北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三 專題1.6 乘法公式的幾何背景專項訓(xùn)練（30道）（舉一反三）（原卷版+解析）

專題1.6乘法公式的幾何背景專項訓(xùn)練（30道）【北師大版】1．(2023秋?無為市期末）從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是；（請選擇正確的一個）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．b2+ab＝b（a+b）C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值．②計算：(1?12．(2023秋?商城縣期末）如圖1所示，邊長為a的正方形中有一個邊長為b（b＜a）的小正方形．如圖2所示是由圖1中的陰影部分拼成的一個長方形．（1）設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，則S1＝，S2＝（直接用含a，b的代數(shù)式表示）（2）請寫出上述過程所揭示的數(shù)學(xué)公式；（3）試?yán)眠@個公式計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．3．(2023秋?長春期末）將邊長為a的正方形的左上角剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），將剩下部分按照虛線分割成①和②兩部分，將①和②兩部分拼成一個長方形（如圖2），解答下列問題：（1）設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，請用含a，b的式子表示：S1＝，S2＝；（不必化簡）（2）由（1）中的結(jié)果可以驗證的乘法公式是；（3）利用（2）中得到的公式，計算：20212﹣2020×2022．4．(2023春?奉化區(qū)校級期末）某同學(xué)利用若干張正方形紙片進(jìn)行以下操作：（1）從邊長為a的正方形紙片中減去一個邊長為b的小正方形，如圖1，再沿線段AB把紙片剪開，最后把剪成的兩張紙片拼成如圖2的等腰梯形，這一過程所揭示的公式是．（2）先剪出一個邊長為a的正方形紙片和一個邊長為b的正方形紙片，再剪出兩張邊長分別為a和b的長方形紙片，如圖3，最后把剪成的四張紙片拼成如圖4的正方形．這一過程你能發(fā)現(xiàn)什么代數(shù)公式？（3）先剪出兩個邊長為a的正方形紙片和一個邊長為b的正方形紙片，再剪出三張邊長分，別為a和b的長方形紙片，如圖5，你能否把圖5中所有紙片拼成一個長方形？如果可以，請畫出草圖，并寫出相應(yīng)的等式，如果不能，請說明理由．5．(2023秋?東莞市期末）從邊長為a的正方形中減掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是；（2）運用你從（1）寫出的等式，完成下列各題：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②計算：(1?16．(2023秋?黔西南州期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．（1）寫出根據(jù)上述操作利用陰影部分的面積關(guān)系得到的等式：．（2）請應(yīng)用（1）中的等式，解答下列問題：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝；②計算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．7．(2023秋?科左中旗期末）探究下面的問題：（1）如圖甲，在邊長為a的正方形中去掉一個邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如圖乙的一個長方形，通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，這個等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）運用你所得到的公式計算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．8．(2023秋?西城區(qū)校級期中）數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)方法之一，在研究代數(shù)問題時，如：學(xué)習(xí)平方差公式和完全平方公式，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用面積法可以很直觀地推導(dǎo)出公式．以下三個構(gòu)圖都可以用幾何方法生成代數(shù)結(jié)論，請嘗試解決問題．構(gòu)圖一，小函同學(xué)從邊長為a的大正方形紙板中挖去一個邊長為b的小正方形后，將其裁成四個相同的等腰梯形（如圖（1）），然后拼成一個平行四邊形（如圖（2）），那么通過計算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證成立的公式為（）．A．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）構(gòu)圖二、小云同學(xué)在數(shù)學(xué)課上畫了一個腰長為a的等腰直角三角形，如圖3，他在該三角形中畫了一條平行于一腰的線段，得到一個腰長為b（a＞b）的新等腰直角三角形，請你利用這個圖形推導(dǎo)出一個關(guān)于a、b的等式．9．(2023秋?思明區(qū)校級期末）用紙片拼圖時，我們發(fā)現(xiàn)利用圖1中的三種紙片（邊長分別為a，b的正方形和長為b寬為a的長方形）各若干，可以拼出一些長方形來解釋某些等式，比如圖2可以解釋為：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）圖3可以解釋為等式；（2）要拼出一個兩邊長為a+b，2a+b的長方形，需要圖1中的三種紙片各多少塊？請先畫出圖形，再利用整式乘法驗證你的結(jié)論．10．(2023春?東?？h期末）如圖1，是邊長分別為a和b的兩種正方形紙片．（1）若用這兩種紙片各1張按照如圖2方式放置，其未疊合部分（陰影部分）面積為S1，則S1＝；（用含a，b的代數(shù)式表示）（2）在（1）中圖2的基礎(chǔ)上，再在大正方形的右下角擺放一張邊長為b的小正方形紙片（圖3），兩個小正方形疊合部分（陰影部分）面積為S2，試求S2．（用含a，b的代數(shù)式表示）11．(2023秋?孝義市期末）完全平方公式是多項式乘法（a+b）（p+q）中，p＝a，q＝b的特殊情形．完全平方公式可以用圖形表示說明．知識再現(xiàn)如圖1，大正方形的面積有兩種表示方法．方法一：大正方形可以看作是邊長為（a+b）的正方形，則大正方形的面積可以表示為；方法二：大正方形的面積還可以看作是兩個正方形的面積與兩個長方形的和，即S1，S2，S3，S4的和，則大正方形的面積可以表示為；所以圖1中大正方形的面積可以說明的公式是；經(jīng)驗總結(jié)完全平方公式可以從“數(shù)”和“形”兩個角度進(jìn)行探究，并通過公式的變形或圖形的轉(zhuǎn)化可以解決很多數(shù)學(xué)問題．例如：如圖1，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．方法一：解：∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1∴a2+b2＝7．方法二：解：∵a+b＝3，即大正方形的面積為9，∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．應(yīng)用遷移如圖2，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，連接BD，若AB＝5，兩正方形的面積和S1+S2＝13，求△BCD的面積．（用兩種方法解答）12．(2023秋?章貢區(qū)期末）圖1是一個長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．（1）觀察圖2，請你寫出下列三個代數(shù)式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的等量關(guān)系為．（2）運用你所得到的公式，計算：若m、n為實數(shù)，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，試求m+n的值．（3）如圖3，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝8，兩正方形的面積和S1+S2＝26，求圖中陰影部分面積．13．(2023秋?龍巖期末）（1）【觀察】如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．請你寫出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的等量關(guān)系：．（2）【應(yīng)用】若m+n＝6，mn＝5，則m﹣n＝；（3）【拓展】如圖3，正方形ABCD的邊長為x，AE＝5，CG＝15，長方形EFGD的面積是300，四邊形NGDH和四邊形MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積．14．(2023秋?巧家縣期末）數(shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了圖1中三種不同大小的正方形與長方形，拼成了一個如圖2所示的正方形．（1）請用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積和．方法1：；方法2：．（2）請你直接寫出三個代數(shù)式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系．（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2的值．15．(2023秋?花都區(qū)期末）如圖1，有A型、B型、C型三種不同形狀的紙板，A型是邊長為a的正方形，B型是邊長為b的正方形，C型是長為b，寬為a的長方形．現(xiàn)用A型紙板一張，B型紙板一張，C型紙板兩張拼成如圖2的大正方形．（1）觀察圖2，請你用兩種方法表示出圖2的總面積．方法1：；方法2：；請利用圖2的面積表示方法，寫出一個關(guān)于a，b的等式：．（2）已知圖2的總面積為49，一張A型紙板和一張B型紙板的面積之和為25，求ab的值．（3）用一張A型紙板和一張B型紙板，拼成圖3所示的圖形，若a+b＝8，ab＝15，求圖3中陰影部分的面積．16．(2023秋?上蔡縣期末）利用平面圖形中面積相等的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式．例如：根據(jù)圖①，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）根據(jù)圖②，可以得到的數(shù)學(xué)公式是；（2）根據(jù)圖③，請寫出（a+b）、（a﹣b）、ab的等量關(guān)系是．（3）根據(jù)圖④，請寫出一個等式：；（4）小明同學(xué)使用圖⑤中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片，恰好拼成一個面積為（3a+b）（a+3b）的長方形，則可得x+y+z的值為；（5）類似地，利用立體圖形體積的等量關(guān)系也可以得到某些數(shù)學(xué)公式．現(xiàn)請你根據(jù)圖⑥，寫出一個等式：．17．(2023秋?西峰區(qū)期末）閱讀材料：若滿足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．解：設(shè)8﹣x＝a，x﹣6＝b，則（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2．所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．請仿照上例解決下面的問題：（1）問題發(fā)現(xiàn)：若x滿足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）類比探究：若x滿足(2023﹣x）2+(2023﹣x）2＝2020．求(2023﹣x）(2023﹣x）的值；（3）拓展延伸：如圖，正方形ABCD和正方形和MFNP重疊，其重疊部分是一個長方形，分別延長AD、CD，交NP和MP于H、Q兩點，構(gòu)成的四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長方形．若正方形ABCD的邊長為x，AE＝10，CG＝20，長方形EFGD的面積為200．求正方形MFNP的面積（結(jié)果必須是一個具體數(shù)值）．18．(2023秋?寬城區(qū)期末）【教材呈現(xiàn)】圖①、圖②、圖③分別是華東師大版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第33頁、第34頁和第52頁的圖形，結(jié)合圖形解決下列問題：（1）分別寫出能夠表示圖①、圖②中圖形的面積關(guān)系的乘法公式：，．（2）圖③是用四個長和寬分別為a、b的全等長方形拼成的一個正方形（所拼圖形無重疊、無縫隙），寫出代數(shù)式（a+b）2、（a﹣b）2、4ab之間的等量關(guān)系：．【結(jié)論應(yīng)用】根據(jù)上面（2）中探索的結(jié)論，回答下列問題：（3）當(dāng)m+n＝5，mn＝4時，求m﹣n的值．（4）當(dāng)A=m+34，B＝m﹣3時，化簡（A+B）2﹣（A﹣B）19．(2023秋?南昌縣期末）閱讀下列文字：我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．圖1給出了若干個邊長為a和邊長為b的小正方形紙片及若干個邊長為a、b的長方形紙片．請解答下列問題：（1）圖2是由圖1提供的幾何圖形拼接而得，可以得到（a+b）（a+2b）＝；（2）請寫出圖3中所表示的數(shù)學(xué)等式：；（3）請按要求利用所給的紙片在圖4的方框中拼出一個長方形，要求所拼出圖形的面積為（2a+b）（a+b），進(jìn)而可以得到等式：（2a+b）（a+b）＝；（4）利用（3）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若4a2+6ab+2b2＝5，a+b=12，求2a+20．(2023秋?丹棱縣期末）閱讀下列文字，我們知道對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式，例如由圖1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．請解答下列問題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式；（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）圖3中給出了若干個邊長為a和邊長為b的小正方形紙片．若干個長為a和寬為b的長方形紙片，利用所給的紙片拼出一個幾何圖形，使得計算它的面積能得到數(shù)學(xué)公式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．21．(2023秋?永春縣期中）發(fā)現(xiàn)與探索：小麗發(fā)現(xiàn)通過用兩種不同的方法計算同一幾何體體積，就可以得到一個恒等式．如圖是棱長為（a+b）的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊．（1）用不同的方法計算這個正方體的體積，就可以得到一個等式，這個等式為；（2）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的規(guī)律求a3+b3的值．22．(2023春?鹽湖區(qū)校級期末）閱讀材料并解答問題：我們已經(jīng)知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實際上還有一些等式也可以用這種方式表示，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用圖1或圖2來表示．（1）上述的方法體現(xiàn)了一種數(shù)學(xué)思想方法，這種數(shù)學(xué)思想方法是．A、轉(zhuǎn)化思想B、方程思想C、數(shù)形結(jié)合思想D、分類討論（2）請寫出圖3中所表示的整式乘法的等式．（3）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能夠表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．（4）請仿照上述方法寫出另一個含有a、b的等式，并畫出與之對應(yīng)的幾何圖形．23．(2023春?龍華區(qū)期末）閱讀下面的材料，然后解答后面的問題：在數(shù)學(xué)中，“算兩次”是一種常用的方法．其思想是，對一個具體的量用方法甲來計算，得到的答案是A，而用方法乙計算則得到的答案是B，那么等式A＝B成立．例如，我們運用“算兩次”的方法計算圖1中最大的正方形的面積，可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2．理解：（1）運用“算兩次”的方法計算圖2中最大的正方形的面積，可以得到的等式是；應(yīng)用：（2）七（1）班某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組用8個直角邊長為a、b的全等直角三角形拼成如圖3所示的中間內(nèi)含正方形A1B1C1D1與A2B2C2D2的正方形ABCD，運用“算兩次”的方法計算正方形A2B2C2D2的面積，可以得到的等式是；拓展：如圖4，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，點D是AB上一動點．求CD的最小值．24．(2023春?靖江市月考）如圖①是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖②）．（1）根據(jù)上述過程，寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系：；（2）利用（2）中的結(jié)論，若x+y＝4，xy=94，則（x﹣y）2的值是（3）實際上通過計算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式，如圖③，請你寫出這個等式：；（4）如圖④，點C是線段AB上的一點，分別以AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，連接EG、BG、BE，當(dāng)BC＝1時，△BEG的面積記為S1，當(dāng)BC＝2時，△BEG的面積記為S2…，以此類推，當(dāng)BC＝n時，△BEG的面積記為Sn時，試求S2021﹣S2020的值．25．(2023秋?天河區(qū)期末）某地產(chǎn)公司為了吸引年輕人購房，推出“主房+多變?nèi)霊艋▓@”的兩種戶型．即在圖1中邊長為a米的正方形主房進(jìn)行改造．戶型一是在主房兩側(cè)均加長b米（0＜9b＜a）．陰影部分作為入戶花園，如圖2所示．戶型二是在主房一邊減少b米后，另一邊再增加b米，陰影部分作為入戶花園．如圖3所示．解答下列問題：（1）設(shè)兩種戶型的主房面積差為M，入戶花園的面積差為N，試比較M和N的大?。?）若戶型一的總價為50萬元，戶型二的總價為40萬元，試判斷哪種戶型單價較低，并說明理由．26．(2023春?臨渭區(qū)期末）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助圖的直觀性，可以幫助理解數(shù)學(xué)問題．（1）請寫出圖1、圖2、圖3分別能解釋的乘法公式．（2）用4個全等的長和寬分別為a、b的長方形拼擺成一個如圖4的正方形，請你寫出這三個代數(shù)式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系．（3）根據(jù)（2）中你探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下列問題：①當(dāng)a+b＝5，ab＝﹣6時，則a﹣b的值為．②設(shè)A=x+2y?34，B＝x﹣2y﹣3，計算：（A+B）2﹣（A﹣B）27．(2023秋?延邊州期末）（1）在數(shù)學(xué)中，完全平方公式是比較熟悉的，例如（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．若a﹣b＝3，ab＝2，則a2+b2＝；（2）如圖1，線段AB上有一點C，以AC、CB為直角邊在上方分別作等腰直角三角形ACE和CBF，已知，EF＝2，△ACF的面積為6，設(shè)AC＝a，BC＝b，求△ACE與△CBF的面積之和；（3）如圖2，兩個正方形ABCD和EFGH重疊放置，兩條邊的交點分別為M、N．AB的延長線與FG交于點Q，CB的延長線與EF交于點P，已知AM＝7，CN＝3，陰影部分的兩個正方形EPBM和BQGN的面積之和為60，則正方形ABCD和EFGH的重疊部分的長方形BMHN的面積為．28．(2023秋?二道區(qū)期末）例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因為a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因為ab＝1，所以a2+b2＝7．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：若（4﹣x）x＝5，則（4﹣x）2+x2＝；（3）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點，且AE＝1，CF＝2，長方形EMFD的面積是12，分別以MF、DF為邊作正方形MFRN和正方形GFDH，則x的值為．29．(2023秋?朝陽區(qū)校級期中）對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，請解答下列問題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式．（2）根據(jù)整式乘法的運算法則，通過計算驗證上述等式．（3）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，則a2+b2+c2＝．（4）小明同學(xué)用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張兩邊長分別為a、b的長方形紙片拼出一個面積為（5a+7b）（9a+4b）的長方形，則x+y+z＝．30．(2023春?姑蘇區(qū)期中）學(xué)習(xí)整式乘法時，老師拿出三種型號的卡片，如圖1：A型卡片是邊長為a的正方形，B型卡片是邊長為b的正方形，C型卡片是長和寬分別為a，b的長方形．（1）選取1張A型卡片，2張C型卡片，1張B型卡片，在紙上按照圖2的方式拼成一個為（a+b）的大正方形，通過不同方式表示大正方形的面積，可得到乘法公式；（2）請用這3種卡片拼出一個面積為a2+5ab+6b2的長方形（數(shù)量不限），在圖3的虛線框中畫出示意圖，并在示意圖上按照圖2的方式標(biāo)注好長方形的長與寬；（3）選取1張A型卡片，4張C型卡片按圖4的方式不重疊地放在長方形DEFG框架內(nèi)，圖中兩陰影部分（長方形）為沒有放置卡片的部分．已知GF的長度固定不變，DG的長度可以變化，圖中兩陰影部分（長方形）的面積分別表示為S1，S2．若S＝S2﹣S1，則當(dāng)a與b滿足時，S為定值，且定值為．（用含a或b的代數(shù)式表示）專題1.6乘法公式的幾何背景專項訓(xùn)練（30道）【北師大版】1．(2023秋?無為市期末）從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是C；（請選擇正確的一個）A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．b2+ab＝b（a+b）C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值．②計算：(1?1分析：（1）分別計算圖1和圖2中陰影部分的面積，根據(jù)面積相等即可得出答案；（2）①逆用平方差公式，求出x﹣2y＝3，聯(lián)立方程組求x即可；②逆用平方差公式，中間項全部約分掉，只剩下第一項和最后一項，從而得出答案．【解答】解：（1）第一個圖形中陰影部分的面積是a2﹣b2，第二個圖形的面積是（a+b）（a﹣b），則a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：C；（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），∴12＝4（x﹣2y），得：x﹣2y＝3，聯(lián)立x+2y=4①x?2y=3②①+②，得2x＝7，解得：x=7②(1?＝（1?12）（1+12）（1?13）（1+13）（1?14）（1=1=1=10112．(2023秋?商城縣期末）如圖1所示，邊長為a的正方形中有一個邊長為b（b＜a）的小正方形．如圖2所示是由圖1中的陰影部分拼成的一個長方形．（1）設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，則S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）（直接用含a，b的代數(shù)式表示）（2）請寫出上述過程所揭示的數(shù)學(xué)公式；（3）試?yán)眠@個公式計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．分析：（1）分別根據(jù)圖1和圖2表示陰影部分的面積即可；（2）由（1）題結(jié)果可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）將原式變形為（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，再運用（2）題結(jié)論進(jìn)行計算即可．【解答】解：（1）由圖1可表示陰影部分的面積為：a2﹣b2，由圖2可表示陰影部分的面積為：（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）結(jié)果可得公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）利用（2）題結(jié)論可得，（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）+1＝216﹣1+1＝216．3．(2023秋?長春期末）將邊長為a的正方形的左上角剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），將剩下部分按照虛線分割成①和②兩部分，將①和②兩部分拼成一個長方形（如圖2），解答下列問題：（1）設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，請用含a，b的式子表示：S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）；（不必化簡）（2）由（1）中的結(jié)果可以驗證的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）利用（2）中得到的公式，計算：20212﹣2020×2022．分析：（1）根據(jù)圖形的和差關(guān)系表示出S1，根據(jù)長方形的面積公式表示出S2；（2）由（1）中的結(jié)果可驗證的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）由（2）中所得公式，可得2020×2022＝(2023+1）(2023﹣1）＝20212﹣1，從而簡便計算出該題結(jié)果．【解答】解：（1）由題意得，S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）中的結(jié)果可驗證的乘法公式為（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）由（2）中所得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2可得，20212﹣2020×2022＝20212﹣(2023+1）(2023﹣1）＝20212﹣(20232﹣1）＝20212﹣20212+1＝1．4．(2023春?奉化區(qū)校級期末）某同學(xué)利用若干張正方形紙片進(jìn)行以下操作：（1）從邊長為a的正方形紙片中減去一個邊長為b的小正方形，如圖1，再沿線段AB把紙片剪開，最后把剪成的兩張紙片拼成如圖2的等腰梯形，這一過程所揭示的公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．（2）先剪出一個邊長為a的正方形紙片和一個邊長為b的正方形紙片，再剪出兩張邊長分別為a和b的長方形紙片，如圖3，最后把剪成的四張紙片拼成如圖4的正方形．這一過程你能發(fā)現(xiàn)什么代數(shù)公式？（3）先剪出兩個邊長為a的正方形紙片和一個邊長為b的正方形紙片，再剪出三張邊長分，別為a和b的長方形紙片，如圖5，你能否把圖5中所有紙片拼成一個長方形？如果可以，請畫出草圖，并寫出相應(yīng)的等式，如果不能，請說明理由．分析：（1）圖1的面積為a2﹣b2，圖2的面積為12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b（2）拼圖前的面積為a2+2ab+b2，拼圖后的面積為（a+b）2，可得等式；（3）拼圖前的面積為2a2+3ab+b2，因此可以拼成長（2a+b），寬為（a+b）的長方形．【解答】解：（1）圖1的面積為a2﹣b2，圖2的面積為12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）拼圖前的面積為a2+2ab+b2，拼圖后的面積為（a+b）2，因此可得a2+2ab+b2＝（a+b）2，即完全平方公式；（3）拼圖前的面積為2a2+3ab+b2，因此可以拼成長（2a+b），寬為（a+b）的長方形，拼圖如圖所示：5．(2023秋?東莞市期末）從邊長為a的正方形中減掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）運用你從（1）寫出的等式，完成下列各題：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②計算：(1?1分析：（1）分別表示出圖1剩余部分的面積和圖2的面積，由二者相等可得等式；（2）①將已知條件代入（1）中所得的等式，計算即可；②利用平方差公式將原式的各個因式進(jìn)行拆分，計算即可．【解答】解：（1）圖1剩余部分的面積為a2﹣b2，圖2的面積為（a+b）（a﹣b），二者相等，從而能驗證的等式為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①∵a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴21＝（a+b）×3，∴a+b＝7；②（1?122）×（1?132）×（1＝（1?12）（1+12）（1?13）（1+13）（1?14）（1=1=1=10116．(2023秋?黔西南州期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．（1）寫出根據(jù)上述操作利用陰影部分的面積關(guān)系得到的等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．（2）請應(yīng)用（1）中的等式，解答下列問題：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝4；②計算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．分析：（1）根據(jù)大正方形的面積減去小正方形的面積等于陰影部分的面積；（2）①利用平方差公式計算即可，②利用平方差公式計算，然后再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計算．【解答】解：（1）根據(jù)上述操作利用陰影部分的面積關(guān)系得到的等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①∵4a2﹣b2＝24，∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，∵2a+b＝6，∴2a﹣b＝4，故答案為：4，②2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12＝（200+199）（200﹣199）+（198+197）（198﹣197）+...+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝200+199+198+197+...+4+3+2+1=1＝20100．7．(2023秋?科左中旗期末）探究下面的問題：（1）如圖甲，在邊長為a的正方形中去掉一個邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如圖乙的一個長方形，通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，這個等式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（用式子表示），即乘法公式中的平方差公式．（2）運用你所得到的公式計算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．分析：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；平方差公式；（2）①原式＝（10+0.3）（10﹣0.3）＝102﹣0.32＝100﹣0.09＝99.91；②原式＝（x﹣3z）2﹣（2y）2＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．【解答】解：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故答案為（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，平方差．（2）①原式＝（10+0.3）（10﹣0.3）＝102﹣0.32＝100﹣0.09＝99.91；②原式＝（x﹣3z）2﹣（2y）2＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．8．(2023秋?西城區(qū)校級期中）數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)方法之一，在研究代數(shù)問題時，如：學(xué)習(xí)平方差公式和完全平方公式，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用面積法可以很直觀地推導(dǎo)出公式．以下三個構(gòu)圖都可以用幾何方法生成代數(shù)結(jié)論，請嘗試解決問題．構(gòu)圖一，小函同學(xué)從邊長為a的大正方形紙板中挖去一個邊長為b的小正方形后，將其裁成四個相同的等腰梯形（如圖（1）），然后拼成一個平行四邊形（如圖（2）），那么通過計算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證成立的公式為（D）．A．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）構(gòu)圖二、小云同學(xué)在數(shù)學(xué)課上畫了一個腰長為a的等腰直角三角形，如圖3，他在該三角形中畫了一條平行于一腰的線段，得到一個腰長為b（a＞b）的新等腰直角三角形，請你利用這個圖形推導(dǎo)出一個關(guān)于a、b的等式．分析：（1）根據(jù)圖（1）中陰影部分面積和圖（2）圖形面積的不同表示方法，可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）通過表示圖（3）中梯形面積，可推導(dǎo)出等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：構(gòu)圖一，∵圖（1）中陰影部分面積為：a2﹣b2，圖（2）的面積為：：（a+b）?2[12（a﹣b）]＝（a+b）（a﹣b∴可得等式為；a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故選D；構(gòu)圖二、用兩種方式表示梯形的面積，可得到12（a2﹣b2也可表示為：12（a+b）（a﹣b∴可得等式12（a2﹣b2）=12（a+b）（a即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．9．(2023秋?思明區(qū)校級期末）用紙片拼圖時，我們發(fā)現(xiàn)利用圖1中的三種紙片（邊長分別為a，b的正方形和長為b寬為a的長方形）各若干，可以拼出一些長方形來解釋某些等式，比如圖2可以解釋為：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）圖3可以解釋為等式；（2）要拼出一個兩邊長為a+b，2a+b的長方形，需要圖1中的三種紙片各多少塊？請先畫出圖形，再利用整式乘法驗證你的結(jié)論．分析：（1）根據(jù)圖形面積和求解列式可得此題結(jié)果；（2）根據(jù)邊長畫出圖形，并根據(jù)面積列式寫出結(jié)果即可．【解答】解：（1）∵圖3面積為（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，∴圖3可以解釋為等式（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．（2）需要邊長為a的正方形2塊，長為b寬為a的長方形3塊，邊長為b的正方形1塊．如下圖所示：整式乘法驗證，（a+b）（2a+b）＝2a2+ab+2ab+b2＝2a2+3ab+b2，∴需要a×a的正方形2塊，需要a×b的長方形3塊，需要b×b的正方形1塊．10．(2023春?東?？h期末）如圖1，是邊長分別為a和b的兩種正方形紙片．（1）若用這兩種紙片各1張按照如圖2方式放置，其未疊合部分（陰影部分）面積為S1，則S1＝a2﹣b2；（用含a，b的代數(shù)式表示）（2）在（1）中圖2的基礎(chǔ)上，再在大正方形的右下角擺放一張邊長為b的小正方形紙片（圖3），兩個小正方形疊合部分（陰影部分）面積為S2，試求S2．（用含a，b的代數(shù)式表示）分析：（1）由題意可得S1＝a2﹣b2；（2）由題意得S2＝2b2﹣ab．【解答】解：（1）由題意可得，S1是圖1中兩個正方形面積的差，又∵圖1中大正方形的面積為a2，小正方形的面積為b2，∴S1＝a2﹣b2，故答案為：a2﹣b2；（2）由題意可得，S2是兩個小正方形在長為a，寬為b的矩形內(nèi)的重疊部分，∴S2＝b2+b2﹣ab＝2b2﹣ab．11．(2023秋?孝義市期末）完全平方公式是多項式乘法（a+b）（p+q）中，p＝a，q＝b的特殊情形．完全平方公式可以用圖形表示說明．知識再現(xiàn)如圖1，大正方形的面積有兩種表示方法．方法一：大正方形可以看作是邊長為（a+b）的正方形，則大正方形的面積可以表示為（a+b）2；方法二：大正方形的面積還可以看作是兩個正方形的面積與兩個長方形的和，即S1，S2，S3，S4的和，則大正方形的面積可以表示為a2+2ab+b2；所以圖1中大正方形的面積可以說明的公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2；經(jīng)驗總結(jié)完全平方公式可以從“數(shù)”和“形”兩個角度進(jìn)行探究，并通過公式的變形或圖形的轉(zhuǎn)化可以解決很多數(shù)學(xué)問題．例如：如圖1，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．方法一：解：∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1∴a2+b2＝7．方法二：解：∵a+b＝3，即大正方形的面積為9，∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．應(yīng)用遷移如圖2，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，連接BD，若AB＝5，兩正方形的面積和S1+S2＝13，求△BCD的面積．（用兩種方法解答）分析：知識再現(xiàn)：方法一：根據(jù)大正方形的邊長為a+b，由面積計算公式得出答案；方法二：分別表示四個部分的面積，再求和即可；應(yīng)用遷移：從數(shù)形兩個方面進(jìn)行計算即可．【解答】解：知識再現(xiàn)：方法一：大正方形的邊長為a+b，因此面積為（a+b）2；方法二：由圖1可知，S1＝a2，S2＝ab，S3＝ab，S4＝b2，所以大正方形的面積為S1+S2+S3+S4＝a2+2ab+b2，因此（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案為：（a+b）2；a2+2ab+b2；（a+b）2＝a2+2ab+b2；應(yīng)用遷移：方法一：設(shè)正方形ACDE的邊長為a，正方形BCFG的邊長為b，由于AB＝5，兩正方形的面積和S1+S2＝13，∴a+b＝5，a2+b2＝13，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，即25＝13+2ab，∴ab＝6，∴陰影部分的面積為12ab＝3，即△BCD方法二：如圖，∵AB＝5，即a+b＝5，∴大正方形EMGN的面積為25，又∵S1+S2＝13，∴S正方形BCDM+S正方形ACFN＝25﹣13＝12，即4ab＝12，∴△BCD的面積為12ab12．(2023秋?章貢區(qū)期末）圖1是一個長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．（1）觀察圖2，請你寫出下列三個代數(shù)式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的等量關(guān)系為（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（2）運用你所得到的公式，計算：若m、n為實數(shù)，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，試求m+n的值．（3）如圖3，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝8，兩正方形的面積和S1+S2＝26，求圖中陰影部分面積．分析：（1）根據(jù)圖2中，各個部分面積與大正方形面積之間的關(guān)系可得答案；（2）由（1）的結(jié)論，進(jìn)行應(yīng)用即可；（3）設(shè)兩個正方形的邊長為a，b，得出a+b＝8，a2+b2＝26，根據(jù)完全平方公式計算出ab的值即可．【解答】解：（1）圖2，大正方形的邊長為a+b，因此面積為（a+b）2，小正方形的邊長為a﹣b，因此面積為（a﹣b）2，每個長方形的長為a，寬為b，因此面積為ab，由面積之間的關(guān)系可得，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案為：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）由（1）得，（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，即（m+n）2＝42+4×（﹣3），∴m+n＝2或m+n＝﹣2；（3）設(shè)正方形ACDE的邊長為a，正方形BCFG的邊長為b，則S1＝a2，S2＝b2，由于AB＝8，兩正方形的面積和S1+S2＝26，因此a+b＝8，a2+b2＝26，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，即64＝26+2ab，∴ab＝19，∴陰影部分的面積為12ab=13．(2023秋?龍巖期末）（1）【觀察】如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．請你寫出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的等量關(guān)系：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．（2）【應(yīng)用】若m+n＝6，mn＝5，則m﹣n＝±4；（3）【拓展】如圖3，正方形ABCD的邊長為x，AE＝5，CG＝15，長方形EFGD的面積是300，四邊形NGDH和四邊形MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積．分析：（1）根據(jù)大正方形的面積減去小正方形的面積等于4個長寬分別為a，b的長方形面積，可得答案；（2）將m+n＝6，mn＝5代入（1）中公式即可；（3）由正方形ABCD的邊長為x，則DE＝x﹣5，DG＝x﹣15，得（x﹣5）（x﹣15）＝300，設(shè)m＝x﹣5，n＝x﹣15，mn＝300，得m﹣n＝10，則S陰影＝（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，代入即可．【解答】解：（1）由圖形知，大正方形的面積為（a+b）2，中間小正方形的面積為（b﹣a）2，大正方形的面積減去小正方形的面積等于4個長寬分別為a，b的長方形面積，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故答案為：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（2）∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，將m+n＝6，mn＝5代入得：62﹣（m﹣n）2＝4×5，∴（m﹣n）2＝16，∴m﹣n＝±4，故答案為：±4；（3）∵正方形ABCD的邊長為x，∴DE＝x﹣5，DG＝x﹣15，∴（x﹣5）（x﹣15）＝300，設(shè)m＝x﹣5，n＝x﹣15，mn＝300，∴m﹣n＝10，∴S陰影＝（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝102+4×300＝1300，∴圖中陰影部分的面積為1300．14．(2023秋?巧家縣期末）數(shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了圖1中三種不同大小的正方形與長方形，拼成了一個如圖2所示的正方形．（1）請用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積和．方法1：a2+b2；方法2：（a+b）2﹣2ab．（2）請你直接寫出三個代數(shù)式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系．（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2的值．分析：（1）利用陰影部分直接求和和總面積減去空白部分面積兩種方法列出正確結(jié)果；（2）由圖2中陰影部分的面積表示可得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）①由a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得ab=(a+b)2?(a2+b2)2，故mn=(m+n)2?(②設(shè)a＝x﹣2021，b＝x﹣2023，可得（a+b）2＝a2+2ab+b2＝[2（x﹣2022）]2，從而利用a2+b2及ab的值可求得此題結(jié)果．【解答】解：（1）陰影兩部分求和為a2+b2，用總面積減去空白部分面積為（a+b）2﹣2ab，故答案為：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）由題意得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）①由（2）題結(jié)論a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得ab=(a+b∴m+n＝5，m2+n2＝20時，mn==5=5（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2；＝20﹣2×＝20﹣5＝15；②設(shè)a＝x﹣2021，b＝x﹣2023，可得a+b＝（x﹣2021）+（x﹣2023）＝x﹣2021+x﹣2023＝2x﹣4044＝2（x﹣2022），由（2）題結(jié)論a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，又∵（a﹣b）2＝[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝22＝4，且由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，可得2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2＝（x﹣2021）2+（x﹣2023）2﹣[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝34﹣4＝30，∴（x﹣2022）2＝（a+b2）2=15．(2023秋?花都區(qū)期末）如圖1，有A型、B型、C型三種不同形狀的紙板，A型是邊長為a的正方形，B型是邊長為b的正方形，C型是長為b，寬為a的長方形．現(xiàn)用A型紙板一張，B型紙板一張，C型紙板兩張拼成如圖2的大正方形．（1）觀察圖2，請你用兩種方法表示出圖2的總面積．方法1：（a+b）2；方法2：a2+2ab+b2；請利用圖2的面積表示方法，寫出一個關(guān)于a，b的等式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）已知圖2的總面積為49，一張A型紙板和一張B型紙板的面積之和為25，求ab的值．（3）用一張A型紙板和一張B型紙板，拼成圖3所示的圖形，若a+b＝8，ab＝15，求圖3中陰影部分的面積．分析：（1）由觀察圖2可得兩種方法表示出圖2的總面積為（a+b）2和a2+2ab+b2，關(guān)于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由題意得，a2+2ab+b2＝49，a2+b2＝25，兩個等式作差可求得此題結(jié)果；（3）由題意得b22+a【解答】解：（1）用兩種方法表示出圖2的總面積為（a+b）2和a2+2ab+b2，關(guān)于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案為：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由題意得，（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，a2+b2＝25，∴ab=(a+b（3）由題意得圖3中陰影部分的面積為：b22+a∴當(dāng)a+b＝8，ab＝15時，圖3中陰影部分的面積為：8216．(2023秋?上蔡縣期末）利用平面圖形中面積相等的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式．例如：根據(jù)圖①，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）根據(jù)圖②，可以得到的數(shù)學(xué)公式是（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（2）根據(jù)圖③，請寫出（a+b）、（a﹣b）、ab的等量關(guān)系是（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（3）根據(jù)圖④，請寫出一個等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；（4）小明同學(xué)使用圖⑤中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片，恰好拼成一個面積為（3a+b）（a+3b）的長方形，則可得x+y+z的值為16；（5）類似地，利用立體圖形體積的等量關(guān)系也可以得到某些數(shù)學(xué)公式．現(xiàn)請你根據(jù)圖⑥，寫出一個等式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．分析：（1）根據(jù)圖②利用圖形間面積的和差關(guān)系可以表示出此題結(jié)果；（2）從整體和部分求和兩個角度分別表示出圖③中正方形的面積即可；（3）從整體和部分求和兩個角度分別表示出圖④中正方形的面積即可；，（4）由計算（3a+b）（a+3b）可得x、y、z的值，就可以求得此題的結(jié)果；（4）從整體和部分求和兩個角度分別表示出圖⑥中正方體的體積．【解答】（1）圖②中左上角正方形的面積可表示為（a﹣b）2或a2﹣2ab+b2，故答案為：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（2）用兩種方法表示圖③的面積分別為：（a+b）2和（a﹣b）2+4ab，故答案為：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（3）用兩種方法表示圖④的面積分別為：（a+b+c）2和a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；（4）∵（3a+b）（a+3b）＝3a2+9ab+ab+3b2＝3a2+10ab+3b2，∴x＝3，y＝10，z＝3，∴x+y+z＝3+10+3＝16，故答案為：16；（5）圖⑥的體積可表示為（a+b）3或a3+3a2b+3ab2+b3，故答案為：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．17．(2023秋?西峰區(qū)期末）閱讀材料：若滿足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．解：設(shè)8﹣x＝a，x﹣6＝b，則（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2．所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．請仿照上例解決下面的問題：（1）問題發(fā)現(xiàn)：若x滿足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）類比探究：若x滿足(2023﹣x）2+(2023﹣x）2＝2020．求(2023﹣x）(2023﹣x）的值；（3）拓展延伸：如圖，正方形ABCD和正方形和MFNP重疊，其重疊部分是一個長方形，分別延長AD、CD，交NP和MP于H、Q兩點，構(gòu)成的四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長方形．若正方形ABCD的邊長為x，AE＝10，CG＝20，長方形EFGD的面積為200．求正方形MFNP的面積（結(jié)果必須是一個具體數(shù)值）．分析：（1）設(shè)3﹣x＝a，x﹣2＝b，則ab＝﹣10，a+b＝1，由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝21；（2）設(shè)2022﹣x＝a，2021﹣x＝b，則a﹣b＝1，a2+b2＝2020，由完全平方公式可得ab=(（3）設(shè)DE＝a，DG＝b，則a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，所以正方形MFNP的面積為（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝900．【解答】解：（1）設(shè)3﹣x＝a，x﹣2＝b，則a+b＝（3﹣x）+（x﹣2）＝1，由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣10）＝21，即：（3﹣x）2+（x﹣2）2的值為21；（2）設(shè)2022﹣x＝a，2021﹣x＝b，則a﹣b＝1，a2+b2＝2020，由完全平方公式可得ab=(即：(2023﹣x）(2023﹣x）的值為20192（3）設(shè)DE＝a，DG＝b，則a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，∴正方形MFNP的面積為：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×200＝900．18．(2023秋?寬城區(qū)期末）【教材呈現(xiàn)】圖①、圖②、圖③分別是華東師大版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第33頁、第34頁和第52頁的圖形，結(jié)合圖形解決下列問題：（1）分別寫出能夠表示圖①、圖②中圖形的面積關(guān)系的乘法公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．（2）圖③是用四個長和寬分別為a、b的全等長方形拼成的一個正方形（所拼圖形無重疊、無縫隙），寫出代數(shù)式（a+b）2、（a﹣b）2、4ab之間的等量關(guān)系：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．【結(jié)論應(yīng)用】根據(jù)上面（2）中探索的結(jié)論，回答下列問題：（3）當(dāng)m+n＝5，mn＝4時，求m﹣n的值．（4）當(dāng)A=m+34，B＝m﹣3時，化簡（A+B）2﹣（A﹣B）分析：（1）對圖①、圖②中圖形的面積分別從整體和部分和差角度列式表示即可；（2）圖③的面積整體計算列式為（a+b）2，將各部分面積求和可列式表示為（a﹣b）2+4ab，將兩個算式用等號連接就能得到此題的答案；（3）根據(jù)（2）題結(jié)果可得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故a﹣b＝±(a+b)2?4ab，由此可利用m+n和mn的值求得m（4）根據(jù)（2）題結(jié)果可得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab可得（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故可利用A、B的值求得此題結(jié)果為4AB的值．【解答】解：（1）∵圖①的面積可表示為（a+b）2或a2+2ab+b2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，∵圖②的面積可表示為（a﹣b）2或a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（2）∵圖③的面積可表示為（a+b）2或（a﹣b）2+4ab，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案為：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（3）由（2）題結(jié)果（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab可得，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，∴a﹣b＝±(a+b)∴當(dāng)m+n＝5，mn＝4時m﹣n＝±(m+n)2?4mn=±52∴m﹣n的值為±3；（4）由（2）題結(jié)果（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab可得，（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，∴（A+B）2﹣（A﹣B）2＝4AB，∴當(dāng)A=m+34，B＝（A+B）2﹣（A﹣B）2＝4AB=4×m+319．(2023秋?南昌縣期末）閱讀下列文字：我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．圖1給出了若干個邊長為a和邊長為b的小正方形紙片及若干個邊長為a、b的長方形紙片．請解答下列問題：（1）圖2是由圖1提供的幾何圖形拼接而得，可以得到（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（2）請寫出圖3中所表示的數(shù)學(xué)等式：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b；（3）請按要求利用所給的紙片在圖4的方框中拼出一個長方形，要求所拼出圖形的面積為（2a+b）（a+b），進(jìn)而可以得到等式：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2；（4）利用（3）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若4a2+6ab+2b2＝5，a+b=12，求2a+分析：（1）利用長方形的面積各部分求和法可得結(jié)果；（2）長方形面積分別整體法和各部分求和法可得結(jié)果；（3）利用長方形的面積各部分求和法可得結(jié)果；（4）根據(jù)（3）題結(jié)果（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，可得4a2+6ab+2b2＝2（2a+b）（a+b），從而將a+b=1【解答】解：（1）∵該長方形的面積用部分求和法表示為：a2+3ab+2b2，故答案為：a2+3ab+2b2；（2）∵該長方形的面積為：（a+b）（3a+b），用部分求和法表示為：3a2+4ab+b2，故答案為：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2；（3）如圖，該長方形的面積部分求和法表示為：2a2+3ab+b2，故答案為：2a2+3ab+b2；（4）由（3）題可得，（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，∴2a+b＝（2a2+3ab+b2）÷（a+b）∵4a2+6ab+2b2＝2（2a2+3ab+b2）＝2（2a+b）（a+b）＝5∴（2a+b）（a+b）＝（2a2+3ab+b2）=5∴當(dāng)a+b=12a+b＝（2a2+3ab+b2）÷（a+b）=5＝5．20．(2023秋?丹棱縣期末）閱讀下列文字，我們知道對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式，例如由圖1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．請解答下列問題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）圖3中給出了若干個邊長為a和邊長為b的小正方形紙片．若干個長為a和寬為b的長方形紙片，利用所給的紙片拼出一個幾何圖形，使得計算它的面積能得到數(shù)學(xué)公式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．分析：（1）根據(jù)數(shù)據(jù)表示出矩形的長與寬，再根據(jù)矩形的面積公式寫出等式的左邊，再表示出每一小部分的矩形的面積，然后根據(jù)面積相等即可寫出等式．（2）根據(jù)利用（1）中所得到的結(jié)論，將a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38作為整式代入即可求出．（3）找規(guī)律，根據(jù)公式畫出圖形，拼成一個長方形，使它滿足所給的條件．【解答】解：（1）根據(jù)題意，大矩形的面積為：（a+b+c）（a+b+c）＝（a+b+c）2，各小矩形部分的面積之和＝a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2，∴等式為（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝112﹣2×38＝45．（3）如圖所示21．(2023秋?永春縣期中）發(fā)現(xiàn)與探索：小麗發(fā)現(xiàn)通過用兩種不同的方法計算同一幾何體體積，就可以得到一個恒等式．如圖是棱長為（a+b）的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊．（1）用不同的方法計算這個正方體的體積，就可以得到一個等式，這個等式為（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；（2）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的規(guī)律求a3+b3的值．分析：（1）根據(jù)體積的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一種是將大正方體棱長表示出來求體積；另一種是將各個小的長方體體積加起來，可得等式（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；（2）根據(jù)（1）得出的式子再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后把a(bǔ)+b＝4，ab＝2代入計算即可得出答案．【解答】解：∵八個小正方體和長方體的體積之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，∴（a+b）3＝a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，∴（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；故答案為：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（2）由（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，得：（a+b）3＝a3+3ab（a+b）+b3，將a+b＝4，ab＝2，代入（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，得（a+b）3＝a3+3ab（a+b）+b3，即43＝a3+3×2×4+b3，解得：a3+b3＝64﹣24＝40．22．(2023春?鹽湖區(qū)校級期末）閱讀材料并解答問題：我們已經(jīng)知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實際上還有一些等式也可以用這種方式表示，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用圖1或圖2來表示．（1）上述的方法體現(xiàn)了一種數(shù)學(xué)思想方法，這種數(shù)學(xué)思想方法是C．A、轉(zhuǎn)化思想B、方程思想C、數(shù)形結(jié)合思想D、分類討論（2）請寫出圖3中所表示的整式乘法的等式（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2．（3）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能夠表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．（4）請仿照上述方法寫出另一個含有a、b的等式，并畫出與之對應(yīng)的幾何圖形．分析：（1）數(shù)形結(jié)合的思想；（2）根據(jù)圖3表示的圖形的面積，寫出圖3所表示的等式即可；（3）畫一個長為a+3b，寬為a+b的矩形即可；（4）類比圖1、圖2、圖3表示圖形的方法，畫圖并表示等式：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．【解答】解析：（1）上述的方法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法；故答案為：C；（2）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；故答案為：（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；（3）如圖（答案不唯一），（4）如圖，等式是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2（答案不唯一）；23．(2023春?龍華區(qū)期末）閱讀下面的材料，然后解答后面的問題：在數(shù)學(xué)中，“算兩次”是一種常用的方法．其思想是，對一個具體的量用方法甲來計算，得到的答案是A，而用方法乙計算則得到的答案是B，那么等式A＝B成立．例如，我們運用“算兩次”的方法計算圖1中最大的正方形的面積，可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2．理解：（1）運用“算兩次”的方法計算圖2中最大的正方形的面積，可以得到的等式是（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；應(yīng)用：（2）七（1）班某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組用8個直角邊長為a、b的全等直角三角形拼成如圖3所示的中間內(nèi)含正方形A1B1C1D1與A2B2C2D2的正方形ABCD，運用“算兩次”的方法計算正方形A2B2C2D2的面積，可以得到的等式是（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；拓展：如圖4，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，點D是AB上一動點．求CD的最小值．分析：（1）利用“算兩次”方法，先從整體上看是邊長為（a+b+c）的正方形的面積，再利用9塊“分面積”的和即可；（2）正方形A2B2C2D2的邊長為（a﹣b），因此面積為（a﹣b）2，也可以看做邊長為（a+b）的正方形ABCD面積減去四個長為a，寬為b的長方形的面積；（3）當(dāng)CD⊥AB時，CD最短，由三角形的面積計算可得．【解答】解：（1）從整體上看為邊長為（a+b+c）的正方形，所以面積為（a+b+c）2，從各個部分的面積和為a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）正方形A2B2C2D2的邊長（a﹣b），因此面積為（a﹣b）2，也可以看做邊長為（a+b）的正方形ABCD面積減去四個長為a，寬為b的長方形的面積，即（a+b）2﹣4ab，因此有：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；由“直線外一點到直線上所有點的連線中，垂線段最短”可得，當(dāng)CD⊥AB時，CD最短，由三角形的面積可得，12AC?BC=12AB即6×8＝10CD，∴CD＝4.8，答：CD的最小值為4.8．24．(2023春?靖江市月考）如圖①是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖②）．（1）根據(jù)上述過程，寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系：4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2；（2）利用（2）中的結(jié)論，若x+y＝4，xy=94，則（x﹣y）2的值是（3）實際上通過計算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式，如圖③，請你寫出這個等式：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2；（4）如圖④，點C是線段AB上的一點，分別以AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，連接EG、BG、BE，當(dāng)BC＝1時，△BEG的面積記為S1，當(dāng)BC＝2時，△BEG的面積記為S2…，以此類推，當(dāng)BC＝n時，△BEG的面積記為Sn時，試求S2021﹣S2020的值．分析：（1）第①和圖中4個長方形的面積之和等于第②個圖中大正方形與小正方形的面積之差．（2）根據(jù)第（1）問的結(jié)論，可以推出（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，分別代入x+y和xy的值就可以求出（x﹣y）2的值了．（3）大長方形的面積等于它的長乘以它的寬．同時，它的面積還等于3個小正方形與1個大正方形和4個小長方形的面積之和．這樣就可以得出所求的等式．（4）通過EC∥BG，把△BGE的面積轉(zhuǎn)化為△BGC的面積，再推出△BGC的面積與BC長的關(guān)系，再運用平方差公式對S2021﹣S2020進(jìn)行因式分解，就可以求出所要求的代數(shù)式的值了．【解答】解：（1）由圖①和圖②中矩形的面積為等量得：4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，故答案為：4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2；（2）由（1）中公式可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．同理可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy=4＝7，故答案為：7；（3）分別以大矩形的面積和幾個小矩形的面積為等量可得：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2，故答案為：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2；（4）在正方形ACDE和正方形BCGF中，∠ECD＝∠CGB＝45°，∴EC∥BG，∴S△BGE＝S△BGC．當(dāng)BC＝1時，S1當(dāng)BC＝2時，S2……當(dāng)BC＝n時，Sn∴S2021﹣S2020=202=(2021+2020)(2021?2020)=404125．(2023秋?天河區(qū)期末）某地產(chǎn)公司為了吸引年輕人購房，推出“主房+多變?nèi)霊艋▓@”的兩種戶型．即在圖1中邊長為a米的正方形主房進(jìn)行改造．戶型一是在主房兩側(cè)均加長b米（0＜9b＜a）．陰影部分作為入戶花園，如圖2所示．戶型二是在主房一邊減少b米后，另一邊再增加b米，陰影部分作為入戶花園．如圖3所示．解答下列問題：（1）設(shè)兩種戶型的主房面積差為M，入戶花園的面積差為N，試比較M和N的大?。?）若戶型一的總價為50萬元，戶型二的總價為40萬元，試判斷哪種戶型單價較低，并說明理由．分析：（1）分別計算兩種戶型的主房面積，相減可得M，再計算兩種戶型的入戶花園的面積，相減可得N，計算M﹣N小于0，可以判斷M和N的大??；（2）根據(jù)總價÷總面積＝單價，計算兩種單價差可作判斷．【解答】解：（1）∵M(jìn)＝a2﹣a（a﹣b）＝a2﹣a2+ab＝ab，N＝（a+b）2﹣a2﹣b（a﹣b）＝a2+2ab+b2﹣a2﹣ab+b2＝ab+2b2，∴M﹣N＝ab﹣（ab+2b2）＝﹣2b2，∵9b＞0，∴﹣2b2＜0，∴M﹣N＜0，∴M＜N；（2）戶型一：50(a+b戶型二：40(a+b)(a?b)∴50=50(a?b)?40(a+b)=10a?90b=10(a?9b)∵0＜9b＜a，∴a﹣9b＞0，a﹣b＞0，∴10(a?9b)(a+b∴戶型二的單價較低．26．(2023春?臨渭區(qū)期末）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助圖的直觀性，可以幫助理解數(shù)學(xué)問題．（1）請寫出圖1、圖2、圖3分別能解釋的乘法公式．（2）用4個全等的長和寬分別為a、b的長方形拼擺成一個如圖4的正方形，請你寫出這三個代數(shù)式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系．（3）根據(jù)（2）中你探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下列問題：①當(dāng)a+b＝5，ab＝﹣6時，則a﹣b的值為±7．②設(shè)A=x+2y?34，B＝x﹣2y﹣3，計算：（A+B）2﹣（A﹣B）分析：（1）根據(jù)圖形面積直接得出即可；（2）用兩種方法表示陰影部分的面積可得結(jié)論；（3）①根據(jù)（2）中的等量關(guān)系代入計算可得結(jié)論；②同理根據(jù)（2）中的公式代入可得結(jié)論．【解答】解：（1）圖1：（a+b）2＝a2+2ab+b2；圖2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；圖3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（2）圖4：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）①由（2）知：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，∵a+b＝5，ab＝﹣6，∴52﹣（a﹣b）2＝4×（﹣6），（a﹣b）2＝25+24＝49，∴a﹣b＝±7，故答案為：±7；②∵A=x+2y?34，B＝x﹣2∴（A+B）2﹣（A﹣B）2＝4×A×B＝4×x+2y?34×（x﹣2y﹣3）＝（x+2y﹣3）（x﹣2y﹣3）＝[（x﹣3）+2y][（x﹣3）﹣2y]＝x2﹣6x+9﹣427．(2023秋?延邊州期末）（1）在數(shù)學(xué)中，完全平方公式是比較熟悉的，例如（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．若a﹣b＝3，ab＝2，則a2+b2＝13；（2）如圖1，線段AB上有一點C，以AC、CB為直角邊在上方分別作等腰直角三角形ACE和CBF，已知，EF＝2，△ACF的面積為6，設(shè)AC＝a，BC＝b，求△ACE與△CBF的面積之和；（3）如圖2，兩個正方形ABCD和EFGH重疊放置，兩