2024屆北京市教育院附屬中學(xué)九年級上冊數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆北京市教育院附屬中學(xué)九上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2,請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題（每小題3分,共30分）

1.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE：EC=3:1,連接AE交BD于點(diǎn)F,則△DEF的面積與△BAF

的面積之比為（）

A.3：4B.9：16C.9：1D.3：1

2.如圖,扇形AOB中,半徑OA=2,NAoB=I20。，C是弧AB的中點(diǎn),連接AC、BC,則圖中陰影部分面積是（）

A.--2√3B.--2√3

33

C.^-√3D.紜-百

33

3.如圖，在AABC中，AC=2,BC=A,。為BC邊上的一點(diǎn)，且NC4O=∕δ?若ΔADC的面積為則ΔA3O

的面積為（）

一22

4.已知關(guān)于X的函數(shù)y=k（x+l）和y=-&（k≠0）它們在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（）

A.Gl有意義的X取值范圍是x>l.

B.一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)波動(dòng)性越大.

C.若Na=72°55',則4的補(bǔ)角為10745'.

D.布袋中有除顏色以外完全相同的3個(gè)黃球和5個(gè)白球，從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率為9

O

6.如圖，正方形ABC。的邊長是3,BP=CQ,連接AQ、Z)P交于點(diǎn)。，并分別與邊C。、BC交于點(diǎn)尸、E,

z?J7,1O

連接AE,下列結(jié)論：①AQ_LZ)P：②。A2=OE)?OP;③氏。。=S四邊形OEcF；④當(dāng)Bp=I時(shí)，――=--?正確結(jié)

OA16

論的個(gè)數(shù)為()

0

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

7.已知兩圓半徑分別為6?5c∕n和3c∕n,圓心距為3.5cm,則兩圓的位置關(guān)系是()

A.相交B.外切C.內(nèi)切D.內(nèi)含

8.在一個(gè)布袋里放有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，它們除了顏色外其余都相同，從布袋中任意摸出一個(gè)球是白球

的概率()

9.拋物線的y=(x—if+3頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(-1,-3)D.(1,-3)

10.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C,D在直徑AB一側(cè)的圓上(異于A,B兩點(diǎn))，點(diǎn)E在直徑AB另一側(cè)的圓上,

若NE=42。，ZA=60o,則NB=()

n

E

A.62oB.70oC.720D.74o

二、填空題（每小題3分,共24分）

11.一輛快車從甲地駛往乙地，一輛慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，勻速行駛.設(shè)行駛的時(shí)間為》（時(shí)），兩車

之間的距離為y（千米），圖中的折線表示從兩車出發(fā)至快車到達(dá)乙地過程中y與X之間的函數(shù)關(guān)系.已知兩車相遇時(shí)

快車比慢車多行駛60千米.若快車從甲地到達(dá)乙地所需時(shí)間為f時(shí)，則此時(shí)慢車與甲地相距千米.

12.在AABC中，已知AB=AC=4cm,BC=6cm,P是BC的中點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，3cm為半徑畫。P,則點(diǎn)A

與。P的位置關(guān)系是.

13.如圖，在AABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上，若DE〃BC,AD=2BD,貝∣DE；BC等于.

AB3

14.若AABCsZvrBC且——=一，ZkABC的周長為12cm,則夕。的周長為

AB4

15.已知二次函數(shù)y=aχ2+bx+c中，函數(shù)y與自變量X的部分對應(yīng)值如表,

X6.176.186.196.20

y-0.03-0.010.020.04

則方程ax2+bx+c=0的一個(gè)解的范圍是

16.如圖，已知PA,PB是。O的兩條切線，A,B為切點(diǎn).C是。O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).且不與A,B重合.若NPAC=α,

ZABC=β,則a與6的關(guān)系是

A

17.寫出一個(gè)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向下的二次函數(shù)的表達(dá)式.

18.從長度分別是40%,8677/,IOcm,12cm的四根木條中，抽出其中三根能組成三角形的概率是.

三、解答題(共66分)

19.QO分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ZACB=90o,OC=2BO,AC=6,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),拋物線y=-

x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn).

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)求拋物線的解析式；

(3)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD垂直X軸于點(diǎn)D,交線段AB于點(diǎn)E,使PE=]DE.

2

①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②在直線PD上是否存在點(diǎn)M,使aABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請

20.(6分)如圖，四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=60o,NBCD=30。，將AC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得AE,連

接BE,CE.

(1)求證：?ADC^?ABE;

(2)求證：AC2=DC'+BC2

(3)若AB=2,點(diǎn)Q在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足AQ?=OQ?+BQ?,直接寫出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路徑的長度.

21.（6分）為深化課程改革，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，我校開設(shè)了形式多樣的校本課程.為了解校本課程在學(xué)生中最受

歡迎的程度，學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，從A：天文地理；B：科學(xué)探究；C：文史天地；D：趣味數(shù)學(xué)；四

門課程中選你喜歡的課程（被調(diào)查者限選一項(xiàng)），并將調(diào)查結(jié)果繪制成兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示，根據(jù)以上信息，

解答下列問題：

（1）本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中A部分的圓心角是度；

（2）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）根據(jù)本次調(diào)查，該校400名學(xué)生中，估計(jì)最喜歡“科學(xué)探究”的學(xué)生人數(shù)為多少？

（4）為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，學(xué)校決定舉辦學(xué)生綜合素質(zhì)大賽，采取“雙人同行，合作共進(jìn)”小組賽形式，比賽題目從

上面四個(gè)類型的校本課程中產(chǎn)生，并且規(guī)定：同一小組的兩名同學(xué)的題目類型不能相同，且每人只能抽取一次，小琳

和小金組成了一組，求他們抽到“天文地理”和“趣味數(shù)學(xué)”類題目的概率是多少？（請用畫樹狀圖或列表的方法求）

22.(8分)計(jì)算

(1)2sin30o-tan60o+tan45o;

(2)-tan2450+sin2300-3cos2300

4

23.(8分)如圖，在ABe。中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AC=I6,BD=T2,AB=10.求證：四邊形

ABCD是菱形.

24.（8分）如圖所示，AD,BE是鈍角AABC的邊BC,AC上的高，求證：—.

25.（10分）三臺縣教育和體育局為幫助萬福村李大爺“精準(zhǔn)脫貧”，在網(wǎng)上銷售李大爺自己手工做的竹簾，其成本為

每張40元，當(dāng)售價(jià)為每張80元時(shí)，每月可銷售100張.為了吸引更多顧客，采取降價(jià)措施.據(jù)市場調(diào)查反映：銷售單價(jià)

每降1元，則每月可多銷售5張.設(shè)每張竹簾的售價(jià)為X元（X為正整數(shù)），每月的銷售量為〉張.

（1）直接寫出y與X的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)該網(wǎng)店每月獲得的利潤為W元，當(dāng)銷售單價(jià)降低多少元時(shí)，每月獲得的利潤最大，最大利潤是多少？

（3）李大爺深感扶貧政策給自己帶來的好處，為了回報(bào)社會(huì)，他決定每月從利潤中捐出200元資助貧困學(xué)生.為了保

證捐款后每月利潤不低于4220元，求銷售單價(jià)應(yīng)該定在什么范圍內(nèi)？

26.（10分）計(jì)算:

參考答案

一、選擇題（每小題3分,共30分）

1、B

【分析】可證明ADFESaBFA,根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得出答案.

【詳解】V四邊形ABCD為平行四邊形，

ΛDC√AB,

Λ?DFE^?BFA,

VDE：EC=3：1,

.,.DE:DC=3:4,

ΛDE:AB=3：4,

?*?S?I）FESSABFA=%1.

故選B.

2、A

【解析】試題分析：連接AB、OC,ABlOC,所以可將四邊形AOBC分成三角形ABC、和三角形AOB,進(jìn)行求面

積，求得四邊形面積是26，扇形面積是S=gm?2=所以陰影部分面積是扇形面積減去四邊形面積即F-26.

故選A.

3、C

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到ΔACZ）NBCA,再由相似三角形的性質(zhì)得到答案.

【詳解】YNCAD=NB,ZACDZBCA,

ΛΔACD?BCA,

a?

即

u,ΔBCA4

解得，ΔBC4的面積為4α,

二ΔABD的面積為：4a-a=3a,

故選C?

【點(diǎn)睛】

本題考查相似三角形的判定定理和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì).

4、A

【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷出k的取值，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷出k取值，二者一致的即為正確答案.

【詳解】解：當(dāng)k>0時(shí)，反比例函數(shù)的系數(shù)-kVO,反比例函數(shù)過二、四象限，一次函數(shù)過一、二、三象限，原題沒

有滿足的圖形；

當(dāng)kVO時(shí)，反比例函數(shù)的系數(shù)-k>0,所以反比例函數(shù)過一、三象限，一次函數(shù)過二、三、四象限.

故選：A.

5、B

【分析】分別分析各選項(xiàng)的題設(shè)是否能推出結(jié)論，即可得到答案.

【詳解】解：A.√Γ萬有意義的X取值范圍是x≥l,故選項(xiàng)A命題錯(cuò)誤;

B.一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)波動(dòng)性越大，故選項(xiàng)B命題正確;

C.若Na=72o55',則Na的補(bǔ)角為1075',故選項(xiàng)C命題錯(cuò)誤;

D.布袋中有除顏色以外完全相同的3個(gè)黃球和5個(gè)白球，從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球是白球的概率為故選項(xiàng)D命題

O

錯(cuò)誤；

故答案為B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題真假的判斷，掌握分析各選項(xiàng)的題設(shè)能否退出結(jié)論的知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

6、D

【分析】由四邊形ABQ9是正方形，AD=BC=AB,NzMB=NA3C=90°,即可證明4ABQ,根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)得到NP=N。，根據(jù)余角的性質(zhì)得到AQ_LOP；故①正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AO2=QZ)?OP,

故②正確；根據(jù)ACQFgZkBPE,得至IJSAC2F=SA"*根據(jù)aOAP且ZUBQ,得到S產(chǎn)S人儂，即可得到SS四

OECFi故③正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE的長，進(jìn)而求得0E的長，證明根據(jù)相似三角

形對應(yīng)邊成比例即可判斷④正確，即可得到結(jié)論.

【詳解】???四邊形ABC。是正方形，

：.AD=BC=AB,NZMB=NABC=90°.

"：BP=CQ,

：.AP=BQ.

AD^AB

在aOA尸與AABQ中，；＜NDAP=ZABQ,

AP=BQ

：.4DAP迫叢ABQ,

.?.NP=NQ.

vzρ+zρAB=90o,

ΛZP+ZβAB=90o,

ΛZAOP=90",

：.AQLDPi

故①正確；

：NOOA=NAOP=90°,ZADO+ZP=ZADO+ZDAO=90°,

：.ZDAO=ZP,

：.ADAoSAAP0,

AOOP

?*.=_,

ODOA

.?AO2=OD?OP.故②正確；

ZFCQ=ZEBP

在廠與45PE中，?.?∣NQ=NP,

CQ=BP

丁?△CQFW4BPE,

:?SACQF=SABPE.

:?SADAp=SAABQ,

?*?SAAOD=S四邊形OECF;故③正確；

VBP=1,AB=3,

JAP=L

?NP=NP,NEBP=NZMP=90°,

△PBEsMAD,

PBPA4

~EB~~DA3

3

BE=-,

4

13

QE=丁,

4

NQ=NP,NQOE=NPOA=90°,

AQOE?^?POA,

13

?.OE一絲=W，

z

~0AAP4

13

.OE=9,故④正確.

',~OA'16

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)

是解答本題的關(guān)鍵.

7、C

【解析】先求兩圓半徑的和與差，再與圓心距進(jìn)行比較，確定兩圓的位置關(guān)系.

【詳解】T兩圓的半徑分別為6.5c,"和3c∕n,圓心距為3.5c,",且6.5-3=3.5,

.?.兩圓的位置關(guān)系是內(nèi)切.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

考查了由數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓位置關(guān)系的方法.設(shè)兩圓的半徑分別為K和r,且R7，圓心距為山外離d>R+r;外

切d=R+r；相交R-rVdVR+r；內(nèi)切d=R-r;內(nèi)含dVR-r.

8、C

【分析】根據(jù)概率公式，求摸到白球的概率，即用白球除以小球總個(gè)數(shù)即可得出得到黑球的概率.

【詳解】Y在一個(gè)布袋里放有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，它們除了顏色外其余都相同，

21

.?.從布袋中任意摸出一個(gè)球是白球的概率為：------=-.

1+2+33

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了概率公式的應(yīng)用，由已知求出小球總個(gè)數(shù)再利用概率公式求出是解決問題的關(guān)鍵.

9、A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用頂點(diǎn)式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】解：???拋物線y=（x-lp+3,

，拋物線y=（x-lp+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是：（1,3）,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用二次函數(shù)頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)坐標(biāo).能根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式找出拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的

關(guān)鍵.

10、C

【分析】連接AC根據(jù)圓周角定理求出NCAB即可解決問題.

【詳解】解：連接AC.

E

VZDAB=60o,ZDAC=ZE=42o,

ΛZCAB=60o-42°=18°,

VAB是直徑，

ΛZACB=90o,

ΛZB=90o-18o=72o,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考察圓周角定理，解題關(guān)鍵是連接AC.利用圓周角定理求出NCAB.

二、填空題（每小題3分,共24分）

11、儂

17

【分析】求出相遇前y與X的關(guān)系式，確定出甲乙兩地的距離，進(jìn)而求出兩車的速度，即可求解.

【詳解】設(shè)AB所在直線的解析式為：y=kx+b,

把（1.5,70）與（2,0）代入得：

'l.5k+h=10

'2k+b=0

?k=-140

解得：,

b=280

.?.AB所在直線的解析式為：y=-140x+280,

令X=0,得到y(tǒng)=280,即甲乙兩地相距280千米，

設(shè)兩車相遇時(shí)，乙行駛了X千米，則甲行駛了（x+60）千米,

根據(jù)題意得：x+x+60=280,

解得：χ=ιιo,即兩車相遇時(shí)，乙行駛了UO千米，甲行駛了170千米,

.?.甲車的速度為85千米/時(shí)，乙車速度為55千米/時(shí),

根據(jù)題意得：280-55x（280÷85）=（千米）.

17

則快車到達(dá)乙地時(shí)，慢車與甲地相距儂

千米.

17

“依田二1680

故答案為：――

【點(diǎn)睛】

本題主要考查根據(jù)函數(shù)圖象的信息解決行程問題，根據(jù)函數(shù)的圖象，求出AB所在直線的解析式是解題的關(guān)鍵.

12、點(diǎn)A在圓P內(nèi)

【分析】求出AP的長，然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷即可.

【詳解】VAB=AC,P是BC的中點(diǎn),

ΛAP±BC,BP=3cm,

?AP=√42-32-y/lcm,

???√7<3,

...點(diǎn)A在圓P內(nèi).

故答案為：點(diǎn)A在圓尸內(nèi).

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵要記住若半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d,則有:

當(dāng)rf>r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d<r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi).

13、2：1

【分析】根據(jù)DE〃BC得出4ADES∕^ABC,結(jié)合AD=2BD可得出相似比即可求出DE：BC.

【詳解】解：?.'DE"BC,

Λ?ADE^?ABC,

DEAD

?*.—,

BCAB

VAD=2BD,

.AD2

..,

AB3

ΛDE:BC=2：1,

故答案為：2；1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，解題的關(guān)鍵是熟悉相似三角形的判定及性質(zhì)，靈活運(yùn)用線段的

比例關(guān)系.

14、16cm

【分析】根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比求解.

【詳解】解：...4ABCs^AGX?,且?=3,即相似三角形的相似比為3,

AB44

?.,△ABC的周長為12Cm

3

二的周長為12÷-=16cm.

4

故答案為：16.

【點(diǎn)睛】

此題考查相似三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握相似三角形周長的比等于相似比.

15、6.18<x<6.1

【分析】根據(jù)表格中自變量、函數(shù)的值的變化情況，得出當(dāng)y=0時(shí)，相應(yīng)的自變量的取值范圍即可.

【詳解】由表格數(shù)據(jù)可得，當(dāng)x=6.18時(shí)，y=-0.01,當(dāng)x=6.1時(shí)，y=0.02,

.?.當(dāng)y=0時(shí)，相應(yīng)的自變量X的取值范圍為6.18<x<6.L

故答案為：6.18<x<6?l.

【點(diǎn)睛】

本題考查了用圖象法求一元二次方程的近似根，解題的關(guān)鍵是找到y(tǒng)由正變?yōu)樨?fù)時(shí)，自變量的取值即可.

16、α=6或α+4=180°

【分析】分點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上和劣弧AB上兩種情況討論，根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOAC的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理得

到NAoC的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理得出α與β的關(guān)系.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上時(shí)，如圖，

連接OA、OB、OC,

?.?PA是。。的切線，

，ZPAO=90o,

，ZOAC=α-90o=ZOCA,

?：ZAOC=2ZABC=2β,

：.2(a-90o)+2β=180o,

.*.(X+,=I80°；

當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上時(shí)，如圖,

YPA是。。的切線，

ΛNPAC)=90。，

二NoAC=90o-a=ZOCA,

VNAoC=2NABC=2β,

：.2(90o-a)+2β=180o,

：.a=β.

B

綜上：a與P的關(guān)系是a+∕=18()?；騛=月.

故答案為：。=尸或a+∕=180°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，利用圓周角定理是解題的關(guān)鍵，同時(shí)

注意分類討論.

17、y=-2χ2(答案不唯一)

【分析】由題意知，圖象過原點(diǎn)，開口向下則二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，由此可寫出滿足條件的二次函數(shù)的表達(dá)式.

【詳解】解：由題意可得：y=-2好(答案不唯一).

故答案為：y=-2χ2(答案不唯一).

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【分析】四根木條中，抽出其中三根的組合有4種，計(jì)算出能組成三角形的組合，利用概率公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：能組成三角形的組合有：4,8,10；4,10,12；8,10,12三種情況，

3

故抽出其中三根能組成三角形的概率是一.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了列舉法求概率，如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么

事件A的概率P(A)=-,構(gòu)成三角形的基本要求為兩小邊之和大于最大邊.

n

三、解答題(共66分)

19、(1)y=-X2-3x+4;(2)①P(-1,6)；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為：.?M(-1,3+√∏)或(-1,3-√∏^)或(-

13

1>T)或(-1,一).

2

【解析】(1)先根據(jù)已知求點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；

(2)①先得AB的解析式為：y=-2x+2,根據(jù)PDJ_x軸，設(shè)P(x,-x2-3x+4),則E(x,-2x+2),根據(jù)PE=；DE,列

方程可得P的坐標(biāo)；

②先設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得AB,AM,BM的長，分三種情況：AABM為直角三角形時(shí)，分別以

A、B、M為直角頂點(diǎn)時(shí)，利用勾股定理列方程可得點(diǎn)M的坐標(biāo).

【詳解】(1)VB(1,0),

ΛOB=1,

VOC=2OB=2,

.?.C(-2,O),

RtZkABC中，tanZABC=2,

*-2

BC

.AC,

>?-----=2

3

ΛAC=6,

ΛA(-2,6),

4-2?+c=6

把A(-2,6)和B(1,0)代入y=-x2+bx+c得：｛,,C

-1+Z?+C=O

Z?=—3

解得：｛,,

c=4

???拋物線的解析式為：y=-χ2-3x+4;

(2)①TA(-2,6),B(1,0),

易得AB的解析式為：y=-2x+2,

設(shè)P(x,-X2-3x+4),貝(]E(x,-2x+2),

I

VPE=-DE,

2

-X2-3x+4-(-2x+2)=—(-2x+2)，

2

x=l(舍)或-1,

.?.P(-1,6)；

②在直線PD上，且P(-1,6),

設(shè)M(-1,y),

.".AM2=(-1+2)2+(y-6)2=1+(y-6)2,

BM2=(1+1)2+y2=4+y2,

AB2=(1+2)2+62=45,

分三種情況：

i)當(dāng)NAMB=90。時(shí)，有AM2+BM2=AB2,

1+(y-6)2+4+y2=45,

解得：y=3+-?∕TT，

ΛM(-b3+√ΓT)或(-1,3-Jn)；

ii)當(dāng)NABM=90。時(shí)，有AB2+BM2=AM2,

Λ45+4+y2=l+(y-6)2,y=-l,

ΛM(-1,-1),

iii)當(dāng)NBAM=90。時(shí)，有AM2+AB2=BMP,

13

：?1+(y-6)2+45=4+y2,y=一,

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：.?.M(-1,3+J∏^)或(-1,3-JrT)或(-1,-1)或(-1,―).

【點(diǎn)睛】

此題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，鉛直高度和勾股定理的運(yùn)用，直角三角形的判定

等知識.此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意方程思想與分類討論思想的應(yīng)用.

2

20、(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)-π.

3

【解析】(1)推出NDAC=NBAE,則可直接由SAS證明AADCgZ^ABE：

(2)證明ABCE是直角三角形，再證DC=BE,AC=CE即可推出結(jié)論；

(3)如圖2,設(shè)Q為滿足條件的點(diǎn)，將AQ繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得AF,連接QF,BF,QB,DQ,AF,證

AADQ^?ABF,由勾股定理的逆定理證NFBQ=90。，求出NDQB=I50。，確定點(diǎn)Q的路徑為過B,D,C三點(diǎn)的圓上

BD'求出BZ)的長即可.

【詳解】(1)證明：VZCAE=ZDAB=60o,

NCAE-NCAB=NDAB-NCAB,

.?.ZDAC=ZBAE,

XVAD=AB,AC=AE,

Λ?ADC^?ABE(SAS)；

(2)證明：在四邊形ABCD中,

ZADC+ZABC=360o-ZDAB-ZDCB=270o,

V?ADC^?ABE,

.?.NADC=NABE,CD=BE,

：.ZABC+ABE=ZABC+ZADC=270o,

ΛZCBE=360o-(ZABC+ABE)=90o,

ΛCE2=BE2+BC2,

XVAC=AE,ZCAE=60o,

Λ?ACE是等邊三角形，

ACE=AC=AE,

222

ΛAC=DC+BCi

(3)解：如圖2,設(shè)Q為滿足條件的點(diǎn)，將AQ繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得AF,連接QF,BF,QB,DQ,AF,

則NDAQ=NBAF,AQ=QF,AAQF為等邊三角形,

XVAD=AB,

Λ?ADQ^?ABF(SAS),

.?.AQ=FQ,BF=DQ,

VAQ2=BQ2+DQ2,

ΛFQ2=BQ2+BF2,

二ZFBQ=90o,

ΛZAFB+ZAQB=360o-(NQAF+NFBQ)=210°,

二ZAQD+ZAQB=210o,

,NDQB=360°-(NAQD+NAQB)=150°,

???點(diǎn)Q的路徑為過B,D,C三點(diǎn)的圓上80，

如圖2,設(shè)圓心為O,則NBoD=2NDCB=6(T,

連接DB,貝IbODB與AADB為等邊三角形，

ΛDO=DB=AB=Z,

604×T2

???點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長為:----------——71

3603

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，勾股定理的逆定理，圓的有關(guān)性質(zhì)及計(jì)算等，綜合性

較強(qiáng)，解題關(guān)鍵是能夠熟練掌握并靈活運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì).

21、(1)60,36；(2)見解析；(3)80；(4)見解析

6

該項(xiàng)人數(shù)

【分析】(1)根據(jù)該項(xiàng)所占的百分比=彳*會(huì)X1()0%,圓心角=該項(xiàng)的百分比X360°,兩圖給了D的數(shù)據(jù)，代

總?cè)藬?shù)

入即可算出總?cè)藬?shù)，然后再算A的圓心角即可；(2)根據(jù)條形圖中數(shù)據(jù)和調(diào)查總?cè)藬?shù)，先計(jì)算喜歡“科學(xué)探究”的人

數(shù)，再補(bǔ)全條形圖即可；(3)根據(jù)喜歡某項(xiàng)人數(shù)=總?cè)藬?shù)X該項(xiàng)所占的百分比，計(jì)算即可；(4)畫樹狀圖得，共12種

結(jié)果，滿足條件有兩種，根據(jù)概率公式求解即可；

【詳解】解：

(1)由條形圖、扇形圖知：喜歡趣味數(shù)學(xué)的有24人，占調(diào)查總?cè)藬?shù)的40%,

所以調(diào)查總?cè)藬?shù)：24÷40%=60,

圖中A部分的圓心角為：二χ36O°=36°；

60

故答案為：60、36；

(2)B課程的人數(shù)為60-(6+18+24)=12(人)，

補(bǔ)全圖形如下：

21

18

15

12

9

6

3

(3)估計(jì)最喜歡“科學(xué)探究”的學(xué)生人數(shù)為400xττ=80(人)；

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中抽到“天文地理”和“趣味數(shù)學(xué)”類題目的結(jié)果數(shù)為2,

21

.?.他們抽到''天文地理”和“趣味數(shù)學(xué)”類題目的概率是二