2021-2022學(xué)年江蘇省金湖洪澤等四校聯(lián)盟高一下學(xué)期第三次學(xué)情調(diào)查數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年江蘇省金湖、洪澤等四校聯(lián)盟高一下學(xué)期第三次學(xué)情調(diào)查數(shù)學(xué)試題一、單選題1．北京2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉樣物“雪容融”很受歡迎，現(xiàn)工廠決定從20只“冰墩墩”，15只“雪容融”和10個(gè)北京2022年冬奧會(huì)會(huì)徽中，采用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，若“冰墩墩”抽取了4只，則n為（

）A．3 B．2 C．5 D．9【答案】D【分析】利用分層抽樣中的比例列出方程，求出答案.【詳解】，解得：故選：D2．已知向量，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．6 D．14【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)條件求得的坐標(biāo)，再根據(jù)，得到關(guān)于的方程，解之即可．【詳解】∵，，∴，又∵，∴，解得．故選：D．3．已知，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法和乘方化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】，且的乘方運(yùn)算是以4為周期的運(yùn)算所以，所以復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，在第二象限.故選：B4．在正方體中，點(diǎn)在線段中點(diǎn)，異面直線與所成夾角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷出即為異面直線與所成角，在等邊三角形中，即可求解.【詳解】如圖示，在正方體中，.所以即為異面直線與所成角.因?yàn)闉榈冗吶切危c(diǎn)在線段中點(diǎn)，所以=.故選：A5．已知，，且、均為銳角，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合角的范圍，由同角三角函數(shù)關(guān)系求得，，由，利用兩角差的正弦公式展開，代數(shù)數(shù)值計(jì)算即得.【詳解】已知，為銳角，∴,∵、均為銳角，∴，又∵，∴，∴,∴,故選：D.6．已知是兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下面四個(gè)命題中，正確的命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】由空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐一進(jìn)行分析即可．【詳解】解：對(duì)于A：若，則或或與相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：要得到，則需要與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，只有得不到，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則或與相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，由面面垂直的判定定理可得，故D正確；故選：D7．“斗”不僅是我國古代容量單位，還是量糧食的器具，如圖所示．其可近似看作正四棱臺(tái)，上底面是邊長為的正方形，下底面是邊長為的正方形，高為．“斗”的面的厚度忽略不計(jì)，則該“斗”的所有側(cè)面的面積之和與下底面的面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正四棱臺(tái)性質(zhì)，求得高為，再結(jié)合側(cè)面積公式和正方形的面積公式，即可求解.【詳解】由正四棱臺(tái)，上底面是邊長為的正方形，下底面是邊長為的正方形，高為，四棱臺(tái)的側(cè)面均為等腰梯形，則其高為，所以“斗”的所有側(cè)面的面積之和為，下底面的面積為，所以.故選:A.8．若圓錐，的頂點(diǎn)和底面圓周都在半徑為的同一個(gè)球的球面上，兩個(gè)圓錐的母線長分別為，，則這兩個(gè)圓錐公共部分的體積為A． B． C． D．【答案】A【解析】過圓錐的軸作出截面圖求解，兩個(gè)圓錐共頂點(diǎn)且底面平行，故它們的公共部分也是一個(gè)圓錐，求出其底面半徑和高，即可得所求體積.【詳解】易得在同一條直線上，過該直線作出截面圖如圖所示.是圓錐底面圓的直徑，是圓錐底面圓的直徑，兩直徑都與垂直.在中，，則可得.在中，，則，則.又，所以點(diǎn)重合.這兩個(gè)圓錐共頂點(diǎn)且底面平行，故它們的公共部分也是一個(gè)圓錐，其底面半徑為，高為，所以所求體積為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查與球有關(guān)的切接問題，體積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是過球心作出截面圖.二、多選題9．在中，下列結(jié)論正確的是A．B．C．若,則為等腰三角形D．若,則為銳角三角形【答案】BC【解析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算法則逐個(gè)辨析即可.【詳解】對(duì)于A,,故A中結(jié)論錯(cuò)誤；對(duì)于B,設(shè)為向量與的夾角,因?yàn)?而,故,故B中結(jié)論正確；對(duì)于C,,故,所以為等腰三角形,故C中結(jié)論正確；對(duì)于D,取,,滿足,但為鈍角三角形,故D中結(jié)論錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算與性質(zhì)判定.屬于基礎(chǔ)題.10．在中各角所對(duì)得邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的有（

）A．則為等邊三角形；B．已知，則；C．已知，，，則最小內(nèi)角的度數(shù)為；D．在，，，解三角形有兩解．【答案】ABC【分析】利用正弦定理、余弦定理一一計(jì)算可得；【詳解】解：對(duì)于A：若，則，即，即，即是等邊三角形，故A正確；對(duì)于B：由，可得，余弦定理：．，，故B正確．對(duì)于C：因?yàn)?，，，所以，所以，所以，，，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，，，所以，即解得，因?yàn)椋?，所以三角形只?解；故選：ABC11．如圖，在中，，D，E是BC的三等分點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由向量的線性運(yùn)算即可判斷A，B,取DE的中點(diǎn)G，由，D，E是BC的三等分點(diǎn)得G是BC的中點(diǎn)，計(jì)算可得，進(jìn)而得出，計(jì)算可判斷選項(xiàng)C,由C可知，兩邊平方，化簡(jiǎn)計(jì)算可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B，由題意得D為BE的中點(diǎn)，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，取DE的中點(diǎn)G，由，D，E是BC的三等分點(diǎn)得G是BC的中點(diǎn)，且，所以，所以，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由G是BC的中點(diǎn)得，兩邊平方得，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.12．已知甲烷的化學(xué)式為，其結(jié)構(gòu)式可看成一個(gè)正四面體，其中四個(gè)氫原子位于正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)處，而碳原子恰好在這個(gè)正四面體的中心，碳原子與每個(gè)氫原子之間均有化學(xué)鍵相連，若我們把每個(gè)原子看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，兩個(gè)氫原子之間的距離為1，則（

）A．碳原子與氫原子之間的距離為B．正四面體外接球的體積為C．正四面體的體積為D．任意兩個(gè)碳?xì)浠瘜W(xué)鍵的夾角的余弦值為【答案】ACD【分析】對(duì)于A，由題A正確，對(duì)于B，為正四面體外接球的半徑正四面體外接球的體積為B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，為正三角形正四面體的體積為C正確，對(duì)于D，設(shè)D正確.【詳解】如圖所示，正四面體中，點(diǎn)是正四面體的中心，連接，，，，于是．設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為，連接，正四面體的棱長為1，則，所以，，則碳原子與氫原子之間的距離為，選項(xiàng)A正確；由A可知，為正四面體外接球的半徑，則正四面體外接球的體積為，B錯(cuò)誤；正四面體的體積，C正確；設(shè)，其中，在中，由余弦定理得，故任意兩個(gè)碳?xì)浠瘜W(xué)鍵的夾角的余弦值為，D正確．故選：ACD．三、填空題13．已知，則___________.【答案】【分析】由差的正弦公式化簡(jiǎn)即可得出.【詳解】因?yàn)?，所以，整理可得，?故答案為：.14．一個(gè)長方體的長、寬、高分別為9，8，3，若在上面鉆一個(gè)高為3的貫穿上下表面的圓柱形孔后，其表面積沒有變化，則孔的半徑為______.【答案】3【分析】根據(jù)在上面往下面鉆一個(gè)圓柱形孔后其表面積沒有變化，可知圓孔的側(cè)面積與兩個(gè)底面的面積和相等，然后列出等式即可求解．【詳解】解：正方體被鉆掉一個(gè)圓柱形孔后，正方體的表面積減少了兩個(gè)圓柱的底面積大小，同時(shí)又增加了圓柱的側(cè)面積，∵在上面往下面鉆一個(gè)圓柱形孔后其表面積沒有變化，∴圓孔的側(cè)面積與兩個(gè)底面的面積和相等，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則2πr2＝2πr?3，即r＝3，故答案為：3．15．已知單位向量，，滿足，則__________．【答案】【分析】根據(jù)可求得，由，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可求得結(jié)果.【詳解】由得：，，.故答案為：.16．如圖，已知為的重心，且，若，則角的大小為_______.【答案】【詳解】分析：利用余弦定理、直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)求值即可得出．詳解：連AO并延長與BC相交于點(diǎn)D，∵為的重心，∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且．設(shè)AD=m，∠ADB=α．則，以上兩式兩邊分別相加可得：又，∴．又，在中，由余弦定理的推論得．∵，∴．點(diǎn)睛：本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力．由于題中涉及的三角形較多，故解題的關(guān)鍵是分清是用哪個(gè)三角形，然后根據(jù)條件選擇余弦定理合適的形式求解．四、解答題17．設(shè)為虛數(shù)單位，，復(fù)數(shù)，.(1)若是實(shí)數(shù)，求的值；(2)若是純虛數(shù)，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)，再根據(jù)是實(shí)數(shù)求解；（2）先利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)，再根據(jù)是純虛數(shù)求解.【詳解】(1)解：，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，則，解得.(2)，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，則，解得.所以.18．已知向量，滿足，，．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若設(shè)與的夾角為，求的大?。敬鸢浮?1)(2)【分析】（1）利用向量垂直數(shù)量積為，得出，從而確定向量，不共線，可作為一組基底，再根據(jù)共線定理得出實(shí)數(shù)的值；（2）根據(jù)兩向量的夾角公式的需要，首先求出兩向量的數(shù)量積，再求出的模長，最后代入夾角公式即可.【詳解】(1)由可得：，即，又由，得，，代入解得：，所以，是不共線的向量.由題可設(shè)：，因?yàn)椋遣还簿€的向量，所以且，解得．(2)由于，，由與的夾角為：，由于，所以．19．在①，②，③，其中S為△ABC的面積）這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答問題，在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，，，計(jì)算△ABC的面積S．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】選①，；選②，；選③，．【分析】根據(jù)正弦定理、誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式可得，求出.若選①，根據(jù)余弦定理可得，結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即可；若選②，根據(jù)余弦定理可得，則△ABC為等邊三角形，即可求出三角形面積；若選③，根據(jù)余弦定理和三角形面積公式求出，則△ABC為直角三角形，即可求出三角形面積.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得．因?yàn)椋?，即．又因?yàn)椋傻?，所以即．若選①，即．則由余弦定理可得，即，即，解得．故△ABC的面積．若選②，即，則，整理得，由余弦定理得，因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋浴鰽BC為等邊三角形，故△ABC的面積．若選③，即．由余弦定理可得，而△ABC的面積，故，整理得，．因?yàn)?，所以，所以．所以．故Rt△ABC的面積．20．如圖，在直三棱柱中，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).求證：(1)(2)平面.(3)若，求直線與平面所成角的正切值.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)推理作答.（2）證明，再利用線面平行的判斷推理作答.（3）根據(jù)給定條件，確定直線與平面所成的角，再借助三角形計(jì)算作答.【詳解】(1)在直三棱柱中，平面，平面，則，而AC⊥BC，，平面，則有平面，又平面，所以.(2)令，連OD，如圖，矩形中，O是中點(diǎn)，而點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則，又平面，平面，所以平面.(3)在直三棱柱中，平面，平面，則，因，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則，連，又，平面，于是得平面，而平面，因此，平面平面，則是在平面上的射影，是直線與平面所成的角，而，因此，，所以直線與平面所成角的正切值是.21．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，且(1)證明：；(2)若，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）在中由銳角三角函數(shù)，得，代入條件，由正弦定理角化邊得，即證；（2）由三角形等面積法，得，代入可得；將條件和同時(shí)代入余弦定理，化簡(jiǎn)后利用輔助角公式得到，即可求解.【詳解】(1)在中，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，即在中，根?jù)正弦定理，得，故.(2)在中，，又由（1）知，，所以，在中，根據(jù)余弦定理，得，又由已知，，得，所以，則，即，因?yàn)?，則，所以或，所以或，又點(diǎn)在邊上，且，，所以必有一個(gè)大于等于，所以.22．如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于，的母線.(1)證明：平面DEF；(2)若，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明，再證明，根據(jù)線面垂直的判定定理可證明結(jié)論；（2）先推出三棱錐的體積最大時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，由此再求二面角的余弦值；法一：通過證線面垂直可說明是二面角的平面角，解直角即可求得答案；法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出平面DEF和平面BDF的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得答案.【詳解】(1)證明：如右圖，連接AE，由題意知AB為的直徑，所以.因?yàn)锳D，EF是圓柱的母線，所以且,所以四邊形AEFD是平行四邊形.所以,所以.因?yàn)镋F是圓柱的母線，所以平面ABE,又因?yàn)槠矫鍭BE，所以.又因?yàn)?，DF，平面DEF，所以平面DEF.(2)由（1）知BE是三棱錐底面DEF上的高，由（1）知，，所以，即底面三角形DEF是直角三角形.設(shè)，，則,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等