2023-2024學(xué)年吉林省長春二中高三（上）第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年吉林省長春二中高三(上)第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知P：10g2%<1，貝物的充分不必要條件是()

A.%<2B.0<%<2C.0<%<1D.0<%<3

2.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足;+；=6,則(a+l)(b+9)的最小值是()

A.36B.32C.16D.8

3.已知函數(shù)f(x)=lg[(a2-1)/+9+1汝+1]的值域?yàn)榉矂t實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[1,|]B.(1.|]

C.(-8,-1]u(|,+8)D.(-05,-1)u[1,|)

x

n-4-1Y<1

{2x2-(a+l)x+5,x>l，對(duì)"“I，型eR，/M亞，旃足(今一次)[/(%1)一/(%2)]>0，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.1<a<3B.1<a<3C.1<a<|D.1<a<!

5.已知定義在R上的函數(shù)滿足f(-x)+f(x)=0,/(x+l)=/(l-x),且當(dāng)x€(-1,0)時(shí)―，/(x)=1-

，。。式一力則/■(當(dāng)=()

A.|B.-1C.D.1

6.如圖，在邊長為2的正方形4BCD中，其對(duì)稱中心。平分線段MN,且MN=2BC,點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，則前.

EN=()

Q1

A.-3B.-2C.一捻D.

22

7.已知函數(shù)/(x)=x2+m與函數(shù)9(%)=一3x(%G眩,2])的圖象上至少存在一對(duì)關(guān)于％軸對(duì)稱的點(diǎn)，則

實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.區(qū)+)2,2]B.[2—仇2j+仇2]C.+ITI2,2+Zn2]D.[2—m2,2]

8.將函數(shù)f(x)=cosX的圖象先向右平移:兀個(gè)單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼??>0)倍

O(A)

縱坐標(biāo)不變得到函數(shù)g(x)的圖象.若函數(shù)g(x)在G，：)上沒有零點(diǎn)，則3的取值范圍是()

A.(0,|]U疆B.(0,1]C.(0,1]U有1]D.(0,1]

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.設(shè)函數(shù)/(x)=sin2x+V_3cos2x,則下列結(jié)論正確的是()

A.“X)的最小正周期為兀B."X)的圖象關(guān)于直線x="對(duì)稱

C.f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為x=守D.f(x)的最大值為，3+1

10.下列說法中錯(cuò)誤的為()

A.已知a=(i,2),6=(i,i),且日與a+2反的夾角為銳角，則實(shí)數(shù);I的取值范圍是(一1+8)

B.向量瓦>=(2,-3),行=(；,-令不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

C.若有〃方，則益在3方向上的正射影的數(shù)量為|即

D.三個(gè)不共線的向量加~0B,~0C，滿足04.(需+晨)=0B?(=7+T=|?)=0C-(-==-4--=￡-)=0,則。

|/ioI|C/i|Io/i||CoI|C/1||oC|

是△ABC的內(nèi)心

11.在現(xiàn)代社會(huì)中，信號(hào)處理是非常關(guān)鍵的技術(shù)，我們通過每天都在使用的電話或者互聯(lián)網(wǎng)就能感受到，而

信號(hào)處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù)!函數(shù)/'(x)=羽=1網(wǎng)整網(wǎng)的圖象就可以近似的模擬某種信號(hào)的

波形，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/Q)為周期函數(shù)，且最小正周期為兀

B.函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

C.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線％=3對(duì)稱

D.函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)1(x)的最大值為7

12.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(3x+$(3>0),已知/"(X)在[0,2網(wǎng)有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述結(jié)論正確的是()

A./(%)在(0,2兀)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)B.f(x)在(0,2兀)有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)

C.f(x)在(0,帝單調(diào)遞增D.3的取值范圍是哈的

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.如果函數(shù)/(%)在區(qū)間。上是凸函數(shù)，那么對(duì)于區(qū)間。內(nèi)的任意與，%2,xn,都有地止卑±二坯辿工

/(勺+"2：+"")?若y=sinX在區(qū)間(0,乃)上是凸函數(shù)，那么在△A8C中，sinA+sinB+si?iC的最大值是

14.在AABC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,己知cos2?1—cos2B+siMC=sinBsinC=/且△ABC

的面積為2，耳，則邊a的值為.

15.如圖，在△力BC中，^BAC=AD=2D6-P為CD上一點(diǎn),且滿足Q=C

mAC+^AB,若AABC的面枳為2「，則|Q|的最小值為.

4DB

16.若函數(shù)/(x)=a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)和(一余,a),且當(dāng)久6[0,芻時(shí)，|/(x)|<恒成立，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.()分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知函數(shù)/'(x)=xlnx+ax+b在處的切線為2x—2y-1=0.

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值；

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間.

18.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=>J~3cos2a)x+sina)xcosa)x—/(3>0)的最小正周期為兀.

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(H)若/(乃>好，求x取值的集合.

19.(本小題12.0分)

如圖，洪澤湖濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個(gè)觀景臺(tái)P,已知射線48,4C為濕地兩邊夾角

為120。的公路(長度均超過2千米)，在兩條公路48,4C上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)M,N,從觀景臺(tái)P到M,N建

造兩條觀光線路PM，PN,測得4M=2千米，AN=2千米.

AR

(1)求線段MN的長度；

(2)若4MPN=60°,求兩條觀光線路PM與PN之和的最大值.

20.(本小題12.0分)

2

已知函數(shù)/'(x)=x-ax+alnx有兩個(gè)極值點(diǎn)Xi，x2.

(1)求a的取值范圍；

7424

(2)證明：/(xi)+/(x2)+r+r<16/n2.

21.(本小題12.0分)

設(shè)函數(shù)/(x)=ex+asinx+b.

(1)當(dāng)a=l,%6[0,+8)時(shí)，/(%)Z0恒成立，求力的范圍；

(2)若f(x)在x=0處的切線為x-y-l=0,且方程/(x)=與在恰有兩解，求實(shí)數(shù)小的取值范圍?

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(%)=sinx+5白%G[-71,.

(1)求證："X)在[一兀苧上單調(diào)遞增；

(2)當(dāng)%G[一匹0]時(shí),[/(%)—sinx]ex—cosx<Ashi%恒成立,求々的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：log2》<1，0<x<2,

???p：0<x<2,

???選項(xiàng)中只有選項(xiàng)C是｛x|0<%<2｝的真子集，

故選：C.

先求出x的范圍，再找真子集即可.

本題考查了充分必要條件，考查解對(duì)數(shù)不等式問題，是一道基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：正實(shí)數(shù)a,b滿足工+:=6,

ab

即［前21，當(dāng)且僅當(dāng)”看時(shí)，即a巖，b=3時(shí)取等號(hào)，

1,9,

??‘一+工=

ab6,

???b+9Q=6ab,

???(a4-1)(6+9)=9Q+b+ab+9=7ab+9之7+9=16,

故(a+1)(/?+9)的最小值是16,

故選：C.

先根據(jù)基本不等式的性質(zhì)得到ab>1,再由題意得到2a+b=3ab,即可求出(a+l)(d+9)的最小值.

本題主要考查基本不等式在最值中的應(yīng)用，要注意檢驗(yàn)等號(hào)成立條件是否具備，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】【分析】

因?yàn)楹瘮?shù)值域?yàn)镽,討論二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)的情況，及系數(shù)不為0時(shí)，讓系數(shù)大于0且根的判別式大于等于。求

出a的范圍即可.

考查學(xué)生理解對(duì)數(shù)函數(shù)定義域和值域的能力，以及理解函數(shù)恒成立條件的能力.

【解答】

解：當(dāng)a?—1=0時(shí)，得a=1,a~—1,

a=l時(shí)，/(x)=lg(2x+1).符合題意;

。=-1時(shí);/(%)=]gl=o,不符合題意；

2,

當(dāng)a2_1H0時(shí)，t=(l+i)2-4(a-l)>0

解得1<a式|，

綜上得

故選：A.

4.【答案】D

【解析】解：由題意得/。)是R上的增函數(shù)，

a>1

竽W1，解得1<。號(hào).

(a+1〈2—(a+1)x1+5

故選：D.

先判斷/(x)是R上的增函數(shù)，列關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：???/(一x)+/(x)=0,

???/(x)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，

f(x+1)=/(I—X),

???/(%)關(guān)于直線％=1對(duì)稱，

???f(x)的最小正周期為4x|1—0|=4,

?1?嗎)=f岑—4x2)=/(I)=-/(-1)=-(1-ZO54i)=-l.

故選：B.

根據(jù)函數(shù)即關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱，又關(guān)于工=1軸對(duì)稱，可求得函數(shù)的周期為4,再結(jié)合已知范圍的解析式即

可得出答案.

本題主要考查利用函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，考查推理能力及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：在邊長為2的正方形中，其對(duì)稱中心。平分線段MN,且MN=2BC,點(diǎn)E為CC的中點(diǎn)，

則MN=2BC=4,0M=2,OE=1,

則麗-EN=(EO+OM}?(EO+ON)=(EO+OM)-(EO-OM)=|FO|2-|OM|2=l-4=-3.

故選：A.

利用平面向量的線性運(yùn)算表示出麗?￡W=(￡0+0M)-(E0+ON)=(E0+0M)-(E0-0M)=\E0\2-

\0M\2,結(jié)合題意，即可得出答案.

本題考查平面向量的線性運(yùn)算，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：由已知，得到方程/+Hi=］n：+3xom=Tnx+3x—/在旅花］上有解.

設(shè)九(x)=—Inx+3%—%2,

求導(dǎo)得：?(x)=-*3-2x=_(2J)(1),

xzxXX

VI<x<2,

令"(%)=0,解得x=g或％=1,

當(dāng)九'(x)>0時(shí)，1<x<1,函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)//(%)<0時(shí)，1VXV2,函數(shù)單調(diào)遞減，

??.在x=1有唯一的極值點(diǎn)，

vh(1)=ln24-1，九(2)=一仇2+2,以外瑟大值=h(1)=2,且九(2)<九弓)，

故方程m=—Inx+3%—/在8,2］上有解等價(jià)于2—ln2<m<2,

從而m的取值范圍為［2-m2,2］.

故選：D.

由己知，得到方程m=-仇％+3%-/在整,2］上有解，構(gòu)造函數(shù)八⑶=一)工+3%一產(chǎn),求出它的值域，

得到m的范圍即可.

本題考查了構(gòu)造函數(shù)法求方程的解及參數(shù)范圍；關(guān)鍵是將已知轉(zhuǎn)化為方程/+m=ln-+3x?m=

X

-Inx+3x-/在g,2］上有解.

8.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)建立不等式組進(jìn)行求解即可.

【解答】

解：將函數(shù)/(久)=COSX的圖象先向右平移:兀個(gè)單位長度，

O

得到y(tǒng)=cos(x一工6兀)，

再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?3>0)倍，縱坐標(biāo)不變得到函數(shù)g(x)的圖象.

即g(X)=COS(d)X—|TT),

若函數(shù)g。)在6樣)上沒有零點(diǎn)，

則。N孚一J=7T,即7>2TT,即3>2TT,則0V3W1,

2220)

52

XG3X--E3-6372T576T

??)'67T

2

7T-7r

62-

故r2k67

t32^

7T<+

6372TfcTT

82

解得+kf

-<3<149+-c6z

32fc_3

2

得O

<<-

V0<60<1,故令Z=-2,9

令k——1,得:<a><^,

故3的取值范圍是(0,仙品］

故選:A.

9.【答案】ABC

【解析】解：f(x)=sin2x+y/~3cos2x=2sin(2x+,

選項(xiàng)A,最小正周期7=亨=兀，即A正確；

選項(xiàng)B,令2x+g=?+k7r,k€Z,則乂==+"，k&Z,即8正確；

3112.2.

選項(xiàng)C,令2X+W=/CT,k&z,則％=—外空，kez,當(dāng)k=l時(shí)，X=￡即C正確；

36L3

選項(xiàng)。，f(x)的最大值為2,即。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

利用輔助角公式化簡可得f(x)=2sin(2x+金，再分別根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，對(duì)稱性，零點(diǎn)問題和值域問

題，得解.

本題考查三角函數(shù)的綜合，熟練掌握輔助角公式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能

力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A,va=(1,2),另=(1,1),2與G+花的夾角為銳角，

-.a(a+Ab)=(1,2).(1+2,2+2)=1+2+4+22=32+5＞。且4H0(此時(shí)日與d+4石的夾角為0°)，

即實(shí)數(shù)；I的取值范圍是(一|,0)U(0,+oo),

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤：

對(duì)于選項(xiàng)B,?.?向量部=(2,-3)=4蒜，

即京*與瓦共線，

故可與蔡不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，

即選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,若蒼〃),

則a在?方向上的正射影的數(shù)量為±|磯，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D???三個(gè)不共線的向量加禧元，滿足而.襟+熹)=麗.(黑+第=元.(禺+蓋)=

|71DI|C/i||D71||CDI|C/i|\DLI

0,

則就與湍?+贏=荏(E在NB4c的外角平分線上)垂直，

所以。在NBAC的平分線上，

同理，。在乙4BC的平分線上，。在乙4cB的平分線上，

故。為△ABC的內(nèi)心，

故選項(xiàng)。正確.

故選：AC.

由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合向量共線及垂直的運(yùn)算逐一判斷即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量共線及垂直的運(yùn)算，屬中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：正弦型函數(shù)/(x)=2L則喏聞=sinx+等i+等+…+誓，

對(duì)于從正弦型函數(shù)y=sin(2i-l)x,i=1,2,3，…，7是周期函數(shù)，其最小正周期為怒，所以函數(shù)/'(x)為

周期函數(shù)，其最小正周期為7=2兀，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,根據(jù)正弦函數(shù)是定義域R上的奇函數(shù)知，/(x)是奇函數(shù)，所以8正確；

對(duì)于C,函數(shù)y=sin(2i-l)x,其中i=1,2,317；在x時(shí)取得最值，所以y=/(x)的圖象關(guān)于直

線x=5對(duì)稱，C正確；

對(duì)于D,函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)=cosx+cos3x+cos5x4----Fcosl3x,所以/''(x)的最大值為7,。正確.

故選：BCD.

根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)題目中的命題分析、判斷正誤即可.

本題考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.

12.【答案】ACD

【解析】解：當(dāng)xe［0,2兀］時(shí)，弓,2兀3+圖,

因?yàn)?(x)在［0,2河有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，

故/(x)在(0,2兀)上有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)，而極小值點(diǎn)有2個(gè)或3個(gè)，

故A對(duì)，B錯(cuò)，

7T

57r<2na)+-<6五,

所以Q正確，

當(dāng)xe(0總時(shí)，3無+"生然母

若/(x)在(0志)單調(diào)遞增，則然史<》即3<3,

因?yàn)?33<窘，故C正確，

故選：ACD.

根據(jù)/(x)在［0,2初有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，可得57Ts2兀3+￡<6兀，解出3,然后判斷是否正確即可得到答案.

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，屬中檔題.

13.【答案】亨

【解析】解：:y=sinx在區(qū)間(0,兀)上是凸函數(shù)，且在△ABC中，A,B,Ce(0,7r),A+B+C=

sinA+sinB+sinC,.A+B+C.n

-------------<sin--——=sm-=-T-

???sinA+sinB+sinC<—r—?

故答案為：卑

依題意，y=sinx在區(qū)間（0,兀）上是凸函數(shù)，則幽誓過更ssi嗎從而可得答案.

本題考查函數(shù)恒成立問題，理解新定義凸函數(shù)是難點(diǎn)，考查理解與轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題.

14.【答案】

【解析】【分析】

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)

化思想，屬于中檔題.

由題意利用正弦定理可得b2+c2-a2=bc,由余弦定理可求得4再結(jié)合正弦定理得=3兒，利用面積

公式可求得加，進(jìn)而得到a.

【解答】

解：因?yàn)閏os2/l-COS2B+sin2c=sinBsinC,所以1—sin2^-1+sin2B+sin2C=sinBsinC,

即siMB+sin2c-siMa=sinBsinC,由正弦定理=-r-r=-7可得/+c2-a2=be,

sinBsinC

由余弦定理可得cos4=ttI=L因?yàn)閍e（o㈤，所以4=芻

2bc2J

由正弦定理仁=芻=告，則一*=耳，即牛=各，整理可得。2=3兒，

sinAsinBsinCsinfisincsin'A彳sin可

又S=IbesinA=2V~3,所以be=8,則a?=24,

所以a=2A/~%，

故答案為

15.【答案】「

【解析】解：?.?加=加前+g加

又而=2麗，

3

-

2-

3

正

而

而

-+-

Tn4

又因?yàn)镃,P,。三點(diǎn)共線，

則m+3=1,

即m=7,

4

■■.AP=^AC+^AB,

42

---->21---->21---->21---->---->1---->---->1----?----?JT3----*----?

：.AP=^AC+^AB+^AC-AB>2x^\AC\\AB\+^\AC\\AB|cos^=1|/1C||/1B|>

SMBC=：I正II畫s嗚=2/7,

砌|荏||=8,

23

而83

->-X-

8

\AP\>V_3>即|4P|的最小值為

故答案為：V-3.

首先利用C,P,D三點(diǎn)共線求得m值，再通過費(fèi)?結(jié)合不等式即可求解其最小值.

此題考查了向量之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)量積，向量的模，不等式等，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.

16.【答案】［0,4+247］

【解析】解：因?yàn)閒(x)經(jīng)過點(diǎn)(0,1)和(―aa),

所以/(0)=a+b=1,一：)=a+=a，可得b=c=l-a,

故/'(x)=a+(1—d)cosx+(1—a)sinx=a+(1—a)(sinx+cosx)=a+V-^(l—a)sin(x+/，

因?yàn)镺Wx*,所以Rx+上占所以?Wsin(x+))41，

當(dāng)a<1時(shí)，1—Q>0,可得1-aWV2(1—a)sin(x+令工V2(1—a),

所以1</(x)</2(1-a)+a，要使—JI</(x)<ATI恒成立，

只要，^(l-a)+a即a20,又a<1,從而0Sa<1；

當(dāng)a=1時(shí)，/(x)=1G［-4,「］；

當(dāng)a>l時(shí),1—a<0,所以1—a/V~^(l—a)sin(x+.)N—a),

所以12/(x)><7(1-a)+a.要使</(x)</I恒成立，

只要q(l-a)+aN—，7,解得aW4+2。，又a>1,從而1<aS4+2「.

綜上所述，a的取值范圍為0Wa44+2C.

故答案為：［0,4+2d

先根據(jù)/(0)=1,/(-力=a將b,c轉(zhuǎn)化為a來表示，由此化簡“為的解析式，對(duì)a進(jìn)行分類討論，根據(jù)|/(x)|<

，至恒成立列不等式來求得a的取值范圍.

本題主要考查了不等式恒成立的問題，主要解題思路是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值來進(jìn)行求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想

的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】(1)依題意可得：2-2"1)-1=0,即"1)=；,

??'/(%)=xlnx+a%+b,

?'?f(x)=Inx+Q+1,

又?.,函數(shù)/'(x)在(Lf(1))處的切線為2x-2y-1=0,/(I)=p

-f(l)=a+1=1

/(l)=a+b=^'

a=0

解得:

(2)由(1)可得：<(x)=1+Inx,

當(dāng)xG(0,勺時(shí)，f(x)<0,/(為單調(diào)遞減;

當(dāng)*e(；,+8)時(shí)，r(x)>o,y(x)單調(diào)遞增，

??.f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,；),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(；,+8).

【解析】(1)首先對(duì)f(x)求導(dǎo)，求出(14(1))點(diǎn)處的切線方程與2x—2y-1=0相等即可：

(2)結(jié)合(1)然后利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的單調(diào)性的求法，以及計(jì)算能力

18.【答案】解：(I)v/(x)=V^cos2a?x+sina)xcosa)x—(1+cos2a)x)+1sin2a?x—

=?cos2cox+^sin2a>x=sin(2cox+g)，

因?yàn)橹芷跒殪?兀，所以3=1,故〃x)=sin(2=+》.

由弓+2kji<2x+—<—+2/CTT,keZ,得石+kn<x<—+kn,k6Z,

故函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為哈+k兀堵+kn],k&Z.

(II)/(x)>^.即sin(2x+今>?，

由正弦函數(shù)得性質(zhì)得：+2/OT<2x+g<與+2/OT,/CCZ,

解得一3+2kn<2.x<黑+2k.iT,所以一^+kn<x<^+kn,k&Z>

則》取值的集合為{x|-最+k?r<x<霄+/ot,keZ}.

【解析】(I)利用三角恒等變換化簡f(x)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求得3的值，從而確定/(為的

解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間.

(0)利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f(x)>?的解集.

本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)在△4MN中，由余弦定理得，

MN2=AM2+AN2-2AM-ANcosl20°

=22+22-2X2X2X(一鄉(xiāng)=12,

所以“N=2c千米.

(2)設(shè)NPMN=a,因?yàn)閆JWPN=60。，所以Z_PNM=120。-a,

在APMN中，由正弦定理得，

MN_PM_PN

sinZ-MPNsin(120°—a)sina'

因?yàn)椤筤=嗎=4，

sinz.MPNsin60

所以PM=4sin(120°-a),PN=4sina,

因此PM+PN=4sin(120°-a)+4sina

=4(^^cosa+gsina)+4sina

=6sina+2y/-3cosa-4V_3sin(a+30°),

因?yàn)?。<a<120°,所以30。<a+30°<150°.

所以當(dāng)a+30。=90。，即a=60。時(shí)，PM+PN取到最大值4v-5.

答：兩條觀光線路距離之和的最大值為4二千米.

【解析】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是正確建模，然后利用正弦定理、余弦定理解三角形.

(1)在AAMN中，利用余弦定理得到MN：

(2)設(shè)NPMN=a,得到NPNM=120°-a,利用正弦定理將PM+PN用a表示，結(jié)合三角函數(shù)的有界性求

最值.

20.【答案】解：(1)八%)=2/_"=2/20,

/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)%1，%2，則((%)=0在(0,+8)上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根%1，x2,

所以2%2-ax4-a=0在(0,+8)上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根久%2,

"4=a2—8a>0

則,x/2=與>0,解得°>8,

%1+x2=1>0

故a的取值范圍為(8,+8)；

(2)證明:由⑴知%1%2=,/+%2=5，且J>8,

)

f01)+f(%2+§+F=詔-Q%1+Qm%1+詔一ax2+alnx2+§+鄉(xiāng)

人2人142

OA，CY1Y、

2

=(%i+%2)—2%I%2—Q(%T+%2)+Qm石％2-------—~~2

xlx2

=「一Q—Q￡+aln^-V24=―—―Q+aln^-V24，

42242

令9(。)=一:一Q+Q，W+24(a>8),g'(。)=~1+1哆

令九⑷=g，(a)=4+1吟"(a)=一+工=1<0在(8,+8)上恒成立，

所以九⑷="(a)=一升嗚在(8,+8)上單調(diào)遞減，

故"(a)=—+In]<g'(8)=-44-Zn4<0,

因此g(a)在Q>8單調(diào)遞減，

故g(a)<g(8)=-16-8+8)4+24=16/n2,

故。(。)=一手一Q+出W+24<161n2,得證.

【解析】(1)求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為2/一"+Q=O在(0,+8)上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根%，%2,根據(jù)二次方程根的分

布即可求解，

(2)結(jié)合=5,尢1+%2=5，代入化簡式子，將問題轉(zhuǎn)化為g(a)=—^—a+aln+24<16Zn2>利用導(dǎo)

數(shù)即可求解.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查不等式的證明，考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能

力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由/(%)=e”+asinx+b,

當(dāng)a=1時(shí)，得f'(x)=e*+cosx.

當(dāng)％W[0,+8)時(shí)，ex>1,cosxE[—1,1],且當(dāng)cosx=-1時(shí)，x=2kn+TT,kEN,此時(shí)e”>1.

所以f'(x)=ex4-cosx>0,即f(%)在[0,+8)上單調(diào)遞增,

所以f()nin=/(0)=l+b，

由f(%)NO恒成立，得l+/?N0,所以bz-l.

(2)由/(%)=e*+asinx+b得((％)=e*+acosx,且f(0)=1+b.

由題意得f'(0)=e°+Q=1,所以Q=0.

又(0,1+匕)在切線％-y-1=0上.

所以0—