2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型總結(jié)一輪復(fù)習(xí) 不等式與不等關(guān)系（基礎(chǔ)+重難點(diǎn)）

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)

第03練不等式與不等關(guān)系（精練）

【A組在基礎(chǔ)中考查功底】

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若非零實(shí)數(shù)a,b滿足。>6,則下列不等式一定成立的是（）

A.—B.a+b>2y[abC.lga2>IgZ?2D.a3>b3

ab

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)、基本不等式的條件和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，由因?yàn)?>b,可得匕_"0,因?yàn)楸夭淮_定，所以A錯(cuò)誤；

abab

對(duì)于B中，只有當(dāng)。>0為>0,6不相等時(shí)，才有a+b>2疝成立，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C中，例如a=1,6=-2,此時(shí)滿足但想/<3〃，所以c錯(cuò)誤；

對(duì)于D中，由不等式的基本性質(zhì)，當(dāng)。>6時(shí)，可得03>63成立，所以D正確.

故選：D

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若人<。<0,則下列不等式正確的是（）

A.—>—B.ab<6?2C.------>—D.同>網(wǎng)

aba-ba

【答案】C

【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：令6=-3,?=-2,滿足6<。<0,但不滿足故A錯(cuò)誤；

ab

2

Qb<a<Q9:.ab>a9故B錯(cuò)誤；

QZ?<a<Qa—b>0,-->0,—<0,>一,故C正確；

9a-baa-ba

Qb<a<0f:\b\>\a\,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知logQX>log“y（OVaVl）,則下列不等式恒成立的是（）

A.y2<x2B.tanx<tanyC.—V—D.

yx

【答案】c

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷A、D選項(xiàng)，取特殊值法判斷B,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及不等式性質(zhì)判斷

C.

【詳解】Vlogax>logay（0<a<l）,

.\0<x<y,Ay2>x2,,故A和D錯(cuò)誤；

1n441TUTT477"

選項(xiàng)B,當(dāng)〃=不取x=；,y=--0^,loSi—>1O§1—JHtan—>tan—?顯然有tanx>tany,故B錯(cuò)誤;

234252434

選項(xiàng)C,由OVxVy可得故C正確；

故選：C.

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如果a<6<0,那么下列不等式成立的是（）

A.-<TB.ab<b2C.—ab<—a1D.--<--r

abab

【答案】D

【分析】由于a<b<0,不妨令〃=-2,b=-l,代入各個(gè)選項(xiàng)檢驗(yàn)，只有。正確，從而得出結(jié)論.

【詳解】解：由于4<b<0,不妨令。=-2,b=-l,可得』=U=_1,」>：,故A不正確.

a2bab

可得就=2,b2=19ab>b29故B不正確.

可得—ab=-2,_tJ2=~49.-ab>-a2）故C不正確.

故選：D.

二、多選題

5.（2023?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若a>0>6>c,則下列結(jié)論正確的是（）

A.->-B.b2a>c2a

cb

C.———>—D.a—c>2］（a

【答案】ACD

【分析】由不等式的性質(zhì)判斷.

【詳解】：。〉。〉人〉。，則b—c>0,bc>0,=0,即烏>2,A正確；

cbbecb

2a2

例如4=1,b=-2,c=-3,產(chǎn)=（一2）2=4,c=（-3）=9,顯然4<9,B錯(cuò)誤；

.a—bba（c-b）八a-bb一、

由〃>0>人>。得。一人<0,a-c>0-----------=-------T>°，即---->一，C正確；

9a—ccc（a-c）a—cc

易知a—c〉O,a-b>0,b-c>09

a-c-2yl(a-b)(b-c)=(a-b)-\-(b-c)-2yl(a-b)(b-c)=(y/a-b-y/b-c)2>0,

/.a-c>2&a-b)(b-c),D正確；

故選：ACD.

6.(2023秋?浙江寧波?高三期末)已知H>5>0,則()

A.2一而<2一物B.logfl72<log^V2

C.—+3b>"lyfabD.a+b>2dab

【答案】AD

【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)單調(diào)性可判斷A；舉反例可判斷B；利用基本不等式可判斷C,D.

【詳解】根據(jù)幕函數(shù)％=?,指數(shù)函數(shù)%=2'在定義域內(nèi)均為單調(diào)增函數(shù)，

a>b>0,:.-4a<-4b,2<2,故A正確；

由a>人>0,取。=2*=:，可得10820=孑>1。8工應(yīng)=一：，故B錯(cuò)誤；

由a>8>0可得q+3b22、口=當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?3b即a=96取等號(hào)，C錯(cuò)誤；

3V33

由基本不等式可知a+6N2，石，當(dāng)且僅當(dāng)。=6取等號(hào)，

但a>6>0,等號(hào)取不到，故D正確，

故選：AD.

7.(2023秋?浙江嘉興?高三統(tǒng)考期末)若實(shí)數(shù)滿足a<〃<0,則()

A.-<TB.Ina2>In/?2

ab

C.例D.a+4<bT—

【答案】BCD

【分析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、作差比較法逐一判斷即可.

【詳解】A：由a<b<0n“b>0ng<3n1<］，因此本選項(xiàng)不正確；

ababba

B：由v0=(-a)>0=〃2>/?2>0=>lntz2>lnZ?2,因此本選項(xiàng)正確；

C：因?yàn)閍<Z?<0,所以-回4=一々2+Z?2=(._〃)(/?+a)vO=>a問悶v0=>a同vb碼,因此本選項(xiàng)正確；

D：因?yàn)閍<Z?<0,所以

11(a-b\(ab+\\1111廠u—3V小

a-\b—=---------------<0=>QH-----b<0=>a+—<b+—,因此本選項(xiàng)正確，

baabbaba

故選：BCD

三、填空題

8.(2023?高三課時(shí)練習(xí))以下三個(gè)命題：①“a>6”是>62”的充分條件；②“同>葉，是“片〉〃,,的充要條件;

③是“a+c>6+c”的充要條件.其中，真命題的序號(hào)是.(寫出所有滿足要求的命題序號(hào))

【答案】②③

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)一一判斷求解.

【詳解】對(duì)于①，若0>a>人，則/<〃，

所以“a>8”不是“標(biāo)〉小，的充分條件，①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，因?yàn)橥?gt;同0，>好=/>凡

所以“14>網(wǎng)”是“/>〃”的充要條件,②正確;

對(duì)于③，若a>b,貝！|a+c>b+c,

若a+c>Z?+c,貝(Ja+c+(―c)>b+c+(―c)即a>b,

所以是“a+c"+c”的充要條件，③正確，

故答案為:②③.

9.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知-4<Q—c4—l,-l<4a-c<5,9a—c的取值范圍是.

【答案】[—1,20]

【分析】設(shè)9〃-。=機(jī)(a-c)+〃(4〃-c),解出再利用不等式的可加性求解即可得出.

【詳解】設(shè)9a—c=7n(a—c)+〃(4a-c),BP9a—c=(m+4n)a—(m+n)c,

5

m=——

m+4n=9,解得。3

m+n=l

.5/5(x20^

*：^<a-c<-l/.-<——(a-c]<—①,

933V73

OQ4Q

".,-l<4o-c<5,/.--<-(4?-c)<y(2),

①+②，得-149a-c420,即9a-c的取值范圍[-1,20].

故答案為：[-1,20].

四、解答題

10.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知。>1b>l,M=

a-\b-1a—\b-\

(1)試比較M與N的大小，并證明;

(2)分別求V,N的最小值.

【答案】(DMWN；證明見解析；(2)M,N的最小值都是8.

(a-b)2(a+b)

【分析】(1)利用作差比較法，得到”-N=-WO,即可求解;

(—)

(2)化簡(jiǎn)M=a-l+'+6-l+J—+4,結(jié)合基本不等式，即可求解.

a-1b-1

【詳解】(1)"與N的大小為

、十口,a2b1b1a1(a-b)2(a+b)

證明：由M-N=R_R+口-口

(Q-1)3-1)

2

因?yàn)閍>l,Z?>1,所以a+b>0,6i-l>0,b-l>0f{a-b)>0,

(a-b)2(a+b)

所以-<0,所以MWN.

(a—1)S—1)

7222

(2)因?yàn)镸=-^+/h-=[(fl-l)+l]][0-D+1]

a-1b-1〃一1b-1

=a-l+^—+Z?-1+—+4>2./(a-l)x^—+2./(Z?-l)x—+4=8,

a-1b-\Va-\Vb-\

當(dāng)a5=2時(shí)取等號(hào),

又由（1）N>M,所以M,N的最小值都是8.

【B組在綜合中考查能力】

一、單選題

1.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）已知a>0,6>0且標(biāo)一6+440，貝包（

a+b

A.有最小值14B.有最大值114C.有最小值1?7D.有最大值1?7

66

【答案】A

【解析】根據(jù)"-6+440,變形為心〃+4,再利用不等式的基本性質(zhì)得到4+62/+4+4,進(jìn)而得到

aa37,

---->-----------,然后由立==-二利用基本不等式求解.

Q+Z?a?+a+4a+ba+b

【詳解】因?yàn)槠?+440,

所以》之片+4,

以〃+/?之〃2+〃+4,

aa

所以--------------，

a+ba+Q+4

所以-二，2-a

~~27，

a+bQ+Q+4

2a+3b1cli4

=3———>3------——=3—------->3=——

所以a+ba+b〃2+4+4〃+3]2.la--+l5'

aVa

當(dāng)且僅當(dāng)〃=2*=8時(shí)取等號(hào),

故選：A.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題思路是利用分離常數(shù)法轉(zhuǎn)化為生學(xué)=3-二，再由62a?+4,利用不等式的性質(zhì)構(gòu)造

a+ba+b

aa

---->-----------,再利用基本不等式求解.

a+ba2+a+4

2.（2023?海南省直轄縣級(jí)單位?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）給定下列四個(gè)命題:

b

命題①：a>b,c>dna—c>b—d；命題②：a>bn<

2

…0<a<l2<a+b<4ba

命題③：｛2<5<3=｛。<仍<3;命題④：a<》<0=>—

ab

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析①③④，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷②.

【詳解】①中，當(dāng)a=5,〃=4,c=3,d=l時(shí)，不成立，是假命題；

②中，y=是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以0>6時(shí)，是真命題；

③中，當(dāng)a=2,6=1時(shí)，右邊成立，而左邊不成立，是假命題；

④中，a<b<0^>a2>b2^>—<Y，是真命題.

ab

故選：B

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知\<x-y<3,則8,?（；）》的取值范圍是（）

A.[4,128]B.[8,256]C.[4,256]D.[32,1024]

【答案】C

【分析】先把轉(zhuǎn)化為8"，），=23，,，根據(jù)l<x-y<3,求出3尤-2y的范圍，利用y=2,單

增，求出z的范圍即可.

【詳解】&'?（!）>=23*%.

4

設(shè)3%—2,=機(jī)（％+,）_〃（％_,）=（機(jī)—〃）%+（機(jī)+〃）,,

1

\m-n=3m~2

所以小解得：

\m+n=-2J

<n=—

I2

3x-2y=^（x+y）-^（x-y）9

因?yàn)橐?x+yVI,l<x-^<3,

所以3x-2y=g（x+y）_g（x_y）e[2,8],

因?yàn)閥=2'單調(diào)遞增，

所以z=23f[4,256].

故選：C

319

4.（2023春?山西太原?高三山西大附中?？茧A段練習(xí)）已知。=三,6=$山不0=芻，貝ij（）

2萬24萬2

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】D

【分析】先通過簡(jiǎn)單的放縮比較c和〃的大小，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用圖像特征比較b和。的大小，由此可得答案.

9333

【詳解】C___—__x__v__

4兀之2兀2兀2兀

:.c<a

313

a————x—,

2兀2%

3

設(shè)f(x)=smx,g()=—x

x719

、吐兀?_L.兀37c1

當(dāng)工=一時(shí),sm—=—x—=—

667r62

3711

.?"(彳)=5111*與80)=7相交于點(diǎn)和原點(diǎn)

71Z'5

3

/.xelC0,—%|時(shí)Q,smx>—3x

71

71

6

sin->—,即

224

?二c<a<b

故選：D.

5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)a>6>0,ceR,則下列結(jié)論正確的是（）

A.2a-b<1B.ac3>be3

Cm(a+b)+品司22cZ?+lb

D.----->-

Q+1a

【答案】D

【分析】由。-6>0利用指數(shù)的性質(zhì)可判斷A；當(dāng),3<0時(shí)可判斷B；由0<。+6<1得ln（a+6）<0可判斷C；作差

比較大小可判斷D.

【詳解】因?yàn)閍>b>0,所以a-8>0,所以2->1，故A錯(cuò)誤;

因?yàn)閍>6>0,當(dāng)°3<0時(shí)，ac3Vbe,故B錯(cuò)誤;

由。+6>0,且0<。+人<1時(shí)，ln(a+/?)<0,

所以可0+6）+曲山河<0,故C錯(cuò)誤;

一、.~一6+1bab+a-ab-ba-b八

因?yàn)閍>b>0,所以//+])=詬而>°

所以怨>々，故D正確.

a+\a

故選：D.

二、填空題

jrjr

6.（2023?江蘇南京?南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知角滿足-0<。+￡<兀，則3c-￡的取

值范圍是__________

【答案】（-%,2%）

【詳解】結(jié)合題意可知：3a-6=2（a-/）+（a+0,

且：2（a-￡）e（-左,〃），（a+/?）e（O,;r）,

利用不等式的性質(zhì)可知：3a-（3的取值范圍是（-％,2萬）.

點(diǎn)睛：利用不等式性質(zhì)求某些代數(shù)式的取值范圍時(shí)，多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大變量的取值范圍.解決此

類問題一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得待求整體的范圍，是避免錯(cuò)誤的有效途徑.

7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)”無）=加-b滿足-44/⑴W-L,-1</（2）V5,則43）的取值范圍是

【答案】

CQ

【解析】把“3）用了⑴"（2）表示，可得〃3）=9〃-6=-|〃1）+|"2）,由4W〃1）WT,TW〃2）W5,利用不等式

的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】由題意得,

[f（2）=4a-b,

[」⑵-”1）

Cl一,

解得43

y⑴+§“2），

<Q

所以43）=9j=_J⑴+§〃2）,

因?yàn)?/p>

所以六1"4爭(zhēng)

因?yàn)橐弧薄?）W5,

所以予“⑵空.

兩式相加得-”〃3）（20,

故”3）的取值范圍是[T,20].

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及對(duì)不等式的性質(zhì)掌握的熟練程度，考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能

力，屬于中檔題.

三、解答題

對(duì)，試比較與尤2+3的大小，并說明理由;

8.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）（1）已知x>0,4

（2）設(shè)0>>>c,a+b+c=l,且/+/+/：=1,證明：c<0.

【答案】（1）x3+^>x2+^,理由見解析;

（2）證明見解析

11X2-1

【詳解】（1）d+與一X?-==-

當(dāng)Ov%vl時(shí)，x-l<0,1—白<0,所以"一1)[一去)〉0，即

當(dāng)X>1時(shí)，X—1>0,1>0，所以(X—1)[1BpX3+—>X2H7

綜上：兀3-I---->X2-Y

XX

(2)證明：由Q+Z?=1—c得/+〃=(.+人)2一2〃人=(1—。了一？〃6：1—/.

ab=c2—c>

因此構(gòu)造以。、人為根的一元二次方程f-(1-c)x+，_c=O.

令/(%)=%2-(1-C)X+C2-C.

A>0,

由。、beR及a>b>c,得<〃+/?=l-c>2c,

/(c)>0,

解得-；<c<0,所以。<0

【C組在創(chuàng)新中考查思維】

一、單選題

1.(2023春?四川成都?高三成都七中校考開學(xué)考試)關(guān)于x方程|lgx|=左的兩個(gè)根為a,b,且。<b<2a,則以下結(jié)

論正確的個(gè)數(shù)是().

(1)ab=\-,(2)正<a<l；(3)2<a+b〈膽;(4)ba+i>(a+l)\

22v7

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷(1),再由不等式的性質(zhì)判斷(2)(3),構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性判

斷(4).

【詳解】方程旭,=左的兩個(gè)根為a,b,所以|lg〃|=|lgb|,如圖，

a<b,「.—lga=lg"BP\gb+lga=igab=O,:.ab=l9故(1)正確;

■■-b=~,;.0<a<-<2a,解得故(2)正確；

aa2

由人=工，a+b=a+-,因?yàn)閥=x+，在(走,1)上單調(diào)遞減，故2<x+』<述，所以2<a+b(述，故(3)正

aax2x22

確；

由知，ba+1>(a+1)^(a+1)InZ?>&ln(a+1)<=>—>ln(fl+1),

ba+1

設(shè)〃X)=史，貝!J尸(x)=上孚，令尸(無)=匕學(xué)=。解得x=e,

XXX

故當(dāng)xe(O,e)時(shí)，Ax)>0,故當(dāng)方在(0,e)上遞增,

因?yàn)樽?lt;a<l,所以1+變<a+l<2,l<b=-<s/2,

22a

故6,a+]e(O,e),又/1a2+a-a1-a+1~^a+^

aaaa

由/(X)在(O,e)上遞增知，則等<生答1,故(4)錯(cuò)誤.

故選：C

2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知a,beR,滿足e"+e"=l,則下列錯(cuò)誤的是()

A.a+Z?<-21n2B.ea+Z?<0

C.ab>lD.2(e2a+e2fc)>l

【答案】C

【分析】根據(jù)基本不等式可判斷A;判斷a,6e(e,0),將e〃+6化為l+b-e",構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷B;當(dāng)

a=b=_ln2時(shí)，ab<\,可判斷C;利用柯西不等式判斷D.

【詳解】A,由e"+e〃=lN2je"拓，得a+bV-21n2,當(dāng)a=6=-ln2時(shí)等號(hào)成立，正確；

B,e"+e”=1,故0<e"<l,0<e"<1,故a,6?—,0),

由6。=1一6〃>0,^ea+b=l+b-eb^a,〃e(f,0),

令〃x)=e*-x且XW(F,0),貝！]尸(x)=e*-l<。，遞減，

所以〃x)>〃0)=l，r>x+l.即e"+b=l+/-e><0成立，正確；

C,當(dāng)a=6=-ln2時(shí)，aZ?=In22<1,錯(cuò)誤；

D,(ea+e4)2=1<(1+1)(e2a+eM)=2(e2fl+e2fc),當(dāng)且僅當(dāng)a=/=-ln2時(shí)等號(hào)成立，正確，

故選：C

3.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知尤，y是正實(shí)數(shù)，則下列式子中能使x>y恒成立的是()

21112111

A.%+—>》+—B.x+—>》+—c.x->y——D.%------>y——

yx2yxyx2yx

【答案】B

【分析】特殊化的方法，取x=y可判斷A,取xf0,y=l可判斷C,D,可排除A,C,D,可得答案B,也可利用不

等式性質(zhì)證明B正確.

【詳解】對(duì)于A,取了=九該不等式成立，但不滿足工>，

對(duì)于C,該不等式等價(jià)于尤+工>>+2,取x3o,y=i,該不等式成立，但不滿足x>y；

xy

對(duì)于D,該不等式等價(jià)于x+,>y+4,取x-o,y=l,該不等式成立，但不滿足x>y；

x2y

下面證明B

法一

不等式等價(jià)于而

x2yx2yy

函數(shù)/（x）=x」在（0,內(nèi)）上單增，故》>%

X

法二

若則故尤+；<，+’,矛盾.

2y尤2yx

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，反證法，屬于中檔題.

二、填空題

I*?X

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)尤，y為實(shí)數(shù)，滿足3V孫？<8,44—49,則石的最小值是.

yy

【答案】|

【解析】利用方程組形式，可得方=（町，求得〃后結(jié)合不等式性質(zhì)即可求得充的最小值.

【詳解】設(shè)充=（孫2）“,

即孫與=?產(chǎn)"

m+2n=lm=-l

所以

2…一3’解得n=l

所以.=（盯2]