2024屆四川省敘永第一中學(xué)校高三年級(jí)上冊(cè)入學(xué)考試數(shù)學(xué)（理科）試題【解析版】

2024屆四川省敘永第一中學(xué)校高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)(理科)試題

【解析版】

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合A={x∣?√+2χ-3≤θ},B={x∣y=In(a+2)},則AB-()

A.(-2,-l]B.(-2,3JC.(-2,1]D.[-2,1]

2.命題"?"wMj(")e"且/(")≤"的否定形式是()

A.V"∈N*/N*且/"(〃)>〃

B.Vn∈N*J(")任N*或〃〃)>〃

C.??wN*j(%)任M且/(%)>%

D.m%eMj(%)任N*或〃

3.下列函數(shù)中，在(-∞,T)上是增函數(shù)的是()

A.y=-χ3B.y=-x2-4xC.y=~-~D.y=?∣2-x

1+x

4.已知命題P：空間中兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行；命題夕：空間中三個(gè)平面α,β,Y,

若Cy,βVγ,aβ=l,則/?Ly.則下列命題為真命題的是()

A.PAqB.PATlc.PVrD.FAq

5.二維碼與生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是21x21大小的，即441個(gè)點(diǎn)，根據(jù)0和1的二進(jìn)制

編碼，一共有2卻種不同的碼，假設(shè)我們1秒鐘用掉1萬(wàn)個(gè)二維碼，1萬(wàn)年約為3x10"秒，那么大約可以用

(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3,lg3≈0.5)()

A.IO"’萬(wàn)年B.117萬(wàn)年C.10須萬(wàn)年D.205萬(wàn)年

6.已知4>0且α*l,“函數(shù)/(X)=優(yōu)為增函數(shù)”是“函數(shù)g(x)=x"-∣在(O,+e)上單調(diào)遞增”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.己知函數(shù)/(x)=f+]g(x)=sinx,則圖象為如圖的函數(shù)可能是()

4

B?

C.y=∕(χ)g(χ)

8.如圖是某三棱錐的三視圖，己知網(wǎng)格紙的小正方形邊長(zhǎng)是1,則這個(gè)三棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為（)

9.若函數(shù)/（χ）="，是奇函數(shù)，則使/（x）>3成立的X的取值范圍為（）

2—Ct

A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+oo)

10.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù),用其名字命名的“高斯函數(shù)”：

設(shè)XeR,用印表示不超過(guò)X的最大整數(shù)，則y=[x]稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：[-3.7]=Y,

⑵3]=2.已知/*)=4-一1,則函數(shù)y="(刈的值域?yàn)?)

e+12

A.{0}B.H,0)C.{-2,-1,0}D.{-1,0,1)

11.已知〃刈=卜"整°,若關(guān)于X的方程尸(X)-W(X)+機(jī)—1=0恰好有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)加

[-XyX<0

的取值范圍為()

A.(―,2)u(2,e)B.(―,1)C.(1,-+1)D.(―,e)

eeee

0.4

12.設(shè)α=?ιl.l,Z?=e°」一1,c=tan0.1,d=—,則()

π

A.a<b<c<dB.a<c<b<dC.a<b<d<cD.a<c<d<b

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,把答案填在答題紙上）

13.已知募函數(shù)萬(wàn)(加+優(yōu)-1)式1在(0,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為.

14.已知圓錐的高為2,體積為8π,若該圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上所有點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積

為.

15.已知函數(shù)"力=OreTr+lnx,若"x)Wl,則a的取值范圍為.

16.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,/(x+l)是奇函I數(shù)，且/(1—x)+g(x)=2,/(x)+g(x-3)=2,

則下列結(jié)論正確的是.(只填序號(hào))

①f(x)為偶函數(shù)；

②g(x)為奇函數(shù)；

20

③￡/(我)=40；

*=1

2()

④2g(%)=40?

?=1

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟第17~21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題.

17.在“ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,已知/+/—,2=".

⑴求CoSC；

⑵若c=3√∏,求.ABC外接圓的半徑.

18.已知函數(shù)f(x)=2>∕2cosXSin(X+―).

4

⑴求/“)的最小正周期；

(2)現(xiàn)將f(χ)圖象向左平移9個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到g(x)的圖象，若存在XCI-B,g］,

使得g(x)<“成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

19.設(shè)/(X)為函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，已知f(x)=x+r(0)cos2x+4(αeR),且/*)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2).

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

⑵求函數(shù)/(χ)在［0,兀］上的單調(diào)區(qū)間.

20.如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120。得

到的封閉圖形.

(1)設(shè)8C=1,AB=2,求這個(gè)幾何體的表面積；

(2)設(shè)G是弧。尸的中點(diǎn)，設(shè)P是弧CE上的一點(diǎn)，且APLBE.求異面直線AG與BP所成角的大小.

21.已知函數(shù)f(x)=J,其中x>0,?>0.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值;

(2)若方程3=x-αlnx恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求。的取值范圍.

e

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

fx=2+2coscr

22.在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，P為曲線G:1.(α為參數(shù))上的動(dòng)點(diǎn)，若將點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)變

[y=sιnσ

為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)保持不變，得到點(diǎn)Q,記點(diǎn)。的軌跡為以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極

軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求C2的極坐標(biāo)方程；

Jr

(2)設(shè)A,B是C?上異于極點(diǎn)的兩點(diǎn)，且ZAo8=三，求AOB面積S的最大值.

選修4-5：不等式選講

23.已知函數(shù)/(x)=∣x-4+∣x+3∣.

(1)當(dāng)α=l時(shí)，求不等式/(x)≥6的解集；

⑵若/(x)<2α有解，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

1.C

【分析】先化簡(jiǎn)集合A3,然后用交集的定義即可求解

【詳解】因?yàn)锳={x∣x2+2x-3≤θ}={x∣-3≤x≤',B={x∣y=ln(x+2)}={x∣x>-2},

所以A8=(-2,1］

故選：C

2.D

【詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，可知命題“加€”,/(〃妹*且/(〃)金7的否定形式是

??∈N*J(∕?)比N*或/(%)>%

故選D.

考點(diǎn)：命題的否定

3.C

【解析】對(duì)AB：直接判斷其單調(diào)性；

Y1

對(duì)C：把y=--化為y=l-—,判斷其單調(diào)性；

1+x1+x

對(duì)D：利用y=√7判斷y=√Γ7的單調(diào)性.

【詳解】本題考查函數(shù)的單調(diào)性.

A項(xiàng)中，函數(shù)y=-χ3在R上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

B項(xiàng)中，二次函數(shù)y=-r-4x的圖像開(kāi)口向下，對(duì)稱軸方程為x=-2,故該函數(shù)在(-∞,-2］上單調(diào)遞增,

在(-2,+∞)上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

C項(xiàng)中，函數(shù)y=微=1-占，在(-∞,T)和(1,+8)上分別單調(diào)遞增，故C正確；

D項(xiàng)中，函數(shù)y=√Γ7在(-e,2］上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.

故選：C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：四個(gè)選項(xiàng)互不相關(guān)的選擇題，需要對(duì)各個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證.

4.D

【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系定義、面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合與、或、非的真假性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】因?yàn)榭臻g中兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，兩條直線可以是異面直線，所以命題。是假命題，

因此f是真命題，

由面面垂直的性質(zhì)可知命題夕是真命題，F(xiàn)為假命題，

所以。人q為假命題，P為假命題，PVr為假命題，F(xiàn)PAq為真命題,

故選：D

5.A

【分析】由題意估算出可用的年限，然后轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)形式求解即可.

【詳解】由題意大約能用萬(wàn)年,

3×10"×104

則Ig=4411g2-lg3-15≈441×0.3-0.5-15≈117,

3×1O15"

2441

所以≈10l17,

3×10"×104

故選：A.

6.C

【詳解】函數(shù)"x)=α*為增函數(shù),則,此時(shí)αT>0,故函數(shù)g(x)=XE在(。,+8)上單調(diào)遞增;當(dāng)

g(x)=x"-∣在(O,W)上單調(diào)遞增時(shí),，〃-1>0,所以α>l,故〃X)=優(yōu)為增函數(shù).

故選:C

7.D

【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B,結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C,即可得解.

【詳解】對(duì)于A,y=f(x)+g(x)-)=∕+sinx,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；

y=/(x)-g(x)-；=f-sinx,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；

對(duì)于B,

y=/(x)g(x)=∣^+?jsinx,則y,=2xsinx÷∣x2+?∣cosx,

對(duì)于C,

當(dāng)Xw時(shí)，^,=I×T+?+4×T>0'與圖象不符，排除C

故選：D.

8.C

【分析】根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，求出棱長(zhǎng)，即可判斷.

【詳解】由三視圖可得幾何體的直觀圖如下所示：

S

其中&1=4,AB=3fAC=5,且SAI平面ABC,ABlACf

所以BC=JAB2+3=用,SC=y∣SA2+AC2=√4l>SB=y∣SAi+AB2=5>

所以三棱錐中最長(zhǎng)棱為SC=JZ.

故選：C

9.C

【解析】由f(X)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義可求”，代入即可求解不等式.

???l

【詳解】解：???/(M=土土?是奇函數(shù)，

2-a

U)=?√(χ),

l+2x

即U=瀉，整理可得mF

a-2x

1—ci?2Λ-Ci—2"，α=1,

2v+l

/(?)=2'-l

2t+l

fM=>3,

2x-l

2A+1C4-2?2Λ

----------3=------------>0,

2x-l2x-?

2Λ^-2

整理可得

2Λ-1

.?.1<2Λ<2,解可得OVXVL

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查由奇偶性求參數(shù)，考查指數(shù)相關(guān)的不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.

10.B

1

+-

【分析】利用常數(shù)分離法將原函數(shù)解析式化為/(%)=+2然后分析函數(shù)/(X的值域，再根據(jù)高斯

函數(shù)的含義確定y=[∕(χ)]的值域.

【詳解】/(χ)=ι-----LJ—

eA+l22et+l

Illl

ev+1>1,-1<------<0,—<----------<—

22，+12

?"?——<fM<OΛ?,fM<―，

.?."(x)]=T或O,

.??y=[f(χ)]的值域?yàn)椋?ι,0).

故選：B.

11.C

【分析】由方程嚴(yán)(X)-時(shí)(x)+%-l=O可解得/(x)=l或f(x)=/T,從而可得方程/(x)="I有3個(gè)

不是-1的根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案.

【詳解】解方程>⑴-時(shí)(x)+m-I=0得f(x)=l或"x)=%T;

當(dāng)x≥o時(shí)，/(χ)=4√,ω=-r-

ee

故/(χ)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L”)上單調(diào)遞減；

/(O)=0,/(1)=i,且x>0時(shí)，/(X)>0,所以O(shè)W∕(X)≤L

ee

當(dāng)XVo時(shí),/(x)=-x,在(一8,0)上是減函數(shù)，且/(x)>0;

若/(x)=l,可知x<0,從而/(%)=r=l,解得廣-1,

故方程"力=機(jī)-1有3個(gè)不是-1的根.

作出〃工)的大致圖象，

若使方程/(x)="Ll有3個(gè)不是-1的根,即〃x)的圖象與直線y=1有3個(gè)交點(diǎn),且交點(diǎn)橫坐標(biāo)不為-1,

由圖可知0<〃?—1<一,BP1</Ti<1H—,

ee

故選：C.

12.B

【分析】觀察4個(gè)數(shù)易得均與0.1有關(guān)，故考慮α(x)=ln(x+l),?(x)=ev-l,c(x)=tanx,d(x)=&x在

x=O?l時(shí)的大小關(guān)系，故利用作差法，分別構(gòu)造相減的函數(shù)判斷單調(diào)性以及與O的大小關(guān)系即可.

【詳解】設(shè)"(解=In(%+l),Z?(x)=eA-1,c(x)=tanx,d^x)=-x,易得α(0)=1(O)=C(0)=d(θ).

TT

設(shè)y=d(x)-A(X)=,x-e*+l,則令V=；-e，=0有X=In：,故y=d(x)-Z?(x)在[-8/ng)上單調(diào)遞增.

0

小甲%(4丫°(4Y(5丫°「25丫/24丫(3丫日"4丫°.,.nι日山4、Cl..

⑺13.2；⑷U6jI16j⑴⑺兀兀

J(0?l)-?(0.1)>J(0)-?(0)=0,即d>b.

②設(shè)y=。(X)-C(X)=e'-l—tanx,則y'=e*-----?=ecosx-l設(shè)/(χ)=e'cos2χ-l,則

cosXcosX

∕z(x)=e"(cos?x-2sinx)=ev(-sin2x-2sinx+l).

設(shè)g(x)=X-Sin無(wú)，則F(X)=I-COSX≥0,故g(x)=%-sinx為增函數(shù)，故g(x)2g(θ)=θ,即x≥sinx.

故/'(x)≥e*(-χ2-2x+l)=e[-(x+l)2+2],當(dāng)xc[0,0.1]時(shí)用x)>0,/(x)=e*cos2χ-1為增函數(shù)，故

/(x)>e0cos20-1=0,故當(dāng)xw[0,0.1]時(shí)y=6(x)—c(x)為增函數(shù)，故6(0.1)—c(0.1)>b(0)-C(O)=0,故

b>c.

11γ-Le?r?-γ

③設(shè)y=c(x)-α(x)=tanxTn(x+l),/=-j----------=；-----,易得當(dāng)XW(0,0.1)時(shí)y'>0,故

c(0.1)-α(0.1)>c(0)-α(0)=0,即c>”.

綜上d>b>c>"

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)根據(jù)單調(diào)性分析函數(shù)大小的問(wèn)題，需要根據(jù)題中所給的信息判斷出

需要構(gòu)造的函數(shù)，再求導(dǎo)適當(dāng)放縮分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)值的大小即可.屬于難題.

13.1

【分析】根據(jù)塞函數(shù)的概念以及基函數(shù)在(0,+8)上的單調(diào)性可得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)幕函數(shù)的定義可得病+m-l=l,解得〃?=-2或〃7=1,

當(dāng)〃?=-2時(shí)，y=力在(0,+∞)上單調(diào)遞減，不合題意；

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，y=χ2在(0,+∞)上單調(diào)遞增，符合題意.

故答案為：1.

,,256

14.π

3

【分析】首先由已知求得圓錐底面半徑，再設(shè)球的半徑為R,根據(jù)圓錐的幾何特征及球的性質(zhì)列出關(guān)于R

的方程，解出R,則球的體積可求.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，圓錐的高為人

因?yàn)閳A錐的高為2,體積為8π,所以^πr%=8π,即《沖，*2=8兀，解得r=26,

33

當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心。的兩側(cè)時(shí)，如圖，

圓錐Sol的底面半徑OM=2嶼，高SQ=2,設(shè)球0的半徑為凡

則(2-R)?+(26)2=尸，解得R=4,與R<2不符，故此種情況舍去,

當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球0的同側(cè)時(shí)，如圖，

圓錐S。的底面半徑0∣A=2√L高5?=2,

設(shè)球。的半徑為R,則(R-2)2+(2道V=K,解得R=4,符合題意.

綜上，此球的半徑為4,球的體積為V=gπR3="兀.

33

故答案為：--π.

15.(-∞,2e]

【分析】構(gòu)造函數(shù)f=r+lnr,"力≤1等價(jià)于αe'+芯1，再構(gòu)造函數(shù)g。)=Y，利用函數(shù)單調(diào)性求出

最小值，即可求出。的值.

1_I1

【詳解】/(x)Wl等價(jià)于αe*hu+(-x+lnr)≤l,令，=τ+lnr,則「=-1+：=干r」.

當(dāng)Xe(0,1)時(shí)，r'>O,f=-x+lnx單調(diào)遞增；當(dāng)Xe(I,+∞)時(shí)，/'<0,f=-x+lnx單調(diào)遞減.

所以∕≤-l.

故/(x)Wl轉(zhuǎn)化為“e'+r≤l,即α≤，恒成立.

1_f,/、-e'-e'(1-，)子＜貝∣上孕=因?yàn)楹?/p>

令g(,)=『「，則g")=-0,Jg(f)2g(-l)=2e,"≤9

成立，所以α≤g(f)min=g(-l)=2e.

故ɑ的取值范圍為(y>,2e].

故答案為：(YO,2e].

16.①④

【分析】結(jié)合已知條件和/(χ+l)是奇函數(shù)求出函數(shù)/(χ)的周期，然后利用周期和已知條件得出“X)為

偶函數(shù)，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A;根據(jù)函數(shù)/(x+l)是奇函數(shù)，周期為4即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)/(x)的性質(zhì)分析

可得/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=0,再根據(jù)f(x)的周期性即可判斷選項(xiàng)C；結(jié)合函數(shù)g(x)的周期即可判斷

選項(xiàng)D.

【詳解】因?yàn)?(x)+g(x-3)=2,所以“x+3)+g(x)=2,

又因?yàn)椤?—x)+g(x)=2,則有/(x+3)="lτ),

且/(x+l)是奇函數(shù)，K∣∣∕(χ+l)=-∕(l-χ),可得f(χ+3)=-f(χ+l),即"x+2)=-∕(x),

則“x+4)=-∕(x+2)=-[-/(切=,

即〃x+4)=/(x),所以“x)是周期為4的周期函數(shù)，

因?yàn)?(x+3)+g(x)=2,貝IJg(x)=2-/(x+3),

可得g(x+4)=2-∕(x+4+3)=2-∕(x+3)=g(x),

故g(x)也是周期為4的周期函數(shù).

對(duì)于①：因?yàn)?(x+l)=-∕(l-x),則〃x+2)=—/(—力，即一/(x)=—/(—x),

所以"τ)=∕(x),所以F(X)為偶函數(shù).故①正確;

對(duì)于②：?.?g(x)+g(-x)=[2-∕(x+3)]+[2-∕(-x+3)]=4-[∕(x+3)+∕(-x+3)]

=4-[∕(x-l)+∕(-x-l)]=4-[∕(l-x)+∕(x+l)]=4≠0,

.?.g(x)/-g(-χ),故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：因?yàn)?(χ+i)=-∕(i-χ),令X=0,即/(I)=-/。)，貝∣J∕(l)=0,

又因?yàn)?(x+2)=-∕(x),令χ=l,所以"3)=-/(1)=0,

令x=2,則/(4)=?√⑵，即/(2)+∕(4)=0,

即"l)+"2)+f(3)+f(4)=0,

20

所以Sy(Z)=5[∕(l)+∕(2)+/⑶+/(4)]=0,所以③錯(cuò)誤；

?=I

對(duì)于④：因?yàn)間(x)=2-∕(x+3),

所以g⑴+g⑵+g⑶+g(4)=[2-〃4)]+[2-〃5)]+[2-/(6)]+[2—『⑺]

=8-0⑴+/⑵+八3)+"4)]=8,

20

所以W)(%)=5[g⑴+g(2)+g(3)+g(4)]=40,所以④正確.

?=1

故答案為：①④.

【點(diǎn)睛】方法定睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱性，在解題中

根據(jù)問(wèn)題的條件通過(guò)變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.

I

17.(1)—

10

(2)5

【分析】(1)直接利用余弦定理求解即可;

(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出SinC,然后利用正弦定理求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)?+從—C2=(M,

1,

所以由余弦定理得a2+b2-c251.

cosC=-------------=------=—

2ab2ab10

3√H

(2)因?yàn)镃oSC=記，C∈(0,π),所以SinC=

10

DR=—二3而

設(shè)JLBC外接圓的半徑為R由正弦定理得SinC-3而一

10

解得R=5,即JlfiC外接圓的半徑為5.

18.(l)π

(2)(一￡,+8)

【分析】(I)利用三角恒等變換的知識(shí)化簡(jiǎn)/(x)的解析式，從而求得/(X)的最小正周期.

(2)利用三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)求得g(ι),根據(jù)三角函數(shù)最值的求法求得。的取值范圍.

【詳解】(1)f(Λ)=2Λ∕2cos%sin(x+-^)=2?∕2cos?(-?sinx+?-cosx)

=2cosxsinx+2cos2x=sin2x+cos2x+l=>∕2sin(2x+-)+1,

4

所以/(X)的最小正周期τ=g=n.

(2)由題意可得：

g(x)=應(yīng)Sin(2(x+^)+3+l-l=?∕∑sin(2x+馬=近COS2x

842

、t,r兀TC_._712兀、

當(dāng)“￡[-?τ*τ?π]時(shí)，2x∈r[-―,—]，

6333

所以當(dāng)2x=g,即Xq時(shí)，g*)而”g4)=&x(T)=一4，

???λλ

若存在X∈[-?JTJ,T?rJ],使得g(x)<α成立,只需g(?‰<4,

031

所以一等，即實(shí)數(shù)”的取值范圍為(一日,+8).

19.(l)x-y+2=0

(2)單調(diào)遞增區(qū)間為啥和(涉；單調(diào)遞減區(qū)間為信總

【分析】(1)求導(dǎo)，計(jì)算/'(())得到切線斜率，點(diǎn)斜式求切線方程.

(2)求出函數(shù)解析式，求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)解得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】(1)/(Λ)=X+∕,(0)cos2x+a{a∈R),則/'(x)=l—2r(0)sin2x,得/(0)=ι.

由題意/(0)=2,可得曲線y=f(x)在點(diǎn)(Oj(O))處的切線方程為y-2=x,即x-y+2=0.

(2)由已知得/(0)=∕'(0)+α=2.

又由(1)知/'(0)=1,所以a=l.

故/(x)=x+cos2x+l.

,

f(x)=1—2sin2X9X∈[0,π],

由廣(X)>O,得O≤x<N,或fj<x≤π;由1(x)<0,W?<Λ<?.

故f(χ)在［0,兀］上的單調(diào)遞增區(qū)間為°，1J和I三，兀f?縉

單調(diào)遞減區(qū)間為,

∣k1212j

20.⑴4+2萬(wàn)

【分析】(I)將幾何體的表面積分成上下兩個(gè)扇形、兩個(gè)矩形和一個(gè)圓柱形側(cè)面的一部分組成，分別求出

后相加即可;

(2)先根據(jù)條件得到BEL面必β,通過(guò)平移將異面直線轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平面內(nèi)的直線夾角即可

【詳解】(1)上下兩個(gè)扇形的面積之和為：2×1×^×12=^

兩個(gè)矩形面積之和為：4

244ττ

側(cè)面圓弧段的面積為：y×2=y

乃

故這個(gè)幾何體的表面積為：q2+=4T+T4=4+2乃

33

(2)如下圖，將直線AG平移到下底面上為8G

由AP_L8￡,且APAB=A,可得：BE_L面

則NPBE=生

2

而G是弧。尸的中點(diǎn)，則/融G=。

由于上下兩個(gè)平面平行且全等，則直線AG與直線8尸的夾角等于直線Ba與直線BP的夾角，即NPBG為

所求，則NP8α=g-g=J

236

π

則直線AG與直線BP的夾角為J

21.(1)極小值為e,無(wú)極大值

⑵(0,D51,+∞)

【分析】Q)求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求解極值即可；

(2)先對(duì)原方程進(jìn)行同構(gòu)變形，將換元后的方程通過(guò)構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷其有唯一零點(diǎn)，從而將原方程簡(jiǎn)

化為方程e=??有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，方程化簡(jiǎn)后兩邊取對(duì)數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取

值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)α=l時(shí)，f(x)=~,((X)"(與D.

?X

x>O,當(dāng)OVXVl時(shí)，f,M<0；當(dāng)x>l時(shí)，f?x)>0.

.?.函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(l,+∞).

???/。)的極小值為了⑴=e,無(wú)極大值.

(2)x>O,。>0,由方程"'=x-αlnx,得J=IneX-Inx"=1。三，

eexX

令f=J>0,則'=Inr.

￡e

令〃(/)=Inf—上，則

ete

???當(dāng)O<rve時(shí)，h\t)>0；當(dāng)，>e時(shí)，√(r)<0.

???函數(shù)力⑺在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減.

Me)=0,1.方程(=ln∕有唯一解f=e.

「?方程??=χ~lnχ有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解等價(jià)于方程e=與有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.

exχ"

等價(jià)于方程4lnx=x-l有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.

構(gòu)造函數(shù)Za)=αlnx-x+l,則Na)=3-1.

X

a>0,「.當(dāng)0<x<α?xí)r，kr(x)>0；當(dāng)x>α?xí)r,kr(x)<0.

」?函數(shù)k(x)在(0,α)上單調(diào)遞增，在3,+∞)上單調(diào)遞減.

+

x→0,k(x)→-∞?x→+∞,A(X)--O0.

/.只需要&(0)=0lnq-4+1>。，即In。+'-1>0.

a

構(gòu)造函數(shù)見(jiàn)α)=lnα+'-1,則加(α)=L一_L

aaa~

當(dāng)OVaVl時(shí)，m'(tz)<0；當(dāng)α