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文檔簡介
2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期高三期末調(diào)研考試
數(shù)學(xué)試題
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,
用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上
無效。
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是
符合題目要求的。
1.已知集合4=,"一1|,2},B={-1,0,1,2,3,4},則AB=
A.{-1,0,1}B.{2,3,4}C.{3,4}D.{-1,3,4)
2.若z=(2+i)(l—i),則z+W等于
A.2B.6C._2D.-6
4?
3.數(shù)列滿足q=4,an+{=—+——,則包=
ann+\
88
A.2B.-C.-2D.--
33
4.如圖,點(diǎn)尸為射線y=與以原點(diǎn)O為圓心的單位圓的交點(diǎn),一動點(diǎn)在圓O上以點(diǎn)P為起始點(diǎn),沿逆
時針方向運(yùn)動,每2秒轉(zhuǎn)一圈.則該動點(diǎn)橫坐標(biāo)/?)關(guān)于運(yùn)動時間r的函數(shù)的解析式是
、
A-/(f)=sin(2f+?B./(f)=sin
3J
7
C/(/)=cos+―D./”)=cos2t---
I3JI3
5.函數(shù)〃尤)==一的圖象大致是
x+1
6.已知函數(shù)/(x)=sin2絲+—:sins-L?〉0),若在(條手)上恰在兩個零點(diǎn),則co的值可
以是
1
A.-B.IC.2D.3
2
22
7.己知橢圓C:左+方=1(。>萬>0),耳,K分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),ZPF}F]=p
V6
過招做4F\PF2外角平分線的垂線交"P的延長線于N點(diǎn).若sinNPNF]則橢圓的離心率
4
V3-1V3V5V5-1
A.-------B?C.D.
2----222
8.已知三棱錐>A8C的所有棱長均為2,以8。為直徑的球面與△4BC的交線為L,則交線乙的長度為
2644#)兀2瓜兀4指兀
A.-------B.--------C.--------D.--------
9999
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目
要求。全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。
9.某中學(xué)為了能充分調(diào)動學(xué)生對學(xué)術(shù)科技的積極性,鼓勵更多的學(xué)生參與到學(xué)術(shù)科技之中,提升學(xué)生的創(chuàng)新
意識,該學(xué)校決定邀請知名教授于9月2日和9月9日到學(xué)校做兩場專題講座.學(xué)校有東、西兩個禮堂,第一
次講座地點(diǎn)的安排不影響下一次講座的安排,假設(shè)選擇東、西兩個禮堂作為講座地點(diǎn)是等可能的,則下列敘述
正確的是
A.兩次講座都在東禮堂的概率是,
4
B.兩次講座安排在東、西禮堂各一場的概率是
2
3
C.兩次講座中至少有一次安排在東禮堂的概率是一
4
D.若第一次講座安排在東禮堂,下一次講座安排在西禮堂的概率是,
3
10.如圖是正方體的平面展開圖,則在這個正方體中
A.AB與CD平行B.CD與GH是異面直線
C.EF與GH成60°角D.CD與EF平行
II.己知函數(shù)〃x)=《(aw0),則/(力
A.在(9,0)上單調(diào)遞增B.無極小值
22
C.無最小值D.有極小值,極小值為*
4
12.平面內(nèi)有一定點(diǎn)A和一個定圓。,尸是圓。上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線I和直線OP相交于點(diǎn)Q,
當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時,點(diǎn)Q的軌跡可以是
A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.(l+2x)3(l—x『的展開式中x項(xiàng)的系數(shù)是.
14.己知向量a=(l,1),/?=(1,0),c=Aa+b,〈a,b〉=〈b,c〉,則2=.
15.定義在R上的兩個函數(shù)/(x)和g(x),己知/(x)+g(l-x)=3,g(x)+〃x—3)=3.若y=g(x)圖
象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,則〃0)=g(l)+g(2)+g(3)++g(1000)=.
16.已知雙曲線G:x2-y2=l,圓。2:(x—4丫+9=2,在G的第四象限部分取點(diǎn)P,過P做斜率為1
的直線/,若/與交于不同的兩點(diǎn)M,N,則歸加卜歸義|的最小值為.
四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(10分)
數(shù)列{??}的前n項(xiàng)和為S“滿足2S,=3an-3.
(1)求數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式;
(2)已知數(shù)列{2}滿足a=3〃,在數(shù)列{"}中別除掉屬于數(shù)列{4}的項(xiàng),并且把剩余的項(xiàng)從小到大排列,
構(gòu)成新數(shù)列{<??},求數(shù)列{%}的前100項(xiàng)和7;0G.
18.(12分)
已知aABC的內(nèi)角A、2、C的對應(yīng)邊分別為。、b、c,b=2a,點(diǎn)D在邊A8匕且2CD-sinA="sinZACB.
(1)求CD與c的關(guān)系;
(2)若4D=QB,求cosNACB.
19.(12分)
已知矩形ABCD中,AB=2,AD^y/2,M為A3中點(diǎn),沿AC將△ACZ)折起,得到三棱錐尸-A8c.
(1)求異面直線PM與AC所成的角;
(2)當(dāng)二面角P-AB-B的大小為60°時,求48與平面P8C所成角.
20.(12分)
根據(jù)《全國普通高等學(xué)校體育課程教學(xué)指導(dǎo)綱要》第六條:普通高等學(xué)校要對三年級及以上學(xué)生開設(shè)體育選修
課.某學(xué)院大三、大四年級的學(xué)生可以選擇羽毛球、健美操、乒乓球、排球等體育選修課程,規(guī)定每位學(xué)生每
學(xué)年只能從中選修一項(xiàng)課程,大三選過的大四不能重復(fù)選,每項(xiàng)課程一學(xué)年完成共計80學(xué)時.現(xiàn)在在該學(xué)院
進(jìn)行乒乓球課程完成學(xué)時的調(diào)查,已知該學(xué)院本學(xué)年選修乒乓球課程大三與大四學(xué)生的人數(shù)之比為3:2,現(xiàn)
用分層隨機(jī)抽樣的方法從這兩個年級選修乒乓球課的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取100位同學(xué)的乒乓球課程完成學(xué)時,得到
如下頻率分布表:
成績(單位:學(xué)時)[30,40)[0,50)[50,60)[60,70)[70,80]
頻數(shù)(不分年級)3X213533
頻數(shù)(大三年級)2616y16
(1)求x,y的值;
(2)在這100份樣本數(shù)據(jù)中,從完成學(xué)時位于區(qū)間[30,60)的大四學(xué)生中隨機(jī)抽取2份,記抽取的這2份學(xué)
時位于區(qū)間[40,50)的份數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(3)已知該學(xué)院大三、大四學(xué)生選修乒乓球的概率為25%,本學(xué)年這兩個年級體育選修課程學(xué)時位于[70,80]
的學(xué)生占兩個年級總體的16%.現(xiàn)從該學(xué)院這兩個年級中任選一位學(xué)生,若此學(xué)生本學(xué)年選修的體育課程學(xué)時
位于[70,80],求他選修的是乒乓球的概率(以樣本數(shù)據(jù)中完成學(xué)時位于各區(qū)間的頻率作為學(xué)生完成學(xué)時位于
該區(qū)間的概率,精確到0.0001).
21.(12分)
已知橢圓二+2-=1與直線/:y=kx+m^kw0)有唯一的公共點(diǎn)
168
(1)當(dāng)相=4時,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)過點(diǎn)M且與/垂直的直線分別交x軸、y軸于A(乂0),3(0,y)兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時,
(I)求點(diǎn)尸(%,y)的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線;
(0)如果推廣到一般橢圓,能得到什么相應(yīng)的結(jié)論?(直接寫出結(jié)論即可)
22.(12分)
己知函數(shù)/(x)=(x-l)ev-ar.
(1)當(dāng)x>-l時,/是y=/(x)的一個極值點(diǎn)且/(%)=一1,求與及a的值;
(2)已知g(x)=/inx,設(shè)=e*[/'(x)+a],若%>1,x,>0.且g&)=。(%2),求藥-2/的
最小值.
2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期高三期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題答案
一、1—8.DBACA,CDA
二、9—12.ABC,CD,CD,BCD
三、13.4,14.15.3;0,(第一個空2分,第二個空3分),16.5
2
四、17.解:
(1)在2斗=3加一3中令〃=1,得m=3,
':2Sn=3an~3,.?.當(dāng)”>1時,25?-i=3an-i-3,
兩式相減得2an=3a?—3an-},:.a,,=3a?-\,
數(shù)列{%}是以1為首項(xiàng),以3為公比為的等比數(shù)列,
;.斯=3".
(2),:h,,=3n,
:.數(shù)列{"”}中的項(xiàng)都在數(shù)列彷“}中.
數(shù)列{斯}前5項(xiàng):3,9,27,81,243在數(shù)列{瓦}前105項(xiàng)中.這五項(xiàng)和為363
{仇}前105項(xiàng)的為數(shù)列{褊前105項(xiàng)為3,6,9,27,…81,…,243,…,315,它們的和為105X3+105
X52X3=16695
所以數(shù)列{金}的前100項(xiàng)和為數(shù)列仍"}前105項(xiàng)的和減去3、9、27、81、243的和,
得:105X3+105X52X3—363=16332.
18.解:
(1)"."2CD,sinA=h,sinAACB,由正弦定理
得2CD,a=b?c,
:.CD=c;
11
(2)?:AD=DB,:.CD=—CA+—CB,
22
兩邊平方得,4(CD)2=(CA『+(CB『+2cA.c3,
“2,22
,oo_.Cl~TUh—C
即4c2=/r+7+2ab----------------
lab
化簡得:5C2=2?2+2/?2.
*.*b=2a,?'?c2=2a2.
/+4/-2/3
cosZACB=
2a-2a4
19.解:
(1)設(shè)AC與0M相交于點(diǎn)O,
???矩形ABC。中AB=2,AD=?,例為AB中點(diǎn),
:.AD:DC=MA:AD,
:.△ACCs△MA。,
:.ZDCA=ZADM,
VZACD+ZDAC=90a.
:.ZADM+ZDAC=90°,
AZDOA=90°,
:.DM±AC.
由折疊可知尸。-LAC,OMLAC,
'.'POQOM^O,
,AC_L平面POM,
,:PM在平面POM內(nèi),:.AC±PM.
.?.PM與AC所成的角為90°
(2)由(1)知,POLAC,0M1AC,
J.P—AC—B所成角為NPOM=60°
PO=—,OM=—可知PM=1,
33
又,.,AM=1,PA=y/2,
:.PMLAB,
方法一:
??,M為AB中點(diǎn),
PB=PA=&,
:.PA1PB,
又?.?BALPC,.,.以,平面PBC,
ZABP即為A8與平面PBC所成的角,
VZABP=45°,
與平面PBC所成的角為45°.
方法二:
PMLAB,由(1)知ACJ_PM.AC與AB交與A點(diǎn)
平面A8C,
取AC中點(diǎn)E,連接ME,則ME〃BC,
:.ME1.AB,
以M為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以ME,MA,MP所在直線為軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系M-xyz,
:.A(1,0,0),B(-1,0,0),C(-l,V2,0),P(0,0,1),
&4=(0,2,0),BC=(V2,0,0),BP=(0,1,1)
平面PBC的法向量m=(0,1,T),
設(shè)AB與平面PBC所成的角為a,
則sina=a=g
網(wǎng)2
???AB與平面MC所成的角為45°.
20.
解:(1)V3+x+21+35+33=100,
.,.x=100-(3+21+35+33)=8,
、3
?;2+6+16+y+16=l00x—=60,
;.y=60—(2+6+16+16)=20,
(2)由題意可知,X的取值可能為0,1,2,
?.?這100位學(xué)生學(xué)時在[30,60)的大四學(xué)生為8人,在[40,50)的大四學(xué)生為2人,
P(X=0)=軍”=竺,P(X=I)*=6x2x2xy,p(x=2)=軍也」
'7Cl8x728v7Cl8x77v7C;8x728
.?.隨機(jī)變量X的概率分布列如表為:
X012
1531
P
28728
???隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為Ox"+1X3+2X'-=_L
287282
(III)設(shè)兩個年級共有m人,A={大三大四中任選一學(xué)生一學(xué)年體育課程完成學(xué)時位于區(qū)間[70,80]},B={大
三大四中任選一學(xué)生體育課程選的乒乓球},
、/?\n(AB}
則由條件概率公式得P(B|A)=臣子
即該生選乒乓球的概率約為0.5156.
21.解:
(1)將丫=履+4代入工+二=1,得工+(辰+4)=i,
168168
整理得(29+1)f+16日+16=0……①.
因?yàn)镸是橢圓與直線/的唯一公共點(diǎn),
所以(16k)2-4X16義(2必+1)=0,得2儲=1,
攵或%=.將左='^代入方程①解得%=-2&,代入y=Ax+4得y=2;
222
J2
將Z=-學(xué)代入方程①得x=20,代入y=kx+4得y=2.
.?.點(diǎn)M為卜2四,2)或(2血,2).
(2)(i)將代入工+上=1,得《+("+間=1,
168168
整理得(2廬+1)x2+4fonx+2(m2—8)=0...②.
因?yàn)镸是橢圓與直線/的唯一公共點(diǎn),
所以(4km)2—4X2(2^+1)(nt2-8)=0,即,層=16。+8..③.
DkmDkm16”
方程②的解為x=--A,將③式代入x=-一手,得工=一3,
2公+12k2+1m
入16%八、、不iv2-\6k28
將X=----代入y=kx+m,得y=--------=—
mmm
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為
8116女
因?yàn)樽?0,所以過點(diǎn)M且與/垂直的直線為y--=尤+——
mkm
可得A(—-,o,B(O,888k8
,P產(chǎn)9即X=-----y-二—一
m\mmmm
由戶也,y得4=土,根=—§
mmyy
\2
,,,X=16好+8得(一?
22
將2=—,m=--f代入/=16-+8,所以16x+8y=64,
yyy)
22
整理得與+亍=(孫軌跡是焦點(diǎn)在軸,長軸長為行,
1#0).y4短軸長為4的橢圓(去掉四個頂點(diǎn)).
22
(ii).?.如果將此題推廣到一般橢圓「+當(dāng)=1(a>b>0),直線y=fcv+,"(ZW0),其他條件不變,可得
ab
x2y22c22c2
點(diǎn)尸(%,y)的軌跡方程是一f+3r=1(孫#0),軌跡是焦點(diǎn)在y軸上,長軸長為「一,短軸長為三一的橢
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