2012-2021年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 統(tǒng)計（精解精析）

2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編統(tǒng)計（精解精析）

一、選擇題

1.（2021年高考全國甲卷理科）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)

查，將農(nóng)戶家庭年收入調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

【答案】C

解析：因為頻率直方圖中的組距為1.所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方

圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計值.

該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計值為0.02+0.04=0.06=6%,故A

正確；

該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計值為0.04+0.02x3=0.10=10%,

故B正確；

該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為

0.10+0.14+0.20x2=0.64=64%>50%,故D正確；

該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計值為

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68

（萬元），超過6.5萬元，故C錯誤.

綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.

故選：C.

【點睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計總體頻率和平均值，屬基礎(chǔ)題，樣本的頻率可

作為總體的頻率的估計值，樣本的平均值的估計值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求

頻率

和所得值，可以作為總體的平均值的估計值.注意各組的頻率等于wlX組距.

2.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)in卷理科）《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古

典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，

隨機(jī)調(diào)查了10（）位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅

樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該

校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

【答案】C

【解析】由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90—80+60=70,則其與該校學(xué)生

人數(shù)之比為70+100=0.7.故選C.

另解：記看過《西游記》的學(xué)生為集合4,看過《紅樓夢》的學(xué)生為集合B.則由題意可

得韋恩圖：

則看過《西游記》的人數(shù)為70人，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70+100=0.7.故選C.

【點評】本題考查抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).根據(jù)容斥原理或韋

恩圖，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.但平時對于這類題目接觸少，學(xué)生初讀題目時可能感到

無從下手。

3.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國II卷理科）若a>b,則（）（）

A.in（a-b）>0B.3"<3〃C.?3-Z>3>0D.|a|可勿

【答案】C

【解析】取，滿足，，知A錯，排除A：因為，知B錯，排除B；取。=1,b=-2,滿足，，

知D錯，排除D,因為第函數(shù)是增函數(shù)，，所以，故選C.

【點評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、事函數(shù)性質(zhì)及絕對值意義，滲透了

邏輯推理和運算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷.

4.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國H卷理科）演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評

定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7

個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（）

A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.極差

【答案】A

【解析】設(shè)9位評委評分按從小到大排列為.則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，

后剩余，中位數(shù)仍為，，A正確.

_|

②原始平均數(shù)，后來平均數(shù)才=亍（馬<當(dāng)<￡</）

平均數(shù)受極端值影響較大，,與不一定相同，B不正確；

③,，

由②易知，C不正確；

④原極差=/一不，后來極差=4-工2顯然極差變小，D不正確.

【點評】本題旨在考查學(xué)生對中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差本質(zhì)的理解.可不用動筆，直

接得到答案，亦可采用特殊數(shù)據(jù)，特值法篩選答案.

5.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷I（理））某地區(qū)經(jīng)過一一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加

了一倍，實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村

建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：

則下面結(jié)論中不正確的是（）

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半

【答案】A

解析：設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2a.

A項，種植收入37X2a-60%a=14%a>0,故建設(shè)后，種植收入增加，故A項錯誤.

B項，建設(shè)后，其他收入為5%X2a=10%a,建設(shè)前，其他收入為4%a,故10%a+4%a

=2.5>2,故B項正確.

C項，建設(shè)后，養(yǎng)殖收入為30%X24=60%。，建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為30%4,故60%a+30%

a=2,故C項正確.

D項，建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入總和為（30%+28%）X2a=58%X2aa,經(jīng)濟(jì)收入

為24,故（58%X2a）+2a=58%>50%,故D項正確，因為是選擇不正確的一項.

故選：A.

6.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科）根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量（單位：

萬噸）柱形圖。以下結(jié)論不正確的是（）

（）

A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效

C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢

D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)

【答案】D

解析：由柱形圖得，從2006年以來，我國二氧化硫排放量呈下降趨勢，故年排放量與年份

負(fù)相關(guān)，故選D.

考點：正、負(fù)相關(guān).

7.（2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科）為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生

中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情

況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是

（）

A.簡單隨機(jī)抽樣B.按性別分層抽樣C.按學(xué)段分層抽樣D.系統(tǒng)抽樣

【答案】C

解析：因該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，故最合理的抽樣

方法是按學(xué)段分層抽樣，故選C.

考點：（1）10.1.3分層抽樣.

難度：A

備注：高頻考點

二、填空題

8.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國II卷理科）我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站

的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97,有20個車次的正點率為0.98,有10個車

次的正點率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為.

【答案】0.98.

【解析】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點數(shù)約為

10x0.97+20x0.98+10x0.99=39.2,其中高鐵個數(shù)為10+20+10=40,所以該站所

392

有高鐵平均正點率約為一二丁=0.98.

40

【點評】本題考查通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)進(jìn)行概率的估計，采取估算法，利用概率思想解題.本題

考點為概率統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).側(cè)重統(tǒng)計數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大.易

忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估算出正點列車數(shù)量與

列車總數(shù)的比值.

三、解答題

9.（2021年高考全國乙卷理科）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品

的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項

指標(biāo)數(shù)據(jù)如下:

舊設(shè)

9.810.31001029.99.810.010.110.29.7

備

新設(shè)

10110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

備

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為最和亍，樣本方差分別記為

和S；.

⑴求1亍，s；,s；；

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果

y-x>2,則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否

則不認(rèn)為有顯著提高）.

【答案】⑴嚏=10,亍=10.3局=0.036司=0.04；⑵新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的

均值較舊設(shè)備有顯著提高.

3r.-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7

解析：(1)x=--------------------------------------------------------------------10,

1()

10.14-10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5…

y=---------------------------------------------------------------------------=10.3,

10

0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32八小，

----------------------------------------------------------------------=0.036,

10

0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.P+0.22

S；=0.04.

10

⑵依題意，y-x=O.3=2xO.15=27o.l52=270.025>

V10

,所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

10.(2021年高考全國甲卷理科)甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級

品，為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情

況統(tǒng)計如下表：

一級品二級品合計

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

n(ad-hc)2

(a+b)(c+d)(〃+c)(h+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)75%；60%；

(2)能.

解析：（1）甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為當(dāng)=75%,

200

120

乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為一=60%.

200

⑵^^400(.50X80-120X50)^400>I0>6J635/

270x130x200x20039

故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

11.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物

數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這

些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)%,yi）（i=l,2，…

20）,其中為和物分別表示第，個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量，

20202020

并計算得?>，=60，?，=1200,2(4一亍)2=80,—9)2=9000,

/=1/=1/=1/=1

20

J；（x,.-x）（X-y）=800.

/=!

（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動

物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本（為,y,）（/=1,2,20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地

區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.

支（一一元）（一一一）

附：相關(guān)系數(shù)片I「“，=1.414.

力菁-幻2支（y廠對

Vi=lz=l

【答案】（1）12000：（2）0.94；（3）詳見解析

]201

解析：（1）樣區(qū)野生動物平均數(shù)為高=而又1200=60,

地塊數(shù)為200,該地區(qū)這種野生動物的估計值為200x60=12000

（2）樣本（x”y,2.20）的相關(guān)系數(shù)為

20

i=l,800工0%

[2020-

￡(x,.-x)2^(y,.-y)2780x90003

i=\i=\

（3）由（2）知各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性,

由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從俄各地塊間這種野生動物的數(shù)量差異很大，

采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性，

從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計.

【點晴】本題主要考查平均數(shù)的估計值、相關(guān)系數(shù)的計算以及抽樣方法的選取，考查學(xué)生

數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.

12.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)ni卷理科）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量

等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）:

鍛煉人次

[0,200](200,400](400,600]

空氣質(zhì)量等級

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率;

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代

表）；

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好"；若某天的空氣質(zhì)量等級為3

或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表,

判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)?

人次“00人次＞400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

n(ad-bc)2

附:

(a+/?)(c+d)(a+c)@+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k38416.63510828

【答案】⑴該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為1、2、3、4的概率分別為0.43、0.27、0.21、

0.09；（2）350；（3）有，理由見解析.

解析：（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級為1的概率為出處紀(jì)=0.43，

100

等級為2的概率為5+10+12=027,等級為3的概率為6+7+8=o.2i,等級為4的概

100100

率為言

（2）由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為

100x20+300x35+500x45”八

------------------------------------=350

100

（3）2x2列聯(lián)表如下:

人次4400人次＞400

空氣質(zhì)量不好3337

空氣質(zhì)量好228

上）—

55x45x70x30

因此，有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).

【點睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻率和平均數(shù)，同時也考查了獨立性檢驗的應(yīng)用，

考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)IH卷理科)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下

試驗：將200只小鼠隨機(jī)分成AB兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B

組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后

用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值

為0.70.

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中。*的值；

(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).

【答案】(l)a=0.35,b=0.10；(2)4.05,6.00.

【官方解析】

(1)由已知得0.70=4+0.20+0.15，故a=0.35,b=l-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為

2x0.15+3x0.20+4x0.30+5x0.20+6x0.10+7x0.05=4.05.

乙離子殘留百分比的平均值的估計值為

3x0.05+4x0.10+5x0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15=6.00.

【點評】本題考查頻率分布直方圖的相關(guān)概念和頻率分布直方圖中平均數(shù)法人計算，屬于

基礎(chǔ)題.

14.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷(理))(12分)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提

出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種生產(chǎn)方式，為比較兩咱生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將

他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)

方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由;

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)加，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過“和

不超過加的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過m不超過加

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

(3)根據(jù)(2)的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

n^ad-hcy

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】【官方解析】(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

理由如下：

(i)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至

少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分

鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高..

(ii)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分

鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種

生產(chǎn)方式的效率更高.

(iii)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘;

用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的

效率更高.

(iv)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最

多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖

7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的匚人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間

分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)

方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.

(2)由莖葉圖知一=79+81=80.

2

列聯(lián)表如下：

超過優(yōu)不超過m

第一種生產(chǎn)方式155

第二種生產(chǎn)方式515

(3)由于犬=~一也*——=40(15x15-5x5)2=]()>6.635

(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)20x20x20x20

所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.

【民間解析】(1)法一：第二種生產(chǎn)方式效率更高，因為第二種多數(shù)數(shù)據(jù)集中在

70min80min之間，第一種多數(shù)數(shù)據(jù)集中在80min?90min之間，易知第?種完成任

務(wù)的平均時間大于第二種，故第二種生產(chǎn)方式的效率更高。

法二：第一種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時間為

68+72+76+77+79+82+83+83+84+85+86+87+87+88+89+90+90+91+91+92

20

-12-8-4-3-1+2+3+3+4+5+6+7+7+8+9+10+10+11+11+12

=8()+---------------------------------------------------------------------------------------------

=8。+條84

第二種生產(chǎn)完成任務(wù)的平均時間為

65+65+66+68+69+70+71+72+72+73+74+75+76+76+78+81+84+84+85+9()

20

cc-15-15-14-12-11-10-9-8-8-7-6-5-4-4-2+1+4+4+5+10

=8()+---------------------------------------------------------------------

20

=74.7

第一種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時間84＞第二種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時間74.7

所以第二種生產(chǎn)方式效率更高

(2)中位數(shù)為機(jī)=生q=80

2

超過m不超過m

第一種生產(chǎn)方式155

第二種生產(chǎn)方式515

40x(15x15-5x5)2

(3)由(2)可計算得K2=10>6.635

20x20x20x20

所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.

點評：本題主耍考查了莖葉圖和獨立性檢驗，考察學(xué)生的計算能力和分析問題的能力，貼

近生活.

15.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷理科)(12分)淡水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的

產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)某頻率直

方圖如下：

(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件：舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新

養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于5()kg,估計A的概率；

(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量250kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01)

【答案】(1);

(2)有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；

(3)=

【命題意圖】概率統(tǒng)計,獨立檢驗等知識的綜合運用

【基本解法】

(I)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為0.012X5+0.014X5+0.024X5+0.034X

5+0.040X5=0.62,由于兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，

于是P(A)=0.62X0.66=0.4092

(II)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的有100X0.62=62箱，不低于50kg的有38箱，新養(yǎng)

殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的有100X0.66=66箱，低于50kg的有34箱，得到2義2列聯(lián)

表如下：

箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量250kg合計

舊養(yǎng)殖法6238100

新養(yǎng)殖法3466100

合計96104200

所以

,所以有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)。

(III)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為0.038X

5+0.046X5+0.010X5+0.008X5=0.66>0.50,不低于55kg的頻率為0.046X5+0.010

X5+0.008X5=0.32<0.50,于是新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)介于50kg到55kg之間,設(shè)新

養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)為X,則有

(55-x)X0.068+0.046X5+0.010X5+0.008X5=0.50

解得x=52.3529

因此，新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值52.35。

【點評】利用獨立性檢驗，能夠幫助我們對日常生活中的實際問題作出合理的推斷和預(yù)

測.獨立性檢驗考察兩個分類變量是否有關(guān)系，并能較為準(zhǔn)確地給出這種判斷的可信度，

隨機(jī)變量的觀測值越大，說明兩個變量有關(guān)系的可能性越大.

利用頻率直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時，應(yīng)注意三點：（1）最高的小長方形底邊中點

即是眾數(shù)；（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；（3）平均數(shù)是頻率分布

直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫

坐標(biāo)之和.

【知識拓展】苜先，先表示事件，再寫出其發(fā)生的概率，將未知事件用己知事件表示，依

據(jù)事件間的關(guān)系，求出未知事件的概率.統(tǒng)計的基本原理是用樣本估計總體.獨立性檢驗，

先填2*2列聯(lián)表，再計算，與參考值比較，作出結(jié)論；中位數(shù)的計算要根據(jù)中位數(shù)以左其

頻率和為50缸求面積和計算頻率.

16.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)m卷理科）下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位:

億噸）的折線圖.

（I）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；

（II）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量.

777

參考數(shù)據(jù)：=932,=40.17^（y,.-y）2=0.55,V7?2.646.

/=1/=!Vi=l

X（^,-O（x-7）

參考公式:相關(guān)系數(shù)r=丁產(chǎn)-----------------

V/=!/=1

￡&-?。?-了）

回歸方程9=4+命中斜率和截距最小二乘估計公式分別為：J-----------,

Z（T）2

/=1

a=y-bT.

【答案】（I）理由見解析；（n）i.82億噸.

7

【解析】（I）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得T=4、Z&—斤=28,

i=l

￡(y-?=0.55,

i=l

\t（—）（y—?）=\—亍￡另=40.17—4X9.32=2.89

V<=1V（=1/=1

2.89八M

r?--------------?0.99.

0.55x2x2.646

因為y與/的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說明y與/的線性相關(guān)程度相當(dāng)高

從而可以用線性回歸模型擬合y與f的關(guān)系.

7

932aZ（%-'）（）：一）'）289

（II）由歹=3。1.331及（I）得>=-----------=^*0.103,

7Z（—）228

1=1

a=y-^F?1.331-0.103x4?0.92.

所以，y關(guān)丁1的回歸方程為：9=0.92+0.10/.

將2016年對應(yīng)的/=9代入回歸方程得：￡=0.92+0.10x9=1.82.

所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.

17.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣

傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：f）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的

年宣傳費玉和年銷售量%（i=l,2,???,8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)

計量的值。

一8_8._8__8_

wZa-口yZ(%T)(y—y)

J/=1i=l1=1

46.656.36.8289.81.61469108.8

表中明=4*,w=Zwi。

Z=1

（I）根據(jù)散點圖判斷，y=a+法與y=c+d4x哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸

方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（H）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（III）已知這種產(chǎn)品的年利率z與尤、y的關(guān)系為z=0.2），-x.根據(jù)（H）的結(jié)果回答下列問

題：

（i）年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？

（ii）年宣傳費x為何值時，年利率的預(yù)報值最大？

附：對于一組數(shù)據(jù)（4,匕），（的,匕），……’（",,,乙）,其回歸線口=。+〃”的斜率和截距的

最小二乘估計分別為：

P=上匕----------,a=v-/3u.、

二（叫一〃）2

/=1

【答案】（I）y=c+d?適合作為年銷售y關(guān)于年宣傳費用x的回歸方程類型；（II）

y=100.6+686（111）46.24

分析：（【）由散點圖及所給函數(shù)圖像即可選出適合作為擬合的函數(shù)；（II）令卬=?,

先求出建立y關(guān)于w的線性回歸方程，即可y關(guān)于x的回歸方程；（III）（i）利用y關(guān)于

x的回歸方程先求出年銷售量y的預(yù)報值，再根據(jù)年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x即

可年利潤z的預(yù)報值；（ii）根據(jù)（II）的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值，列出關(guān)于x的方程，

利用二次函數(shù)求最值的方法即可求出年利潤取最大值時的年宣傳費用.

解析：

（I）由散點圖可以判斷，y=c+d石適合作為年銷售y關(guān)于年宣傳費用x