高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第33講 8.5.3 平面與平面平行（學(xué)生版）

第10講8.5.3平面與平面平行課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解并掌握平面與平面平行的判定定理。②理解并掌握平面與平面平行的性質(zhì)定理。1.通過(guò)對(duì)平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理的探索過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺(jué)以及運(yùn)用圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力；2.進(jìn)一步了解空間平面與平面平行關(guān)系的基本性質(zhì)及判定方法，學(xué)會(huì)準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述幾何對(duì)象的位置關(guān)系，并能解決一些簡(jiǎn)單的推理論證及應(yīng)用問(wèn)題；3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，而且能使學(xué)生把這些認(rèn)識(shí)遷移到后續(xù)的知識(shí)學(xué)習(xí)中去，為后面學(xué)習(xí)面面垂直打下基礎(chǔ)；知識(shí)點(diǎn)01：平面與平面平行的判定定理（1）兩個(gè)平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.（定理簡(jiǎn)述：線面平行，則面面平行。）（2）符號(hào)語(yǔ)言（3）圖形語(yǔ)言（4）定理應(yīng)用線線平行面面平行【即學(xué)即練1】（2023上·北京海淀·高二北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn).給出下列四個(gè)推斷：

①平面；②平面；③平面；④平面平面，其中推斷正確的序號(hào)是.【答案】①③【詳解】對(duì)于①：因?yàn)樵谡襟w中，，，分別是，，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故①正確；對(duì)于②：因?yàn)?，與平面相交，所以與平面相交，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：因?yàn)?，，分別是，，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故③正確；對(duì)于④：與平面相交，所以平面與平面相交，故④錯(cuò)誤.故答案為：①③.

知識(shí)點(diǎn)02：平面與平面平行的性質(zhì)定理（1）平面與平面平行的性質(zhì)定理兩個(gè)平行平面，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.（2）符號(hào)語(yǔ)言（3）圖形語(yǔ)言（4）定理應(yīng)用面面平行線線平行【即學(xué)即練2】（2023上·上海浦東新·高二上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谥校┤鐖D，平面平面，所在的平面與，分別交于和，若，，，則.【答案】【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，由面面平行的性質(zhì)定理得，所以，所以，即，解得，故答案為：.知識(shí)點(diǎn)03：直線與平面、平面與平面之間位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化由直線與直線平行可以判定直線與平面平行;由直線與平面平行的性質(zhì)可以得到直線與直線平行;由直線與平面平行可以判定平面與平面平行;由平面與平面平行的定義及性質(zhì)可以得到直線與平面平行、直線與直線平行.這種直線、平面之間位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化是立體幾何中的重要思想方法.題型01判斷，證明面面平行【典例1】（2023下·山西太原·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)于不重合的兩個(gè)平面α與β，給定下列條件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到β的距離相等；④存在異面直線l，m，使得lα，lβ，mα，mβ..其中可以判斷兩個(gè)平面α與β平行的條件有個(gè)．【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下面四個(gè)正方體中，點(diǎn)A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形序號(hào)是．（寫(xiě)出所有符合條件的序號(hào)）【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為，中點(diǎn)，G，H分別為，中點(diǎn)，O為平面中心．證明：平面‖平面；【典例4】（2023下·遼寧阜新·高一校考期末）已知在正方體中，M、E、F、N分別是、、、的中點(diǎn).求證：(1)E、F、D、B四點(diǎn)共面(2)平面平面.【變式1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，三條直線、、不共面，但交于一點(diǎn)，若，，，那么平面和平面的位置關(guān)系是．【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三棱柱ABCA1B1C1，D，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1，CC1的中點(diǎn)，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是.【變式3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知S是等邊△ABC所在平面外一點(diǎn)，D，E，F(xiàn)分別是SA，SB，SC的中點(diǎn)，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是．【變式4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，幾何體為直四棱柱截去一個(gè)角所得，四邊形是正方形，，，為的中點(diǎn)．證明：平面平面；題型02補(bǔ)全面面平行的條件【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖平面，是矩形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)．當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面，若存在指出點(diǎn)位置并證明，若不存在說(shuō)明理由．【典例2】（2023下·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正三棱柱的高為，底面邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別為，上的點(diǎn).

(1)在棱，上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？如果存在，在此條件下證明平面平面；(2)在（1）的條件下，求幾何體的體積.【典例3】（2023下·江蘇南京·高一南京師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)且平面

(1)證明：為的中點(diǎn)；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面，若存在，請(qǐng)給出點(diǎn)的位置，并證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式1】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，為底面的中心，是的中點(diǎn)，設(shè)是上的點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，平面平面？【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，分別為線段，的中點(diǎn)．(1)求證：平面．(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面平面請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式3】（2023下·陜西銅川·高一?？计谥校┤鐖D所示，底面為正方形的四棱錐中，，，，與相交于點(diǎn)O，E為中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)上是否存在點(diǎn)F，使平面平面．若存在，請(qǐng)指出并給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型03面面平行證明線線平行【典例1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，四棱柱中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別在線段DB，上，，G在上且平面平面，則（

）

A． B． C． D．【典例2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，直四棱柱被平面所截，截面為CDEF，且，，，平面與平面所成角的正切值為．證明：.【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置.【變式1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在多面體中，面是正方形，平面，平面平面，四點(diǎn)共面，，．求證：.【變式2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，平面ADE，．求證：．【變式3】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱柱中，底面為梯形，，平面與交于點(diǎn)．求證：．題型04面面平行證明線面平行【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，四邊形為梯形，∥，，，，點(diǎn)在線段上，且，為線段的中點(diǎn)．求證：∥平面.【典例2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．證明：平面.

【典例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖、三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，點(diǎn)在線段上且，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)為多少時(shí)，直線平面？【變式1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直四棱柱中，，求證：平面.

【變式2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，M為PA的中點(diǎn)，E是PC靠近C的一個(gè)三等分點(diǎn)．

(1)若N是PD上的點(diǎn)，平面ABCD，判斷MN與BC的位置關(guān)系，并加以證明．(2)在PB上是否存在一點(diǎn)Q，使平面BDE成立？若存在，請(qǐng)予以證明，若不存在，說(shuō)明理由．【變式3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正方形和正方形，如圖所示，、分別是對(duì)角線、上的點(diǎn)，且．求證：平面．

題型05空間平行的轉(zhuǎn)化【典例1】（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）正四棱柱中，，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱上，，則平面AMN與側(cè)面的交線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合）.作出平面與平面的交線（要求寫(xiě)出作圖過(guò)程），并證明：若平面平面，則；【變式1】（2023上·四川南充·高二儀隴中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做平面，使得平面平面，則平面與正方形的交線的長(zhǎng)度為．【變式2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面PAD，，E，F(xiàn)，H，G分別是棱PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)判斷直線EF與直線GH的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高二雅禮中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)為兩條直線，為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正確的命題是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，則2．（2024上·北京·高三階段練習(xí)）已知正方體，平面與平面的交線為l，則（

）A． B． C． D．3．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在正四棱柱中，為底面的中心，是的中點(diǎn)，設(shè)是上的點(diǎn)，則點(diǎn)滿足什么條件時(shí)，有平面∥平面．（

）A．Q為的三等分點(diǎn) B．Q為的中點(diǎn)C．Q為的四等分點(diǎn) D．Q與C重合4．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在直四棱柱中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱上的點(diǎn)，且，過(guò)作平面，使得平面平面AEF，則平面截直四棱柱，所得截面圖形的面積為（

）A． B． C．3 D．5．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖是四棱錐的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論:①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB．其中正確的有（）A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③6．（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在下列四個(gè)正方體中，P，R，Q，M，N，G，H為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，陰影平面與PRQ所在平面平行的是（

）A． B．C． D．7．（2023下·河南信陽(yáng)·高二信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）設(shè)直線，平面，則下列條件能推出的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且8．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M，N，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，則滿足直線BM與平面CNQ平行的是（

）A．B．C．D．二、多選題9．（2023下·陜西渭南·高一?？计谀?，，是三個(gè)平面，，是兩條直線，下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，，則10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)P，Q分別為，的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P，Q的平面截正方體所得截面的形狀可能為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形三、填空題11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E在棱上且滿足，點(diǎn)F是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且面AEC，則動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)面上的軌跡長(zhǎng)度為．12．（2024·黑龍江伊春·高二伊春二中?？紝W(xué)業(yè)考試）已知是三條不重合直線，是三個(gè)不重合平面，下列說(shuō)法：①，；②，；③，；④，；⑤，；⑥，.其中正確的說(shuō)法序號(hào)是（注：把你認(rèn)為正確的說(shuō)法的序號(hào)都填上）四、解答題13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，平面ADE，．求證：．14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在圓柱中，等腰梯形為底面圓的內(nèi)接四邊形，且，矩形是該圓柱的軸截面，為圓柱的一條母線，．求證：平面平面.

15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在多面體中，是正方形，，，，為棱的中點(diǎn)．求證：平面平面.16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直四棱柱中，，求證：平面.

B能力提升1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界）．若平面，則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，四棱柱中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別在線段DB，上，，G在上且平面平面，則（

）

A． B． C． D．3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)、、、、為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線平面的是（

）A．

B．

C．

D．

4．（2024上·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，在線段上，且是側(cè)面上一點(diǎn)，且平面，則線段的最大值為