河南省部分省示范高中2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

高三數(shù)學(xué)考試（考試時間：120分鐘，試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（）A． B．1 C． D．i2．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．3．已知直線與圓相交于兩點，若，則（）A． B．1 C． D．24．高二年級進(jìn)行消防知識競賽，統(tǒng)計所有參賽同學(xué)的成績，成績都在內(nèi)，估計所有參賽同學(xué)成績的第75百分位數(shù)為（）A．65 B．75 C．85 D．955．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（）A．e B．1 C． D．6．已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長都等于2，則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為（）A． B． C． D．7．如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為，過原點的直線與橢圓交于兩點，橢圓上異于的點滿足，，，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．甲、乙等6人去三個不同的景區(qū)游覽，每個人去一個景區(qū)，每個景區(qū)都有人游覽，若甲、乙兩人不去同一景區(qū)游覽，則不同的游覽方法的種數(shù)為（）A．342 B．390 C．402 D．462二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，則（）A．B．C．在上單調(diào)遞減D．的圖象向左平移個單位長度后關(guān)于軸對稱10．在中，為的中點，點在線段上，且，將以直線為軸順時針轉(zhuǎn)一周圍成一個圓錐，為底面圓上一點，滿足，則（）A．B．在上的投影向量是C．直線與直線所成角的余弦值為D．直線與平面所成角的正弦值為11．已知非常數(shù)函數(shù)的定義域為，且，則（）A． B．或C．是上的增函數(shù) D．是上的增函數(shù)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知向量，若，則_______．13．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若成等比數(shù)列，且，則_______，_______．14．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作一條漸近線的垂線交雙曲線的左支于點，已知，則雙曲線的漸近線方程為_______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知是等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，且，求的前項和．16．（15分）如圖，在直三棱柱中，已知．（1）當(dāng)時，證明：平面．（2）若，且，求平面與平面夾角的余弦值．17．（15分）為建設(shè)“書香校園”，學(xué)校圖書館對所有學(xué)生開放圖書借閱，可借閱的圖書分為“期刊雜志”與“文獻(xiàn)書籍”兩類．已知該校小明同學(xué)的圖書借閱規(guī)律如下：第一次隨機(jī)選擇一類圖書借閱，若前一次選擇借閱“期刊雜志”，則下次也選擇借閱“期刊雜志”的概率為，若前一次選擇借閱“文獻(xiàn)書籍”，則下次選擇借閱“期刊雜志”的概率為．（1）設(shè)小明同學(xué)在兩次借閱過程中借閱“期刊雜志”的次數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）若小明同學(xué)第二次借閱“文獻(xiàn)書籍”，試分析他第一次借哪類圖書的可能性更大，并說明理由．18．（17分）已知是拋物線上任意一點，且到的焦點的最短距離為．直線與交于兩點，與拋物線交于兩點，其中點在第一象限，點在第四象限．（1）求拋物線的方程．（2）證明：（3）設(shè)的面積分別為，其中為坐標(biāo)原點，若，求．19．（17分）已知函數(shù)．（1）判斷的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的零點個數(shù)．

高三數(shù)學(xué)考試參考答案1．C【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．．2．D【解析】本題考查集合的基本運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．因為，所以，又，所以．3．B【解析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．設(shè)坐標(biāo)原點到直線的距離為，則，由，得，解得．4．C【解析】本題考查統(tǒng)計的知識，考查數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．因為，所以．參賽成績位于內(nèi)的頻率為，第75百分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)為，則，解得，即第75百分位數(shù)為85，所以C正確．5．D【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．因為在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立．令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故．6．A【解析】本題考查四棱錐的體積公式、內(nèi)切球的表面積公式，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．設(shè)內(nèi)切球的半徑為的中點為，易知，則由等體積法可得，解得，所以．7．A【解析】本題考查橢圓的性質(zhì)以及向量的數(shù)量積與模，考查直觀想象的核心素養(yǎng)．連接（圖略），依題意可得，所以，所以，所以，所以，則的坐標(biāo)為，所以，即，可得，化簡得，解得，即．8．B【解析】本題考查用排列組合解決實際問題，考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)和應(yīng)用意識．去三個不同的景區(qū)游覽，每個人去一個景區(qū)，每個景區(qū)都有人去游覽，則三個景區(qū)的人數(shù)有3種情況：①1，1，4型，則不同種數(shù)為；②1，2，3型，則不同種數(shù)為；③2，2，2型，則不同種數(shù)為．所以共有種．9．BCD【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．因為函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為，所以．因為，所以，即．對于A，，A錯誤；對于B，因為圖象的一個對稱中心為，所以B正確；對于C，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，C正確；對于D，的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為，顯然是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，D正確．10．ABD【解析】本題考查平面圖形旋轉(zhuǎn)組成幾何體中的相關(guān)知識，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．旋轉(zhuǎn)一周后所得圓錐的頂點為，底面圓心為，半徑，所以所對的圓心角為，A正確．易知B正確．以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，所以，C錯誤．設(shè)平面的法向量為，則令，則．設(shè)直線與平面所成的角為，則，D正確．11．AC【解析】本題考查抽象函數(shù)，考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng)．在中，令，得，即．因為函數(shù)為非常數(shù)函數(shù)，所以，A正確．令，則．令，則，①令，則，②由①②，解得，從而，B錯誤．令，則，即，因為，所以，所以C正確，D錯誤．12．【解析】本題考查平面向量的垂直，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．因為，所以，解得．13．；【解析】本題考查解三角形的知識，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．因為，所以．又，可得，所以．因為成等比數(shù)列，所以，從而．14．【解析】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．由，可設(shè)，因為，所以，在中，，由余弦定理得，化簡得，所以，解得，則雙曲線的漸近線方程為．15．解：（1）因為成等比數(shù)列，所以，解得．又是等差數(shù)列，，所以公差，故．（2）由，得，所以．當(dāng)時，．又，上式也成立，所以．所以．評分細(xì)則：【1】第一問，寫出，得2分，求出，累計得4分，求出，累計得5分．【2】第二問，求出，累計得7分，求出，累計得11分，直到給出正確結(jié)論得13分．16．（1）證明：當(dāng)時，連接，交于點，連接，可知是的中位線，所以．又平面平面，所以平面．（2）解：易知兩兩垂直，以為原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時，．．設(shè)平面的法向量為，則令，得．易知為平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則．評分細(xì)則：【1】第一問中，判斷是的中位線，得2分，證出，累計得4分，證出平面，累計得5分．【2】第二問中，正確建立空間直角坐標(biāo)系，累計得7分，寫出相關(guān)點及向量的坐標(biāo)，累計得8分，計算出所求平面的法向量，累計得13分，直至正確求出平面與平面的夾角的余弦值，累計得15分．17．解：設(shè)表示第次借閱“期刊雜志”，表示第次借閱“文獻(xiàn)書籍”，，則．（1）依題意，隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2．，，．隨機(jī)變量的分布列為012所以．（2）若小明第二次借閱“文獻(xiàn)書籍”，則他第一次借閱“期刊雜志”的可能性更大．理由如下：．（1）若第一次借閱“期刊雜志”，則．（2）若第一次借閱“文獻(xiàn)書籍”，則．因為，所以小明第一次選擇借閱“期刊雜志”的可能性更大．評分細(xì)則：【1】給相應(yīng)事件命名，得1分，寫出已知事件的概率，累計得2分．【2】第一問，求出，累計得3分，求出，累計得5分，求出，累計得6分，寫出隨機(jī)變量的分布列，累計得7分，求出，累計得8分．【3】第二問，求出，累計得10分，求出，累計得12分，求出，累計得14分，直到給出正確結(jié)論得15分．18．（1）解：設(shè)，易知，準(zhǔn)線方程為．所以．當(dāng)時，取得最小值，由，解得．所以拋物線的方程為．（2）證明：設(shè)直線與軸交于點，因為直線的斜率顯然不為0，所以設(shè)直線的方程為．聯(lián)立消去得，所以．所以．同理可得，所以．（3）解：因為，所以，即．因為，所以，即．所以．由（2）知，所以，故．所以，即，化簡得，解得或．若，則，這與矛盾．所以，所以．評分細(xì)則：【1】第一問，寫出，得3分，求出，累計得5分，求出的方程，累計得6分．【2】第二問，寫出直線的方程為，累計得7分，根據(jù)韋達(dá)定理寫出，，累計得8分，求出，累計得9分，直到證出，累計得11分．【3】第三問，寫出，累計得12分，寫出，累計得13分，寫出，累計得14分，求出或，累計得15分，直至求出，累計得17分．【4】第二問，直線的方程也可以設(shè)為，參照上述步驟給分．19．解：（1）函數(shù)的定義域為．令，則．當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．（2）且的零點等價于且的零點．．令，易知，因為，所以存在，使得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在，上不存在零點．取，則，所以在上存在一個零點，設(shè)為．又，所以，因為，所以，因為，