線性代數(shù)二次型

關(guān)于線性代數(shù)二次型●二次型的概念定義叫做二次型。含有n個(gè)自變量的二次齊次函數(shù)如果二次型的系數(shù)都為實(shí)數(shù)，則稱二次型為實(shí)二次型。例如是二次型不是二次型我們要研究它的什么問題?第2頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天為平面上一條二次曲線經(jīng)坐標(biāo)變換:幾何背景第3頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天為空間上一二次曲面的一般形式經(jīng)坐標(biāo)變換:幾何背景第4頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天經(jīng)坐標(biāo)變換1、這種結(jié)果能否推廣到四元，甚至n元二次型上去？2、如果可以，相應(yīng)的變換如何尋找，結(jié)果如何實(shí)現(xiàn)？現(xiàn)有兩個(gè)問題：第5頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天二次型f對(duì)稱矩陣A對(duì)稱矩陣A的秩定義為二次型f的秩一一對(duì)應(yīng)二次型可表示為矩陣形式（其中A為對(duì)稱矩陣）●二次型的矩陣及其秩第6頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4.14設(shè)二次型求（1）f的矩陣A;（2）當(dāng)X=時(shí)，求f的值。解:（1）（2）第7頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4.15設(shè)B為n階方陣，因?yàn)榍笞C二次型矩陣是證明所以由于是一代數(shù)式，故則從而二次型矩陣是第8頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4.16求二次型的矩陣A,并求f的秩。解:由例4.15，得到由于故f的秩為2。則由于對(duì)稱矩陣A的秩定義為二次型f的秩，如何求二次型的矩陣？第9頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4.17求二次型經(jīng)過線性變換解:之后的表達(dá)式。令有則第10頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天只含平方項(xiàng)的二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為對(duì)角形矩陣第11頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天●二次型的標(biāo)準(zhǔn)形定義就稱此二次型為原來(lái)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。如果二次型經(jīng)過可逆線性變換x=Hy變成y的二次型第12頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理1經(jīng)過可逆線性變換后，二次型的秩不變。如例4.17

經(jīng)線性變換化得標(biāo)準(zhǔn)形第13頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天●用配方法把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型作線性變換即解可得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形例第14頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義設(shè)A,B為n階方陣,如果存在n階可逆矩陣C,使得則稱矩陣A與B是合同的,稱矩陣C為合同變換矩陣.結(jié)論實(shí)對(duì)稱矩陣一定與對(duì)角形矩陣合同。第15頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明

A是對(duì)稱矩陣，則AT=A。于是（1）（2）定理4.10對(duì)于任意可逆矩陣C,令如果A是對(duì)稱矩陣,則B也是對(duì)稱矩陣,且R(A)=R(B).第16頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天●將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的實(shí)質(zhì)問題一般形式化為標(biāo)準(zhǔn)形式經(jīng)可逆變換本質(zhì)問題：尋找可逆矩陣P，使得回顧上一章知識(shí)，能否解決？如何解決？上一章的結(jié)論:

對(duì)于實(shí)對(duì)稱陣A,一定存在正交陣P使得A相似對(duì)角陣,即:第17頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天證：由于A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則必有正交矩陣P,使●用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)作正交變換則有定理4.11任給二次型總有正交變換x=Py使f化為標(biāo)準(zhǔn)形其中為A的所有特征值.第18頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天正交變換對(duì)稱矩陣A正交矩陣P用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型第19頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天●用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的具體步驟2.求矩陣A的特征值3.對(duì)每個(gè)特征值，求對(duì)應(yīng)的特征向量4.將特征向量正交化、單位化，得到1.寫出二次型的矩陣A5.構(gòu)造正交矩陣，寫出相應(yīng)的正交變換及標(biāo)準(zhǔn)形正交矩陣正交變換標(biāo)準(zhǔn)形第20頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天得特征值可順次求得單位特征向量例用正交變換，化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形解二次型的矩陣為由令則經(jīng)正交變換，可得標(biāo)準(zhǔn)形第21頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例、試用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型矩陣A的特征多項(xiàng)式為特征值正交化得線性無(wú)關(guān)的特征向量可得特征向量解:第22頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天單位化作正交變換代入f，得到標(biāo)準(zhǔn)型第23頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例求下列平面圖形所圍圖形的面積：解A的特征值為經(jīng)過正交變換曲線可化為標(biāo)準(zhǔn)形第24頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天●慣性定律對(duì)于同一個(gè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)是固定的(稱為二次型的慣性指標(biāo)），等于二次型的秩，且正項(xiàng)的個(gè)數(shù)是固定的（稱為正慣性指標(biāo)），負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)也是固定的（稱為負(fù)慣性指標(biāo)）

。f的慣性指標(biāo)=f的矩陣A的非零特征值的個(gè)數(shù)=R(A)f的正慣性指標(biāo)=f的矩陣A的正特征值的個(gè)數(shù)f的負(fù)慣性指標(biāo)=f的矩陣A的負(fù)特征值的個(gè)數(shù)第25頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天●二次型的規(guī)范形二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是可以不同的，但由慣性定理可知：標(biāo)準(zhǔn)形中正項(xiàng)、負(fù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是固定的，于是，如下形式的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的：以1或-1為系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形稱為二次型的規(guī)范形。結(jié)論：二次型的規(guī)范形是唯一的。補(bǔ)充第26頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.4.3二次型的正定性定義：第27頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例判定下列二次型的正定性正定負(fù)定半負(fù)定半正定不定第28頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天二次型為正定二次型的必要條件是:

所有平方項(xiàng)的系數(shù)都大于零

二次型為負(fù)定二次型的必要條件是:

所有平方項(xiàng)的系數(shù)都小于零

定理4.12

實(shí)二次型為正定二次型的充分必要條件是:

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的n個(gè)系數(shù)都大于零。

第29頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理4.12

實(shí)二次型為正定二次型的充分必要條件是:

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的n個(gè)系數(shù)都大于零。

證明設(shè)可逆變換使得充分性任給則若故必要性反證.假設(shè)某個(gè)取而結(jié)論與f為正定矛盾。第30頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天●判定二次型的正定性定理4.13

若A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則下列命題是等價(jià)的：（1）xTAx是正定二次型（或A是正定矩陣）；（2）A的正慣性指標(biāo)為n；（3）存在可逆矩陣P，使得A=PTP；（4）A的n個(gè)特征值全大于零。第31頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天推論第32頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例證明：如果A是正定矩陣，則A－1、AT都是正定矩陣。因?yàn)椋潦钦ň仃嚕裕恋奶卣髦等笥诹阍O(shè)Ａ的特征值為λ，則λ＞０而的特征值為所以的特征值全大于零所以為正定矩陣的特征值為證明第33頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天解出特征值故A是正定矩陣，f是正定二次型。例判斷二次型的正定性解法1

二次型的矩陣為第34頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理4.14(hurwitz定理）定義設(shè)n階方陣我們把n個(gè)行列式都叫做矩陣的順序主子式。二次型為正定的充分必要條件是：二次型的矩陣的所有順序主子式大于０．第35頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天推論二次型為負(fù)定的充分必要條件是：二次型的矩陣的所有奇數(shù)階順序主子式小于０，偶數(shù)階順序主子式大于０．第36頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天解出特征值故A是正定矩陣，f是正定二次型。例判斷二次型的正定性解法1

二次型的矩陣為第37頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天A的三個(gè)順序主子式為所以A是正定矩陣，f是正定二次型。例判斷二次型的正定性解法2

二次型的矩陣為第38頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天解二次型的矩陣A的三個(gè)順序主子式為所以f為負(fù)定二次型。例判斷二次型的正定性第39頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天解二次型的矩陣為要使A正定,則應(yīng)有例