山東省濰坊市2022-2023學(xué)年高二年級上冊期末考試數(shù)學(xué) 含解析

高二數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知兩點(diǎn)8（3,1）,且直線AB的傾斜角為90°,則“的值為（）

A0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】因直線A8的傾斜角為90°,則A,B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等.

【詳解】因直線A8的傾斜角為90°,則直線AB的斜率不存在，則A,B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，故a=3.

故選：D

2.設(shè)橢圓3+2=1（。＞〃＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為6，工，橢圓上的點(diǎn)R。滿足RQ，K三點(diǎn)共線，則

△用尸。的周長為（）

A.2aB.2bC.4aD.4b

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓定義直接求解作答.

r22

【詳解】柳圓?+斗v=l（a＞力＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為E，F(xiàn)”顯然橢圓的弦PQ經(jīng)過點(diǎn)

由橢圓的定義得,△格P0的周長IP定I+1尸。1+1。入1=1尸鳥I+1PKI+1Q幣+11=缶.

故選：c

3.圓胃+尸一4x=0與圓（x—iy+（y+3）2=9的位置關(guān)系為（）

A.相交B.相離C.外切D.內(nèi)切

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出兩圓的圓心距，再與兩圓的半徑和差比較大小判斷作答.

【詳解】圓一+y2—4x=0,即（》一2）2+丁=4的圓心a（2,0）,半徑4=2,

圓（x—l）2+（y+3）2=9的圓心G3-3）,半徑弓=3,

因止匕=標(biāo)，顯然1＜廂＜5,即2一/；〈ICG|〈弓+4,

所以圓V+y2-4x=0與圓(％-1)2+(y+3)2=9相交.

故選：A

4.在平行六面體ABCD-ABiGDi中，AC與8。的交點(diǎn)為M,設(shè)福=a,葩=匕，AA=C，則

RM=()

.1—1「一cl—1「一

A.——a+2b+cB.—a--b+c

C.yt?+yb+cD.--d——b+c

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量三角形法則、平行四邊形法則、向量共線定理即可得出.

【詳解】如圖所示，

D、M=DQ+DM=DQ+3DB=D^D+—^DA+DC),

又DQ=c，DA^~b＞DC=a，

：.D.M=-a--b+,

122c

故選：B.

5.在空間直角坐標(biāo)系。一型中，若點(diǎn)M(2a—。21+1,2C-1)關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)"'的坐標(biāo)為

(一1,2,9),則。+方+C的值為()

A.3B.5C.7D.9

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)M關(guān)于z軸對稱點(diǎn)坐標(biāo)，再列式計(jì)算作答，

【詳解】依題意，點(diǎn)M(2a-,匕+1,2c—1)關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)MXa1-2a-b-1,2c-1),

a~-2a=-\

于是得，一人一1=2，解得a=l,人=—3,c=5,

2c-]=9

所以a+人+c=3.

故選：A

6.在直三棱柱ABC-A4G中，CA=CB=AAi=2,NACB=90。，M是A圈的中點(diǎn)，則直線CM與

48夾角的余弦值為()

A.BB.也C.—D.由

6433

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量求解作答.

【詳解】在直三棱柱ABC-A4￡中，ZACfi=90°,以點(diǎn)C為原點(diǎn)，直線C4,CB,CG分別為x，、z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

CA=CB=AAi=2,則C(0,0,0),8(0,2,0),%(2,0,2),線段Ag的中點(diǎn)M(l,l,2),

于是福=(-22-2),CM=(U,2)'COS〈AB,CM”^^二高■仔,

所以直線CM與48夾角的余弦值為立.

3

故選：C

7.某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同學(xué)參加A,B,C三個(gè)企業(yè)調(diào)研工作，每個(gè)企業(yè)去2人,

且甲去B企業(yè)，乙不去C企業(yè)，則不同的派遣方案共有（）

A.42種B.30種C.24種D.18種

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意分甲乙去同一企業(yè)和甲乙不去同一企業(yè)兩類進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】若甲乙去同一企業(yè)，則甲乙只能去B企業(yè)，剩下的4人平均分去兩個(gè)企業(yè)，共有

C2c2

-天-xA；=6種；

若甲乙不去同一企業(yè)，分兩步，第一步：先給甲乙兩人選同伴，有c；c；種，

第二步：將這三組分去三個(gè)企業(yè)，因?yàn)榧兹?企業(yè)，乙不去C企業(yè)，所以共有1種分法，由分步乘法計(jì)

數(shù)原理可得：共有C；C；xl=12種；

所以不同的派遣方案共有6+12=18種，

故選：D.

22

8.如圖，點(diǎn)耳（-5,0）,6（5,0）分別是雙曲線C號-方=1（a〉0,6>0）的左、右焦點(diǎn),M是C右支上

的一點(diǎn)，MF｝與>軸交于點(diǎn)P,MPF2的內(nèi)切圓在邊PF2上的切點(diǎn)為Q,若|PQ|=2,則C的離心率為

（）

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及雙曲線的定義即可獲解

如圖，設(shè)內(nèi)切圓與.、MPF］的兩外兩個(gè)交點(diǎn)為R,S,則

PR=PQ,MR=MS,F2Q=F2S.

所以PQ=P"+P：二MF?=2，即PM+Pg—Mg=4

又尸。垂直平分片招，所以PK=尸弱

即MF{-MF2=4=2a,所以q=2

c5

又c=5,所以離心率e=—二二.

a2

故選：D

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

22

9.若方程上一+上一=1表示的曲線為E,則下列說法正確的是（）

2-48-2

A.曲線E可能為拋物線B.當(dāng);1=6時(shí)，曲線E為圓

C.當(dāng)4＜4或力＞8時(shí)，曲線E為雙曲線D.當(dāng)4＜義＜8時(shí)，曲線E為橢圓

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)給定的方程，結(jié)合圓、圓錐曲線方程的特征逐項(xiàng)判斷作答.

22

【詳解】曲線E的方程為：=匚+上―=1,顯然474且4。8,

2-48-2

對于A,因?yàn)椴徽?取符合條件的任何實(shí)數(shù)，曲線E的方程都不符合拋物線方程的特征，因此曲線E不

可能為拋物線，A錯誤；

對于B,當(dāng)2=6時(shí)，曲線E的方程為：x2+y2=2,曲線E為圓，B正確；

22

對于C,當(dāng)；1＜4時(shí)，曲線E的方程為：上.....-=1,曲線E為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，

8-24-A

當(dāng)/I>8時(shí)，曲線E的方程為：———匚=1,曲線E為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，

2-4A-8

因此當(dāng)X<4或；1>8時(shí)，曲線E為雙曲線，C正確；

對于D,因?yàn)楫?dāng)2=6時(shí)，曲線E為圓，因此當(dāng)4<a<8時(shí)，曲線E不一定為橢圓，D錯誤.

故選：BC

10.有3位男生和3位女生，要在某風(fēng)景點(diǎn)前站成一排照合影，則下列說法正確的是（）

A.共有A：種不同的排法B.男生不在兩端共有A；A：種排法

C.男生甲、乙相鄰共有種排法D.三位女生不相鄰共有A；A；種排法

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用無限制條件的排列判斷A：利用有位置條件的排列判斷B；利用相鄰、不相

鄰問題的排列判斷C,D作答.

【詳解】有3位男生和3位女生，要在某風(fēng)景點(diǎn)前站成一排照合影，共有A：種不同的排法，A正確；

男生不在兩端，從3位女生中取2人站兩端，再排余下4人，共有A；A：種排法，B不正確；

男生甲、乙相鄰，視甲乙為1人與其余4人全排列，再排甲乙，共有種排法，C正確；

三位女生不相鄰，先排3位男生，再在2個(gè)間隙及兩端4個(gè)位置中插入3位女生，共有種排法，D

不正確.

故選：AC

11.在正方體ABC。-A4G"中，A5=4,G為CQ的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BG上運(yùn)動，點(diǎn)Q在棱BC上運(yùn)

動,則（）

A.ABLPGB.PQ〃平面

C.異面直線A2與OP所成角的最大值為］D.PQ+QG的最小值為3亞

【答案】BCD

【解析】

【分析】畫出圖形，利用正方體的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析即可，對于D選項(xiàng)可以想辦法轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面內(nèi)研究

因?yàn)?與PG不垂直，而AB//CD,所以A8與PG不垂直，故A錯.

因平面ABCC"/平面4AO，,PQu平面片BCG，所以P。//平面AAO",故B對

因?yàn)锽DG是等邊三角形，所以當(dāng)P為BG的中點(diǎn),。。八86，又42//8a,所以當(dāng)2為8。1的中點(diǎn)，

TT

DPrAD］，即異面直線AR與OP所成角的最大值為彳,故C對.

在CC延長線上取一點(diǎn)M，使得CM=CG,則ACQG=CQM，所以QG=QM.

所以PQ+QG=PQ+QM，最小值為M點(diǎn)到直線GB的距離d.

由等面積法有,S.CBUiMvl^-Q1MxBC^-qB1xd.

即6*4=4&4,所以d=3五，所以PQ+QG的最小值為3行，故D對.

故選：BCD

12.法國數(shù)學(xué)家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”，他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)

2

的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓.如圖若橢圓E:土+y2=l的蒙日圓為

2

C,M為蒙日圓C上的動點(diǎn)，過M作橢圓E的兩條切線，分別與C交于P,Q兩點(diǎn),直線PQ與橢圓E

人.。的方程為/+尸=3

B.“MPQ面積的最大值為6

C.若點(diǎn)4卜26,0),網(wǎng)0,2@,則當(dāng)NM43最大時(shí)，tan/MAB=2+百

33

D.若橢圓E的左、右焦點(diǎn)分別為片，尸2,且|N用=則加尸卜加。|=5

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)蒙日圓的概念進(jìn)行求解，即可判斷選項(xiàng)A；結(jié)合選項(xiàng)A中蒙日圓的方程即可判斷選項(xiàng)B；作

出圖形，結(jié)合圖形可知：當(dāng)AM與蒙日圓在第三象限相切時(shí)，最大，利用斜率即可判斷選項(xiàng)C；

結(jié)合蒙日圓的性質(zhì)和橢圓的定義即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】過點(diǎn)〃向橢圓引切線，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)：M(±V2,±1),蒙日圓半徑為r=/7斤=百，

蒙日圓方程為：f+y2=3：

當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)M(Xo，為)，過點(diǎn)M的切線方程為丁=依+(%-何))，

'y^kx+(y0-kx0)

聯(lián)立，產(chǎn),，整理可得：(1+2公)/+4區(qū)(%-5)+2(%-區(qū)0)2-2=0，

——+y=1

12-

則A=[4依%-乙0)]2-4(1+2%2)[2(%-5)2-2]=0,

22

整理可得：(x0-2)k-2xoyok+y^-l=Q,

匕,42是方程(x(：-2)42-2垢%%+為2-1=()的兩根，由題意可知：kxk2=-1,

即當(dāng)」=-1,也即52+%2=3,

V-2

2

綜上所述：圓氏三+丁=1的蒙日圓為x2+y2=3,故選項(xiàng)A正確；

2

由可得：P。為蒙日圓的直徑：所以二MPQ面積的最大值為2rxrx」=r2=3,故選項(xiàng)B

2

錯誤；

由題意可知：如下圖：

當(dāng)AM與蒙日圓在第三象限相切時(shí)，NM45最大，設(shè)切線AM的方程為y=k(x+28)伏＜0),即

kx-y+2\/3k=0,

由圓心到直線的距離d百，解得：k=-—，所以NOAM=30"，

3

因?yàn)镼4=O8,且。4,OB,所以NK4O=45°,此時(shí)NM46最大，最大為

ZMAB=ZBAO+ZOAM=75°,所以tanNMAB=尸特+=2+6

1-tan45°x3tan”30°

故選項(xiàng)C正確；

由橢圓的定義可知：|N制+|N周=24=2及，又因?yàn)閨N4卜|"|=}

所以|N用?(2&-加劇)一。，即2|叫「一4夜|晴|+3-0,解得:|N用=4或|附=半，不

222

妨設(shè)：“用=等，則加閭=亭，又因|耳周=2c=2,

所以|N￡『+忻用2=|Ng『，則Nf；_L丹用，所以在RLN耳。中，加0|=加用2+|06「=手，則

|NP|=r-|NO|=G-日，|NQ|=r+|NO|=百+半，所以

|NP|.|NQ|=乎)x(百+半)=3—1I,

故選項(xiàng)D正確；

故選：ACD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知直線2x-y-8=0與4x+(l-a)y+3=0平行，則。的值為.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】直線2x—y—8=0與4x+(l—a)y+3=0平行,

則2（1-a）=-lx4,解得“=3,

經(jīng)檢驗(yàn)，。=3符合題意，故a=3.

故答案為：3

14.若（x+1）”的展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則自然數(shù)n的值可以為（只寫一個(gè)即可）.

【答案】7（7,8,9填一個(gè)即可）

【解析】

【分析】分只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的

二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，三種情況討論即可.

【詳解】「若只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開共有9項(xiàng)，所以〃=8

2°若第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，則展開共有8項(xiàng),所以〃=7

2°若第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，則展開共有10項(xiàng),所以〃=9

故答案為:7（7,8,9填一個(gè)即可）

15.過拋物線/=20，（〃>0）的焦點(diǎn)F作傾斜角為:的直線/,且/交該拋物線于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在

|AF|

y軸左側(cè)，則品=.

【答案】3-272##-272+3

【解析】

【分析】點(diǎn)斜式設(shè)出直線/的方程，聯(lián)立拋物線方程，求出A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用拋物線的定義得出

P

\^\_/'+2

即可得出結(jié)論.

陽華

【詳解】由題知，設(shè)直線/的方程為：x=y-匕

'2

A(5,y),8(%％)，聯(lián)立x：=2py可得

2o123—2>/2

y-3py+-p=0n,y=----------p，

42

3+25/2I.-T-

-------p，從而，

2

=也一

回1=320.

|明

故答案為：3-272

16.如圖，在三棱錐V—A6C中，底面是邊長為2的等邊三角形，D,E分別是AC,AB的中點(diǎn)，且

VA^VD=VE=i,則點(diǎn)A到平面VBC的距離為,四棱錐V—5C。E的外接球的半徑為.

V

B

【答案】①.1(2).—

4

【解析】

【分析］建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面WC的法向量，利用距離公式求點(diǎn)A到平面MBC的距離；球心

在過BC的中點(diǎn)與平面ABC垂直的直線上，計(jì)算球心的坐標(biāo)，得出半徑長.

【詳解】①以BC中點(diǎn)。為原點(diǎn)，Q4為x軸，。3為了軸，過點(diǎn)。與平面ABC垂直的直線為z軸建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.底面ABC是邊長為2的等邊三角形，A3=BC=AC=2,AO=B

D,E分別是AC,A8的中點(diǎn)，且L4=VD=VE=1,所以三棱錐V—AE￡＞為正四面體，VH1.平面

A8C于點(diǎn)”，則H為等邊三角形AE。的重心，AH=2AM=，AO=立，HM=旦,

3336

VH=yJVAi-AH2=—.

3

則0(0,0,0),A(后,0,0),5(0,1,0),C(0,-l,0),V￥，°，半，則隴=(0,-2,0),

設(shè)”=(x,y,z)為平面VBC的一個(gè)法向量，則〈

'阿〃=0

-2y=0

即《26V6，令X=l，則y=°，2=-0則〃=（1,0,—亞）?

----x+y-----z=0

I3-3

如圖，△OOC,_EOB都為等邊三角形，￡>O=OC=O3=QE=1,所以球心在過3c中點(diǎn)與平面ABC

垂直的直線上，設(shè)球心G（0,0,m）,半徑為凡

（2日[7\

則VG=GC=R,V3，°，至~，C（0,—1,0）,

\7

所以3+（用一逅]=1+加2=川，解得/=亞，R=叵.

XA

故答案為：①1；②

【點(diǎn)睛】棱錐的外接球問題方法總結(jié)：

1.常見補(bǔ)形:側(cè)棱垂直于底面的錐均可補(bǔ)成直棱柱；正四面體可補(bǔ)成正方體求其外接球；對棱相等的四面

體可補(bǔ)成長方體；

2.正棱錐球心在高所在直線上，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算；

3.側(cè)面垂直于底面的錐，先找到兩個(gè)垂直面所在多邊形的外心，再找一個(gè)矩形，進(jìn)行計(jì)算求得；如果側(cè)

面與底面所成的二面角的平面角是一個(gè)特殊角（非直角），也可以找到這兩個(gè)面所在多邊形的外心，過這

兩個(gè)外心分別作這兩個(gè)面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)為球心；

4.建立空間坐標(biāo)系，利用球心到各頂點(diǎn)的距離是相等進(jìn)行計(jì)算解決.

四、解答題：本大題共6道小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知在二項(xiàng)式（岳+a『的展開式中，含公的項(xiàng)為2（*.

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）求展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng).

【答案】（1）。=1

⑵20/-20x2.1

【解析】

【分析】（1）求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再利用指定項(xiàng)列式計(jì)算作答.

（2）利用（1）的結(jié)論及通項(xiàng)公式，分析、反的指數(shù)即可作答.

【小問1詳解】

r

（應(yīng)x+a）'的展開式的通項(xiàng)公式為：Tr+l=C；（V2xp-a'=（夜廣仁優(yōu)丁一,reN,r45,

當(dāng)r=3時(shí)，（、6x+a）s展開式中含*2的項(xiàng)為2C；/X2=2（）X2,即/=],解得。=匕

所以實(shí)數(shù)。的值為L

【小問2詳解】

由（1）知，（0x+l）的展開式的通項(xiàng)公式為：T?=22CjX5-r,reN,r<5，

依題意，土丁為整數(shù)，因此r=1，3,5,

2

當(dāng)r=l時(shí)，7；=22（2；/=20/,當(dāng)廠=3時(shí)，7；=2C；/=20/,當(dāng)r=5時(shí)，7；=C；d=l,

所以展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)為20f,20x2,1

18.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C：丁=20田5>（））焦點(diǎn)廠的直線與。交于4,8兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象

限，且網(wǎng)=2P.

（1）求直線AB的斜率；

（2）若AOB的面積為生8,求拋物線C的方程.

3

【答案】（1）Q

（2）尸=4%

【解析】

【分析】（1）利用拋物線的定義得到點(diǎn)A的橫坐標(biāo)王=”,代入拋物線方程得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后根

據(jù)坐標(biāo)求直線AB的斜率即可；

（2）設(shè)直線A6的方程為y然后與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和三角形面積公式列

方程得到述=立“2,解方程即可得到拋物線方程.

33

【小問1詳解】

設(shè)A&,y）,6（々，%）

因?yàn)閨AF|=2p,所以A到準(zhǔn)線x=-日的距離為2p,

即玉+5=2。，所以王=學(xué),

代人拋物線方程可得y=6p,即￥，&〃],

百p

又因?yàn)槭灾本€AB的斜率為心83P

2-，2

【小問2詳解】

由（1）知，直線A8的斜率為6，

y2=2px

，則x=-^y+K，

設(shè)直線AB的方程為y由＜V3p得，

32x=——y+—

32

6y2-2py-\[^p2=0,A=16p2>0,

_2Pi

所以，,+%=耳，必%=一夕-，

由題意知，5》。尸？凱_R=卬（弘+%）2—4乂%

即華=9,解得，P』,

因?yàn)镻＞0,所以P=2,

所以該拋物線方程為＞2=4x.

19.如圖，在三棱臺ABC-44cl中，N84C=90°,AA，平面ABC,AB=AC=2AC,且。為BC中

B

(I)證明:平面平面BCG4；

(2)若AA=6，且_A8C的面積為2,求此時(shí)直線8G和平面A.CD所成角的正弦值.

【答案】(I)證明見解析

⑵—

20

【解析】

【分析】(1)利用面面垂直的判定定理證明即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法即得.

【小問1詳解】

證明:因?yàn)锳A，平面ABC,BCu平面ABC,

所以AA_LBC,

又因?yàn)锳3=AC,E>為BC中點(diǎn)，

所以A。IBC

因?yàn)锽C_LAA,BC±AD,A}Ar>AD=A,A】Au平面\AD,ADu平面A{AD.

所以BC1平面AAD,又BCu平面8CC4，

所以平面AA。J?平面BCG4：

【小問2詳解】

ZA

因?yàn)镹84C=90°,AB=AC,且,ABC的面積為2,

所以AB=4C=2,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC,A4所在直線分別為X軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-盯2,

則A(0,0,0),3(2,0,0),C(0,2,0),4僅,0,6),0(1,1,0),

所以=(-2,1,73),A0=(l，l，-6)，AC=(0,2,—G),

設(shè)平面A。。的一個(gè)法向量為〃=(玉,y,zj,則4。.萬=0,4c?〃=().

rri>,玉+弘一島=0,

所以Vr-

2y-百Z1=0

可取必=i,則〃=設(shè)直線BG和平面\CD所成角為以

e?sin8=Icos<BC,,n>1=---------

則2后回20，

3

故直線BG和平面A}CD所成角的正弦值為叵.

20

22

20.已知雙曲線反之一3_=1(。>1)的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)0,左、右焦點(diǎn)分別為K，B，過入的直線

4與雙曲線的右支相交于A,B兩點(diǎn),且|明|+|跖|=2|明=32.

(1)求雙曲線E的漸近線方程；

16

(2)若直線4與直線4：x=不交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是雙曲線E上一點(diǎn)，且滿足。6?。鳥=0,記直線CD

的斜率為左,直線。。的斜率為攵2,求仁?網(wǎng).

【答案】（1）3x-4y=0或3x+4y=0

【解析】

【分析】（1）利用雙曲線的定義得到|A耳|+忸制=|你|+忸勾+4a=2|/叫，列方程|A3|=4a=16得

到a=4即可得到雙曲線方程，然后求漸近線方程即可；

（2）設(shè)。（工，%），根據(jù)C5㈤鳥二。列方程得到以=|（5一5），根據(jù)點(diǎn)。（尤0,為）在雙

曲線上得到至-花=1,然后計(jì)算勺/2即可.

169

【小問1詳解】

由雙曲線定義可知，|4耳|一|伍|=2a,—=

所以|然|+忸制=|/閭+忸閭+4zz=2|AB|,

22

所以|AB|=4a=16,即a=4,所以雙曲線方程為：—-^=1,

11169

33

于是其漸近線為、=：*或>=--X,即3x-4y=0或3x+4y=0.

44

【小問2詳解】

因?yàn)镃g,￡>6=0,瑪（5,0）,所以［51二,一葉（51%,-%）=0,

9

整理得，ry0=-（x0-5）.

22

因?yàn)辄c(diǎn)。（不，為）在雙曲線上，所以意―*=

即蘇=元（,-16）,

所以"=/.及=或令_9

216"16

■^o-y*。V-y^o%o--Zxo

21.如圖，在四棱錐產(chǎn)一ABCD中，AB=26,。8=8=屈，點(diǎn)P在底面ABCQ的射影恰是等邊

三角形ABO的中心，點(diǎn)M在棱PC上，且滿足PC=3PM.

匚匚zAO1p匚匚zAOPM

所以云=2'又PC=3PM，所以次=而

所以「A〃OM,又OMu平面MM,PA/平面BOM

所以P4//平面8DM.

【小問2詳解】

設(shè)等邊三角形A3。的中心為E,連接PE,則PE_L平面A8Q,

所以44￡是直線PA與平面ABC。所成的角.

由（1）可知，點(diǎn)。為8。的中點(diǎn)，即4。為△ABO的中線，所以點(diǎn)E在AC上,

PE3

因?yàn)锳O=3,所以AE=2,所以tanNP4E=----=—,所以PE=3.

AE2

如圖，以。為原點(diǎn)，。3，OC，呼的方向分別為1軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

所以A(0,—3,0),fi(V3,0,0),C(0,6,0),味④,0,0卜P(0,-1,3),

因?yàn)镻C=3PM，所以O(shè)M=OP+PM=OP+：PC=(0,g,2),所以M(0,g,2

所以AP=(O,2,3),A5=(73,3,0),08=(6,0,0),OM=(0,1,2)

設(shè)平面的法向量為2=(七,y,zj,

加?AP=(x，y,zJ-(O,2,3)=2y+3z1=0

"辦AB=(x，y,Z|>(G,3,0)=6x]+3y=0，

取百=百，得y=T，ZI=g,所以根=(百,一1,|"),

設(shè)平面BDW的法向量為〃=（%,必*2）,

n-OB=(x2,y2,z2)-(-V3,O,oj=y/3x2=0

則＜/4\4，解得々=0,

m-OM^(x2,y2,z2y\0,-,2\^-y2+2z2^0

取曠2=-3,得Z2=2,所以方=(0,-3,2),

設(shè)平面PAB與平面BDM所成角大小為Q,

所以8S0=18S〈肛〃〉|=踹=^^=嚼，

所以平面PAB與平面BQM所成角的余弦值為近0.

20

22.如圖，。為圓O：V+y2=i上一動點(diǎn)，過點(diǎn)。分別作X軸y軸的垂線，垂足分別為A,B,連接

并延長至點(diǎn)W,使得|W4|=1,點(diǎn)W的軌跡記為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)若過點(diǎn)K(-2,0)的兩條直線外右分別交曲線C于M,N兩點(diǎn)，且《工乙，求證：直線例N過定

點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)若曲線。交y軸正半軸于點(diǎn)S,直線%二后與曲線。交于不同的兩點(diǎn)G,H,直線S”，SG分別交工

7T

軸于P,。兩點(diǎn).請?zhí)骄浚簓軸上是否存在點(diǎn)凡使得/。底尸+/。氏。=萬？若存在，求出點(diǎn)R坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

2

【答案】(1)—+/=1

4-

(2)證明見解析，(一t，。

(3)存在，R(0,±2)

【解析】

【分析】（1）設(shè)W（x,y）,求得。點(diǎn)坐標(biāo)并代入V+y2=],化簡求得曲線C的方程.

（2）設(shè)可設(shè)4的方程為：x=my-2,直線/，的方程為x=-'y-2,將直線4,/,的方程與曲線。的方

m

程聯(lián)立，求得M,N的坐標(biāo)，對加進(jìn)行分類討論，由此證得直線過定點(diǎn)并求得定點(diǎn)坐標(biāo).

（3）假設(shè)存在點(diǎn)R（0,。使得NORP+NORQ=5,先求得|0巾=|0斗|09,設(shè)出G,"的坐標(biāo)，有直線

SH和直線S