高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第34講 8.6.1 直線與直線垂直（學(xué)生版）

第11講8.6.1直線與直線垂直課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①借助長方體，了解空間中直線與直線垂直的關(guān)系。②.理解并掌握異面直線所成的角，會(huì)求任意兩條直線所成的角。1、本節(jié)內(nèi)容包含異面直線所成的角的定義，以及直線與直線垂直教材以正方體為載體，讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)空間直線的位置關(guān)系和異面直線所成的角的定義通過平移來研究異面直線所成的角是研究空間圖形的一種基本思路，即把空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題2.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，為學(xué)生后面學(xué)習(xí)空間直線、平面的垂直關(guān)系打下基礎(chǔ)，同時(shí)更好地提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)知識(shí)點(diǎn)01：異面直線所成角的概念已知兩條異面直線，，經(jīng)過空間任一點(diǎn)分別作直線，，我們把直線QUOTEa'與QUOTEb'所成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）知識(shí)點(diǎn)02：異面直線所成角的范圍由異面直線所成角的定義得，異面直線所成的角是銳角或直角，即.注意：①異面直線所成角的大小不能是，若兩條直線所成角是，則這兩條直線平行，不可能異面.②空間兩直線所成的角的范圍是.知識(shí)點(diǎn)3：兩條異面直線垂直的定義如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線與直線垂直，記作.注意：兩條直線垂直，既包括相交垂直，也包括異面垂直.知識(shí)點(diǎn)04：異面直線所成的角的求解步驟①構(gòu)造：根據(jù)異面直線的定義，用平移法（常利用三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì))作出異面直線所成的角.②證明：證明作出的角就是要求的角③計(jì)算：求角度（常利用三角形的有關(guān)知識(shí)）④結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.【即學(xué)即練1】（2024上·上海·高二專題練習(xí)）已知空間四邊形，連接和，且，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則異面直線和所成的角的余弦值是．【答案】【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，，∵，分別為，中點(diǎn)，∴，且，∴異面直線和所成角為或其補(bǔ)角，在等邊和等邊中，，∴在中，由余弦定理，有，∴異面直線和所成的角的余弦值為.故答案為：.題型01判斷兩直線是否為異面直線【典例1】（2024上·上海·高二專題練習(xí)）如圖，在正方體中，M、N分別為棱、的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與是異面直線；④直線AM與是異面直線．其中正確的結(jié)論為（

）A．③④ B．①② C．①③ D．②④【典例2】（2024上·北京海淀·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知E，F(xiàn)分別為三棱錐的棱的中點(diǎn)，則直線與的位置關(guān)系是（填“平行”，“異面”，“相交”）．【典例3】（2023上·北京海淀·高二北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線異面的是.①②③④【變式1】（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體中，與平行的是（

）A． B． C． D．【變式2】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)校考期末）在正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則直線與直線的位置關(guān)系是．【變式3】（2023上·上?！じ叨？计谥校┰谡襟w中的12條棱所在直線中，與直線是異面直線的共有條.題型02求異面直線所成的角【典例1】（2024上·重慶·高二重慶八中?？计谀┰谡襟w中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024上·河北邯鄲·高三磁縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知圓柱的底面半徑和母線長均為1，分別為上、下底面圓周上的點(diǎn)，若異面直線所成的角為，則（

）A．1 B． C．1或2 D．2或【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知在矩形和矩形中，，，且二面角為，則異面直線與所成角的正弦值為．【變式1】（2024上·重慶·高二重慶巴蜀中學(xué)校考期末）在長方體中，，則異面直線的夾角余弦值為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024上·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式3】（2024上·上海徐匯·高二統(tǒng)考期末）如圖，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，經(jīng)過頂點(diǎn)A和各作一個(gè)平面與平面平行，前者與平面交于，后者與平面交于，則異面直線與所成角的余弦值為.題型03證明異面直線垂直【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）四面體ABCD中，對棱，E，F(xiàn)，G，H是它們所在棱的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是矩形．【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，EF=．求證：AD⊥BC．【變式1】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）空間四邊形，，，分別是，，的中點(diǎn)，，，.求證：.【變式2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)G＝2，GE＝，EF＝3.求證：AC⊥BD.題型04異面直線公垂線問題【典例1】（2023上·四川成都·高二成都七中?？茧A段練習(xí)）如圖，兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點(diǎn)和點(diǎn)，使，且（稱為異面直線的公垂線）．已知，，，則公垂線．

【典例2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）（1）已知正方體的棱長為a，則異面直線與AD公垂線是．（2）已知正方體的棱長為a，則異面直線與距離是．（3）已知正方體的棱長為a，則異面直線與公垂線是．（4）已知正方體的棱長為a，則異面直線與距離是．【變式1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點(diǎn)和點(diǎn)A，F(xiàn)，使，且（稱為異面直線a，b的公垂線）．已知，，，則公垂線．【變式2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)M、N分別是邊AB、CD的中點(diǎn).求證：MN為AB和CD的公垂線.題型04根據(jù)異面直線所成角求參數(shù)【典例1】（2024上·四川內(nèi)江·高二統(tǒng)考期末）如圖，空間四邊形的對角線，，，分別為，的中點(diǎn)，并且異面直線與所成的角為，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【典例2】（2023上·廣西南寧·高二南寧三中校聯(lián)考期中）如圖，由矩形與矩形構(gòu)成的二面角為直二面角，為中點(diǎn)，若與所成角為，且，則（

）A．1 B．2 C． D．【典例3】（2023·上海青浦·統(tǒng)考一模）已知四棱錐，底面為正方形，邊長為，平面．(1)求證：平面；(2)若直線與所成的角大小為，求的長．【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正四面體中，為中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)異面直線與所成角的正弦值最小時(shí)，（

）A． B． C． D．【變式2】（多選）（2023上·山東德州·高二校考階段練習(xí)）已知，分別是三棱錐的棱，的中點(diǎn)，且，.若異面直線與所成角的大小為，則線段EF的長可能為（

）A． B． C．5 D．題型05與已知直線成角的直線條數(shù)問題【典例1】（2023上·上海奉賢·高二校聯(lián)考期中）若兩異面直線所成的角為，過空間內(nèi)一點(diǎn)作與直線所成角均為的直線，則所作直線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例2】（2024上·上海·高二專題練習(xí)）異面直線a，b成80°角，點(diǎn)P是a，b外的一個(gè)定點(diǎn)，若過P點(diǎn)有且僅有n條直線與a，b所成的角相等且等于45°，則n＝．【典例3】（2023上·上海·高二上海交大附中?？计谀┮阎惷嬷本€、所成角為，過空間定點(diǎn)與、成角的直線共有3條，則的大小是.【變式1】（2023上·安徽·高二合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知兩條異面直線a，b所成角為，若過空間內(nèi)一定點(diǎn)的直線l和a，b所成角均為，則這樣的直線l有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【變式2】（2023下·上海·高二專題練習(xí)）正方體中，過作直線，若直線與平面中的直線所成角的最小值為，且直線與直線所成角為，則滿足條件的直線的條數(shù)為.【變式3】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知異面直線所成角為，過空間一點(diǎn)有且僅有條直線與所成角都是，則的取值范圍是.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2012·北京·統(tǒng)考一模）若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，bc，則直線a與c（）A．一定平行 B．一定垂直C．一定是異面直線 D．一定相交2．（2019上·山西朔州·高二階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，D為的中點(diǎn)，，則異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．3．（2017上·陜西西安·高一西安中學(xué)?？计谀┰谡襟w中，異面直線與所成的角為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°4．（2014·全國·高三專題練習(xí)）如圖是某個(gè)正方體的平面展開圖，，是兩條側(cè)面對角線，則在該正方體中，與A．互相平行 B．異面且互相垂直 C．異面且夾角為 D．相交且夾角為5．（2019上·青海西寧·高二西寧四中階段練習(xí)）設(shè)P是直線外一定點(diǎn)，過點(diǎn)P且與成30°角的異面直線()A．有無數(shù)條 B．有兩條 C．至多有兩條 D．有一條6．（2023下·陜西安康·高二統(tǒng)考期末）在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的正切值為（

）A． B． C． D．7．（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末）在直三棱柱中，，，為四邊形的中心，則異面直線與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．（2023下·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知空間四邊形ABCD的四條邊及對角線的長均為1，M?N分別是BC與AD的中點(diǎn)，設(shè)AM和CN所成角為，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示是正四面體的平面展開圖,分別為的中點(diǎn),在這個(gè)正四面體中,下列命題正確的是A．與平行 B．與為異面直線C．與成60°角 D．與垂直10．（2023下·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，將△ABM沿直線AM翻折成△AB1M，連接B1D，N為B1D的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法正確的是（

）．

A．存在某個(gè)位置，使得CN⊥AB1；B．翻折過程中，CN的長是定值；C．若AB＝BM，則AM⊥B1D；D．若AB＝BM＝1；當(dāng)三棱錐B1－AMD的體積最大時(shí)；三棱錐B1－AMD的外接球的表面積是4π．三、填空題11．（2023下·全國·高一專題練習(xí)）已知兩異面直線a，b所成的角為17°，過空間一點(diǎn)P作直線l，使得l與a，b的夾角均為9°，那么這樣的直線l有條．12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）平面過正方體的頂點(diǎn)平面平面，平面，則所成角的正弦值為.四、解答題13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，若EF＝，求異面直線AD，BC所成角的大小.14．（2023上·上海寶山·高二?？茧A段練習(xí)）在直三棱柱中，，，，、分別為棱、的中點(diǎn)．(1)求異面直線與所成角的正切值；(2)求三棱錐的全面積.B能力提升1．（2023·高二單元測試）如圖，在正三棱柱中，若，則與所成角的大小為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為A． B．