2023-2024學年河南省鄭州市高二下學期3月月考數(shù)學模擬試題（含解析）

2023-2024學年河南省鄭州市高二下學期3月月考數(shù)學模擬試題考生注意：1.答題前，考生務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，在試卷上作答無效；3.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.4.試卷滿分150分，考試時間120分鐘.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．集合與之間的關系是A． B． C． D．2．已知，（為自然對數(shù)的底數(shù)），比較，，的大?。?/p>

）A． B．C． D．3．設函數(shù)，若有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．某校校慶日為每年5月4日，根據(jù)氣象統(tǒng)計資料，這一天吹南風的概率為20%，下雨的概率為30%，吹南風或下雨的概率為35%，則既吹南風又下雨的概率為（

）A．6% B．15% C．30% D．50%5．為了得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)圖象上所有點的（

）A．橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度B．橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度C．橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度D．橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度6．已知直線，若，則實數(shù)（

）A．1 B．3 C．1或3 D．07．如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點是底面圓周上的一點，且，點是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）

A． B． C． D．8．千年寶地，一馬當先．2023年10月15日7時30分，吉利銀河．2023寶雞馬拉松賽在寶雞市行政中心廣場鳴槍開跑，比賽吸引了全國各地職業(yè)選手及路跑愛好者共2萬人的熱情參與．為確?；顒禹樌e行，組委會自起點開始大約每隔5公里設置一個飲水站（志愿者為選手遞送飲料或飲用水，為選手提供能量補給），兩個飲水站中間設置一個用水站（志愿者為選手遞送濕毛巾等，協(xié)助醫(yī)務工作者），共15個飲用水服務點，分別由含甲、乙在內的15支志愿者服務隊負責，則甲隊和乙隊服務類型不同且服務點不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對1個得3分；若只有3個正確選項，每選對1個得2分.9．已知，，，，，則下列說法正確的是A． B．C． D．10．如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內繞圓錐頂點S滾動，當這個圓錐在平面內轉回原位置時，圓錐本身恰好滾動了3周，則（

）A．圓錐的母線長為3B．圓錐的表面積為C．圓錐的側面展開圖扇形的圓心角為D．若一螞蟻從點A出發(fā)沿圓錐的側面爬行一周回到點A，則爬行的最短距離為11．已知二項式的展開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是，則下列說法正確的是（

）A．所有項的系數(shù)之和為 B．所有項的系數(shù)之和為C．含的項的系數(shù)為 D．含的項的系數(shù)為三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.12．已知是函數(shù)的零點，則．13．已知復數(shù)w滿足（i為虛數(shù)單位），在復平面內，復數(shù)z對應的點為Z，且z滿足不等式，則點Z構成的平面圖形的面積為.14．過雙曲線的右焦點的直線分別在第一?第二象限交的兩條漸近線于兩點，且.若，則雙曲線的離心率為.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關于直線對稱.(1)求函數(shù)的單調增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值.16．已知兩個定點，如果動點滿足.(1)求點的軌跡方程并說明該軌跡是什么圖形；(2)若直線分別與點的軌跡和圓都有公共點，求實數(shù)的取值范圍.17．如圖，在中，點D在邊BC上，．(1)若，，，求AB；(2)若是銳角三角形，，求的取值范圍．18．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是矩形，分別是的中點，平面經過點與棱交于點．

(1)試用所學知識確定在棱上的位置；(2)若，求與平面所成角的正弦值．19．已知雙曲線的右焦點，漸近線方程．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)過點F的直線l與雙曲線C的右支交于A、B兩點，交y軸于點P，若，，求證：為定值；(3)在（2）的條件下，若點Q是點P關于原點O的對稱點，求面積的取值范圍．1．C【分析】對集合中的整數(shù)分偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，并將集合中的等式化簡，由此可判斷出集合與集合之間的關系.【詳解】對于集合，當為偶數(shù)時，設，；當為奇數(shù)時，設，.所以，集合，因此，.故選C.【點睛】本題考查角的兩個集合之間包含關系的判斷，解題的關鍵就是對整數(shù)進行分類討論，并將集合中的等式化簡，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.2．D【分析】由常見的不等式可比較和的大?。焕脙绾瘮?shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性及中間量可比較，和的大小，進而得出答案.【詳解】由三角函數(shù)線可得：不等式，則，又函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)，則，所以，綜上所述：，故選D．【點睛】關鍵點點睛：本題考查比較函數(shù)值的大小.解題關鍵在于利用三角函數(shù)線得到不等式，進而比較和的大??；再利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性及中間量，比較，和的大小.3．C【分析】分析函數(shù)的性質，作出函數(shù)圖象，借助圖象求出的范圍.【詳解】當時，函數(shù)單調遞增，函數(shù)值集合為，當時，函數(shù)單調遞減，函數(shù)值集合為，當時，函數(shù)單調遞增，函數(shù)值集合為，作出函數(shù)的圖象與直線，如圖，

觀察圖象知，當時，函數(shù)的圖象與直線有3個交點，所以有三個不同的實數(shù)根，實數(shù)的取值范圍是.故選：C4．B【分析】根據(jù)概率的加法公式即可求解.【詳解】記吹風為事件A，下雨為事件B,因為，所以既吹南風又下雨的概率為：，故選：B.5．D【分析】變換，根據(jù)三角函數(shù)平移和伸縮法則依次判斷每個選項，對比得到答案.【詳解】，對選項A：得到的函數(shù)為，錯誤；對選項B：得到的函數(shù)為，錯誤；對選項C：得到的函數(shù)為，錯誤；對選項D：得到的函數(shù)為，正確；故選：D6．A【分析】根據(jù)直線平行公式求出參數(shù)m的值，驗證是否重合.【詳解】因為，所以，解得：或，當時，，，兩直線平行，滿足題意，當時，，，兩直線重合，舍，所以.故選：A.7．C【分析】建立空間直角坐標系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計算即可.【詳解】以過點且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設，

則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設異面直線與所成角為，則.故選：C.8．B【分析】由題意可知15個飲用水服務點種有8個飲水站，7個用水站，分別計算隨意安排甲乙參與和滿足服務類型不同且服務點不相鄰要求的方法種數(shù)，根據(jù)古典概型求解.【詳解】由題意，，故共有飲水站8個，用水站7個，分別設為，其中任取2個飲用水服務點安排給甲、乙，共有種不同的安排方法，甲隊和乙隊服務類型不同且服務點不相鄰的時，可以分別取一個飲水站和一個用水站安排給甲、乙共有，再減去其中甲、乙相鄰的情況，相鄰時，共有，14種情況，故甲隊和乙隊服務類型不同且服務點相鄰的安排方法為，即滿足甲隊和乙隊服務類型不同且服務點不相鄰的安排方法有種，由古典概型可知，，故選：B9．AC【解析】由已知條件兩邊平方相加，消去得，可知A正確，B錯誤，再根據(jù)角的范圍可得，所以C正確，D錯誤.從而可得答案.【詳解】由已知，得，.兩式分別平方相加，得，，，A正確，B錯誤.，，，，，，C正確，D錯誤.故選：AC.【點睛】本題考查了平方關系式，考查了兩角差的余弦公式的逆用，考查了由三角函數(shù)值求角，屬于基礎題.10．BD【分析】由題意可求出圓錐的母線長判斷A；由此可求得圓錐的表面積判斷B；由側面展開圖扇形的形狀可判斷C；由側面展開圖的扇形求最短距離判斷D.【詳解】設圓錐的母線長為l，則以S為圓心，SA為半徑的圓的面積為，圓錐的側面積，因為圓錐在平面內轉到原位置時，圓錐本身滾動了3周，所以圓錐的側面展開圖扇形的圓心角為，故C錯誤；，解得，所以圓錐的母線長為9，故A錯誤；圓錐的表面積，故B正確；如圖為圓錐沿SA的側面展開圖，連接，則為等腰三角形，所以螞蟻爬行的最短距離為，故D正確.故選：BD.11．AC【分析】先根據(jù)二項展開式的通項公式，根據(jù)題中條件，得到，求出，令代入原式，即可得出所有項的系數(shù)；進而可得出指定項的系數(shù).【詳解】二項式展開式通項為：，因為展開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是，所以，解得；則該二項式為，令，則所有項的系數(shù)之和為，故A正確，B錯誤；則展開式的通項公式為，令，則，因此含的項的系數(shù)為，故C正確，D錯誤.故選：AC.【點睛】本題主要考查求二項展開式的系數(shù)和，以及指定項的系數(shù)，熟記二項式定理即可，屬于?？碱}型.12．2【分析】根據(jù)零點定義可得，整理可得，根據(jù)此時可得成立，代入化簡即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得，整理可得，可得當，即成立，又，代入可得.故答案為：.13．【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算可得，根據(jù)復數(shù)的幾何意義可判斷點Z的軌跡為圓環(huán)，即可由圓的面積公式求解.【詳解】，.，點Z構成的平面圖形為一個圓環(huán)，其中大圓是以為圓心，2為半徑的圓，小圓是以為圓心，1為半徑的圓，點Z構成的平面圖形的面積為.故答案為：14．【分析】根據(jù)漸近線的斜率與傾斜角的關系，結合正切二倍角的公式、正切的定義、勾股定理、雙曲線離心率的公式進行求解即可.【詳解】由題意可知該雙曲線的漸近線方程為，如圖所示：令，于是有，由雙曲線和兩條漸近線的對稱性可得：，因為，所以，即，在直角三角形中，設，根據(jù)勾股定理可得：，或舍去，即，在直角三角形中，，由勾股定理可知：，因為，所以，或舍去，由，故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用二倍角的正切公式、由已知等式化簡成為的齊次方程，進而求出雙曲線的離心率.15．(1)，(2)最小值為2，最大值為3【分析】（1）利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，然后通過對稱性和周期得到，然后求解單調區(qū)間．（2）由的取值范圍，求出的取值范圍，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質求解函數(shù)的值域即可．【詳解】（1）∵，由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數(shù)圖象關于直線對稱，所以，所以，所以，所以，由，，得，∴函數(shù)的單調增區(qū)間為，.（2）∵，∴，，由，∴當或時，，當時，16．(1)，軌跡是以為圓心，半徑為2的圓；(2).【分析】（1）設，利用兩點距離公式及已知，整理化簡即可得軌跡方程，進而判斷圖形.（2）由直線與圓的有交點，利用圓心到直線距離與半徑的關系列不等式求參數(shù)k的范圍即可.【詳解】（1）設，由，則，化簡得：；∴的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓.（2）直線與圓相切或相交，即圓心到直線的距離不大于半徑：，解得，直線與圓相切或相交，即圓心到直線的距離不大于半徑：，解得，∴綜上，直線分別與的軌跡和圓都有公共點時，實數(shù).17．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，在與中，利用余弦定理求解即得.（2）由給定條件，求出角的范圍，再利用正弦定理邊化角，借助差角的正弦及正切函數(shù)的性質求解即得.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，即，而，解得，則，在中，，由余弦定理得.（2）在銳角中，，，且，則，由正弦定理得，顯然，即有，因此，即，所以的取值范圍是.18．(1)靠近的三等分點處(2)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質，結合平行線的性質進行求解即可；（2）根據(jù)面面垂直的性質，建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】（1）過作直線與平行，延長與交于點，連接與的交點即為點．因為底面是矩形，是的中點，所以，且．又，所以，因為是的中點，可得，則，所以．故在棱的靠近的三等分點處．

（2）因為是的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．取中點，連接，易知兩兩相互垂直，如圖，分別以為軸建立空間直角坐標系，則，．

設平面的法向量為，則即令，則，所以．．設與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．19．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)雙曲線漸近線方程及求得，寫出雙曲線方程；（2）聯(lián)立直線：與雙曲線方程得韋達定理，由，用表示，將韋達定理代入后