山東省濰坊市2022-2023學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué) 含解析

高二數(shù)學(xué)試卷

本試卷共4頁(yè).滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無(wú)效.

3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知函數(shù)“尤）=sinx+Y,則八x）=（）

A.cosx+2xB.cosx-2x

C.-cosx+2xD.一cosx—2x

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用函數(shù)的求導(dǎo)公式，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行求解.

【詳解】根據(jù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的加法，/'（x）=cosx+2x.

故選：A

2.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,，%+%=6,貝嶼3=（）

A.18B.21C.39D.42

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解.

【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S,，a3+a?=6,

所以S13（q+%）=13（，+qJ=Px6=39,

13222

故選：c

3.如果一次伯努利試驗(yàn)中，出現(xiàn)“成功”的概率為g,記6次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X,則

ZXX)=()

24

A.—B.—C.2D.4

33

【答案】B

【解析】

【分析】伯努利試驗(yàn)中隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，根據(jù)方差的計(jì)算公式￡KX)=〃p(l-p)即可算出結(jié)果.

【詳解】解：伯努利試驗(yàn)中隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即X

因?yàn)槌霈F(xiàn)“成功”的概率為,，所以〃=1,

33

因?yàn)?次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以〃=6，

114

所以。(X)=〃〃(l—〃)=6x—x(l-

故選：B.

4.4知函數(shù)“力的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),若〃x)=2靖⑴+lnx,則/'。)=()

A-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】求得r(x)=2/'(i)+J令％=i,即可求解.

【詳解】由函數(shù)〃x)=24'(l)+hw,可得r(x)=2/'(l)+J,

令X=l,可得/'(1)=2/'(1)+1,解得/=

故選：A.

5.某學(xué)校對(duì)高二學(xué)生是否喜歡閱讀進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查，調(diào)查的數(shù)據(jù)如下表所示：

不喜歡閱

喜歡閱讀總計(jì)

讀

男學(xué)生302050

女學(xué)生401050

總計(jì)7030100

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列對(duì)該校高二學(xué)生的說(shuō)法正確的是（）

P

0.250.150.100.050.0250.0100.001

（犬2次）

2

k1.3232.7063.8415.0246.63510.828

072

A.沒(méi)有95%以上的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”

B.有99%以上的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”

C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”

D,在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)”

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得K?的值，再與臨界值表對(duì)照，逐項(xiàng)判斷.

2

【詳解】解：^=100（30X10-20X40）=10Q^4762

70x30x50x5021

A.因?yàn)?.762>3.841,所以有95%以上的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)"，故錯(cuò)誤；

B.因?yàn)?.762<6.635,所以沒(méi)有99%以上的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)"，故錯(cuò)誤；

C.因?yàn)?.762<5.024,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下，不能認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有

關(guān)”，故錯(cuò)誤；

D.因?yàn)?.762>3.841,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“性別與是否喜歡閱讀有關(guān)“，故D

正確；

故選：D

6.若（x-工）的展開(kāi)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.10B.20C.-10D.-20

【答案】D

【解析】

【分析】首先利用2"=64求出〃，然后再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)即可求解.

【詳解】根據(jù)題意可得2"=64,解得〃=6,

則(X—!)6展開(kāi)式的通項(xiàng)為C/6-r(—_l)r=(—l>C"6-2r,

XX

令6—2尸=0,得r=3,

所以常數(shù)項(xiàng)為：(—1)3(2江6-3=_*_：X；X：=_20.

故選：D.

7.已知數(shù)列｛斯｝的前八項(xiàng)和為S”，4=2,an,+n=aman,則S5=()

A.64B.62C.32D.30

【答案】B

【解析】

[分析]根據(jù)am+n=aman得至ij4=4,a3=8,4=16,a5=32,相加得到答案.

【詳解】弓=2，am+?=aman,

則4=q，q=4,a3=a1-a2=S9a4=a2a2=i69a5=a2-a3=32.

故S5=q+凡+q+4+。5=2+4+8+16+32—62.

故選：B

8.已知是定義在(-1,+8)上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足/(x)<一?</'(x),則不等式

/(8-1)>(8+1)/(犬一1)的解集是()

A.(-1,1)B.[1,+OO)C.(0,1]D.(0,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)〃X)<—構(gòu)造新函數(shù)g(x)=4(x),從而得到新函數(shù)g(x)的單調(diào)性，然后再對(duì)要

求的不等式變形，變成“/(〃?)>/(〃)”的形式，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性去掉對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”，從而解得答

案.

【詳解】因?yàn)?(X)定義在(一1,物)上，所以/(X—1)>(》+1)/(》2一1)中的式子要有意義，

X—1>—1,

需滿足《2，解得X>0.

X-1>-1

因?yàn)?(X)<—4'(x)，所以/(x)+/(x)<0,即(#(x))C<0,

設(shè)函數(shù)g(x)=4Xx)(x>T)，則g(x)在定義域上單調(diào)遞減.

要求/(》_1)>(*+1)/(》2_1),則

當(dāng)X—1>0,即x>10寸，(x-1)/(%-1)>(x2-1)f(x2-1),即g(x—l)>g(x2—1),

所以一1，解得x>l或x<0,所以x>l；

當(dāng)X—l<0,即O<X<1時(shí)，(X—l)/(x—1)<@2—1)/(爐—1),即g(x—l)<g(x2—l),

所以解得0Vx<1；

在y(x)<-4'(x)中，令x=0得/(0)<0,

而在/(x—I)>(x+l)/(x2—I)中，當(dāng)％-1=0時(shí)，有/(0)>2/(0),顯然成立；

綜上，/(X-1)>(X+1)/(X2-1)的解集為(0,+8).

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法正確的是()

A.相關(guān)系數(shù)『越小，說(shuō)明兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)性越弱

B.若尸(B\A)=P(B),且尸(B)>0,則事件4,B相互獨(dú)立

C.回歸直線9=去+〃恒過(guò)樣本中心點(diǎn)正,亍)，且至少經(jīng)過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)

D.殘差平方和越小，線性回歸模型的擬合效果越好

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)線性回歸直線的相關(guān)知識(shí)可判斷選項(xiàng)A,C,D；利用相互獨(dú)立事件的概念即可判斷選項(xiàng)B.

【詳解】線性相關(guān)系數(shù)M越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

因?yàn)镻(BIA)=P(B),且尸(B)>0,所以事件A,8相互獨(dú)立，故選項(xiàng)B正確；

回歸直線》=晟+4恒過(guò)樣本中心點(diǎn)丘,亍)，當(dāng)不一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

殘差平方和越小的模型，線性回歸模型的擬合效果越好，故選項(xiàng)D正確；

故選：BD.

10.己知函數(shù)TV）的導(dǎo)函數(shù)/'（x）的圖象如圖所示，則（）

-2-11],/

A.f（x）有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)

B./（X）在區(qū)間（2,+8）上單調(diào)遞增

C.若f（x）在區(qū)間（加，加+1）上單調(diào)遞增，則機(jī)的取值范圍為例4-4或加23

Df（x）可能有四個(gè)零點(diǎn)

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)/（X）的圖象，得出函數(shù)/*）的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的概念和單調(diào)性，逐項(xiàng)判定.

【詳解】根據(jù)/‘（X）的圖象，

當(dāng)x<—3時(shí)，f'（x）>0,/（x）單調(diào)遞增：

當(dāng)一3<x<3時(shí)，/（x）<0,/*）單調(diào)遞減；

當(dāng)x>3時(shí)，f'（x）>0,/㈤單調(diào)遞增;

當(dāng)x=—3時(shí)，/（x）取得極大值，當(dāng)x=3時(shí)，/⑺取得極小值，所以A正確；

而B(niǎo)錯(cuò)誤；

若f（x）在區(qū)間（加,加+1）上單調(diào)遞增，則m+1W-3,或加23,

解得〃zW-4或//23,所以C正確；

根據(jù)函數(shù)/（x）的單調(diào)性，可知函數(shù)fix）的圖象與x軸最多有三個(gè)交點(diǎn)，

所以D錯(cuò)誤.

故選：AC

11.圍棋起源于中國(guó)，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的歷史.

在某次圍棋比賽中，甲，乙兩人進(jìn)入決賽.決賽采用五局三勝制，即先勝三局的一方獲得比賽冠軍，比

賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲勝乙的概率都為，（04。<1）,且每局比賽的勝負(fù)互不影響，記決賽中的比賽

局?jǐn)?shù)為X,則()

A.乙連勝三場(chǎng)的概率是(l-p)3

B.P(X=4)=3/(l_p)+3p(l_p)3

C.P(X=5)=12p2(l—p)2

D.P(X=5)的最大值是!

o

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)題意列出決賽中的比賽局?jǐn)?shù)為X的概率分布列，然后對(duì)照選項(xiàng)逐項(xiàng)分析即可判斷.

【詳解】乙連勝三場(chǎng)時(shí)比賽局?jǐn)?shù)可能是3,4,5,若比賽局?jǐn)?shù)為3時(shí)，乙連勝三場(chǎng)的概率是(1-〃)3；若比賽

局?jǐn)?shù)為4時(shí)，乙連勝三場(chǎng)的概率是p(l-p)3；若比賽局?jǐn)?shù)為5時(shí)，乙連勝三場(chǎng)的概率是p?。-。)?；故選

項(xiàng)A錯(cuò)誤；

由題意可知，決賽中的比賽局?jǐn)?shù)X的可能取值為3,4,5,

則P(X=3)=p3+(l—p)3=l-3p+3p2；

p(X=4)=3(l-p)p3+3p(l-p)3=12p3-6p4-9/?2+3p；故選項(xiàng)B正確；

P(X=5)=l-尸(X=3)-P(X=4)=6p4—12p3+6p2;故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

令/(p)=6//—12/+6加，則/'(p)=24/—36p2+12p=12P(2p—l)(p—1),

因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，f(p)>0,當(dāng)g<p<l時(shí)，/'(p)<0；

當(dāng)函數(shù)/(P)在［0,g)上單調(diào)遞增，在(；/)上單調(diào)遞減，

I34

則當(dāng)p=q時(shí)，函數(shù)/(P)取最大值9,所以尸(x=5)的最大值是，故選項(xiàng)D正確；

28o

故選：BD.

12.給定無(wú)窮數(shù)列｛叫，若無(wú)窮數(shù)列｛2｝滿足:對(duì)任意〃eN*,都有則稱也｝與｛為｝

“接近”，貝U()

A.設(shè)%=3x上,2=(—1)”\則數(shù)列也｝與｛叫“接近”

(1、"T

B.設(shè)??=-,2=4+|+1,則數(shù)列出｝與｛4｝“接近”

\27

C.設(shè)數(shù)列｛凡｝的前四項(xiàng)為q=1,生=2,a3=4,a4=8,｛〃｝是一個(gè)與｛%｝接近的數(shù)列，記集合

M=｛x|x=%i=l,2,3,4｝,則“中元素的個(gè)數(shù)為3或4

D.已知｛4｝是公差為d的等差數(shù)列，若存在數(shù)列抄/滿足：｛2｝與｛凡｝接近，且在b2-blt

仇一打，L,b2Qi-b20Q中至少有100個(gè)為正數(shù)，則d>-2

【答案】BCD

【解析】

311/1V

【分析】計(jì)算|優(yōu)一出|=：+1=丁>1，A錯(cuò)誤，確定一。“|=1一彳<1得到B正確，計(jì)算〃的范

ooy27

圍，考慮相等的情況得到C正確，考慮d>0,d=O,—2<d<0和d?-2四種情況，計(jì)算得到答案.

311

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：陶一勾=三+1=丁>1，錯(cuò)誤；

OO

4=。M+1=出+1，+，(￡)=1-1)41，正確;

對(duì)選項(xiàng)B：

對(duì)選項(xiàng)C：故4故4G[0,2],h2e[l,3],b3e[3,5],

&e[7,9],故可能可和外相等，仇和久相等，但不能同時(shí)成立，白也也與〃不相等,

故M中元素的個(gè)數(shù)為3或4,正確；

對(duì)選項(xiàng)D：｛〃“｝是公差為d的等差數(shù)列，若存在數(shù)列｛包｝滿足：｛d｝與｛““｝接近，

可得4=4，

①若”>0,取勿=4'|以一⑷=0?1,bn+l-bn=an+l-an=d>0,

則b2-bt,4-仇，L,h20i-b2ao中有200個(gè)正數(shù)，符合題意；

②若d=0,取2=q-!，貝!|忱一a,J=q-----6=一<1,〃eN*，

nnn

可得一一\>0，則4，b3-b2,L,401一80c中有200個(gè)正數(shù)，符合題意;

n/?+1

③若一2cd<0,可令與"T=。2"-1一1，匕2,=。2"+1，滿足的,一。“|41，

4"一處-1=%,+1-(%-1T)=2+d>0，

則82-々，4一包，L,。201-匕200中恰有1。0個(gè)正數(shù)，符合題意；

④若"4一2,若存在數(shù)列｛2｝滿足：｛0｝與｛凡｝接近，即為為一14a<%+1,

%TW%Va“+|+l,可得bn+i-bn<a?+1+l-(a?-l)=2+J<0,

瓦-仄,b.-b2,L,/^一^^中無(wú)正數(shù)，不符合題意.

綜上所述：4的范圍是(一2,+8),正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列的新定義，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，

其中將等差數(shù)列的公差討論四種情況，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵，分類討論是常用的數(shù)學(xué)方法，需

要熟練掌握.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.

13.要安排4位同學(xué)表演文藝節(jié)目的順序，要求甲不能第一個(gè)出場(chǎng)，則不同的安排方法共有

種.

【答案】18

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由特殊元素優(yōu)先處理，先安排甲，然后其他同學(xué)順序沒(méi)有限制，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榧撞荒艿谝粋€(gè)出場(chǎng)，則甲可以排在第二，三，四的位置，共3種，

剩下3名同學(xué)的排序?yàn)锳；,

所以不同的安排方法共有3A；=18種.

故答案為：18

14.已知函數(shù)〃%)=與二竺在x=0取得極值，則。=

【答案】0

【解析】

【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合廣(。)=0求參數(shù)m注意驗(yàn)證x=0是否取得極值.

■、斗叼、‘,(、(6x+a)ex-(3x2+ax)ex3x2+(a-6)x-a

［詳解］/(x)=--------苫-----------=---------：--------

ee

由題意/'(0)=。=0,此時(shí)/(x)=宜，故/lx)」—),

exe

所以(-00,0),(2,a)上r(x)<0,(0,以上MX)>0,

即（HO,0）,（2,+w）上/（X）遞減，（0,2）上/（X）遞增，則X=O取得極小值,

所以a=0.

故答案為：0

15.已知數(shù)列｛?！埃那皀項(xiàng)和為S,且滿足：①?gòu)牡?項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于一2；②當(dāng)〃=5

時(shí)，S取得最大值.則?！?.（寫出一個(gè)即可）

【答案】勺=11-2〃（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意可知，數(shù)列｛%｝的公差”=一2,

要使當(dāng)〃=5時(shí)，數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S取得最大值，則處20,440，

則為=11-2〃滿足條件，

故答案為：an=\\-2n（答案不唯一）.

16.將字母a,a,a,b,b,b,c,c,c放入3x3的表格中，每個(gè)格子各放一個(gè)字母.

①每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率為；

②若表格中一行字母完全相同的行數(shù)為S則4的均值為.

13

【答案】?.—②.一

14028

【解析】

【分析】運(yùn)用排列中的倍縮法求出9個(gè)字母的排列數(shù)，當(dāng)每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互

不相同時(shí)，分三列依次討論9個(gè)字母的排列情況，進(jìn)而求出概率；行數(shù)可能取值為0,1,3,進(jìn)而求出分?jǐn)?shù)

為1和3的概率，然后通過(guò)分布列的性質(zhì)求出行數(shù)為0的概率，最后求出均值.

【詳解】當(dāng)每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同時(shí)，第一列mb,c三個(gè)字母全排列，有

A；種方法，第二列剩下的a,b,c三個(gè)字母的排列方法有A；種，第三列剩下的a,b,c三個(gè)字母的排

列方法有1種，所以共有人通卜1=12、1=12種排列方法，9個(gè)字母在3*3的表格中進(jìn)行排列，共有

A9]21

；=1680種排列方法,所以所求概率為

A3；A人、；A；31680140

由題意知，行數(shù)4的可能取值為0,1,3,/、03c3人總一227

尸(J=1)=-------:~:-----=---

''1680280

3

PC=3)=A4=」1一,P(g=0)=l-PC=l)—PC=3)=1--2-7-------1-=—9，所以行數(shù)g的均值為

168028028028010

“八927_1303

E(a=ox—+ix——+3x—=

10280280一麗一28

3

故答案為：---，

14028,

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知曲線/(x)=/一辦+人在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線方程為y=-3x.

(1)求實(shí)數(shù)。力的值；

(2)求/*)在[-2,3]上的值域.

【答案】(1)a=3,b=0

(2)[-2,18]

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的兒何意義，切線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)列方程求解：

(2)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的極值然后求出端點(diǎn)處的函數(shù)值，和極值比較大小，從而得到函

數(shù)的值域

【小問(wèn)1詳解】

f'(x)^3x2-a,由題意得.(0)=—3=-tz,/(O)=0=b,

解得a=3,1=0

【小問(wèn)2詳解】

由⑴知/(x)=d—3%,/'(%)=3%2—3,

令"x)>0,即3/一3>0,解得》<一1或%>1；

令/'(x)<0,即3/一3<0,解得一1<X<1.

所以〃x)在(-2,-1)單調(diào)遞增，(-1,1)單調(diào)遞減，(1,3)單調(diào)遞增,

則fw的極大值為/（-I）=2,極小值為/（I）=-2-

又因?yàn)?（-2）=-2,/（3）=18,即/（x）在［-2,3］上的最大值，最小值分別為18,—2.

故f（x）在［-2,3］上的值域?yàn)椋?2,18］

18.己知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S“=〃2+2〃.

（1）求證：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列；

（2）設(shè)2=-——，求數(shù)歹也｝的前八項(xiàng)和.

%%任1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

n

⑵3（2〃+3）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)前"項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系可得?！?2〃+1,再結(jié)合等差數(shù)列定義證明;

（2）結(jié)合（1）中的結(jié)果，利用裂項(xiàng)相消法求解.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，貝(J4=S]=3；

當(dāng)“22時(shí)，則a”=S“—S“T=(〃2+2〃)一+2(?-1)]=2//+1；

顯然當(dāng)〃=1時(shí)，也滿足上式,

所以。“=2〃+1.

當(dāng)稔2時(shí)，則a“一?！保?（2〃+1）-［2（4一1）+1］=2,

所以數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列.

【小問(wèn)2詳解】

,1\(11、

由⑴可知，。，=2〃+1,則4=伽+1)(2〃+3)=5匕幣—五百1

可得向+仇+

11_n

64〃+63（2〃+3）

n

所以數(shù)列｛〃｝前〃項(xiàng)和為

3（2n+3）,

19.第三次人工智能浪潮滾滾而來(lái)，以C/7WGPT發(fā)布為里程碑，開(kāi)辟了人機(jī)自然交流的新紀(jì)元.C/zwGPT所

用到的數(shù)學(xué)知碑，開(kāi)辟了人機(jī)自然交流的新紀(jì)元.C%〃GPT所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)并非都是遙不可及的高深理

論，條件概率就被廣泛應(yīng)用于C/M"GPT中.某數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升小組設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題進(jìn)行探究：現(xiàn)有完全相同

的甲，乙兩個(gè)箱子（如圖），其中甲箱裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，乙箱裝有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球除

顏色外完全相同.某人先從兩個(gè)箱子中任取一個(gè)箱子，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一球.

乙

（1）求摸出的球是黑球的概率;

（2）若已知摸出的球是黑球，請(qǐng)用概率公式判斷該球取自哪個(gè)箱子的可能性更大.

【答案】（1）—

30

（2）該球取自乙箱的可能性更大

【解析】

【分析】（1）利用全概率公式求摸出的球是黑球的概率；

（2）利用貝葉斯公式求黑球來(lái)自甲、乙箱的概率，比較它們的大小，即可得結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

記事件A表示“球取自甲箱”，事件N表示“球取自乙箱”，事件8表示“取得黑球”，

則P（A）=P（Z）=g,尸（B|A）=|=g,P（B|A）=|,

由全概率公式得：P（3）=P（A）P（B|A）+P（Z）P（B|Z）+=

【小問(wèn)2詳解】

該球取自乙箱的可能性更大，理由如下:

1x1

該球是取自甲箱的概率p（AIB）=P（竺!，⑷=23=A,

n11

30

/—、/一\12

尸⑷.⑻心x._6

P（B）Hif

30

因?yàn)镻（A|B）<P（,⑻，所以該球取自乙箱的可能性更大.

20.已知等比數(shù)列｛?！埃墓?>1,且“3+4+%=28,%+2是。3，%的等差中項(xiàng)?

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

,x....4〃-1

（2）已知數(shù)列出｝滿足a=1,bn+]-bn=-----，求女.

%

【答案】⑴%=2"T

（\V'-2

⑵2=15-（4〃+3）弓

J

【解析】

【分析】（1）由題意求出公比和%即可求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式：

（2）分別用累加法和錯(cuò)位相減法求包.

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)椤?+2是%，%的等差中項(xiàng)，所以%+%=2（。4+2），

所以生+〃4+%=3%+4=28,解得見(jiàn)=8,

所以％+%=20,所以8（q+'）=20,由4>1可解得夕=2,

q

所以%=?q'l=8-2"T=2"T，

即數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=2"。

【小問(wèn)2詳解】

由題意知，

*「勿=（4〃T）擊，

“a=7x出,

（］y-2

力一如=（47）2,

累加得

（力2-0）+（0-。）++（4-1-4-2）+（年一%）

xn-3

0++（4〃一9）（；+（4〃-哈

3x-+7x

7

xn-2

［；）++（4〃一9）出+（4〃-5）（；

+7x

77

n-2

設(shè)M=3x（g）+7xfl|++（4〃—9）1）+（4〃—5）0

',H>2,

<2

\2

1..c1r門1

-M=3x-+7x-4-+（4〃一9）（4H-5）

222）

配+4x

所以1M=3+4X-+4X

22

11

1-

3+4x12"-2-（4〃-唱

整理得M=14—（4〃+3）出n-2

n-2

所以或=15—（4〃+3）；

又白=1,

21.從傳統(tǒng)旅游熱點(diǎn)重現(xiàn)人山人海場(chǎng)面，到新興旅游城市異軍突起；從“特種兵式旅游”出圈，至『'味蕾游’'興

起；從文博演藝一票難求，到國(guó)風(fēng)國(guó)潮熱度不減……2023年"五一”假期旅游市場(chǎng)傳遞出令人振奮的信息.

這個(gè)“五一，，假期，您在游玩時(shí)的滿意度如何?您對(duì)景區(qū)在“吃住行游購(gòu)?qiáng)?，，等方方面面有哪些評(píng)價(jià)和感受?為

此，某市文旅局對(duì)市內(nèi)各景區(qū)進(jìn)行了游客滿意度測(cè)評(píng)（滿分100分）.

（1）本市一景區(qū)隨機(jī)選取了100名游客的測(cè)評(píng)成績(jī)作為樣本并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布表.

成[0,[20,[40,[60,[80,

績(jī)20)40)60)80)100]

頻

010.10.30.350.15

率

按照分層抽樣的方法，先從樣本測(cè)評(píng)成績(jī)?cè)冢?,20),［80,100］的游客中隨機(jī)抽取5人，再?gòu)倪@

5人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送紀(jì)念品，記這3人中成績(jī)?cè)冢?0,100］的人數(shù)為X,求X的分布列及期

望；

(2)該市文旅局規(guī)定游客滿意度測(cè)評(píng)成績(jī)?cè)?0分及以上為“好評(píng)”，并分別統(tǒng)計(jì)了該市7個(gè)景區(qū)滿意度測(cè)

評(píng)的平均成績(jī)x與“好評(píng)”率y,如下表所示：

X32415468748092

y0.280.340.440.580.660.740.94

根據(jù)數(shù)據(jù)初步判斷，可選用y=在忒化>0)作為回歸方程.

(i)求該回歸方程；

(ii)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)分析，可以認(rèn)為本市各景區(qū)滿意度測(cè)評(píng)平均成績(jī)x~N(〃，400),其中〃近似

為樣本平均數(shù)a,估計(jì)該市景區(qū)“好評(píng)”率不低于0.78的概率為多少？

7___

2尤//.-Ixz

參考公式與數(shù)據(jù)：若z=Iny,則z工一0.64,嚀----------工0.02,ln0.15=-1.9,ln5.2?1.66.

Z^.2-7x

/=1

〃__

^x^-nxy__

線性回歸方程$=+&中，b=R-------------,a=y-bx

E%2-nx-2

i=\

若隨機(jī)變量X~N(〃K),則

尸(〃一b<X<〃+b)n0.683,尸(〃一2bvXv〃+2b)n0.954,P(Q3O<X<〃+3cr)?0.997

【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，1.8

(2)(i)y=0.15e°g；(ii)0.1585

【解析】

【分析】(1)根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知X的取值范圍是{1,2,3},然后算出每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列

出分布列，代入均值的計(jì)算公式即可求解；

(2)(i)根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，利用最小二乘法即可求解方程：

(ii)利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

按照分層抽樣的方法，測(cè)評(píng)成績(jī)?cè)赱0,20)的游客有2人，[80,100]的游客有3人，則X的取值范圍是

{1,2,3},

p(x=1)=^2^=0.3,尸(X=2)=^^=0.6,p(x=3)=^^=o.l,

C5C5C5

￡(X)=1x0.3+2x0.6+3xO.l=1.8.

【小問(wèn)2詳解】

(i)對(duì)曠="'*兩邊取對(duì)數(shù)得lny=lnk+4x,令z=lny,則z=/lx+lnZ

7___

Z%z,.-7xz

根據(jù)所給公式可得/I?0.02

_32+41+54+68+74+80+925

又因?yàn)閤=-----------------------------=63,z~-0.64

所以In攵=-0.64—0.02x63=—1.9,即枚0.15,

所以該回歸方程為y=0.15e°°2,.

(ii)由⑴及參考數(shù)據(jù)可得fi~x=63,<7=20,

]n52

由)20.78即(0.156°必之0.78可得x2石方a83,

又〃+戶83,P(N-o<x</i+(y)-0.683

由正態(tài)分布的性質(zhì)得

P(xN83)=g[l—P(〃—b<x<〃+cr)]a0.1585,

估計(jì)該市景區(qū)“好評(píng)”率不低于0.78的概率為0.1585.

22.已知函數(shù)/(x)=2olnx-尤之+。，aeR

(1)討論函數(shù)/(幻的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)芭,當(dāng),且王〈龍2，曲線y=f(x)在這兩個(gè)零點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)(天,%)，求

證：馬小于4和々的等差中項(xiàng)；

(3)證明：21r+—++----,〃eN"

'7234n+1

【答案】(1)答案見(jiàn)解析