實(shí)數(shù)m>O,AcB≠0,正確;

故選：D

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域和值域，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能

力和綜合應(yīng)用能力，其中，根據(jù)二次函數(shù)的開(kāi)口方向和A的正負(fù)討論〃的范圍，進(jìn)而計(jì)算集

合A和B是解題的關(guān)鍵，分類討論的方法是?？挤椒ǎ枰炀氄莆?

三、解答題

15.如圖所示：角α為銳角，設(shè)角α的始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)

RCOSa=I,將射線OP繞坐標(biāo)原點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)Q（公,χ）?

(1)求tana的值；

(2)求J∣的值.

【正確答案】(1)在

2

*

【分析】(1)確定SinC>0,計(jì)算Sina=且，根據(jù)tana=亙吧得到答案.

3COSa

(2)設(shè)終邊對(duì)應(yīng)的角度為尸，則￡=5+a,y1=cosa,計(jì)算得到答案.

2_______.√_5

【詳解】(1)角。為銳角，sina>0,cosa=-,貝∣Jsina=Jl-COS?a=

-3'

Sina√5

tana=------=——.

COSa2

⑵設(shè)終邊°。對(duì)應(yīng)的角度為尸，夕噌，斗

⑴直接寫(xiě)出Z(χ),ΛW是否屬于集合s；

(2)若m(x)eS.解不等式：e3-2'.zn(e?+2r)<e'：?w(e3)

⑶"(x)=/(x)+優(yōu)(XX必≠0)證明："〃(x)eS”的充要條件是“b>O,a<O

【正確答案】(1)/(無(wú))不屬于集合S,人(力屬于集合S

⑵(Tl)

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(I)根據(jù)定義直接判斷即可;

(2)由MX"S,可得函數(shù)y=W為增函數(shù)，不等式e1."1+2')<『.〃巾3),即為

不等式ZWet)<旭(/),再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可；

eχ2+2xe3

(3)”(x)∈S,即函數(shù)y=03在定義域內(nèi)為增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合充分條件和

X

必要條件的定義證明即可.

【詳解】(1)因?yàn)閥=B*=l+g(x>0)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，

所以工(x)不屬于集合S,

因?yàn)?,=如1=X(X>o)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

所以人(x)屬于集合S；

(2)不等式e33.m(e/+2")<e,切(/)，

即為不等式M≤1<M≤1,

χ2+2x3

ee

因?yàn)镸X)∈s,

所以函數(shù)y=蛔為增函數(shù)，

X

所以e